финансовая математика. Финансовая математика контрольная. Высшего образования финансовый университет при правительстве российской федерации

• Название: Высшего образования финансовый университет при правительстве российской федерации
• Анкор: финансовая математика
• Дата: 22.01.2023
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: Финансовая математика контрольная.docx
• Тип: Документы; #899504

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕБЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

А ЛТАЙСКИЙ ФИЛИАЛ


По дисциплине «Финансовая математика»

Студент _________________________ Пастухова Алёна Сергеевна

(подпись)

Группа18-1Б-ЭК02 Номер личного дела 100.02/180084

Преподаватель канд.тех.наук, Жевнов Денис Анатольевич

Барнаул 2021



Решение.

По условию задачи

Денежная сумма – разовая, проценты – простые. P=11000, S=12000

Период начисления 8 месяцев.

Формула наращения для простых процентов: , где

S – наращенная сумма в конце срока;

Р – первоначальная сумма;

n – срок ссуды (в годах);

i – процентная ставка.

Выделим из формулы наращения процентную ставку:

i = (S/P-1)*n.

Воспользуемся формулой наращения по простым процентам в MS Excel ( / Дата и время / ДОЛЯ ГОДА). Найдем значение n, учитывая, что вклад на 8 месяцев. В банке используются точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика).



Рис. 1. Расчет доли года.

Теперь определим процентную ставку по формуле i = (S/P-1)*n. Вставим формулу в ячейку В12.



Рис.2. Расчет процентной ставки.
Ответ: процентная ставка 6%.



Решение.

Согласно условию задачи рассматривается операция наращения разовой суммы Р по номинальной процентной ставке j=9,5%. Величина Р не задана, соответствующая наращенная сумма S=100 000.

Срок операции n=2.5 года, m=12(ежемесячное начисление процентов).

Воспользуемся финансовой функцией ПС (Ставка; Кпер; Плт; Бс; Тип).

Расчеты будем производить в MS Excel.

Ставка – процентная ставка за период ;

Кпер – общее число периодов платежей по аннуитету ;

Плт – выплата, производимая в каждый период и не меняющаяся на протяжении всего периода ренты;

Бс – требуемое значение будущей стоимости или остатка средств после последней выплаты;


Рис.3. расчет первоначальной суммы вклада
Ответ: сумма которую нужно положить на срочный вклад 78 933,47р.



Решение.

Для нахождения суммы, которую получит векселедержатель будем использовать финансовую функцию ПС (Ставка; Кпер; Плт; Бс; Тип) в Excel.

По условию задачи: S = 60000 рублей, j= 8,6%, n = 1,5, m=2.


Рис. 3.1. Расчет денежной суммы, которую получит векселедержатель

Ответ: Векселедержатель получит 50 759,28 руб



Решение.

Денежная сумма –переодические платежи:

R=5000

Срок n=15 лет.

Проценты сложные, j=10%, m=12 раз в год.

Для расчета цены, по которой был приобретен станок воспользуемся стандартной финансовой функцией ПС (Ставка; Кпер; Плт; Бс; Тип).



Рис.4 Расчет цены приобритения станка.

Ответ: целесообразно приобрести станок по 465 287,19р.





Решение.

1. 
   Найдем матрицу рисков.
   

Каждый элемент матрицы рисков определяется равенством , т.е. получается вычитанием данного элемента из максимального в каждом столбце.

Решение проведем с помощью Excel.

В ячейку В7 введем функцию =МАКС(В3:В6) и скопируем ее в ячейки С7:F7.



Рис.5. Определение максимального элемента.

Получили: q₁ = 7; q₂ = 20; q₃ = 5; q₄ = 17; q₅ = 20.

Найдем каждый элемент матрицы рисков с помощью равенства



Например, для j-1 получим:









Все вычисления выполним в Excel. Так для элемента r₁₁ в ячейке Н3 будет функция для вычисления =$В7$-В3.

Для элемента r₁₂ в ячейке I3 будет функция =$C7$-C3,

Для элемента r₁₃ в ячейке J3 будет функция =$D7$-D3,

Для элемента r₁₄ в ячейке K3 будет функция =$E7$-E3,

Для элемента r₁₅ в ячейке L3 будет функция =$F7$-F3.

Формулы ячеек H3:L3 скопируем в соответствующие ячейки. И получим матрицу рисков.



Рис.6. Результаты вычислений.

Матрица рисов имеет вид:

R=

2. 
   Проведите анализ ситуации полной неопределенности, применив правила по принятию решений Вальда, Сэвиджа и Гурвица (взять λ равному 0,5; 0,4 и 0,3).
   

Определим решение по правилу Вальда.

Проанализируем каждое решение, т.е в каждой строке матрицы Q найдем - самый маленький, но гарантированный доход.

Правило Вальда рекомендует выбрать решение i₀ с наибольшим

a_i : i₀ =max_i(min_jq_ij)

В каждой строке матрицы Q найдем минимальное значение. В ячейку В10 введем функцию =МИН(B3:F3) и скопируем ее в ячейки В11, В12 и В13.



Рис.7. Результаты расчетов по правилу Вальда

Получили: а₁ = 5, а₂ = 0, а₃ = 0, а₄ = 5.

Среди всех чисел а_i выберем наибольшее. Наибольшее значение а₁ = а₄ =5.

Значит, правило Вальда рекомендует принять первое или четвертое решение.

Определим решение по правилу Сэвиджа(правило минимального риска).

Правило Сэвиджа рекомендует принять решение с наименьшим



Рассматривая каждое решение, в каждой строке матрицы R найдем максимальный риск .

Расчеты выполним в Excel. В ячейку G10 введем функцию =МАКС(H3:L3) и скопируем ее в ячейки G11, G12 и G13.

Получили:

Выберем наименьшее . Наименьшее значение .



Рис.8. Результаты расчетов по правилу Сэвиджа.

Правило Сэвиджа рекомендует принять первое, второе и четвертое решение.

Применим правило Гурвица. (взять λ равному 0,5; 0,4 и 0,3).

По правилу Гурвица взвешиваются пессимистический и оптимистический подходы и принимается решение i, при котором достигается максимум



Рассмотрим различные значения :

1. 
   При .
   

Проанализируем каждое решение. Для каждой строки матрицы Q вычислим величину параметра . Для этого в ячейку В18 введем функцию =$B$17*МИН(B3:F3)+(1-$B$17)*МАКС(B3:F3).

И скопируем ее в ячейки В19, В20 и В21. Получили:



Максимальное значение .

Следовательно, при , правило Гурвица рекомендует первое решение.



Рис.9

Аналогично проведем вычисления для остальных значений .

2. 
   При .
   

Максимальное значение .

При , правило Гурвица рекомендует первое решение.

3. 
   При .
   

Максимальное значение .

При , правило Гурвица рекомендует первое решение.



Рис.10. Результаты вычисление по правилу Гурвица
Примененные правила не дают однозначной рекомендации. В таких случаях выбирается то решение, которое рекомендуется чаще других. Рекомендации оформим в виде таблицы.

Решение	Критерии					Число решений, принятых по разным критериям
	Вальда	Сэвиджа	Гурвица
А1	+	+	+	+	+		5
А2		+					1
А3
А4	+	+					2

Однозначно нужно выбрать первое решение.
3)Проведите анализ ситуации частичной неопределенности при известных вероятностях того, что реальная ситуация развивается по варианту j: 0,25; 0,2; 0,3; 0,15; 0,1 (примените правила максимизации среднего ожидаемого дохода и минимизации среднего ожидаемого риска).

Решение сделаем в Excel. Подготовим матрицы последствий и рисков и введем вероятности того, что реальная ситуация развивается по варианту

j: 0,25; 0,2; 0,3; 0,15; 0,1



Рис. 11

Применим правило максимизации среднего ожидаемого дохода.

Доход, получаемый фирмой при реализации i-го решения, является случайной величиной , с рядом распределения . Математическое ожидание и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также . Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

Найдем средний ожидаемый доход для каждого решения при указанных вероятностях. Для этого в ячейку C10 введем функцию: =СУММПРОИЗВ($B$7:$F$7;B3:F3) и скопируем ее в ячейки C11, C12, C13. Получим: М(Q₁) = 8,35; М(Q₂) = 7,45; М(Q₃) = 5,2; М(Q₄) = 7,55.

Определили, что максимальный средний ожидаемый доход равен 8,35 и соответствует первому решению.



Рис.12. Результаты расчетов по правилу максимизации среднего ожидаемого дохода.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска.

Риск фирмы при реализации i-го решения является случайной величиной рядом распределения . Математическое ожидание, и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также . Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных вероятностях для каждого решения. В ячейку I10 введем функцию: =СУММПРОИЗВ($H$7:$L$7;H3:L3) и скопируем ее в ячейки I11, I12, I13. Получим средние риски: М(R₁) = 3,45; М(R₂) = 4,35; М(R₃) = 6,6; М(R₄) = 4,25.

Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний риск. Минимальный средний риск равен 3,45 и соответствует первому решению.



Рис.13. Результаты расчетов по правилу минимизации среднего ожидаемого риска.

В условиях частичной неопределенности нужно выбирать только первое решение.




Решение.

Портфель минимального риска с заданной доходностью находится по формуле Х = V^-1(λI + ν ).

Для нахождения портфеля предварительно надо вычислить:

- обратную матрицу V^-1;

- константы (при этом константы α, γ, 𝛿 – положительные числа):

- α = I^TV^-1I, β = I^TV^-1 = ^TV^-1I,

- γ = ^TV^-1 , 𝛿 = αγ – β²;

- λ = ; ν = .

Вычисления проведем в Excel.

Внесем исходные данные.

Р ис.14. Исходные данные

Введем зависимости.

Уравнение минимальной границы имеет вид:

σ =

Формула	Ячейка	Функция для вычисления
V-1	B6:D8	{=МОБР(C2:E4)}
ITV-1	B10:D10	{=МУМНОЖ(O2:Q2;B6:D8)}
α = ITV-1I	G6	{=МУМНОЖ(B10:D10;M2:M4)}
β = ITV-1	G8	{=МУМНОЖ(B10:D10;H2:H4)}
TV-1	B12:D12	{=МУМНОЖ(O4:Q4;B6:D8)}
γ = TV-1	G10	{=МУМНОЖ(B12:D12;H2:H4)}
𝛿 = αγ-β2	K6	=G6*G10-C8^2
λ = γ-βμ/𝛿	K8	=(G10-G8*K3)/K6
ν = αμ-β/𝛿	K10	=(G6*K3-G8)/K6
λI+ν	F15	=$K$8*B15+$K$10*D15
	F16:F17	Скопировать формулу из ячейки F15
X = V-1(λI+ν	С19:С21	{=МУМНОЖ(B6:D8;F15:F17)}
XT	J16:L16	{=ТРАНСП(C19:C21)}
XTV	J18:L18	{=МУМНОЖ(J16:L16;C2:E4)}
XTVX	J20	{=МУМНОЖ(J18:L18;C19:C21)}
σ	J20	=КОРЕНЬ(J20)

Рис.15. Результаты расчета портфеля минимального риска
Получили: Х = (0,538; 0,181; 0,281). Чтобы обеспечить доходность портфеля необходимо взять 53,8% бумаг первого вида; 18,1% - второго и 28,1% - третьего вида.

Риск каждой бумаги определим по ковариационной матрице: по диагонали стоят дисперсии, поэтому для рисков бумаг имеем:



Риск портфеля равен 4,31 и оказался меньше риска первой бумаги (σ₁=8), второй (σ₁=7) и третьей (σ₁=6) бумаг. При этом доходность портфеля μ=21% на 5% меньше доходности первой бумаги, на 4% больше доходности второй и на 7% больше доходности третьей бумаги.

Уравнение минимальной границы имеет вид:

σ =

Подставляя в нее найденные значения констант α=0,09; β=1,67; γ=31,09; 𝛿=0,12 получим

σ = = .

Итак, минимальная граница имеет вид σ = .



Решение.

При ρ₁ = 0,3, q₁ = 150, К₁ = 108; ρ₂ = 0,2, q₂ = 70, К₂ = 104, m=2

воспользуемся формулой

ρ = / , где

ρ_k – доходность облигации,

q_k – количество облигаций данного вида,

K_k – курс облигации.

Вычисления выполним в Excel.



Рис.16. Результаты вычислений поиска доходности портфеля облигаций

Ответ: Доходность портфеля облигаций равна ρ ≈ 0,269.