Отчет. Отчет 7. Численное интегрирование

• Название: Численное интегрирование
• Анкор: Отчет
• Дата: 16.03.2022
• Размер: 304.09 Kb.
• Имя файла: Отчет 7.docx
• Тип: Документы; #400400

«Численное интегрирование» 

 

Contents

Постановка задачи 3

Метод прямоугольников 4

Метод трапеций 6

Метод Симпсона 7

Результат 8

Постановка задачи

Требуется вычислить определенный интеграл



где — подынтегральная функция, и — нижний и верхний пределы интегрирования.

Численное интегрирование — это вычисление определенного интеграла путем замены подынтегральной функции более простой аппроксимирующей функцией, последующего прямого интегрирования и получения расчетных формул.

К формулам численного интегрирования обращаются, когда невозможно найти первообразную или она очень сложна для вычислений.

Функция:



Задание:

1. Для заданной функции из числа элементарных найти точное значение определенного интеграла на выбранном отрезке.

Вычислить интеграл приближенно по формулам:

• 
  прямоугольников (левых, правых, средних);
  
• 
  по формуле трапеций;
  
• 
  по формуле Симпсона.
  

Вывести точное значение, приближенное значение, практическую погрешность , теоретическую оценку погрешности.

2. Рассчитать, сколько достаточно взять число интервалов , чтобы найти значение интеграла с точностью .

Вывести точное значение, приближенное значение, практическую погрешность , необходимое число узлов .

Метод прямоугольников

Подынтегральная функция заменяется кусочно-постоянной функцией, т.е. функцией, постоянной на каждом отрезке . Значения этой постоянной на каждом отрезке будет разным, равным .

Искомая площадь заменяется суммой площадей соответствующих прямоугольников. На каждом элементарном отрезке



а на всем отрезке



Общая формула прямоугольников имеет вид:



Если пренебречь погрешностью на всем отрезке, то последнее уравнение даст составную квадратурную формулу для метода прямоугольников (средних).

При фиксировании точки на элементарных отрезках получаем формулы левых и правых прямоугольников соответственно:



Формулы для вычисления теоретической погрешности для средних, левых и правых прямоугольников соответственно:

Метод трапеций

Метод трапеций использует для описания функции линейную интерполяцию, заменяя ее кусочно-линейной функцией на отрезке , т. е. ломаной, соединяющей точки .

В этом случае искомая площадь заменяется суммой трапеций. Площадь этой трапеции легко вычисляется и дает квадратурную формулу



Составная формула:



Формула вычисления теоретической погрешности на всем интервале:

Метод Симпсона

Повышение точности численного интегрирования в методе Симпсона достигается за счет повышения точности интерполяции — функция заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени (квадратичная интерполяция).

Разобьем отрезок интегрирования на четное число равных частей, полагая, что шаг между заданными точками равен . Рассмотрим два соседних интервала и .

Проведем через три точки , , интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени . Вычислим определенный интеграл на отрезке , заменив подынтегральную функцию многочленом . После интегрирования получим квадратурную формулу метода Симпсона на отрезке



Составная формула:



Формула теоретической погрешности на всем отрезке:



где — четвертая производная исходной функции в некоторой точке .

Результат

Вычисление определенного интеграла на отрезке . С количеством интервалов 6.



Подбор значений количества интервалов при точностях ε=10^-3 и ε=10^-5.