Вариант 32. Тема Элементы комбинаторики сочетания, размещения, перестановки Сколькими различными способами можно заполнить карточку Спортлото

• Название: Тема Элементы комбинаторики сочетания, размещения, перестановки Сколькими различными способами можно заполнить карточку Спортлото
• Дата: 02.04.2021
• Размер: 1.07 Mb.
• Имя файла: Вариант 32.doc
• Тип: Задача; #190627

Тема 1. Элементы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки

Сколькими различными способами можно заполнить карточку «Спортлото», если для её заполнения требуется отметить 6 видов спорта из перечисленных в карточке 49 видов?

Решение:

Число различных способов, которыми можно заполнить карточку «Спортлото», если для её заполнения требуется отметить 6 видов спорта из перечисленных в карточке 49 видов, равно



Ответ:
Тема 2. Понятие случайного события.

Классическое определение вероятности события

Задача 1) В магазин поступило 12 компьютеров, среди которых три имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что выбранный наудачу компьютер не имеет скрытых дефектов.

Решение:

Вероятность того, что выбранный наудачу компьютер не имеет скрытых дефектов, равна

,

где - число всех исходов (число способов выбрать 1 из 12 компьютеров); - число благоприятных исходов (число способов выбрать 1 из 9 компьютеров, не имеющих скрытых дефектов).



Ответ: р = 0,75.
Задача 2) В коробке 25 одинаковых по форме шоколадных конфет. Известно, что 15 штук из них сорта «Мишка на Севере», а остальные — сорта «Красная Шапочка». Случайным образом выбирают 3 конфеты. Вычислите вероятность того, что среди них: а). Все конфеты сорта «Мишка на Севере»; б). Только одна конфета этого сорта.

Решение:

а) Вероятность того, что среди выбранных 3 конфет все конфеты сорта «Мишка на Севере», равна

,

где - число всех исходов (число способов выбрать 3 из 25 конфет); - число благоприятных исходов (число способов выбрать 3 из 15 конфет сорта «Мишка на Севере»).



б) Вероятность того, что среди выбранных 3 конфет только одна конфета сорта «Мишка на Севере», равна

,

где - число благоприятных исходов (число способов выбрать 2 из 10 конфет сорта «Красная Шапочка и 1 из 15 конфет сорта «Мишка на Севере»).



Ответ: а) б)

Тема 3. Операции над событиями. Условная вероятность.

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Из урны, в которой находятся 7 черных и 8 белых шаров, вынимают наугад три шара. Найти вероятность того, что они будут одного цвета.

Решение:

Вероятность того, что вынутые наугад три шара будут одного цвета, равна

,

где - число всех исходов (число способов выбрать 3 из 15 шаров); - число благоприятных исходов (число способов выбрать 3 из 7 черных шаров или 3 из 8 белых шаров).



Ответ:

Тема 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

На базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов. Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и 0,95, если на втором. Найти вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного срока.

Решение:

Обозначим через событие А - наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного срока.

Введем следующие гипотезы:

Н₁ - изделие поступило с 1-го завода;

Н₂ - изделие поступило со 2-го завода.

По условию, на базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов, поэтому вероятности гипотез равны:

Р(Н₁) = Р(Н₂) = 0,50.

Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного срока, равна Р(А/Н₁) = 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и Р(А/Н₂) = 0,95, если на втором.

По формуле полной вероятности вероятность события А равна:



Ответ:

Тема 5. Формула Бернулли. Теорема Пуассона.

Локальная и интегральные теоремы Лапласа.

Стрелок четыре раза стреляет по мишени. Считая, что вероятность попадания при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна 0,8, найти вероятность того, что стрелок попал в мишень: а) два раза; б) не более трёх раз; в) хотя бы один раз; г) один раз.

Решение:

Вероятность того, что стрелок попал в мишень:

а) два раза:

, (формула Бернулли)

где n = 4 – число испытаний; k = 2 – число благоприятных исходов; р = 0,8 – вероятность попадания при одном выстреле; q = 1-р = 0,2;



б) не более трёх раз:



в) хотя бы один раз:



г) один раз:



Ответ: а) б) в) г)

Тема 6. Дискретная случайная величина. Функция и характеристики ее распределения

Задан закон распределения ДСВ X(см. ниже варианты заданий).

Найти:

а) неизвестную вероятность р;

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение  случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить её график;

г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = f(x).

xi	-2	-1	0	1	2	3	4
pi	0,04	0,08	0,3	0,3	0,1	0,08	p

y = x²– 1

Решение:

а) Неизвестную вероятность р найдем из условия:



б) Математическое ожидание:

Дисперсия:



Среднее квадратическое отклонение:



в) Функция распределения:





г) Закон распределения случайной величины Y:

y = x²– 1

х	-2	-1	0	1	2	3	4
y	3	0	-1	0	3	8	15
р	0,04	0,08	0,3	0,3	0,1	0,08	0,10

y	-1	0	3	8	15
р	0,3	0,38	0,14	0,08	0,10

Тема 7.

НСВ Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M_x = 14 и средним квадратичным отклонением σ_x= 3. Найти:

1. 
   вероятность попадания СВ Х в интервал (a; b): P(a< X < b);
   
2. 
   вероятность P(X < (a+ b)/2);
   
3. 
   сформулировать «правило трёх сигм»;
   
4. 
   написать выражения для функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) и построить их графики;
   
5. 
   на графиках указать полученные вероятности из пунктов 1 и 2;
   
6. 
   найти квантиль x_0,7 и 20%-ю точку.
   

а = 10; b = 15.

Решение:

1. 
   Вероятность попадания СВ Х в интервал (a; b):
   

P(a< X < b) =

где - функция Лапласа.

P(10<X<15)=

2. 
   Вероятность P(X < (a+ b)/2):
   

P(X < (a+ b)/2) = P(X < 12,5) =

3. 
   Сформулируем «правило трёх сигм»:
   

т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

4. 
   Напишем выражения для функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) и построим их графики:
   

;

5. 
   На графиках укажем полученные вероятности из пунктов 1 и 2:
   

6. 
   Найдем квантиль x_0,7 и 20%-ю точку:
   

20%-я точка это квантиль x_0,8:



Тема 8.

Задача 1.ВыборкаX объёмом N= 100 измерений задана таблицей:

xi	0,2	0,5	0,8	1,1	1,4	1,7	2,0
	5	13	22	28	19	10	3

где x_i – результаты измерений, – частоты, с которыми встречаются значения x_i, =100, x_i = 0,2 ∙ l + (i – 1) ∙ 0,3 ∙ k.

Требуется:

1. Построить полигон относительных частот .

2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D_xи среднее квадратическое отклонение σ_x.

3. По критерию χ² проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05.

l-1, k-1

Решение:

1. Построим полигон относительных частот :

xi	0,2	0,5	0,8	1,1	1,4	1,7	2,0
	0,05	0,13	0,22	0,28	0,19	0,10	0,03

2. Вычислим среднее выборочное , выборочную дисперсию D_xи среднее квадратическое отклонение σ_x.

Для расчетов и D_xпереходим к условным значениям и, взяв за ложный нуль c_x значение с наибольшей частотой, использовав суммы

c_x = 1,1 (при этом значении наибольшая частота – 28)




3. По критерию проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости α = 0,05.

Вычислим теоретические частоты:





Составим расчетную таблицу:

0,2	-2,0014	0,0538	3,78
0,5	-1,2992	0,1716	12,05
0,8	-0,5969	0,3339	23,45
1,1	0,1053	0,3968	27,87
1,4	0,8076	0,2880	20,22
1,7	1,5098	0,1276	8,96
2	2,2121	0,0345	2,43

Сравним эмпирические и теоретические частоты

5	3,78	1,4884	0,3938
13	12,05	0,9025	0,0749
22	23,45	2,1025	0,0897
28	27,87	0,0169	0,0006
19	20,22	1,4884	0,0736
10	8,96	1,0816	0,1207
3	2,43	0,3249	0,1337

По таблице критических точек распределения _{ } по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=s-3=7-3=4 находим критическую точку правосторонней критической области



Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем. Эмпирические и теоретические частоты отличаются незначимо.

Задача 2.

Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков x и yобъёмом N= 100 измерений задана корреляционной таблицей (в теле таблицы значения m_ij – количество раз, когда встретились пары чисел (x, y)):

	y1	y2	y3	y4	y5
x1	2	3	-	-	-	5
x2	3	8	2	-	-	13
x3	-	9	13	-	-	22
x4	-	-	15	13	-	28
x5	-	-	9	10	-	19
x6	-	-	3	6	1	10
x7	-	-	-	1	2	3
	5	20	42	30	3	N = 100

где x_i = 0,2 · l+ (i – 1) · 0,3 · k,

y_j= 0,5 · l+ (j – 1) · 0,2 · k.

Требуется:

1. Найти и σ_y для выборки

yj	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3
	5	20	42	30	3

2. Построить уравнение прямой регрессии Y на X в виде ;

3. На графике изобразить корреляционное поле, то есть нанести точки

(x_i,y_j) и построить прямую .

Решение.

1. Найдем и σ_y для выборки.

c_y = 0,9 (при этом значении наибольшая частота – 42)




2. Построим уравнение прямой регрессии Y на Xввиде у_х= ах + b, и _хследует взять из задачи 1.



Выборочный коэффициент корреляции, который определяется по формуле:

,

где .

	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3
0,2	2	3	-	-	-	5
0,5	3	8	2	-	-	13
0,8	-	9	13	-	-	22
1,1	-	-	15	13	-	28
1,4	-	-	9	10	-	19
1,7	-	-	3	6	1	10
2	-	-	-	1	2	3
	5	20	42	30	3	N = 100