физика сро 14. Тема Сложение колебаний Методы сложения колебаний Сложение одинаково направленных колебаний
 Скачать 0.52 Mb.
|
|
Тема 2. Сложение колебаний 1. Методы сложения колебаний 2. Сложение одинаково направленных колебаний • сложение одинаково направленных колебаний с равны- ми периодами • сложение одинаково направленных колебаний с близки- ми периодами. Биения • сложение одинаково направленных колебаний с крат- ными периодами 3. Сложение перпендикулярных колебаний • сложение перпендикулярных колебаний с равными пе- риодами • сложение перпендикулярных колебаний с кратными пе- риодами. Фигуры Лиссажу. 4. Сложное колебание и его гармонический спектр 1. Методы сложения колебаний Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующего колебания системы, участвующей одновременно в нескольких колебаниях. Раз- личают два случая сложения колебаний: сложение одинаково направленных колебаний и сложение перпендикулярных колебаний. Методы сложения коле- баний можно условно разделить на: векторный, аналитический и графический. Векторный метод сложения колебаний основан на векторном пред- ставлении колебаний (метод векторных диаграмм). Гармоническое колебание ( ) 0 cos ϕ ω + = t A x удобно представить с помощью векторной диаграммы. Векторным способом можно сложить несколько колебаний: векторная диаграмма гармониче- ского колебания ( ) 0 cos ϕ ω + = t A x Сложение двух колебаний ме- тодом векторных диаграмм 2 Аналитический метод сложения колебаний сводится к нахождению аналитического уравнения, определяющего результирующее колебание, полу- чающееся в результате сложения колебаний. Например, складываются два ко- лебания ( ) 01 1 1 1 cos ϕ ω + = t A x и ( ) 2 0 2 2 2 cos ϕ ω + = t A x . Результирующее колеба- ние равно их сумме ( ) ( ) 02 2 2 01 1 1 2 1 cos cos ϕ ϕ + + + = + = t ω A t ω A x x x . Чтобы найти уравнение результирующего колебания необходимо прибегнуть к тригономет- рическим преобразованиям. Графический метод сложения колебаний основан на сложении графи- ков зависимостей ) ( 1 t f x = и ) ( 2 t f x = . Пример такого графического сложения колебаний приве- ден на рисунке. 2. Сложение одинаково направленных колебаний Материальная точка (колебательная система) может одновременно участ- вовать в нескольких колебаниях, направленных одинаково. Необходимо найти уравнение и траекторию результирующего движения – следует сложить коле- бания. Наиболее просто выполняется сложение двух гармонических колебаний. Механической моделью системы, участвующей в двух одинаково направленных колебаниях может служить тело, прикрепленное к двум пружинам, как показано на рисунке. То- гда, тело участвует одновременно в колебании ( ) 01 1 1 1 cos ϕ ω + = t A x и в колебании ( ) 02 2 2 2 cos ϕ ω + = t A x . Урав- нение результирующего колебания ( ) ( ) 02 2 2 01 1 1 2 1 cos cos ϕ ω ϕ ω + + + = + = t A t A x x x • сложение одинаково направленных коле- баний с равными периодами Пусть точка участвует в двух одинако- во направленных колебаниях с равными пе- риодами 2 1 T T = или ω ω ω = = 2 1 . Тогда уравнения колебаний ( ) 1 1 1 cos ϕ ω + = t A x и ( ) 2 2 2 cos ϕ ω + = t A x , а результирующее ко- лебание ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 cos cos ϕ ω ϕ ω + + + = + = t A t A x x x Два колебания называются когерентными , если они согласованно протекают во вре- m k 1 k 2 x 3 мени, так что их разность фаз остается постоянной. Следовательно, два колеба- ния с равными периодами 2 1 T T = или ω ω ω = = 2 1 , для которых const φ φ 1 2 = − - называются когерентными. Воспользуемся методом векторных диаграмм и выполним сложение век- торов 1 А и 2 А . Поскольку проекция суммы векторов 2 1 А А А + = равна сумме проекций, то проекция вектора А равна сумме проекций x 1 и x 2 векторов 1 А и 2 А . Поэтому результирующее колебание 2 1 x x x + = будет совершаться с ча- стотой ω и амплитудой А, т.е. по закону ( ) ϕ ω + = t A x cos . Амплитуду результирующего колебания определяем по теореме косину- сов: ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 cos 2 ϕ − ϕ + + = A A A A A Для начальной фазы результирующего колебания, как видно из рисунка, получим: 2 2 1 1 2 2 1 1 cos cos sin sin tg φ + φ φ + φ = φ A A A A Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Проанализируем полученные выражения. Амплитуду результирующего колебания определили по теореме косину- сов: ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 cos 2 ϕ − ϕ + + = A A A A A . Амплитуда А результирующего колеба- ния зависит от разности начальных фаз 1 2 φ φ − . Возможные значения А лежат в диапазоне 1 2 1 2 | | A A A A A + ≤ ≤ − (амплитуда не может быть отрицательной). Если разность фаз складываемых колебаний равна нулю или четному числу π, то есть n π = φ − φ 2 1 2 , где , 3 , 2 , 1 , 0 ± ± ± = n . Тогда 1 ) cos( 1 2 = φ − φ и 2 1 A A A + = , так как ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 A A A A A A A A A + = + = + + = , т.е. ам- плитуда результирующего колебания А равна сум- ме амплитуд складываемых колебаний (колебания синфазны). Если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π, то есть ) 1 2 ( 1 2 + π = φ − φ n , где , 3 , 2 , 1 , 0 ± ± ± = n . То- гда 1 ) cos( 1 2 − = φ − φ . Отсюда 1 2 A A A − = Тогда амплитуда результирующего колебания А равная разности амплитуд складываемых колебаний (колебания в противофазе). Если разность фаз складываемых колеба- ний изменяется во времени произвольным образом: 4 [ ] φ + ω = φ + ω = ) ( cos )] ( cos[ 2 2 2 2 1 1 1 1 t t A x t t A x То амплитуда результирующего колебания будет изменяться в соответ- ствии с величиной ) cos( 1 2 φ − φ и результирующее колебание не будет гармони- ческим. • сложение одинаково направленных колебаний с близки- ми периодами. Биения Пусть точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях с близкими периодами T T T ∆ + = 1 2 или ω ω ω ∆ + = 1 2 , причем 1 ω ω << ∆ . Тогда уравнения колебаний ( ) 1 1 1 1 cos ϕ + ω = t A x и ( ) 2 2 2 2 cos ϕ + ω = t A x , а ре- зультирующее колебание ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 1 cos cos ϕ + ω + ϕ + ω = + = t A t A x x x Воспользуемся методом векторных диаграмм и определим амплитуду ре- зультирующего колебания. Для наглядности положим, что φ 1 =φ 2 =0. Тогда уравнения складываемых колебаний имеют вид: ( ) t A x 1 1 1 cos ω = и ( ) t A x 2 2 2 cos ω = . Изобразим эти колеба- ния на векторной диаграмме в момент времени t. Тогда для этого момента времени результирующая амплитуда по теореме косинусов равна: ( ) t t A A A A A 1 2 2 1 2 2 2 1 cos 2 ω − ω + + = . Из полученного выражения, очевидно, что амплитуда результирующего колебания зависит от времени, т.е. const t f A ≠ = ) ( , следовательно, результирующее колебание не гармоническое. Представляет интерес выяснить закон изменения амплитуды результиру- ющего колебания со временем. Для этого рассмотрим частный случай, когда 0 2 1 A A A = = , тогда ( ) ( ) t A t A t t A A A A A 2 cos 2 ] cos 1 [ 2 cos 2 1 2 0 1 2 2 0 1 2 2 1 2 2 2 1 ω − ω = ω − ω + = ω − ω + + = , учитывая, что ω ∆ + ω = ω 1 2 , можно записать t A A 2 cos 2 0 ω ∆ = - амплитуда ре- зультирующего колебания изменяется со временем по закону косинуса. Перио- дические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями. Сле- довательно, амплитуда биений изменяется со временем по закону t A A A б 2 cos 2 0 ω ∆ = = Можно определить период изменения результирующей амплитуды (период биений): ω ∆ π = ω ∆ π = 4 2 2 б T 5 Определим теперь уравнение результирующего колебания, получающе- гося в результате сложения одинаково направленных колебаний с близкими пе- риодами. Воспользуемся аналитическим методом сложения колебаний. Для упрощения тригонометрических преобразований, рассмотрим частный случай, пусть складываются колебания ( ) t A x ω = cos 0 1 и ( ) t A x ω ∆ + ω = cos 0 2 , то- гда результирующее колебание ( ) t A t A x x x ω ∆ + ω + ω = + = cos cos 0 0 2 1 , после не- больших тригонометрических преобразований, получим: ( ) [ ] t t A t t A x ср ω ⋅ ω ∆ = ω ∆ + ω + ω = cos 2 cos 2 cos cos 0 0 , где ω ≈ ω ∆ + ω + ω = ω 2 ср . Ес- ли учесть ранее полученное выражение для амплитуды результирующего коле- бания t A A A б 2 cos 2 0 ω ∆ = = , то уравнение результирующего колебания можно записать t t A x ω = cos ) ( - данное колебание периодическое, но не гармониче- ское. Особенность этого колебания в том, что его амплитуда периодически из- меняется со временем. • сложение одинаково направленных колебаний с крат- ными периодами Пусть точка участвует в двух одинаково направленных колебаниях с кратными периодами 1 2 nT T = или 1 2 ω = ω n ,где n=2,3.4,….. Тогда уравнения колебаний ( ) 1 1 1 1 cos ϕ + ω = t A x и ( ) 2 2 2 2 cos ϕ + ω = t A x , а результирующее коле- бание ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 1 cos cos ϕ + ω + ϕ + ω = + = t A t A x x x Сложить такие колебания векторным методом или аналитически довольно проблематично, поэтому чаще всего используется графический способ. Например, сложим аналитически два колебания, частоты которых отли- чаются в 2 раза 1 2 2 ω = ω , а амплитуды одинаковы 0 2 1 A A A = = . Тогда ( ) ( ) ϕ + ϕ + ω ϕ − ϕ + ω = ϕ + ω + ϕ + ω = 2 2 3 cos 2 2 cos 2 2 cos cos 1 1 2 0 2 1 0 1 1 0 t t A t A t A x Из анализа полученного выражения можно сделать вывод, что результирующее колебание не гармоническое, однако это периодическое колебание. Пример та- 6 кого колебания, получающегося в результате сложения одинаково направлен- ных колебаний с кратными периодами, приведен на рисунке. 5. Сложение перпендикулярных колебаний Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях одно направлено по оси OХ, другое по оси OY. Колебания описываются урав- нениями ( ) 1 1 1 cos ϕ + ω = t A x и ( ) 2 2 2 cos ϕ + ω = t A y Результи- рующее колебание равно сумме колебаний по оси ОХ и оси OY. Механической моделью системы, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях может слу- жить тело, прикрепленное к двум пружинам, как показано на рисунке. Такая система представляет собой двумерный осциллятор, который описывается уравнениями ( ) 1 1 1 cos ϕ + ω = t A x и ( ) 2 2 2 cos ϕ + ω = t A y • сложение перпендикулярных колебаний с равными пе- риодами Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях одно направлено по оси OХ, другое по оси OY. Периоды колебаний ω 1 =ω 2 =ω равны. Колебания описываются уравнениями ( ) 1 1 cos ϕ + ω = t A x и ( ) 2 2 cos ϕ + ω = t A y . результирующее колебание равно сумме колебаний по оси ОХ и оси OY. Сложим колебания аналитическим методом. Для упрощения решения вы- берем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна 0. Тогда φ– разность (сдвиг) фаз складываемых колебаний. Для по- лучения траектории движения материальной точки решим два уравнения сов- местно, исключая время. Кроме того воспользуемся тригонометрическими пре- образованиями в виде β α − β α = β + α sin sin cos cos ) cos( : m k 1 k 2 x y 7 t A x ω = cos 1 ; ϕ ⋅ ω − ϕ ⋅ ω sin sin cos cos 2 t t A y ; 2 1 2 1 sin A x t − = ω После несложных преобразований получим уравнение траекто- рии результирующего движения: ϕ = ϕ − + 2 2 1 2 2 2 2 1 2 sin cos 2 A A xy A y A x . Траектория результирующего движе- ния представляет собой в общем случае эллипс. Колебания, описыва- емые подобным уравнением, называют эллиптически поляризован- ными. Проанализируем полученное выражение ϕ = ϕ − + 2 2 1 2 2 2 2 1 2 sin cos 2 A A xy A y A x Рассмотрим некоторые частные случаи. 1. Пусть φ=nπ (n=0,±1,±2,±3,….). В этом случае эллипс вырождается в от- резок прямой x A A y 1 2 ± = , где знак «плюс» соответствует четным, а знак «минус» - нечетным значениям числа n. Результирующее движение является линейным гармоническим колебанием с частотой ω и амплитудой 2 2 2 1 A A A + = . Колеба- ния такого типа часто называют линейно-поляризованными. 2. Пусть φ=(2n+1)π/2 (n=0,±1,±2,±3,….). Уравнение ϕ = ϕ − + 2 2 1 2 2 2 2 1 2 sin cos 2 A A xy A y A x примет вид 1 2 2 2 2 1 2 = + A y A x . Это уравнение эллип- са, оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны со- ответствующим амплитудам (эллиптически поляризованные колеба- ния). Если 2 1 А А = , то эллипс вырождается в окружность. Такие коле- бания называют колебаниями, поляризованными по кругу. • сложение перпендикулярных колебаний с кратными пери- одами. Фигуры Лиссажу. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях одно направлено по оси OХ, другое по оси OY. Колебания описываются урав- 8 нениями ( ) 1 1 1 cos ϕ + ω = t A x и ( ) 2 2 2 cos ϕ + ω = t A y . результирующее колебание равно сумме колебаний по оси ОХ и оси OY. Если частоты двух складываемых колебаний не одинаковы, но кратны друг другу ( t m A x ω = cos 1 , а ) cos( 2 ϕ + ω = t n A y ), то траектория результирующего движения имеет в общем случае вид достаточно сложных замкнутых кривых, которые называют фигура- ми Лиссажу. Приведем пример простейшей замкнутой кривой (фигура Лис- сажу), получающаяся при сложении перпендикулярных колебаний с частотами ω 1 = ω , a ω 2 =2 ω . Для простоты примем φ=0. Тогда складываются два перпен- дикулярных колебания: t A x ω = cos 1 t A y ω = 2 cos 2 . После несложных преобразований, получим: t A x ω = cos 1 ; 1 2 1 cos 2 2 cos 2 1 2 2 2 − = − ω = ω A x t t A y Или 2 2 2 1 2 2 A x A A y − = - уравнение параболы. Таким образом, траектория движения материальной точки, участвующей в двух взаимно перпендикуляр- ных колебаниях – парабола, график которой приведен на рисунке. Если складывать колебаний t A x ω = cos 1 ) 2 2 cos( 2 π + ω = t A y , то фигура имеет вид «восьмерки». Если частоты взаимно пер- пендикулярных колебаний не одина- ковы, то траектория результирующе- го движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигу- рами Лиссажу по имени французско- го физика Жюля Лиссажу (1822- 1880), занимавшегося изучением ко- лебаний. Им разработан в 1855 году метод исследования сложных коле- баний при помощи фигур Лиссажу. Примеры различных фигур Лис- 9 сажу. 6. Сложное колебание и его гармонический спектр Сложение колебаний приводит к более сложным формам движения. Для практических целей бывает необходимо противоположное действие: разложе- ние сложного колебания на простые, обычно гармонические колебания. Французский ученый Ж. Фурье (1768-1830) показал, что периодическая функция любой сложности может быть представлена в виде суммы гармониче- ских функций. Такое разложение периодической функции на гармонические и, следовательно, разложение различных периодических процессов на гармониче- ские колебания называется гармоническим анализом или разложением в ряд Фурье. Сложное периодическое движение можно представить в виде суммы про- стых гармонических колебаний с циклическими частотами . кратными основ- ной циклической частоте ω: ( ) ( ) ∑ ∑ ∞ = ∞ = ϕ + ω + = ω + ω + = 1 1 0 0 sin 2 sin cos 2 ) ( n n n n n n t n A A t n B t n A A t f Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебанияам с ча- стотами ω, 2ω, 3ω и т.д. называются первой(основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания. Совокупность этих гармо- ник образует спектр колебания. Состав спектра зависит от вида функции, опи- сывающей сложное колебание. Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания. Гармо- нический спектр удобно представлять как набор частот (или круговых частот) отдельных гармоник совместно с соответствующими им амплитудами. Перио- дические колебания имеют дискретный (линейчатый) спектр частот. Неперио- дические колебания, как правило, имеют непрерывный (сплошной) спектр ча- стот. Рисунок 1. Пример сложения колебаний Рисунок 2. На рисунке представлено сложное колебание и его гармониче- ский спектр. 10 |