информатика. Курсовая. Численное интегрирование методом левых прямоугольников

Название	Численное интегрирование методом левых прямоугольников
Анкор	информатика
Дата	01.06.2022
Размер	189.79 Kb.
Формат файла
Имя файла	Курсовая.docx
Тип	Курсовая #562932

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. Алексеева
ИТС
Кафедра: «Высшая математика»
Курсовая работа

по информатике

Тема:

«Численное интегрирование методом левых прямоугольников»
Вариант № 6

Выполнил: студент группы 19-ЭТКз-1

ФИО
Проверила: Шувалова Т.Е.

Нижний Новгород

2022

Оглавление

Введение 3

1.Постановка задачи численного интегрирования 4

2.Метод левых прямоугольников 8

3.Блок-схема метода левых прямоугольников вычисления интеграла 10

4.Контрольный пример 11

5.Программа на языке Pascal и результаты вычисления интеграла 12

6.Вычисления интеграла и графики в программе MathСad 13

7.Вычисления интеграла и графики в EXCEL 14

Вывод 16

Список литературы 17

Введение

Численные методы (вычислительные методы, методы вычислений) — раздел вычислительной математики, изучающий приближенные способы решения типовых математических задач, которые либо не решаются, либо трудно решаются точными аналитическими методами (вычислительная математика в узком смысле). Примерами типовых задач являются численное решение уравнений, численные дифференцирование и интегрирование и др.

Численное интегрирование (или квадратура) — представляет собой вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы значений в узлах некоторой расчётной сетки.

Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически.

Постановка задачи численного интегрирования

Пусть требуется вычислить интеграл

(1)

Из курса математического анализа известно, что для непрерывной на отрезке [a,b] функции f интеграл (19) существует и равен разности значений для первообразной F для функции fв точках b и a:

. (2)

Однако в подавляющем большинстве практических задач первообразную Fне удается выразить через элементарные функции. Кроме того, функция f часто задается в виде таблицы ее значений для определенных значений аргумента. Все это порождает потребность в приближенных методах вычислении интеграла (1), которые можно условно подразделить на аналитические и численные. Первые заключаются в приближенном построении первообразной и дальнейшем использовании формулы (2). Вторые позволяют непосредственно найти числовое значение интеграла, основываясь на известных значениях подынтегральной функции (а иногда и ее производной) в заданных точках, называемых узлами. В настоящей главе остановимся лишь на численных методах интегрирования функций. Сам процесс численного определения интеграла называется квадратурой, а соответствующие формулы – квадратурными.

Задача: На отрезке [a,b] в узлах

заданы значения

некоторой функции f, принадлежащей определенному классу F. Тре6уется приближенно вычислить интеграл (1). Так обычно ставится задача численного интегрирования в том случае, когда подынтегральная функция задана в виде таблицы.

Один из способов решения сформулированной задачи основан на использовании различных квадратурных формул вида

(3)

С известным остаточным членом

или его оценкой.

В общем случае, как узловые точки

, так и весовые множители (веса)

заранее не известны и подлежат определению при выводе каждой конкретной квадратурной формулы на основе предъявляемых к ней требований.

Алгоритм решения задачи:

1) Выбирают конкретную квадратурную формулу (3) и вычисляют

. Если значения функции

заданы приближенно, то фактически вычисляют лишь приближенное значение

для точного

.

2) Приближенно принимают, что

3) Пользуясь конкретным выражением для остаточного члена или оценкой его для выбранной квадратурной формулы, вычисляют погрешность метода:

.

4) Определяют погрешность вычисления

по погрешности приближения значений

.

5) Находят полную абсолютную погрешность приближенного значения

.

6) Получают решение задачи в виде

.

Используемые в алгоритме квадратурные формулы строятся на основании тех или иных критериев, определяющих положение узловых точек и величины весовых множителей. Такими критериями могут быть: представление интеграла в виде интегральной суммы; аппроксимация подынтегральной функции (например, многочленом) и последующее интегрирование аппроксимирующей функции; требование, чтобы формула (3) была абсолютно точной для определенного класса функций, и др.

Метод левых прямоугольников

Как известно, определенный интеграл в силу своего построения есть предел интегральных сумм:

, (4)

каждая, из которых соответствует некоторому разбиению

отрезка

и произвольному набору точек

для каждого разбиения;

.

Ограничиваясь конечным числом слагаемых в правой части равенства (4) и принимая в качестве набора

те или иные значения аргумента из отрезков

, можно получить различные формы приближенного интегрирования. Так, принимая в качестве набора

значения левых или правых концов отрезков

, получим соответственно формулу левых или правых прямоугольников

, (5)

. (6)

Наиболее часто используемой формулой, основанной на идее представления определенного интеграла в виде интегральной суммы, является формула прямоугольников, где в качестве

берут середины отрезков

. Для равномерной сетки

эта формула имеет следующий вид:

, (7)

где

;

.

Выражение для остаточного члена квадратурной формулы (7):

(8)

Таким образом, оценку погрешности квадратурной формулы (7) можно представить в следующем виде:

(9)

где

Суммарная вычислительная погрешность

составит

(10)

Эта погрешность не зависит от числа разбиений отрезка интегрирования, а пропорциональна только его длине.

Блок-схема метода левых прямоугольников вычисления интеграла

Рис. 1 Блок-схема вычисления интеграла методом левых прямоугольников

Контрольный пример

Требуется вычислить значение определенного интеграла

методом левых прямоугольников при n= 4; 8; 16.

Пусть n = 4

h = (b-a)/n = 1

Формула левых прямоугольников (первая формула прямоугольников):
f(x) = x^0,5-2*cos(x/2)

f(0) = -2

f(1) = 1^0,5-2*cos(1/2) = -0,7552

f(2) = 2^0,5-2*cos(1) = 0,3336

f(3) = 3^0,5-2*cos(1,5) = 1,5906

= 1*(-2-0,7552+0,3336+1,5906) = -0,83098

Аналогичные расчеты для n = 8, 16.

Аналитическое вычисление интеграла

Представим исходный интеграл, как сумму интегралов:
а)
Это табличный интеграл:
б)
Это табличный интеграл:

Вычислим определенный интеграл:

F(0) = 0

= 1,696

Программа на языке Pascal и результаты вычисления интеграла

Код программы

Program Integral;

Uses Crt;
var

a,b,s,x,h,s1,d,e:real;

n,i: integer;
function f(x:real):real;

begin

f:=sqrt(x)-2*cos(x/2);

end;
Begin

clrscr;

writeln('вычисление определенного интеграла');

writeln('методом левых прямоугольников');

a:=0; //нижняя граница

b:=4; //верхняя граница

write('Число интервало = ');

readln(n);

s:=0;

x:=a;

h:=(b-a)/n;

for i:=1 to n do

begin

s:=s+h*f(x);

x:=x+h;

end;

writeln('интеграл равен ', s:10:7);

readln;

end.

Вычисления интеграла и графики в программе MathСad

Рис. 2 Расчеты в MathCad

Вычисления интеграла и графики в EXCEL

Расчеты в Excel

Рис. 3 Расчеты в Excel

Рис. 4 График подинтегральной функции

Вывод

В работе рассмотрен метод левых прямоугольников для вычисления заданного определенного интеграла.

Аналитическим способом получено точное значение интеграла = 1,696. Вычисление в пакете MathCad дает такое же значение.

Расчеты сделанные с помощью программы, написанной на языке программирования Pascal, а также в Excel при заданном числе интервалов n = 4,8,16 дают очень большую погрешность. Это связано с тем, что недостатком метода левых прямоугольников является его сравнительно невысокая точность. Для повышения точности необходимо увеличивать значение n до 1...10 тысяч.

Можно слегка модифицировать нашу программу, чтобы добиться нужной точности, допустим 0,001. Для этого будем наращивать n до тех пор, пока, разница значений интеграла на текущем и предыдущем шаге не станет меньше 0,001.

А если взять 0.000001, то

Как видим, для того, чтобы получить значение интеграла, которое бы отличалось от точного в третьем знаке, нам понадобилось разбить отрезок интегрирования на 3117 частей.

Список литературы

1. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. М.: Просвещение, 1990.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

3. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.:Высш. шк., 1994.

4. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука,1982.

5. КалиткинН.Н.Численные методы. М.: Наука,1978.

6. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир,1982.

7. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. М.: Финансы и статистика, 1999.

8. Абрамов, В. Г. Введение в язык паскаль / В.Г. Абрамов, Н.П. Трифонов, Г.Н. Трифонова. - М.: Наука, 2013. - 320 c.

9. Андреева, Т. А. Программирование на языке Pascal / Т.А. Андреева. - М.: Интернет-университет информационных технологий, Бином. Лаборатория знаний, 2013. - 240 c.