дифференциалы. Тема Дифференциал функции. Производные и дифференциалы порядка Лектор Рожкова св
 Скачать 226.61 Kb.
|
|
2012 г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Дифференциал функции. Производные и дифференциалы порядка Лектор Рожкова СВ § § 6. 6. Дифференциал Дифференциал функции функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференци- руемой в точке x 0 , если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной относительно части и бесконечно малой более высокого порядка чем , те) = A ⋅ Δx + β ( Δx) где A – число, β ( Δx) – б.м. более высокого порядка чем Слагаемое A ⋅ Δx в выражении (1) (те. линейную относительно часть Δf(x 0 )) называют дифференциалом функции = f(x) в точке и обозначают dy(x 0 ) , df(x 0 ) . ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференцируемости с существованием производной. Функция y = f(x) дифференцируема в точке x 0 ⇔ она имеет в точке производную. При этом для ее дифференциала в точке справедливо равенство) = f ′(x 0 ) ⋅ Δx . (2) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Очевидно, что соответствие (x 0 ; Δx) → df(x 0 ) является функцией (двух переменных. Ее называют дифференциалом функции y = и обозначают , df(x) Замечание. Из теоремы 1 следует, что нахождение производной и дифференциала функции представляет собой по существу одну и туже задачу. Поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференци- руемой на интервале если она дифференцируема те. имеет производную) в каждой точке этого интервала. Функция y = f(x) называется дифференцируемой на отрезке если она дифференцируема на интервале (a;b) и имеет соответствующие односторонние производные в точках a и b. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке Тогда в функция f(x) имеет производную f ′(x 0 ) . ⇒ в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) ∃ касательная к кривой y = Таким образом, дифференциал функции y = f(x) в точке равен приращению ординаты точки на касательной к кривой = f(x), которое соответствует приращению ПРИМЕРЫ. Найти дифференциалы функций 1) y = x 3 ; 2) y = x . Замечания. 1) Так как для дифференциала функции y = x справедливо = dx = Δx то говорят дифференциал независимой переменной равен ее приращению». Учитывая этот факт, формулу (2) можно переписать в виде = f ′(x) ⋅ dx . (3) 2) Из формулы (3) получаем, что производная y ′ = f ′(x) является отношением х дифференциалов: Таким образом, символическая дробь превратилась в реальную дробь 2. Свойства дифференциалов Из теоремы 1 и правил дифференцирования получаем, что справедливы следующие утверждения) Дифференциал константы равна нулю, те) = 0 , где C – константа) Дифференциал суммы разности) равна сумме разности) дифференциалов, те. d(u ± v) = du ± dv . 3) Дифференциал произведения находится по правилу v) = du ⋅ v + u ⋅ dv . 4) d(C ⋅ u) = C ⋅ du , где C – константа. Говорят константа выносится за знак дифференциала) Дифференциал дроби находится по правилу Рассмотрим дифференциал сложной функции y = f( ϕ(t)) . Пусть функция x = ϕ(t) дифференцируема в точке t, функция y = f(x) дифференцируема в точке x = ϕ(t). Тогда производные x ′ (t) и f ′ (x) и сложная функция = f( ϕ(t)) имеет производную в точке t , причем (t) = [f(ϕ(t))] ′ = f ′ (x) ⋅ x ′ (Следовательно, функция y = f( ϕ(t)) дифференцируема в точке и ее дифференциал в этой точке равен) = y ′ (t) ⋅ dt , ⇒ dy(t) = f ′ (x) ⋅ x ′ (t)dt , ⇒ dy = f ′ (x) ⋅ dx . (4) , ) ( ) ( ) ( 3 2 1 dx dt t x x f t dy ′ ⋅ ′ = ⇒ Сравним формулы (3) и (4): (3): dy = f ′ (x) ⋅ dx , где x – независимая переменная dy = f ′ (x) ⋅ dx , где x = ϕ(t) – функция. Таким образом, формула (3) справедлива вне зависимости оттого, является ли x независимым аргументом или функцией. Поэтому формулу (3) называют инвариантной формой записи дифференциала Замечание. Формула = f ′(x) ⋅ не является инвариантной. Действительно, для сложной функции y = f( ϕ(t)) имеем) = y ′ (t) ⋅ Δt = f ′(x) ⋅ x ′ (t) ⋅ Δt Но x ′ (t) ⋅ Δt ≠ Δx , т.к. Δx = dx + β ( Δt) = x ′ (t) ⋅ Δt + β ( Δt) . § § 7. 7. Производные Производные и и дифференциалы дифференциалы высших высших порядков порядков 1. Производные высших порядков Пусть y = f(x) дифференцируема на множестве X 1 ⊆D(f) . Тогда на определена f ′(x). Функцию f ′(x) называют также первой производной функции f(x) (или производной первого порядка функции f(x) ). Если f ′(x) дифференцируема на некотором множестве X 2 ⊆X 1 , то) ′ называют второй производной функции y = f(x) (или производной второго порядка функции f(x) ) и обозначают Замечание. Значение второй производной функции f(x) в точке x 0 обозначают , , 2 2 dx y d y ′′ ), ( 2 2 dx f d x f ′′ , ) ( ), ( 2 0 2 0 dx x y d x y ′′ ) ( ), ( 2 0 2 0 dx x f d x f ′′ Если f ′′(x) тоже дифференцируема на некотором множестве, то ее производную (f ′′(x)) ′ называют третьей производной функции = f(x) (или производной третьего порядка функции f(x) ). Продолжая этот процесс, назовем n-й производной функции = ее производную от производной порядка n – 1. Обозначают третья производная y = f(x); – четвертая производная y = f(x); – я производная y = f(x). 3 3 3 3 , ) ( , , dx f d x f dx y d y ′′ ′ ′′ ′ 4 4 ) 4 ( 4 4 ) 4 ( , ) ( , , dx f d x f dx y d y n n n n n n dx f d x f dx y d y , ) ( , , ) ( ) ( Производные порядка n > 1 называют производными высших порядков. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ второй производной. Если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t , то S ′ (t 0 ) – скорость в момент времени t 0 , S ′′ (t 0 ) – ускорение в момент времени скорость изменения скорости) Справедливы следующие утверждения) (C ⋅ u) (n) = C ⋅ u (n) , где C – константа. Говорят константа выносится за знак й производной) Производная го порядка суммы разности) функций равна сумме разности) х производных слагаемых, те v) (n) = u (n) ± v (n) 3) я производная произведения находится по формуле: где u (0) = u, v (0) = v. Формула (1) называется формулой Лейбница 2. Дифференциалы высших порядков Пусть y = f(x) дифференцируема на множестве X 1 ⊆D(f) . Дифференциал dy = f ′(x) ⋅ dx – функция двух переменных x и = Δx. Зафиксируем значение dx. Тогда dy станет функцией одной переменной x. Дифференциал функции dy(x) (если он существует) называется дифференциалом второго порядка функции y = f(x) (или вторым дифференциалом функции y = f(x) ) и обозначается, d 2 f(x). d 2 y – функция переменной x. Дифференциал функции d 2 y если он существует) называют дифференциалом третьего порядка функции y = f(x) (или третьим дифференциалом функции y = f(x) ) и обозначается, d 3 f(x). Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка функции y = как дифференциал от дифференциала порядка n – 1. Обозначают d n y, Замечание. Значение дифференциала го порядка функции f(x) в точке обозначают d n y(x 0 ), d n f(x 0 ) Дифференциалы порядка n > 1 называют дифференциалами высших порядков. Если функция имеет дифференциал порядка n, то ее называют n раз дифференцируемой. ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференциала го порядка и й производной. Функция y = f(x) n раз дифференцируема в точке x 0 ⇔ она имеет в точке производную порядка n. При этом для) справедливо равенство) = f (n) (x 0 ) ⋅ (dx) n (2) Замечания) Скобки в правой части формулы (2) обычно опускают, те. записывают ее в виде) = f (n) (x 0 ) ⋅ dx n (3) 2) Из формулы (3) получаем, что я производная y (n) = f (n) (x) является отношением х дифференциалов: Таким образом, символическая дробь превратилась в реальную дробь) Дифференциалы порядка n (n > 1) не обладают свойством инвариантности. Те. формула (3) не будет верной, если x функция |