Урок 3 системы счисления позиционные системы счисления система счисления

• Название: Урок 3 системы счисления позиционные системы счисления система счисления
• Дата: 15.09.2022
• Размер: 19.83 Kb.
• Имя файла: 1.docx
• Тип: Урок; #678426

урок 3 СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Система счисления - принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений. Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления. Рассмотрим некоторые позиционные системы счисления и перечень знаков (цифр), из которых образуются в них числа.

Основание	Система счисления	Знаки
2	Двоичная	0,1
3	Троичная	0,1,2
4	Четвертичная	0,1,2,3
5	Пятиричная	0,1,2,3,4
8	Восьмиричная	0,1,2,3,4,5,6,7
10	Десятичная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
12	Двенадцатиричная	0,1,2,3,4,5,б,7,8,9,А,В
16	Шестнадцатиричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,С,D,E,F

В позиционной системе счисления число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления:

A_nA_n-1A_n-2…A₁A₀ , A_-1A_-2…=An*+A_n-1*B^n-1+…+ A₁*B¹+A₀*B⁰+ A_-1*B^-1+A_-2*B^-2+…

(знак «точка» отделяет целую часть числа от дробной; знак «звездочка» здесь и ниже используется для обозначения операции умножения). Таким образом, значе­ние каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Именно поэтому такие системы счисления называют позиционными.

Приме­ры (десятичный индекс внизу указывает основание системы счисления):

23,43₍₁₀₎ = 2* 10¹+ 3* 10⁰ + 4* 10^-1 + 3* 10^-2

(в данном примере знак «3» в одном случае означает число единиц, а в другом - число сотых долей единицы);

692₍₁₀₎=6*10²+9*10¹+2

(«Шестьсот девяносто два» с формальной точки зрения представляется в виде «шесть умножить на десять в степени два, плюс девять умножить на десять в степени один, плюс два»),

1101₍₂₎= 1*2³+ 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰;

112₍₃₎= 1*3² + 1*3¹+ 2*3°;

341,5₍₈₎ = 3*8² + 4*8¹+ 1*8⁰+ 5*8^-1;

AlF,4₍₁₆₎ = A*16²+ 1*16¹ + F*16⁰ + 4*16^-1.

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, десятичную и шестнадцати­ричную), поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую. Заметим, что во всех приведенных, выше примерах результат является десятичным числом, и, таким образом, способ перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную уже проде­монстрирован.

Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основа­нием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В - остаток даст следующий разряд числа и т.д. Для перевода дробной части ее необходимо умножить на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произ­ведения необходимо вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

Отметим, что кроме рассмотренных выше позиционных систем счисления суще­ствуют такие, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными. Наиболее известным примером непозиционной системы является римская. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:

1(1) V(5) X(10) L(50) С (100) D(500) М(10ОО)

Примеры: III (три), LIX(пятьдесят девять), DLV (пятьсот пятьдесят пять).

Недостатком непозиционных систем, из-за которых они представляют лишь ис­торический интерес, является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий над ними (хотя по традиции римскими числами часто пользуются при нумерации глав в книгах, веков в истории и др.).

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).

Конкретизируем описанный выше способ в случае перевода чисел из десятичной системы в двоичную. Целая и дробная части переводятся порознь. Для перевода целой части (или просто целого) числа необходимо разделить ее на основание системы счисления и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число.

Например:

Остаток

25:2 = 12 (1),

12:2 = 6 (0),

6:2 = 3 (0),

3:2=1 (1),

1:2 = 0 (1).

Таким образом 25₍₁₀₎=11001₍₂₎.

Для перевода дробной части (или числа, у которого «0» целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной. Например:

0,73 * 2 = 1,46 (целая часть 1),

0,46 * 2 = 0,92 (целая часть 0),

0,92 * 2 = 1,84 (целая часть 1),

0,84 * 2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д.

В итоге

0,73(10) = 0,1011...₍₂₎.

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить раз­личные арифметические операции. Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать табл.

Таблицы сложения и умножения в двоичной системе

+	0	1		*	0	1
0 1	0 1	1 10		0 1	0 0	0 1

Заметим, что при двоичном сложении 1 + 1 возникает перенос единицы в стар­ший разряд точь-в-точь как в десятичной арифметике:

1001 1001

+ 11* 11

=1100 111

+ 111 .

= 10101

ВОСЬМЕРИЧНАЯ И ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

С точки зрения изучения принципов представления и обработки информации в компьютере, обсуждаемые в этом пункте системы представляют большой интерес.

Хотя компьютер «знает» только двоичную систему счисления, часто с целью уменьшения количества записываемых на бумаге или вводимых с клавиатуры компьютера знаков бывает удобнее пользоваться восьмеричными или шестнадца­теричными числами, тем более что, как будет показано далее, процедура взаимного перевода чисел из каждой из этих систем в двоичную очень проста - гораздо проще переводов между любой из этих трех систем и десятичной.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную производится (по аналогии с двоичной системой счисления) с помощью делений и умножений на 8. Например, переведем число 58,32₍₁₀₎:

58 : 8 = 7 (2 в остатке),

7 : 8 = 0 (7 в остатке).

0,32 – 8 = 2,56,

0,56 * 8 = 4,48,

0,48 – 8 = 3,84,...

Таким образом, 58,32₍₁₀₎ = 72,243... ₍₈₎ (из конечной дроби в одной системе может получиться бесконечная дробь в другой).

Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную произво­дится аналогично.

С практической точки зрения представляет интерес процедура взаимного преоб­разования двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел. Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить его справа налево на группы по 3 цифры (самая левая группа может содержать менее трех двоичных цифр), а затем каждой группе поставить в соответствие ее восьме­ричный эквивалент.

Например:

11011001 =011 011 001, т.е. 11011001₍₂₎ = 331₍₈₎

Заметим, что группу из трех двоичных цифр часто называют «двоичной триадой». Перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричное производится путем раз­биения данного числа на группы по 4 цифры - «двоичные тетрады»:

1100011011001 = 0001 1000 1101 1001, т.е. 1100011011001₍₂₎= 18D9₍₁₆₎.

Для перевода дробных частей двоичных чисел в восьмеричную или шестнадца­теричную системы аналогичное разбиение на триады или тетрады производится от точки вправо (с дополнением недостающих последних цифр нулями):

0,1100011101₍₂₎ = 0,110 001 110 100 = 0,6164₍₈₎,

0,1100011101₍₂₎ = 0,1100 0111 0100 =0,С74₍₁₆₎.

Перевод восьмеричных (шестнадцатеричных) чисел в двоичные производится обратным путем - сопоставлением каждому знаку числа соответствующей тройки (четверки) двоичных цифр.

Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную сис­темы и наоборот столь просты (по сравнению с операциями между этими тремя системами и привычной нам десятичной) потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа 2. Этой простотой и объясняется популярность восьмеричной и шестнадцатеричной систем в вычислительной технике и программировании.

Арифметические действия с числами в восьмеричной и шестнадцатеричной сис­темах счисления выполняются по аналогии с двоичной и десятичной системами. Для этого необходимо воспользоваться соответствующими таблицами. Для примера иллюстрирует сложение и умножение восьмеричных чисел.

Рассмотрим еще один возможный способ перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую - метод вычитания степеней. В этом случае из числа последовательно вычитается максимально допустимая степень требуемого основа­ния, умноженная на максимально возможный коэффициент, меньший основания; этот коэффициент и является значащей цифрой числа в новой системе.

Например, число 114₍₁₀₎

114 – 2 ⁶ = 114 – 64 = 50,

50 – 2 ⁵ = 50 – 32 = 18,

18 – 2 ⁴ = 2,

2 – 2 ¹ = 0.

Таким образом, 114₍₁₀₎ = 1110010₍₂₎.

114 – 1*8² = 114 – 64 = 50,

50 – 6*8¹ = 50 – 48 = 2,

2 – 2*8⁰ = 2 – 2 = 0.

Итак, 114₍₁₀₎= 162₍₈₎.