Реферат численный метод решения диффиринциальных уравнений. численные методы решения диф ур. Удк Численные методы решения дифференциальных уравнений
 Скачать 31.08 Kb.
|
УДК:Численные методы решения дифференциальных уравненийКовалев С.А.Студент 2-го курса Ухтинский государственный технический университет, г. Ухта, Россия,Научный руководитель: Мотрюк Е.Н.Зав. Кафедрой высшей математики, к. т. н., доцент ФГБОУ ВО Ухтинский государственный технический университет, г. Ухта, Россия,Цель работы: Изучить, как с помощью численного метода решать дифференциальные уравнения с применением различных методов вычислений в программном средстве вычислений MathCAD. Задачи: Изучить теоретический материал по теме: «дифференциальные уравнения»; Разобрать материал по теме: «численный метод дифференциальных уравнений»; Изучить различные методы вычисления дифференциальных уравнений; На основе теоретического материала составить конспект; Провести практику вычислений в программном средстве вычислений Mathad; Сформулировать выводы по проделанной работе. «Числа правят миром» - слова известного философа Платона. Эти слова актуальны и по сей день, ведь весь наш мир состоит из математического моделирования и численных методов в самых различных областях жизни человека. Ведь считать человеку приходилось еще с древних времен. Начиная с египетских папирусов заканчивая многочисленными математическими таблицами. Так с появлением компьютерных технологий в жизни человека автоматизированные вычисления больших масштабов стали важным инструментом в науке и технике. От сюда началась новая область математики «Численный метод». В эту область входит и способ решения дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения являются одним из основных методов решения задач. Ведь без вычисления дифференциальных уравнений не обойдется ни один инженер-исследователь. На дифференциальных уравнения строятся многие задачи механики, химии, физики и других отраслей науки. В зависимости от числа независимых переменных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную, и уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых перемен. Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции  . Их мы и будем рассматривать с помощью вычисления численным методом.Существует несколько видов методов вычисления численного дифференцирования. Геометрическая интерпретация решения; Метод Эйлера; Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка); Метод матричной экспоненты. Для рассмотрения каждого из видов метода вычисления численного дифференцирования рассмотрим задачу Коши. Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения  , где  удовлетворяющие начальному условию  . При численном решении поставленной задачи отрезок  разбивают на  частей (не обязательно равных) и определяют приближенные значения искомой функции  в точках деления  .[1, стр 59] Геометрическая интерпретация решения Геометрический смысл решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера (методом Рунге-Кутта первого порядка) состоит в том, что на малом  отрезке интегральная кривая  дифференциального уравнения заменяется отрезком ее касательной в точке  .Метод Эйлера Приближённое значение в точке  находится по формуле: Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка) Этот метод получил наиболее широкое распространение в практических расчетах. Его погрешность оценивается величиной  , что дает возможность получить более точные результаты, чем в методе Эйлера. Не давая полного описания вывода формул, приведем их в следующем виде:       Здесь символом  так же, как и в выше описанном методе Эйлера, обозначается правая часть решаемого дифференциального уравнения,  и  - приближённые значения интегральной функции соответственно в точках  и  ,  .Метод матричной экспоненты Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли. Для вещественной или комплексной матрицы размера , обозначаемая как или , — это матрица, определяемая степенным рядом: ,где — k-я степень матрицы . Данный ряд всегда сходится, так что экспонента от всегда корректно определена. Если — матрица размера , то матричная экспонента от есть матрица размерности , единственный элемент которой равен обычной экспоненте от единственного элемента. Рассмотрим пример решения задачи Коши в mathcad. Будем решать двумя способами: Рунге-Кутта и методом матричной экспоненты. 1 Метод Рунге-Кутта Для решения систем дифференциальных уравнений используются функция rkfixed. Функция rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) возвращает матрицу. Первый столбец этой матрицы содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – решения и его первые производные. Аргументы функции: y–вектор начальных значений (n элементов). x1 и x2 – границы интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения. npoints – число точек внутри интервала (x1,x2), в которых ищется решение. Функция rkfixed возвращает матрицу, состоящую из 1+npoints строк. D – вектор, состоящий из n элементов, который содержит первые производные искомой функции. 2 Метод матричной экспоненты Если матричная экспонента известна, то решение задачи Коши вычисляется по универсальной формуле  с различными начальными условиями .Матрицу системы можно привести к диагональной форме, если она имеет собственный базис – базис из собственных векторов, и тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:  , где С – матрица перехода от исходного базиса к собственному базису матрицы А, Λ – матричная экспонента, записанная в собственном базисе матрицы А. Матрицы жестких систем таковы, что погрешности вычисления С и С-1 приводят к совершенно недостоверным результатам.[2,стр 334] Рассмотрим фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение задачи Коши для жесткой системы по формуле . Для точного выполнения работы воспользуемся и аналитическим способом решения задачи Коши. Найти приближённое решение задачи Коши  методом Эйлера на заданном отрезке  с шагом h = 0,1 .Решение: Для начала, найдем точное решение этого линейного уравнения первого порядка            Тогда точное решение имеет вид :  Теперь найдем численное приближенное решение методом Эйлера, с шагом h=0,1. Общий вид: Уравнение  , формула:  В этом случае:  Тогда формулы имеет вид:  Используя эту формулу решаем задачу. Полученные данные запишем в таблицу.
Библиографический списокБойченко, Л.П. Численные методы и их компьютерная реализация: учеб. пособие Л.П. Бойченко, Н.В. Выборова, О.Н. Туманова. – Ухта: УГТУ, 2012-90с. ISBN 978-5-88179-704-1 Плис А.И., Сливина Н.А. П38 Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2000. – 656 с.: ил. ISBN 5-279-02281-0. |
