2-СТО_кинематика-2015. Специальная теория относительности
 Скачать 231.38 Kb.
|
|
1 Специальная теория относительности Теория относительности - фундаментальная физическая теория, охватывающая всю физику. Создана А. Эйнштейном в 1905 г. Большой вклад в ее создание внесли Лармор, Ло- ренц, Пуанкаре. Механика Ньютона (классическая механика) следует из теории относительности (ре- лятивистской механики) в предельном случае малых по сравнению со скоростью света ско- ростей, как частный случай. Мы увидим, что теория относительности противоречит здравому смыслу и повсе- дневному опыту. Трудно поверить, что она может быть правильной. Но, оказывается, чело- век может понять даже то, что ему не удается представить. Это первый подобный пример. Скорость света. Опыты по обнаружению эфирного ветра В конце 19 века Джеймс Клерк Максвелл вывел знаменитые уравнения, описывающие все электромагнитные явления. Из этих уравнений следовало существование электромагнит- ных волн, которые распространяются в вакууме со скоростью 8 10 3 ⋅ = c м/с. Выяснилось, что свет представляет собой электромагнитные волны. Если предположить, что уравнения Максвелла имеют одинаковый вид во всех инер- циальных системах отсчета, то во всех инерциальных СО скорость света в вакууме будет равна постоянной c. Но это несовместимо с законом сложения скоростей, который является следствием преобразований Галилея. Таким образом: 1) либо не справедливы преобразова- ния Галилея, 2) либо уравнения Максвелла в установленном виде справедливы не во всех ИСО. Заметим что: 1) преобразования Галилея вытекают из фундаментальных свойств про- странства и времени; 2) уравнения Максвелла являются обобщением опытных данных, и только опыт может дать ответ на вопрос о системах отсчета, в которых они справедливы. Концепция эфира. В начале 17 века, основываясь на аналогиях между звуковыми и световыми явлениями, голландский физик Гюйгенс предложил новую теорию света. Он предположил, что свет представляет собой особую форму колебательного движения, пере- дающегося от одного тела к другому через особую упругую среду (эфир), заполняющую пространство. Эфир способен внедряться между частицами весомой материи. Теория Гюй- генса позволила весьма просто объяснить ряд оптических явлений. Френель доказал, что световые колебания, являются не продольными, а поперечными, то есть сводятся к упругим сдвигам в направлении перпендикулярном световому лучу. По- добные упругие сдвиги могут происходить лишь в твердых телах. Поэтому эфир пришлось рассматривать не как газ, но как твердое тело. Принимая во внимание, что скорость распро- странения света составляет 300000 км/с, можно заключить, что эфир обладает либо колос- сальной твердостью, либо необычайно малой плотностью. Исследую электромагнитные взаимодействия, Фарадей предположил, что посредни- ком этих взаимодействий является светоносный эфир, заполняющий пространство. Это предположение оказалось плодотворным. Уточняя основные идеи Фарадея, и облекая их в математическую форму, Максвелл в 60-х годах 19-го века пришел к своей знаменитой элек- тромагнитной теории света. Уравнения Максвелла не противоречат гипотезе существования эфира, если принять, что вытекающая из этих уравнений скорость света c = 3 10 8 м/c определена именно относи- тельно эфира. Можно говорить об эфире, как о некоторой выделенной инерциальной систе- ме отсчета, и только в этой системе отсчета выполняются уравнения Максвелла. 2 Эфирный ветер. Если принять гипотезу о существовании эфира, то возникает вопрос: как движется Земля относительно него? Обозначим скорость такого движения V r . Тогда со- гласно классическому закону сложения скоростей в направлении вектора V r скорость света относительно Земли будет (c – V), а в прямо противоположном направлении (c + V). Экспе- риментальная проверка этих соотношений являлась в конце 19 - в начале 20 века одной из центральных проблем физики. Если допустить, что Солнце покоится относительно эфира, то под V надо понимать скорость движения Земли по своей орбите, которая равна около 30 км/с = 10 -4 c. Для обнаружения "эфирного ветра" (движения Земли относительно эфира) Майкель- сон воспользовался сконструированным им интерферометром. Наличие эфирного ветра должно было привести к смещению интерференционной картины. Первые эксперименты, выполненные в 1881 г, показали, что V < 18 км/с. В 1887 г Майкельсон повторил свой опыт совместно с Морли. Интерферометр вместе с остальной аппаратурой монтировался на тяже- лой цементной плите, которая плавала в сосуде с ртутью. Показано, что V < 7 км/с. С появ- лением лазеров точность удалось существенно повысить. В 1964 г было установлено, что V < 30 м/с!!. Итак, многочисленные опыты позволили заключить, что выделенной инерциальной СО (эфира) не существует. Экспериментально было также убедительно подтверждено, что скорость света не зависит от движения источника, что согласуется с волновыми представле- ниями о природе света. Постулаты теории относительности В основе теории относительности лежат два постулата. Первый постулат: Принцип относительности: все процессы природы протекают одина- ково во всех инерциальных СО. Это означает, что во всех инерциальных СО физические законы имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики обобщается на все про- цессы в природе. Второй постулат: Скорость света в вакууме не зависит от движения источника света и одинакова во всех направлениях. Согласно принципу относительности скорость света в вакууме во всех инерциаль- ных системах отсчета одна и та же. Далее мы увидим, что скорость света в вакууме является предельной (максимальной) скоростью распространения взаимодействий. Относительность одновременности Рассмотрим космический суперкорабль, движущийся со скоростью V относительно неподвижного наблюдателя. На корабле посередине между датчиками A и B происходит вспышка. В СО, связанной с кораблем, датчики будут засве- чены одновременно. Однако, неподвижный наблюдатель обнаружит, что датчик A засвечен раньше, чем датчик B, поскольку датчик A движется навстречу световому импульсу, ско- рость распространения которого одинакова во всех инерциальных СО. Итак, понятие одновременности относительно. Необходимо пересмотреть понятие аб- солютного времени, одинакового во всех СО. A B V L L 3 Под временем в количественном смысле понимают показания каких-то часов. Часы – любая система тел, в которой совершается периодический процесс. Однако убедиться в строгой периодичности можно только в том случае, если мы уже располагаем равномерно идущими часами. Выйти из этого логического круга можно только путем определения: следует считать по определению какие-то часы равномерно идущими. По таким часам должны градуироваться все остальные. До недавнего времени за эталонные часы принимались "астрономические часы". В настоящее время в качестве эталонных ис- пользуются атомные часы. В них роль маятника играют колебания электромагнитного поля в узких спектральных линиях некоторых изотопов при строго определенных внешних услови- ях. Для описания движения необходимо чтобы в пространственной системе отсчета были достаточно часто расставлены неподвижные часы. Тогда каждое событие можно характери- зовать местом и временем. Причем часы должны быть синхронизированы. Можно все часы сначала поместить в одну точку пространства, выставить одинаковое время и затем расста- вить их в пространстве. Однако есть теоретические и опытные основания утверждать, что показания "расставленных" часов будут зависеть от способа их переноса из на- чальной в конечную точку. Поэтому такой способ не годится. Эйнштейн предложил осуществить синхронизацию часов следующим образом. Пусть C точка находится на середине отрезка AB. Произведем в C световую вспышку. По опреде- лению свет достигнет точек A и B одновременно. Если в момент прихода света к часам A и B их показания сделать одинаковыми, то они будут синхронизированными между собой. Преобразования Лоренца Рассмотрим две инерциальные системы отсчета (СО0 K и K', из которых вторая дви- жется относительно первой со скоростью V. Пусть x, y, z, t - координаты и время какого-либо события в СО K, а x', y', z', t' -координаты и время того же события в СО K'. Возникает во- прос: как по значениям x, y, z, t найти x', y', z', t' и наоборот. Решение этого вопроса основано на предположениях, что пространство однородно и изотропно, а время однородно. Будем искать такую форму преобразований координат и времени, чтобы величина скорости света была независимой от движения источника или приемника. Обозначим K сис- тему отсчета, в которой источник света неподвижен. Координаты и время в K-СО будем обо- значать x, y, z, t. Если источник света находится в начале координат, то для света, испускае- мого в момент 0 = t , уравнение сферического волнового фронта в момент t имеет вид: 2 2 2 2 2 t c z y x = + + . (1) Это уравнение описывает сферическую поверхность, радиус которой увеличивается со скоро- стью c. Обозначим K’ систему отсчета, которая движется относительно СО-K в направлении + x с постоянной скоростью V. Для удобства предположим, что начало отсчета времени t сов- падает с началом отсчета t’ и что при 0 ' = = t t начало координат в K’ совпадает с положени- ем источника света. В K’-СО источник света движется. Однако согласно постулату ТО ско- рость света не зависит от движения источника. Поэтому наблюдатель в K’-СО также должен обнаружить сферический волновой фронт, который описывается уравнением: 2 2 2 2 2 ' ' ' ' t c z y x = + + . (2) 4 K Y X K’ Y’ X’ V Vt Если верен закон постоянства скорости света, то должно существовать какое-то пре- образование, переходящее при малых скоростях в преобразование Галилея и преобразующее формулу (2) в (1). Испытаем сначала преобразования Галилея: Vt x x − = ' , y y = ' , z z = ' , t t = ' . (3) Если подставим (3) в (2), то получим 2 2 2 2 2 2 2 2 t c z y t V xVt x = + + + − , что, конечно, не согласуется с (1). Следовательно, преобразования Галилея не удовлетворяют указанному требованию. Испытаем теперь преобразование вида Vt x x − = ' , y y = ' , z z = ' , fx t t − = ' , где f - произвольная постоянная. Тогда получим 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x f c ftx c t c z y t V xVt x + − = + + + − «Перекрестные» члены уничтожаются, если принять 2 c V f = . В этом случае получим ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 c V t c z y c V x Остается нежелательный масштабный множитель. Мы можем исключить его, если примем 2 1 ' β − − = Vt x x , y y = ' , z z = ' , 2 2 1 ) / ( ' β − − = x c V t t , (4) где c V / = β . Это и есть преобразования Лоренца. Таким образом, уравнение (1) инвариантно относительно преобразований Лоренца: при помощи (4) оно преобразуется в (2). Преобразо- вания Лоренца согласуются с постулатами СТО. К этим же формулам несколько раньше (в 1900 г) пришел Лармор. Однако и Лармор и Лоренц принципиально стояли на точке зрения неподвижного эфира. Величина t' лишь фор- мально играла роль времени. Настоящий вывод формул преобразования Лоренца и установ- ление их истинного смысла дал Эйнштейн в 1905 году. Нетрудно получить обратные преобразования Лоренца. 5 2 1 ' ' β − + = Vt x x , ' y y = , ' z z = , 2 2 1 ' ) / ( ' β − + = x c V t t , (5) Напомним, что формулы (4), (5) записаны для случая, когда система отсчета K’ дви- жется относительно системы отсчета K с постоянной скоростью V. Координатные оси вы- браны так, что оси x и x’ направлены вдоль вектора скорости V r , а оси y и y’ параллельны друг другу. Время отсчитывается от момента, когда начала координат обеих систем совпа- дают. Такой выбор систем координат мы будем по умолчанию предполагать и далее, условно называя инерциальную СО K покоящейся, а инерциальную СО K’ – движущейся. Относительность одновременности Пусть в K-СО происходят два каких-то события 1 1 1 1 1 , , , ( t z y x A ) и ) , , , ( 2 2 2 2 2 t z y x A Найдем время между этими событиями в K’-СО, движущейся со скоростью V вдоль оси x. Из преобразований Лоренца получим 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ) )( / ( ' ' β − − − − = − x x c V t t t t Отсюда следует, что события одновременные в K-СО, не одновременны в K’-СО. Ис- ключением является случай, когда оба события происходят в K-системе одновременно в од- ной точке (в точках с одинаковыми координатами x). Тогда эти события одновременны и в любой другой инерциальной СО. Итак, одновременность – понятие относительное. События одновременный в одной СО, в общем случае не одновременны в другой СО. Замедление времени Рассмотрим сначала эффект замедления времени на специальном примере, а затем по- лучим общую формулу из преобразований Лоренца. V Часы А' Корабль СО K' Часы А Земля СО K Vt/2 A B C L Пусть космический корабль (система K') движется относительно Земли (система K) со скоростью V. На Земле и на корабле есть одинаковые часы, например, световые часы. Свет отражается от оснований цилиндра: часы "тикают". Пусть часы A' один раз "тикнули", то есть световой импульс прошел расстояние 2L в K' системе. Соответствующее время в K' системе c L t / 2 0 = Наблюдатель в СО K "увидит" картину, изображенную на правом рисунке, и отсчита- ет время t по своим часам A. Время t во столько раз больше t 0 , во сколько раз ABC больше 2L: 6 2 2 2 2 2 2 0 4 1 2 4 / 2 L t V L t V L t t + = + = Учитывая, что 0 2 ct L = , получим 2 0 2 2 2 2 0 1 t c t V t t + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ , 2 0 ) / ( 1 c V t t − = . (6) Время t 0 называют собственным временем. Это время между двумя событиями, кото- рые наблюдатель видит в одной и той же точке пространства, то есть время, измеренное на- блюдателем, движущимся вместе с часами. Собственное время t 0 меньше времени измеренного неподвижным наблюдателем, для которого события происходят в разных точках пространства. Этот эффект называют замед- лением времени: с точки зрения неподвижного наблюдателя время в быстро движущемся от- носительно него космическом корабле течет медленнее (движущиеся относительно наблюда- теля часы идут медленнее, чем неподвижные). Но может быть этот эффект связан с особым устройством световых часов? Оказывает- ся это не так. Представим себе любые другие, например, механические часы, которые дви- жутся вместе со световыми. Предположим, что световые часы замедляются, а обычные нет. Тогда мы получили бы простой детектор абсолютного движения: если показания обоих ча- сов совпадают, то они покоятся, если световые часы отстают, то можно заключить, что они движутся. Поскольку замедление времени - это свойство самого времени, то замедляются все процессы, включая биологические. Получим теперь формулу (6) из преобразований Лоренца. Пусть в некоторой фикси- рованной точке x’ системы K’ протекает некоторый процесс (например, рождение и распад частицы) длительностью ' ' 1 2 0 t t t − = Δ (собственное время). Найдем длительность этого про- цесса 1 2 t t t − = Δ в K системе, относительно которой K’ система движется со скоростью V. Из преобразований Лоренца получим 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ' ' 1 ) ' ' ( ' ' β − − = β − − + − = − t t x x c V t t t t , или 2 0 1 β − Δ = Δ t t Получили формулу для замедления времени. Экспериментальное подтверждение эффекта замедления времени Мюон ( μ-мезон) -нестабильная заряженная частица. Образуется в космических лучах в верхних слоях атмосферы (на высоте примерно 10 км). Их скорость близка к скорости све- та. Измерив интенсивность потока этих частиц на разных высотах, определили их среднее время жизни (t = 10 мкс). Космические мюоны можно замедлить в свинцовом блоке и от- фильтровать медленные мюоны. Измерения показали, что время жизни медленного мюона 2,2 мкс. Согласие с формулой (6) хорошее. 7 После построения мощных ускорителей подобные опыты проводились с заряженны- ми частицами в более контролируемых условиях. Парадокс близнецов Из двух братьев близнецов A остается на Земле, а B отправляется в путешествие на межзвездном корабле, двигаясь со скоростью, близкой к скорости света. Через 5 лет по сво- им часам брат B возвращается обратно и находит брата B глубоким стариком. Оказалось, что за время путешествия по часам на Земле прошло 50 лет. Но с точки зрения брата A движется земной шар: он вместе с близнецом B «отчалива- ет» от космического корабля, путешествует и возвращается обратно. При таком рассмотре- нии в момент встречи теперь окажется более молодым брат B. Налицо противоречие. Ошибка в этих рассуждениях состоит в том, что СО, связанная с космическим кораб- лем, не является инерциальной (корабль сначала удаляется с ускорением, затем разворачива- ется и возвращается). Мы не имеем права в данном случае использовать результаты, относя- щиеся только к инерциальным СО. Детальный расчет, выходящий за рамки специальной теории относительности, показывает, что младше окажется близнец A, который стартовал на космическом корабле: кто больше путешествует, тот дольше живет! Сокращение длины Длина тела относительна, то есть зависит от того, в какой СО она измеряется. Пусть стержень покоится в СО K’. Его длина l 0 получается путем откладывания вдоль стержня еди- ничного масштаба (эталона длины), покоящегося относительно этого стержня. Длину l 0 на- зывают собственной длиной стержня. Если стержень движется относительно СО K, то описанная процедура измерения его длины не годится. Для определения длины стержня l в этом случае нужно отметить непод- вижными метками A и B положения концов движущегося стержня в рассматриваемой СО в один и тот же момент времени. Расстояние между этими неподвижными точками и будет, по определению, длиной движущегося стержня l. Длиной движущегося стержня в покоящейся СО называется расстояние между двумя точками в этой системе, мимо которых концы стержня проходят одновременно. Если взять другую СО, то, ввиду относительности одновременности, концы стержня пройдут в этой СО мимо точек A и B, вообще говоря, не одновременно. Роль A и B будут иг- рать другие точки A' и B' , неподвижные в новой СО. Расстояние между этими точками будет иным. Таким образом, как и промежутки времени, длины отрезков также относительны. Найдем длину движущегося вдоль оси x стрежня при помощи преобразований Лорен- ца. Пусть стержень покоится в СО K'. Тогда разность координат его концов в системе K' есть собственная длина l 0 . Разность же координат тех же концов x 2 - x 1 в "неподвижной" СО K, взятая в один и тот же момент времени t, будет длиной движущегося стержня l. Тогда из первой формулы преобразований Лоренца следует 2 2 1 2 1 2 1 2 0 1 1 ) ( ' ' β − = β − − − − = − = l t t V x x x x l Таким образом, длина l движущегося стержня оказывается меньше его собственной длины l 0 , и в разных системах отсчета она будет иметь свое значение. 8 Преобразование скорости Пусть в K-СО в плоскости x, y движется частица со скоростью x υr , проекции которой x υ и y υ . Найдем при помощи преобразований Лоренца проекции скорости этой частицы ' x υ и ' y υ в K’ системе, движущейся со скоростью V вдоль оси x: 2 2 2 1 / ' , ' , 1 ' β − − = = β − − = c Vdx dt dt dy dy Vdt dx dx Найдем отношения 2 2 ' / 1 / ' ' c V V c Vdx dt Vdt dx dt dx x x x υ − − υ = − − = = υ , (7) 2 2 2 2 / 1 1 / 1 ' ' ' c V c Vdx dt dy dt dy x y y υ − β − υ = − β − = = υ . (8) Эти формулы выражают релятивистский закон преобразования скорости. При малых скоро- стях ( c V << и c x << υ ) они переходят в формулы преобразования скорости ньютоновской механики V x x − υ = υ ' , y y υ = υ ' И, наконец, проверим непосредственно, что релятивистские формулы соответствуют утверждению второго постулата Эйнштейна относительно неизменности скорости света во всех инерциальных системах отсчета. Пусть вектор cr имеет в K-СО проекции x c и y c , то есть 2 2 2 y x c c c + = . Тогда в K’-СО получим 2 2 2 2 2 2 2 2 ) / 1 ( ) 1 )( ( ) ( ) ' ( c c V c c V c x x x = = υ − β − − + − = υ Предельные случаи 1. При медленных движениях, когда 1 / 1 ) / ( 2 2 << υ << c V и c V ( υ - скорость дви- жения тела), преобразования Лоренца, и формулы преобразования скорости, как и следовало ожидать, переходят в преобразования Галилея. 2. При β > 1 формулы преобразований дали бы мнимые значения для координат и времени. Поэтому нет смысла говорить о движении одной инерциальной СО относительно другой со скоростью V, превышающей скорость света. Отсюда следует, что скорость любого тела не может превышать c, так как с каждым телом можно связать СО. Интервал. Причинность. Преобразования Лоренца не сохраняют ни величину интервала времени, ни длину пространственного отрезка. Однако можно показать, что при преобразованиях Лоренца со- храняется величина 2 2 2 2 2 2 2 12 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( r t c z y x t c s r Δ − Δ = Δ − Δ − Δ − Δ = (9) где 12 s называется интервалом между событиями 1 и 2 ( 1 2 t t t − = Δ , 1 2 r r r r r r − = Δ ). 9 Если 0 2 12 > s , то интервал между событиями называют времениподобным, так как в этом случае существует инерциальная СО, в которой 0 = Δrr , т. е. события происходят в од- ном месте, но в разное время. Такие события могут быть причинно связанными. Если, наоборот, 0 2 12 < s , то интервал между событиями называют пространственнопо- добным. В этом случае существует инерциальная СО, в которой 0 = Δt , т.е. события проис- ходят одновременно в разных точках пространства. Между такими событиями не может су- ществовать причинной связи. Условие | | | | r t c r < Δ означает, что луч света, испущенный в мо- мент более раннего события (например, 1 t ) из точки 1 rr , не успевает достигнуть точки 2 rr к моменту времени 2 t События, отделенные от события 1 времениподобным интервалом, представляют по отношению к нему или абсолютное прошлое ( 0 1 2 < − t t ), или абсолютное будущее ( 0 1 2 > − t t ); порядок следования этих событий одинаковый во всех ИСО. Порядок следова- ния событий, отделенных пространственноподобным интервалом, может быть разным в раз- ных ИСО. События можно отображать в четырехмерной пространственно временной системе координат. Вместо времени удобно ввести величину, имеющую размерность длины ct = τ , ' ' ct = τ Тогда преобразования Лоренца можно записать в симметричном виде 2 1 ' β − βτ − = x x , y y = ' , z z = ' , 2 1 ' β − β − τ = τ x , (10) Пример 1. В инерциальной две частицы двигаются с одинаковыми скоростями υ на- встречу друг другу. В момент времени 2 1 t t = первая частица пролетает мимо метки A (собы- тие 1), а вторая – мимо метки B (событие 2). Расстояние между метками равно l . Определите а) время между событиями 1 и 2 в инерциальной K’-СО, которая движется вместе с первой частицей, б) интервал между событиями. Решение. 1) В K-СО: 0 = Δt , l x x x = − = Δ 1 2 2) В K’-СО: 2 2 ) / ( 1 ) / ( 1 ' c l c t x x υ − = υ − Δ υ − Δ = Δ , 2 2 2 2 ) / ( 1 ) / ( 1 / ' c c l c c x t t υ − υ − = υ − Δ υ − Δ = Δ Видно, что ' ' 1 2 t t < , следовательно, вторая частица «опередит» первую: она пересечет метку B раньше, чем первая пересечет метку A. Заметим, что интервал между событиями в обеих инерциальных системах отсчета одинаков: 2 2 2 2 ) ( ) ( l x t c s − = Δ − Δ = , 2 2 2 2 2 2 2 2 ) / ( 1 ) / ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( l c l l c x t c s − = υ − − υ = Δ − Δ = Квадрат интервала отрицательный, следовательно, он пространственноподобный. Поэтому события причинно не связаны и для разных наблюдателей их порядок следования может быть разным. |