арифметическая прогрессия. Устная работа Последовательность (хn) задана формулой хn n2
 Скачать 1.38 Mb.
|
|
Устная работа Последовательность (хn) задана формулой: хn =n2. Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168? 144=122=х12 225=х15, 100=х10 48 и 168 не являются членами последовательности, 49 – является. Устная работа О последовательности (un) известно, что u1=2, un+1=3un+1 . Как называется такой способ задания последовательности? Найдите первые четыре члена этой последовательности. Рекуррентный способ. u1=2 u2=3u1+1=7 u3=3u2+1=22 u4=3u3+1 =67 Устная работа О последовательности (an) известно, что an=(n-1)(n+4) Как называется такой способ задания последовательности? Найдите n, если an=150 ? Формулой n-ого члена. Заметим, что в формуле n-ого члена множители отличаются друг от друга на 5. 150=(n-1)(n+4) 150=10·15 n=11 Что такое ПРОГРЕССИЯ? Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. БОЭЦИЙ Ани́ций Ма́нлий Торква́т Севери́н Боэ́ций, в исторических документах Ани́ций Ма́нлий Севери́н (ок.480 — 524 (526)), один из наиболее авторитетных государственных деятелей своего времени, знаток и ценитель греческой и римской античности, философ-неоплатоник, теоретик музыки, христианский теолог. Помимо богословских трудов в трактатах по дисциплинам квадривия — арифметике («De institutione arithmetica») и музыке («De institutione musica») — передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук. Боэций (слева) на фреске Рафаэля «Афинская школа» Что общего в последовательностях? 2, 6, 10, 14, 18, …. 11, 8, 5, 2, -1, …. 5, 5, 5, 5, 5, …. Найдите для каждой последовательности следующие два члена. 22, 26 -4, -7 5, 5 Арифметическая прогрессия Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. (an) - арифметическая прогрессия, если an+1 = an+d , где d-некоторое число. Разность арифметической прогрессии Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии. d=an+1-an +d +d +d +d +d +d +d a2 a1 a3 an an-1 an+1 Свойства прогрессии 2, 6, 10, 14, 18, …. 11, 8, 5, 2, -1, …. 5, 5, 5, 5, 5, …. Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0), то прогрессия является возрастающей. Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (d<0), то прогрессия является убывающей. В случае , если разность равна нулю (d=0) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной. d=4, an+1>an d=-3, an+1 d=0, an+1=an Задача На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался. a1=50, d=3 1 числа: 50 т 2 числа: +1 машина (+3 т) 3 числа: +2 машины(+3·2 т) ……………………………………… 30 числа:+29 машин(+3·29 т) a30=a1+29d a30=137 Формула n-ого члена a1 a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d …………………….. an=an-1+d=a1+(n-1)d an=a1+d (n-1) Пример 1. Последовательность (cn)-арифметическая прогрессия. Найдите c81, если c1=20 и d=3. Решение: Воспользуемся формулой n-ого члена с81=с1+d(81-1), c81=20+3·80, c81=260. Ответ: 260. Задача. В арифметической прогрессии четные члены оказались затёрты: 3, …, 7, …, 13… Можно ли восстановить утраченные числа? Заметим, что a3=a1+2d, a5=a3+2d, a7=a5+2d и т.д. Тогда d=(an+2-an):2, то есть d=2. Искомая последовательность 3, 5, 7, 9, 13, 15, … Можно ли найти пропущенные члены последовательности, не вычисляя разности? Характеристическое свойство арифметической прогрессии Пусть an – искомый член последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна: an-an-1=an+1-an, 2an=an-1+an+1, an=(an-1+an+1):2 Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов. Последовательность (cn)- арифметическая прогрессия. Найдите c21, если c1=5,8 и d=-1,5. Решение: Воспользуемся формулой n-ого члена с21=с1+d(21-1), c21=5,8+(-1,5)·20, c21=-24,2. Ответ: -24,2. Задача. Числовая последовательность задана формулой an=3+5n, n=1,2,3,… Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Если да, то какова ее разность? Решение: Поскольку an+1=3+5(n+1)=3+5n+5=an+5, при всех значениях n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы an+1=an+5 разность этой прогрессии равна 5. Интересный факт Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой an=kn+b, где k и b – некоторые числа. an=a1+d(n-1)=dn+(a1-d) Последовательность(an), заданная формулой вида an=kn+b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией. an+1-an=k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k Задача. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии. Дано: a7=1, a7=a4-a2. Найти: a1. Решение: По условию a7=a4-a2, то есть a7=2d, но a7=1, поэтому d=0,5. a7=a1+6d, a1=a7-6d, a1=1-6·0,5, a1=-2 Основные формулы: Рекуррентный способ задания арифметической прогрессии an+1=an+d Разность прогрессии d=an+1-an Формула n-ого члена an=a1+d(n-1) Характеристическое свойство |