|
|
Математика 4 семестр. Тика 2
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Тульский государственный университет»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
4 семестр
ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»
2 вариант
Выполнил: ст. Группа ИБ161581 Воробьева М.А
Проверил: Соколова М.Ю.
Тула 2021
1. Вычислить  , если область D ограничена линиями  .
Решение.
Выполним схематический чертеж области интегрирования:
Рисунок 1.
Расставим пределы интегрирования и перейдем к повторному интегралу.
Рассмотрим область  : переменная  изменяется от 0 до 10, а переменная  изменяется от кривой  до параболы  . Тогда
Следовательно,
 Ответ: 
2. Вычислить  , если область интегрирования ограничена поверхностями  .
Решение.
Проекция заданного тела на плоскость xoy: 
Рассмотрим поверхность  : переменная  изменяется от  до  , переменная  изменяется от  до  , а переменная изменяется от  до  . Тогда:
Ответ:  .
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  .
Решение.
Выполним схематический чертеж области интегрирования:
Рисунок 1.
Перейдем к полярной системе координат.
 ,
 .
Площадь области в полярных координатах находится по формуле:
Расставим пределы интегрирования. Переменная  изменяется от 0 до  в это время  изменяется от  до  .
Тогда искомая площадь будет:
Ответ: 
4. Вычислить объем V тела, ограниченного поверхностями
 .
Решение.
Изобразим данное тело и его проекцию на плоскость Оху.
В прямоугольной системе координат объем пространственной замкнутой области равен тройному интегралу по этой замкнутой области от функции, тождественно равной единице, т.е. объем тела равен  .
Перейдём в интеграле к цилиндрическим координатам по формулам:
 где  ,  ,  .
Рассмотрим поверхность :  ,  , Тогда:
Ответ:  .
5. Вычислить тройной интеграл  ,
 .
Решение.
Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам по формулам:
 .
Рассмотрим поверхность
переменная  , переменная  , переменная  , тогда:
 Ответ:  .
6. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции  по контуру треугольника с вершинами O(0;0), А(1,5;4,5), В(4,5;1,5).
Решение.
 .
Составим уравнения отрезков треугольника:
 :  .
 :  .
 :  .
 .
Согласно формуле:
 .
Находим каждый интеграл:
Поэтому
Ответ:  .
7. Вычислить поверхностный интеграл первого рода  , где S - часть плоскости  , лежащая в первом октанте.
Решение.
Формула, выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности S на плоскость Oxy , имеет вид:
 .
В данном случае поверхность интегрирования S часть плоскости , лежащая в первом октанте.
Из уравнения плоскости:  , найдем частные производные:  .
Вычислим дифференциал поверхности по формуле:  , получим  .
Сведем вычисление поверхностного интеграла к вычислению двойного интеграла по области D, где D – треугольник АОВ, являющийся проекцией поверхности S на координатную плоскость Оху, рис.
Рис. Рис.
Получим,
Ответ:  .
8. Найти косинус угла между градиентами скалярных полей  ,  в точке  .
Решение.
а) Вычислим градиент скалярного поля в точке . Для этого найдем частные производные  и вычислим их значения в точке .
 ;
 ;
 .
 ,
 ,
 .
Следовательно,  .
б) Вычислим градиент скалярного поля в точке . Найдем частные производные  и вычислим их значения в точке .
 ;
 ;
 .
 ,
 .
Значит,  .
в) Так как градиент – это вектор, то угол между градиентами скалярных полей найдем по формуле:  .
Тогда
 .
Ответ:  .
9. Найти поток векторного поля  через замкнутую поверхность  в направлении внешней нормали.
Решение.
Для вычисления потока воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса, т.к. поверхность замкнутая :
 .
Находим дивергенцию:
 .
переходим к цилиндрическим координатам: 
Тогда:
 Ответ: 
10. Найти работу силы  при перемещении от точки O(0;0) до точки  по дуге линии  .
Решение.
Пусть  есть переменная сила, совершающая работу A
вдоль пути L , и функции  и  непрерывны на кривой L . Тогда
 . В данной задаче:
 .
Находим: ,  .
Получаем:
 Ответ:  .
11. В урне находятся 3 белых и 7 черных шаров. Из урны извлекаются 2 шара. Какова вероятность того, что среди них один белый шар.
Решение.
Общее число выбора 2 шаров из 3+7=10 равно числу сочетаний из 10 по 2, т.е.  .
Число благоприятных случаев равно числу выбора 1 белого шара из 3,  умноженному на число выбора 1 черного шаров из 7,  , т.е.  .
По классическому определению вероятности получаем:
Ответ:  .
12. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что хотя бы в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
Решение.
Так как появление ошибки, превышающей заданную точность независим друг от друга, то для вычисления вероятностей используется формула Бернулли:
 где  – число сочетаний из n элементов по m, m– число благоприятных исходов, n– общее число опытов, p– вероятность наступления данного события при одном опыте.
Пусть А– событие при трех измерениях хотя бы в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. Противоположным для заданного события будет событие  , состоящее в том, что ни в одном из измерений допущенная ошибка не превысит заданную точность.
Тогда:
Для противоположных событий имеет место формула:
 , тогда:
Ответ: 0,784.
13. На складе находятся 30 деталей, из которых 19 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение.
Общее число выбора 2 деталей из 30 равно числу сочетаний из 30 по 2, т.е.  .
Общее число выбора 2 стандартных деталей из 19 равно числу сочетаний из 19 по 2, т.е.  .
По классическому определению вероятности получаем:
Ответ: 0,3931.
14. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 30% продукции, второй – 35%, третий – 35%. В продукции первого завода спешат 10% часов, второго – 20% и третьего – 10%. Найти вероятность того, что купленные часы спешат.
Решение.
Пусть А событие, состоящее в том, что купленные часы спешат – может произойти совместно с одним из событий-гипотез – часы с первого завода (В1), часы со второго завода (B2), часы с третьего завода (B3). Тогда вероятности:
  
  
По формуле полной вероятности получаем вероятность
Ответ: 0,135.
15. Дано следующее распределение дискретной случайной величины Х
Х
|
-1
|
1
|
3
|
4
|
10
|
Р
|
0,3
|
0,2
|
0,2
|
0,14
|
0,16
|
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
Решение.
Математическое ожидание  дискретной случайной величины Х найдем по формуле:
 .
Дисперсию  дискретной случайной величины Х найдем по формуле:
 .
Среднее квадратическое отклонение  дискретной случайной величины Х найдем по формуле:
 .
Ответ:    . |
|
|
Скачать 0.49 Mb.