ТМС смысл умножения, деления. Теорема. Если о 1, то произведение чисел а и
 Скачать 81.19 Kb.
|
|
Теорема. Если о > 1, то произведение чисел а и b равно сумме b слагаемых, каждое из которых равно а. Доказательство. Обозначим сумму b слагаемых, каждое из которых равно а, через а ▫ b. И, кроме того, положим, что а ▫ 1 = а. Тогда выражение а°(b + 1) будет означать, что рассматривается сумма b + 1 слагаемого, каждое из которых равно а, т.е. а ▫( b + 1) = а + а + ... Определение. Если а, b - целые неотрицательные числа, то произведением а ⋅ b называется число, удовлетворяющее следующим условиям: 1) а ⋅ b = а + а + ... + а + а, если b > 1; b слаг. а⋅ b = а, если b = 1; а⋅ b = 0, если b = 0. Теорема 5. Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство: n(АхВ)= п(А)⋅ п(В). Законы умножения Докажем законы умножения, исходя из определения произведения через декартово произведение множеств. Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел а и b справедливо равенство а  b=b а.Пусть а=п(А), b=п(В). Тогда по определению произведения а b=п (АХВ). Но множества АХВ и ВХА равномощны: каждой паре (а, b) из множества АХВ можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества ВХА, и наоборот. Значит, п(АХВ)=п (ВХА),и поэтому а b=n(АХВ)=п(ВХА)= b • а.Сочетательный закон: для любых целых неотрицательных чисел а, b, с справедливо равенство (а b) с = а • (b с).Пусть а = n(A), b= п(В), с = п(С). Тогда по определению произведения (а b) с=п((АХВ)ХС), а а (b с)= п(АХ(ВХС)). Множества (АХВ)ХС и АХ(ВХС) различны: первое состоит из пар вида ((а, b), с), а второе — из пар вида (а, (b, с)), где а A, b B, с С. Но множества (АХВ)ХС и AХ(ВХС) равномощны, так как существует взаимно однозначное отображение одного множества на другое. Поэтому п((АХВ)ХС) = п (AХ(ВХС)), и, значит, (а b) с = а (b c).Распределительный закон умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чисел а, b, с справедливо равенство (a+b) с = ас+bс.Этот закон выводится из равенства  Пусть  . Тогда по определению произведения имеем Откуда на основании равенства (*) получаем  Далее по определению суммы и произведения  = п(АXС) + п (В X С) = ас + bс.Распределительный закон умножения относительно вычитания: для любых целых неотрицательных чисел а, b и с и  справедливо равенство (а - b)с =ас - bс.Этот закон выводится из равенства  и доказывается аналогично предыдущему.Переместительный и сочетательный законы умножения можно распространить на любое число множителей. Как и при сложении, эти законы часто используются совместно, т. е. произведение нескольких множителей не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки. Распределительные законы устанавливают связь умножения со сложением и вычитанием. На основе этих законов происходит раскрытие скобок в выражениях типа (а+b)с и (a — b)c, а также вынесение множителя за скобки, если выражение имеет вид ас — bс или ас + bс. Деление Рассмотрим задачу, которую решают младшие школьники. Приступая к изучению действия деления: «8 апельсинов разложили [на тарелки, по 2 апельсина на каждую. Сколько раз по 2 апельсина положили? Сколько тарелок потребовалось?» Ответ на вопрос задачи находится при помощи деления: 8:2=4. Проанализируем решение этой задачи. В задаче рассматривается множество, в котором 8 элементов. Оно разбивается на подмножества, в каждом из которых по 2 элемента, т. е. на. равномощные подмножества (рис. 98). Кроме того, они попарно не пересекаются. В задаче спрашивается, сколько таких подмножеств получилось. Таким образом, число 4, полученное в ответе,— , это число двухэлементных подмножеств, на которые разбито множество из 8 элементов. В общем виде частное целого неотрицательного числа а и натурального числа b определяется следующим образом: Определение. Пусть а = п (А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества. Если b — число подмножеств в разбиении множества A, то частным чисел а и b называется число элементов каждого подмножества. Если b — число элементов каждого подмножества в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число подмножеств в этом разбиении. Действие, при помощи которого находят частное а: b, называется делением, число а — делимым, b — делителем. Определение. Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b называется такое целое неотрицательное число с=а:b, произведение которого и числа b равно а. Можно показать и наличие обратной связи, т. е. что из второго определения частного вытекает первое:  Определение деления как действия, обратного умножению, в явном виде не дается. Взаимосвязь деления и умножения устанавливается при изучении темы «Нахождение неизвестного множителя», где, по существу, происходит обобщение двух смыслов частного, имеющих место при его теоретико-множественной трактовке. Отношения "больше в", "меньше в " Часто при решении задач и в практической деятельности возникает вопрос: «во сколько раз одно число больше или меньше другого?» Первое знакомство с отношениями «больше в» и «меньше в» происходит в начальной школе. Уточним смысл этих отношений.  Пусть дано множество А, в котором 6 элементов, и множество В, содержащее 2 элемента. Выделим в множестве А подмножества, равномощные множеству В (рис. 100). Их оказывается 3. В этом случае говорят, что число 6 больше числа 2 в 3 раза, а число 2 меньше числа 6 в 3 раза. Вообще если даны числа а и b, такие, что а = п (А), b = п (В),  и множество А можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству В, то говорят, что число а больше числа b в с раз, а число b меньше числа а в с раз.Но что представляет собой это число с? С теоретико-множественной точки зрения — это частное чисел а и b. Отсюда получаем правило: Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого,, необходимо большее число разделить на меньшее. Отношения «больше в» и «меньше в» встречаются и в задачах другого вида. Задача. У Нины 6 тетрадей, а у Коли в 2 раза меньше. Сколько тетрадей у Коли? В задаче речь идет о двух множествах: множестве А тетрадей у Нины и множестве В тетрадей у Коли. Известно, что п (А) = 6. Требуется найти п (В), зная, что это число в 2 раза меньше числа 6. Исходя из этого условия множество А можно представить состоящим из двух равномощных подмножеств (рис. 102), и тогда в множестве В будет столько элементов, сколько в каждом подмножестве множества А, число которых находится делением: 6:2 = 3. Значит, n (В)= 3, т. е. у Коли 3 тетради.  Правила деления суммы на число и числа на произведение Правило деления суммы на число. Если числа aub делятся на число с, то и их сумма a+b делится на с; частное, получаемое при делении суммы а+ b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с, т. е. (а+ b):с=а:с+ b:с. Правило деления числа на произведение. Если натуральное число а делится на натуральные числа b и с, то, чтобы разделить а на произведение чисел b и с, достаточно разделить число а на b(с) и полученное частное разделить на с (b): a:(b •c)=(a:b)\c=(a:c):b.  Правило умножения числа, на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т. е. a-(b:c) = (a-b):c. Деление с остатком Число 37 не делится на 8. Но существуют числа 4 и 5, такие, что 37 = 8-4 + 5. Говорят, что деление числа 37 на 8 выполнено с остатком, при этом найдено неполное частное 4 и остаток 5. Определение. Разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число 6 — это значит найти такие целые неотрицательные числа q и г, что a = bq+r и 0  6.Теорема. Для любого целого неотрицательного числа а и натурального числа b существуют целые неотрицательные числа q и r, такие, что a = b q+r, причем Пара целых неотрицательных чисел (q, г), обладающая этим свойством, единственная. Свойства множества целых неотрицательных чисел Множество целых неотрицательных чисел обладает рядом свойств. В частности, оно упорядоченное и бесконечное. Докажем, что множество целых неотрицательных чисел может быть упорядочено при помощи отношения «меньше». Для этого покажем, что это отношение транзитивно и антисимметрично, причем будем исходить из определения отношения «меньше» через сумму. Теорема.  Доказательство. Так как  то по определению отношения «меньше» найдутся такие натуральные числа х и у, что b = а+х и с =b+у. Но тогда с=(а + х)+у, и на основании сочетательного закона сложения получаем с=а+(х+ у). Поскольку х + у — целое неотрицательное число, то согласно определению отношения «меньше» Теорема. Если  . то неверно, что Доказательство. Нетрудно убедиться в том, что ни для одногоцелого неотрицательного числа а не выполняется неравенство  Если бы имели  то нашлось бы такое натуральное число с, что а = а+с, но это невозможно в силу единственности суммы. Предположим теперь, что оба неравенства выполняются. Тогда по свойству транзитивности отношения «меньше» будем иметь что невозможно. |