Типовой расчет матанализ. ТР_МатАн_5 модуль(2019). Типовые расчеты (лабораторные работы)по математическому анализуГр. М3234, М3235

• Название: Типовые расчеты (лабораторные работы)по математическому анализуГр. М3234, М3235
• Анкор: Типовой расчет матанализ
• Дата: 02.10.2019
• Размер: 70.12 Kb.
• Имя файла: ТР_МатАн_5 модуль(2019).pdf
• Тип: Лабораторная работа; #88283

Типовые расчеты (лабораторные работы)
по математическому анализу
Гр. М3234, М3235
5 модуль
Лабораторные работы проводятся в группах по 2-4 человека. От каждой группы предоставляется один общий отчет. После готовности отчета и просмотра его преподавателем происходит устная защита работы всей группой.
Требования к отчету по лабораторной работе:
1. На титульном листе отчета указываются все исполнители, номер группы, название работы.
2. В отчете указывается задание, далее идут выкладки, помогающие получить ответ.
3. Рисунки (если есть) желательно распечатать и вклеить в отчет (можно черно- белые). Количество рисунков на ваше усмотрение. На каждом рисунке должны быть подписаны оси координат и что изображено.
4. Ответ.
5. После ответа приводится оценка вклада каждого участника в процентах. Например:
Петров П - 60%, Иванов И. - 30%, Сидоров С. - 10%.
6. Все исполнители должны разбираться во всех заданиях и знать ответы на вопросы для самоконтроля.
Лабораторная работа №1. Дифференцируемость функции двух переменных в точке
Задание. Выяснить, является ли заданная функция двух переменных
( , )
f x y
дифференцируемой в точке (0, 0). Построить график этой функции (поверхность).
Построить плоскость z−z
0
=
x
∂
f
∂
x
(
0,0)+ y
∂
f
∂
y
(
0,0) . Является ли эта плоскость касательной к поверхности?
Варианты заданий
1.


2 3
( , ) ln 3 2
f x y
x y
x



;
2.
2 2
3
( , )
cos
f x y
y
x
y
 

;
3.
3 2
3
( , )
sin cos
f x y
x
y


;
4.
2 3
( , ) sin
4
f x y
xy









;
5.
3 3
2
( , )
1
f x y
y
x
 

;
6.




2 3
,
arctg
f x y
xy y
x y

 
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется линиями уровня функции?
2. Дайте определение частной производной.
3. Какая функция называется дифференцируемой?

4. Что называется дифференциалом функции?
5. Как звучит необходимое условие дифференцируемости функции в точке? Является ли оно достаточным?
6. Сформулируйте, как звучит утверждение о невыполнении необходимого условия дифференцируемости.
7. Как звучит достаточное условие дифференцируемости функции? Является ли оно необходимым?
8. Что называется касательной плоскостью к поверхности?
9. Как найти вектор нормали к поверхности?
10. Как связаны вектор нормали к поверхности
( , )
z
f x y

с градиентом функции
( , )
f x y
?
Лабораторная работа № 2. Наибольшее и наименьшее значение функции двух
переменных в области
Задание: сведите задачу к задаче поиска условного экстремума функции. Решите задачу.
Изобразите решение.
Варианты заданий
1. На плоскости Oxy найдите точку, сумма квадратов расстояний которой от трёх прямых:
0
x 
,
0
y  ,
2 16 0
x
y



– была бы наименьшей. Изобразите на графике.
2. Через точку А ( , , )
a b c проведите плоскость так, чтобы объём тетраэдра,
отсекаемого ею от координатного трёхгранника, был бы наименьшим. Изобразите на графике для конкретной точки А.
3. Даны n точек:
1 1
1 1
( , , )
A x y z , …, ( , , )
n
n
n
n
A x y z . На плоскости Oxy найдите точку,
сумма квадратов расстояний которой от всех данных точек была бы наименьшей.
Изобразите на графике для конкретных точек
i
A (
1, ,
i
n
 
) при
5
n 
4. Даны три точки: (0,0,12)
A
, (0,0, 4)
B
и (8,0,8)
C
. На плоскости Oxy найдите такую точку D, чтобы сфера, проходящая через A, B, C и D, имела наименьший радиус.
Изобразите на графике.
5. На плоскости
3 2
0
x
z


найдите точку, сумма квадратов расстояний которой от точек (1,1,1)
A
и (2,3, 4)
B
была бы наименьшей. Изобразите на графике.
6. На плоскости
2 0
x y
z
 

найдите точку, сумма квадратов расстояний которой от плоскостей
3 6
x
z


и
3 2
y
z


была бы наименьшей. Изобразите на графике.
7. Найдите прямоугольный параллелепипед данной площади поверхности S,
имеющий наибольший объём. Проиллюстрируйте графически.
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется экстремумом функции нескольких переменных?
2. Чем экстремум отличается от наибольшего/наименьшего значения функции?

3. Как звучит необходимое условие экстремума функции? Дифференцируемой функции? Является ли это условие достаточным?
4. Что можно сказать о дифференциале функции в точке экстремума?
5. Какие достаточные условия экстремума функции одной переменной вы знаете?
Какие из них не подходят для функции нескольких переменных? Почему?
6. Как звучит достаточное условие экстремума функции нескольких переменных?
Является ли оно необходимым?
7. Каков алгоритм поиска экстремума функции?
8. Каков алгоритм поиска наибольшего или наименьшего значения функции в области? Чем он отличается от поиска экстремума?
9. Может ли функция не иметь экстремумов?
10. Может ли функция не иметь наибольшего или наименьшего значения в области?
11. Каким условиям должна удовлетворять функция, чтобы она достигала своих наибольшего и наименьшего значения в области? Являются ли эти условия необходимыми?
Лабораторная работа № 3. Решение дифференциального уравнения в частных
производных с помощью замены переменной
Задание. Произвести указанную замену в данном дифференциальном уравнении.
Решить полученное дифференциальное уравнение в новых переменных. Показать,
что найденное решение (в исходных переменных) удовлетворяет исходному уравнению.
Варианты заданий
1. Решить уравнение, приняв за новые независимые переменные
u
и
v
, а
w
- за новую функцию:
2 2
2 2
z
z
y
y
y
x






, если x
uy

,
v x

, w
xz y


2. Решить уравнение, приняв за новые независимые переменные u и v , а w - за новую функцию:
2 2
2 2
2 2
0
z
z
z
x
x y
y







 

, если u
x y
  ,
y
v
x

,
z
w
x

3. Решить уравнение, приняв за новые независимые переменные
u
и
v
, а
w
- за новую функцию:
2 2
2 2
2 2
0
z
z
z
x
x y
y







 

, если u
x y
  , v x y
 
, w
xy z


4. Решить уравнение, приняв за новые независимые переменные u и v , а w - за новую функцию:
2 2
2 2
2 1
1 2
1 0
z
z
z
z
z
z z
z
z
z
z
y
y
x
x
y
x y
x y
x
x
y









 

























 
 









, если u
x z
  ,
v y z
  , w x y z
   .
5. Решить уравнение, приняв за новые независимые переменные y и
z
, а
x
- за новую функцию:

2 2
2 2
2 2
2 2
0
z
z
z z
z
z
z
x
x
x y x y
y
y




 














   






Вопросы для самоконтроля
1. Что называется обыкновенным дифференциальным уравнением? Какой тип уравнений мы рассматриваем?
2. Что называется решением дифференциального уравнения?
3. Как найти частную производную сложной функции нескольких переменных?
4. Как найти дифференциал сложной функции нескольких переменных?
5. Можно ли, зная дифференциал функции нескольких переменных получить ее частные производные?
Лабораторная работа № 4. Производная по направлению
Задание. Найти производную данной функции в направлении данного вектора в данной точке.
Варианты заданий
1.

 

2
,
2 4
f x y
x y
x
y




, вектор направления образует угол
3

 
с положительным направлением оси абсцисс,


1,1
M 
2.


,
arctg
y
f x y
x

по направлению внешней нормали к окружности
2 2
2
x
y
x


,
3 1 ,
2 2
M 





3.


, ,
x xy xyz
f x y z
e



по направлению внутренней нормали к поверхности
2 2
2 2
x
y
z
x



,


2,0,0
M
4.




, ,
ln
x
y
z
f x y z
e
e
e



по направлению луча, образующего с осями координат углы, соответственно равные
,
3 4


и с осью OZ острый угол,


0,0,0
M
5.


3 2
2
, ,
2 3
f x y z
x
xy
yz



по направлению внешней нормали к линии уровня функции,


3,3,1
M
6.




2 2
2
, ,
ln 1 2
3
f x y z
x
y
z




по направлению вектора, образующего с осями координат равные тупые углы,


1 1
,
,0 2
2
M

Лабораторная работа № 5. Неявная функция
Задание. Определяет ли уравнение


,
0
F x y 

неявную функцию
 
y
f x


в точке М? Будет ли эта функция дифференцируема? Если да, найти её полный дифференциал первого порядка и все частные производные второго порядка в точке М.
Варианты заданий
1.




1 2
1 2
,
2 3,
1,1, 2








x x
y
F x y
e
x
x
y
M
;
2.




3 1 2
,
3 27,
2,3,3
F x y
y
x x y
M




;
3.




3 1 2
,
3 27,
2,3,3



F x y
y
x x y
M
;
4.




1 2
,
ln
1,
2,2,2
x
y
F x y
M
y
x





;
5.




3 2
1 2
3
,
1,
1,1, 1,1
F x y
x y
x y
x y
M







;
6.




2 2
2 1
2
,
14,
1,2,3
F x y
x
x
y
M





Лабораторная работа № 6. Условный экстремум
Задание. С помощью метода Лагранжа исследовать функцию на условный экстремум при данном уравнении связи.
Варианты заданий
1.


2 3 4
, ,
f x y z
x y z

,
2 3
4 18,
0,
0,
0
x
y
z
x
y
z






2.


2 2
2
, ,
2 3
f x y z
x
y
z



,
2 2
2 1,
2 3
0
x
y
z
x
y
z






3.


2 2
2
, ,
2 3
4
f x y z
x
y
z



,
13
x y z

 
4.


, ,
2
f x y z
x y
z
 

,
2 2
2 2
16
x
y
z



5.


2 2
2
, ,
4
x
f x y z
y
z



,
2 2
2 1,
2 3
0
x
y
z
x
y
z






6.


, ,
f x y z
x y z
 

,
2 2
1,
1
x
y
y z


 
7.


, ,
f x y z
xy yz


,
2 2
2,
2,
0
x
y
y z
y


 
