кр по марту. Вопросы к письменной контрольной работе 2
 Скачать 1.48 Mb.
|
|
Вопросы к письменной контрольной работе №2 Используемые сокращения: СВ – случайная величина; СП – случайный процесс; ПВ – плотность вероятности; ФР – функция распределения; КФ – корреляционная функция, ХФ - характеристи- ческая функция. 1. Что такое случайная величина? Какие случайные величины называются дис- кретными, а какие – непрерывными? Что такое СВ смешанного типа (дискретно- непрерывная)? Какой вид имеют в общем случае ПВ и ФР этих случайных вели- чин? Приведите рисунки ПВ и ФР для непрерывной и дискретной СВ. Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Дискретными называются случайные величины, значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их может быть как конечно, так и бесконечно). Непрерывными называются случайные величины, которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка. Случайная величина называется смешанной, если ее функция распределения F(х) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы (скачки). 2. Что такое функция распределения СВ? Как она связана с плотностью вероятно- сти СВ? Какие свойства функции распределения вам известны? Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x, то есть F(x) = P(X < x). Основные свойства функции распределения F(x): 1. Так как по определению F(x) равна вероятности события, все возможные значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]: 0 £ F(x) £ 1. 2. Если  , то  , то есть F(x) – неубывающая функция своего аргумента.3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее полуинтервалу [a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a £ X < b) = F(b) – F(a). 4. Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a, b], то F(x) = 0, при x £ a; F(x) = 1, при x > b. Функция плотности распределения f(x), как и функция распределения F(x), является одной из форм задания закона распределения, но она применима только для непрерывных случайных величин. 3. Что такое плотность вероятности СВ? Как связаны между собой функция рас- пределения и плотность вероятности случайной величины? Какие свойства плотно- сти вероятности вам известны? Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке: f(x) = F ¢(x). По своему смыслу значения функции f(x) пропорциональны вероятности того, что исследуемая случайная величина примет значение где-то в непосредственной близости от точки x. Свойство 1. Плотность распределения вероятностей – неотрицательная функция: f(x) ³ 0 (геометрически: кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс). Свойство 2. Вероятность попадания значения случайной величины на участок от a до b определяется по формуле  ;(геометрически: эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(x), осью Ох и прямыми x = a и x = b). Свойство 3.  (геометрически: площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице). В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a, b], то  Свойство 4. Функция распределения F(x) может быть найдена по известной функции плотности распределения следующим образом:  4. Как, зная ФР некоторой случайной величины, определить вероятность попадания этой СВ в заданный интервал [a, b]? Вероятность попадания случайной величины X в интервал [x1,x2) вычисляют по формуле P(x1≤X<x2)=f(x2)–f(x1). 5. Как, зная ПВ некоторой случайной величины, определить вероятность попада- ния этой СВ в заданный интервал [a, b]?  6. Можно ли, зная W(x) и W(y/ x) , найти совместную плотность вероятности вели- чин x и y? 7. Как записываются совместные ФР и ПВ для совокупности двух независимых СВ? 8. Как определяются начальные моменты распределения дискретных и непрерыв- ных СВ? Приведите формулы в общем виде.  9. Приведите формулы для расчета математического ожидания непрерывной и дис- кретной СВ. Что характеризует математическое ожидание? Математическое ожидание случайной величины XX (обозначается M(X)M(X) или реже E(X)E(X)) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание - это первый начальный момент заданной СВ.  10. Как определяются центральные моменты распределения дискретных и непре- рывных СВ? Приведите формулы в общем виде.   11. Приведите формулы для расчета дисперсии непрерывной и дискретной СВ. Что характеризует дисперсия? Дисперсия - это мера разброса значений случайной величины XX относительно ее математического ожидания M(X)M(X) (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около M(X)M(X): если дисперсия маленькая - значения сравнительно близки друг к другу, если большая - далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).  12. Доказать утверждение: M2 m2 m12 . 13. Чему равно математическое ожидание произведения независимых СВ? Ответ ар- гументировать. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M[X•Y]=M[X]•M[Y], если X и Y независимы. 14. Доказать, что первый центральный момент распределения СВ всегда равен нулю. Для любой СВ первый центральный момент всегда равен нулю:  . Это не сложно пояснить: μ1[Х]= М[ ] = М[ х – mХ] = М[х] + М[-mХ] = mХ - mХ = 0.15. Какова размерность плотности вероятности, функции распределения, матема- тического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения ?  16. Случайную величину умножили на детерминированную положительную кон- станту А. Как изменились плотность вероятности; функция распределения; сред- нее; дисперсия; среднеквадратичное отклонение? 17. Чему равно математическое ожидание суммы СВ? Ответ аргументировать. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:  18. К случайной величине добавили детерминированную положительную кон- станту А. Как изменились плотность вероятности; функция распределения; сред- нее; дисперсия; среднеквадратичное отклонение? 19. Чему равно математическое ожидание линейной комбинации попарно независи- мых СВ? Ответ аргументировать. 20. Что такое ковариация случайных величин X и Y? Что она показывает? Ковариация – мера взаимосвязи двух случайных величин, измеряющая общее отклонение двух случайных величин от их ожидаемых значений. Метрика оценивает, в какой степени переменные изменяются вместе. Другими словами, это мера Дисперсии (Variance) между двумя переменными. 21. Как определяется дисперсия разности двух СВ? Ответ аргументировать. Как и почему изменится ответ, если случайные величины независимы?  22. Чему равна дисперсия линейной комбинации попарно независимых СВ? Ответ аргументировать. Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство: D[n∑i=1ciXi]=n∑i=1c2iD[Xi]+2∑1⩽i<j⩽ncicjcov(Xi, Xj), где ci∈R. 23. Как определяется дисперсия суммы двух СВ? Ответ аргументировать. Как и по- чему изменится ответ, если случайные величины независимы?  24. Что такое коэффициент корреляции? Что он показывает? Какие значения он может принимать? Что означает r = –1; 0; 1? Коэффициент корреляции - это статистический показатель зависимости двух случайных величин. Коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1. При этом, значение -1 будет говорить об отсутствии корреляции между величинами, 0 - о нулевой корреляции, а +1 - о полной корреляции величин. Т.е., че ближе значение коэффициента корреляции к +1, тем сильнее связь мезду двумя случайными величинами. 25. Доказать, что независимые СВ некоррелированы. Случайные величины  и  , для которых корреляционный момент  , называются некоррелированными.Учитывая, что  ,получаем: случайные величины и являются некоррелированными тогда и только тогда, когда  .Отсюда и из теоремы 2 вытекает, что из независимости случайных величин всегда следует их некоррелированность. Обратное, вообще говоря, неверно. Можно только сказать, что если случайные величины являются коррелированными, так, что  , то они являются зависимыми.26. Всегда ли независимые случайные величины являются некоррелированными? Всегда ли некоррелированные случайные величины являются независимыми? Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзя сделать вывод о их независимости. Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. 27. Приведите примеры известных вам законов распределения СВ с указанием формул и (или) рисунков для ПВ (не менее трех примеров). На рисунках привести необходимые обозначения.    28. Приведите формулу и рисунок для ПВ нормально распределенной случайной величины. Чему равны ее математическое ожидание и дисперсия? 29. Приведите формулу и рисунок для ПВ случайной величины, равномерно рас- пределенной на отрезке [a, b]. Чему равны ее математическое ожидание и диспер- сия? 30. СВ Х имеет равномерную ПВ в интервале [-1; 3]. Найти математическое ожи- дание и дисперсию СВ Y = 2X-1. 31. СВ имеет равномерную ПВ в интервале [-1; 3]. Найти ее математическое ожи- дание, медиану, квартили и дисперсию. 32. СВ принимает значения +1 или -1. Вероятность значения +1 равна 0,4. Запи- сать и построить ПВ и ФР этой СВ. 33. СВ равновероятно принимает значения +1 или -2. Найти ее математическое ожидание и дисперсию. 34. СВ Х имеет нормальную ПВ с математическим ожиданием 2 и дисперсией 4. Записать формулу для ПВ величины Х и ПВ случайной величины Y = 3X+8. Нари- совать в одних координатных осях ПВ для случайных величин Х и Y. 35. Дать определение случайного процесса. Приведите не менее двух примеров случайных процессов.  36. Какие характеристики дают полное статистическое описание СП? 37. Выберите правильное утверждение: а) если процесс строго стационарный, то он будет и стационарным в широком смысле; б) если процесс стационарный в ши- роком смысле, то он будет и строго стационарным. Существует ли СП, для которо- го оба утверждения верны? Случайный процесс называется стационарным в строгом (узком) смысле, если его функция распределения любого порядка не изменяется при сдвиге совокупности точек на величину, т.е. Другими словами, для стационарного процесса функция распределения любого порядка и, следовательно, его характеристики не зависят от положения начала отсчета времени. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если ее математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а ковариационная функция зависит лишь от разности аргументов. К нестационарным процессам относятся все случайные процессы, неудовлетворяющие условиям стационарности. 38. Как определяется взаимная корреляционная функция СП x(t) и y(t)? 39. Дать определение эргодического СП. Как для эргодического СП определить математическое ожидание и корреляционную функцию путем усреднения по вре- мени? Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству возможных реализаций, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равна временному среднему, полученному усреднением за достаточно большой промежуток времени из одной единственной реализации случайного процесса. 40. Дать определение СП, стационарного в широком смысле. Случайный процесс  называетсястационарным вшироком смысле,если его математическое ожидание  есть постоянное число, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов, т.е. Из этого определения следует, что корреляционная функция стационарного процесса есть функция одного аргумента:  Это обстоятельство часто упрощает операции над стационарными случайными процессами.41. Записать выражения для математического ожидания, дисперсии и корреляци- онной функции произвольного СП.  42. Как связаны между собой корреляционная функция и спектральная плотность стационарного СП? Приведите формулы.  43. Дать определение СП, стационарного в узком смысле. Случайный процесс называютстационарным вузком смысле, если его характеристики зависят не от значений аргументов, а лишь от их взаимного расположения. То есть, для функции распределения сечений процесса должно выполняться равенство: +  при любых  44. Запишите формулы для определения дисперсии стационарного СП а) через плотность вероятности; б) через КФ; в) через спектральную плотность. 45. Перечислите свойства спектральной плотности стационарного СП. 46. Сформулируйте теорему Винера-Хинчина. Как, зная спектральную плотность стационарного СП, найти его дисперсию? Теорема Хинчина — утверждает, что спектральной плотностью мощности стационарного в широком смысле случайного процесса является преобразование Фурье соответствующей автокорреляционной функции ВИНЕРА-ХИНЧИНА ТЕОРЕМА -утверждение о том, что спектральная плотность стационарного случайного процесса, связанная с его корреляц. 47. ------ 48. Перечислите свойства корреляционной функции плотности стационарного СП. 1. Корреляционная функция при  = 0 равна дисперсии процесса (3.5)Это свойство вытекает непосредственно из формулы (3.1), если в ней положить = 0.2. Корреляционная функция стационарного процесса является чётной функцией аргумента  : (3.6)Это свойство непосредственно вытекает из определения стационарного процесса, для которого важны не сами значения моментов  и t2, а расстояние во времени одного сечения от другого |t2-t1 |.3. Корреляционная функция при любом t не может превзойти своего значения при = 0: (3.7)Это свойство физически означает, что наибольшая степень линейной связи обеспечивается между одним и тем же сечением, то есть при =0. Правда, если  является периодическим процессом, то может найтись еще какое-либо  , соизмеримое с периодом процесса, для которого выполняется жесткая функциональная связь между и  . Поэтому в формуле (3.7) в общем случае может выполняться не только неравенство, но и равенство.4. Корреляционная функция может быть представлена в виде  (3.8)где r(t) нормированная корреляционная функция, имеющая смысл коэффициента корреляции, зависящего от и заключенная в пределах . (3.9)Она характеризует только степень линейной связи между сечениями случайного процесса, взятыми через интервал . В свою очередь, дисперсия  процесса характеризует только среднюю удельную мощность флюктуаций случайного процесса.5. Для широкого класса стационарных случайных процессов удовлетворяется условие  . (3.10)Физический смысл выражения (3.10) состоит в утверждении того факта, что линейная связь между сечениями случайного процесса при значительном удалении одного сечения от другого во времени отсутствует. 6. На практике важным параметром является интервал корреляции  , который характеризует эффективную ширину корреляционной функции. С общих позиций интервал корреляции определяется выражением (3.11)Численно  равно основанию прямоугольника с высотой  , имеющего ту же площадь, что и фигура, ограниченная кривой  , при  . Интервал корреляции определяет тот временной интервал между сечениями случайного процесса , при превышении которого эти сечения считаются некоррелированными.49. Какой процесс называют «белым» шумом? Какой вид имеют K и S для данного процесса? Если случайный процесс обладает равномерным энергетическим спектром в бесконечно широкой полосе частот  то такой шум называют белым по аналогии с белым светом, имеющим в видимой части равномерный сплошной спектр. На рис.1 показана спектральная характеристика белого шума, где Wx(f) = W0 .Корреляционная функция белого шума равна  т.е. представляет собой дельта-функцию в начале координат. Коэффициент корреляции для белого шума равен  50. Дать определение узкополосного процесса. К узкополосным случайным процессам относят процессы, спектральная плотность мощности которых сосредоточена в относительно узкой полосе частот в окрестности некоторой достаточно высокой частоты f0, то есть f < 51. Дать определение нормального СП. Случайный процесс называют нормальным, или гауссовым процессом, если любые его конечномерные законы распределения являются нормальными. |