Задачи МФТИ. З ада ч ифизикоматематических олимпиад 2017
 Скачать 420.59 Kb.
|
|
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» З АДА Ч И физико-математических олимпиад 2017 Учебно-методические разработки по физике и математике М ОСКВА МФТИ 2018 УДК 53 ББК 22.3 Б61 Задачи физико-математической олимпиады «Phys tech.International» 2017. (Учебно-методические разработки по физике и математике. // Чивилёв В.И., Усков В.В., Ше ронов А.А., Юрьев Ю.В., Плис В.И., Агаханов Н.Х., Глухов И.В., Городецкий СЕ, Подлипский О.К. – М МФТИ, 2018. – 48 с. Приведены задачи, предлагавшиеся на заключительном этапе олимпиады «Phystech.International» в декабре 2017 г. (2017-2018 учебный год). Все задачи снабжены ответами, часть — подробными решениями. Предназначены для абитуриентов МФТИ и других технических вузов, а также для преподавателей школ с углубленным изучением физики и математики. УДК 53 ББК 22.3 c ° Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет, 2018 c ° Коллектив авторов, 2018 С ОДЕРЖАНИЕ Условия задач Физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 10 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 11 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 9 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 10 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 11 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ответы и решения Критерии оценивания задач по физике . . . . . . . . . . . . Физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 10 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 11 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 9 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 10 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 11 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4 ФИЗИКА ЗАДАЧИ Билет ФИЗИКА bbБИЛЕТ 1, 9 класс 1. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платформе, за τ 1 = 1 с, а второй — за τ 2 = 1,5 с. Длина каждого вагонам. Найдите скорость поезда вначале наблюдения. Поезд движется по прямой равнозамедленно. 2. Начальная скорость камня, брошенного под углом к горизонту, равна V 0 = 10 мс, а через τ = 0,5 с величина скорости камня уменьшилась до V = 7 мс. Через какое время T после старта камень находился на максимальной высоте Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 3. Подвешенному на нити шарику сообщили начальную скорость в горизонтальном направлении. В тот момент, когда нить отклонилась на угол α = от вертикали, ускорение шарика направлено горизонтально. Какой угол α max с вертикалью будет образовывать нить в момент остановки шарика? 4. В очень легком калориметре находятся вода массой M = 0,1 кг и кусок льда массой m = 0,05 кг. Температура воды и льда 0 ◦ C, температура окружающей среды t 1 = 20 ◦ C. Из за притока теплоты лед понемногу плавится — за τ = 5 минут вводу превращается m 1 = 1 г льда. Какое время T пройдет (оценить) от момента полного плавления льда до увеличения температуры системы на ∆t = 1 ◦ C? Удельная теплота плавления льда λ = 3,3 · 10 5 Дж/кг, удельная теплоемкость воды c = = 4200 Дж/(кг·К). 1 2 3 Риск задаче Цепь, схема которой показана на рисунке, подключена к источнику постоянного напряжения U = 18 В. Сопротивление каждого резистора равно r = 5 Ом. Найдите мощность P 1 , рассеиваемую на резисторе 1. ФИЗИКА ЗАДАЧИ Билет 3 БИЛЕТ 2, 9 класс 1. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платформе, за τ 1 = 1 с, а второй — за τ 2 = 1,5 с. Длина каждого вагонам. Через какое время T после начала наблюдения поезд остановился В процессе торможения поезд движется по прямой равнозамедленно. 2. Начальная скорость камня, брошенного под углом к горизонту, равна V 0 = 10 мс, а через τ = 0,5 с величина скорости камня уменьшилась до V = 7 мс. Найдите максимальную высоту полета камня. Ускорение свободного падения g = 10 м/с 2 3. На нити подвешен шарик. Шарик отводят в сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой угол образует нить с вертикалью в тот момент, когда ускорение шарика направлено горизонтально? 4. В калориметр, содержащий m 1 = 2 кг льда при температуре t 1 = = −5 ◦ C, добавили m 2 = 200 г воды при температуре t 2 = +Определите массу m льда в калориметре после установления равновесия. Удельные теплоемкости льда c 1 = 2100 Дж/(кг·К), воды c 2 = 4200 Дж/(кг·К), удельная теплота плавления льда λ = = 3,3 · 10 5 Дж/кг. 1 2 3 Риск задаче Цепь, схема которой показана на рисунке, подключена к источнику постоянного напряжения. Сопротивления всех резисторов равны. На резисторе рассеивается мощность P 1 = 10 Вт. Найдите мощность P , рассеиваемую на всей цепи. БИЛЕТ 3, 10 класс 1. Мальчик бьет ногой по мячу, который лежал на горизонтальной поверхности земли, на некотором расстоянии от вертикальной стены дома. Мяч полетел под углом α = к горизонту и после упругого столкновения со стеной упал через время t 0 = секунды после начала полета на тоже место, где лежал внача 6 ФИЗИКА ЗАДАЧИ Билет 3 ле. 1) На каком расстоянии L от стены лежал мяч вначале) Найти высоту H от поверхности земли до места удара мяча о стену. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с 2 2. Шарик массой m 1 , скользивший по гладкой горизонтальной поверхности, сталкивается с шариком массой m 2 , который покоился на той же поверхности. После центрального упругого удара шарик массой начал двигаться в обратном направлении со скоростью в 3 раза меньшей начальной) Найти отношение масс 2) Найти отношение скорости шарика массой m 2 , после столкновения к скорости шарика массой до столкновения. 3. Навстречу шарику, скользящему по гладкой горизонтальной поверхности, движется по той же поверхности брусок. Шарики брусок движутся вдоль одной прямой. Скорость шарика перпендикулярна грани бруска, о которую он ударяется. Масса бруска много больше массы шарика. После упругого удара шарик движется в обратном направлении со скоростью, которая в 2 раза больше его начальной скорости. Найти отношение скоростей движения шарика и бруска до столкновения. 4. В двух теплоизолированных сосудах одинакового объема, соединенных короткой трубкой с закрытым краном, находятся ν 1 = = 1/3 моль одноатомного идеального газа при температуре T 1 = = 300 K и ν 2 = 1/5 моль другого одноатомного идеального газа при температуре T 2 = 500 K. Кран открывается, газы в сосудах смешиваются) Найти температуру в сосудах после установления теплового равновесия) Найти отношение конечного давления в смеси газов к начальному давлению в сосуде с температурой Объем идеального газа увеличивается в n = 3 раза в изобарическом процессе, а затем еще раз увеличивается в n = 3 раза в процессе прямо пропорциональной зависимости давления газа ФИЗИКА ЗАДАЧИ Билет 4 7 P от его объема V . V 0 P 1 2 Риск задаче 5 1) Во сколько раз увеличивается конечная температура газа по сравнению сна чальной2) Найти отношение работы, которую совершает газ в изобарическом процессе, к работе, которую он совершает в процессе прямо пропорциональной зависимости давления газа P от его объема V БИЛЕТ 4, 10 класс 1. Мальчик бьет ногой по мячу, который лежал на горизонтальной поверхности земли на некотором расстоянии от вертикальной стены дома. Мяч полетел под углом α = к горизонту и после упругого столкновения со стеной упал через время t 0 = секунды после начала полета на тоже место, где лежал вначале) На каком расстоянии L от стены лежал мяч вначале) Найти высоту H от поверхности земли до места удара мяча о стену. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с 2 2. Шарик массой m 1 , скользивший по гладкой горизонтальной поверхности, сталкивается с шариком массой m 2 , который покоился на той же поверхности. После центрального упругого удара шарик массой начал двигаться в обратном направлении со скоростью в 2 раза меньшей начальной) Найти отношение масс 2) Найти отношение скорости шарика массой к скорости шарика массой до столкновения. 3. Навстречу шарику, скользящему по гладкой горизонтальной поверхности, движется по той же поверхности брусок. Шарики брусок движутся вдоль одной прямой. Скорость шарика перпендикулярна грани бруска, о которую он ударяется. Масса бруска много больше массы шарика. После упругого удара шарик движется в обратном направлении со скоростью, которая в 4 раза больше его начальной скорости 8 ФИЗИКА ЗАДАЧИ Билет Найти отношение скоростей движения шарика и бруска до столкновения. 4. В двух теплоизолированных сосудах одинакового объема, соединенных короткой трубкой с закрытым краном, находятся ν 1 = = 1/2 моль одноатомного идеального газа при температуре T 1 = = 200 K и ν 2 = 1/3 моль другого одноатомного газа при температуре T 2 = 300 K. Кран открывается, газы в сосудах смешиваются) Найти температуру в сосудах после установления теплового равновесия) Найти отношение конечного давления в смеси газов к начальному давлению в сосуде с температурой T 1 V 0 P 1 Риск задаче Объем идеального газа увеличивается в = 2 раза в изобарическом процессе, а затем еще раз увеличивается в n = 2 раза в процессе прямо пропорциональной зависимости давления газа P от его объема . 1) Во сколько раз увеличивается конечная температура газа по сравнению сна чальной2) Найти отношение работы, которую совершает газ в изобарическом процессе, к работе, которую он совершает в процессе прямо пропорциональной зависимости давления газа P от его объема V БИЛЕТ 5, 11 класс 1. Небольшой шарик висит на легкой нити длиной 50 см. Какую минимальную горизонтальную скорость надо сообщить шарику, чтобы он, двигаясь по окружности, совершил полный оборот в вертикальной плоскости Принять g = 10 м/с 2 2. Небольшая шайба массой m скользит по гладкому горизонтальному столу со скоростью к неподвижной незакрепленной горке массой 3m см. рис. Шайба въезжает на горку, движется по ней без трения и отрыва и съезжает с горки в обратном направ ФИЗИКА ЗАДАЧИ Билет 5 9 лении. 1) На какую максимальную высоту поднимается шайба) С какой скоростью шайба съезжает с горки? V 0 E R 1 R E C Рис. к задаче Риск задаче Риск задаче 5 3. Теплоизолированный сосуд объемом V = 8,31 · 10 −3 м 3 разде лен перегородкой на две части с различными объемами. Впервой части находится гелий при температуре 27 ◦ C в количестве 0,2 моль. Во второй части находится гелий при температуре в количестве ν 2 = 0,3 моль. Перегородка прорывается) Какая температура (в градусах Цельсия) установится в сосуде после наступления термодинамического равновесия) Найти конечное давление в сосуде. 4. Плоский воздушный конденсатор емкостью подсоединен через резистор к источнику с ЭДС E . (см. рис. В конденсатор вводят параллельно обкладкам незаряженную проводящую пластину и располагают ее напротив обкладок. Форма поверхности пластины совпадает с формой поверхности обкладок. Толщина пластины в 4 раза меньше расстояния между обкладками) Найти емкость конденсатора с пластиной) Какой заряд пройдет через резистор после начала введения пластины? 5. В цепи, схема которой показана на рисунке, ключ разомкнут. Параметры цепи указаны на схеме. Внутреннее сопротивление источника содержится в R, R1 = 3R. Ключ замыкают. После достижения вцепи установившегося режима ключ размыкают. Известными величинами считать C, E , R. 1) Найти ток через источник сразу после замыкания ключа) Найти установившееся напряжение на конденсаторе приза мкнутом ключе 10 ФИЗИКА ЗАДАЧИ Билет 6 3) Какое количество теплоты выделится вцепи после размыкания ключа? БИЛЕТ 6, 11 класс 1. Небольшой шарик висит на легкой нити длиной 18 см. Какую минимальную горизонтальную скорость надо сообщить шарику, чтобы он, двигаясь по окружности, совершил полный оборот в вертикальной плоскости Принять g = 10 м/с 2 2. Небольшая монета массой m скользит по гладкому горизонтальному столу со скоростью к неподвижной незакрепленной горке массой 4m см. рис. Монета въезжает на горку, движется по ней без трения и отрыва и съезжает с горки в обратном направлении) На какую максимальную высоту поднимается монета) С какой скоростью монета съезжает с горки? V 0 E R 1 R E C Рис. к задаче Риск задаче Риск задаче 5 3. Теплоизолированный сосуд объемом V = 8,31 · 10 −3 м 3 разделен перегородкой на две части с различными объемами. Впервой части находится гелий при температуре 127 ◦ C в количестве ν 1 = = 0,1 моль. Во второй части находится гелий при температуре в количестве ν 2 = 0,4 моль. Перегородка прорывается) Какая температура (в градусах Цельсия) установится в сосуде после наступления термодинамического равновесия) Найти конечное давление в сосуде. 4. Плоский воздушный конденсатор емкостью подсоединен через резистор к источнику с ЭДС E см. рис. В конденсатор вводят параллельно обкладкам незаряженную проводящую пластину и располагают ее напротив обкладок. Форма поверхности ФИЗИКА ЗАДАЧИ Билет 6 пластины совпадает с формой поверхности обкладок. Толщина пластины в 3 раза меньше расстояния между обкладками) Найти емкость конденсатора с пластиной) Какой заряд пройдет через резистор после начала введения пластины? 5. В цепи, схема которой показана на рисунке, ключ разомкнут. Параметры цепи указаны на схеме. Внутреннее сопротивление источника содержится в R, R 1 = 4R. Ключ замыкают. После достижения вцепи установившегося режима ключ размыкают. Известными величинами считать C, E , R. 1) Найти ток через источник сразу после замыкания ключа) Найти установившееся напряжение на конденсаторе приза мкнутом ключе) Какое количество теплоты выделится вцепи после размыкания ключа 12 МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ Билет МАТЕМАТИКА bbБИЛЕТ 1, 9 класс 1. Парабола y = пересекает прямые y = 147, y = 75 и y = высекая на каждой из прямых отрезок. При каких значениях параметра a из этих трёх отрезков можно составить прямоугольный треугольник? 2. Дан четырёхугольник ABCD. Внутри него расположены три попарно касающиеся окружности одинакового радиуса ω 1 , и ω 3 , причём касается сторон AD и DC, касается сторон и CB, а касается сторон CB, BA и AD. Найдите радиусы окружностей, если известно, что AD + BC − AB − CD = 30. 3. Чиполлино наклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит помарки на каждый лист, то все его марки в альбом не поместятся, а если помарок на каждый лист, то по крайней мере один лист останется пустым. Если преподнести Чиполлино в подарок точно такой же альбом, на каждом листе которого наклеено помарке, то у него станет ровно 700 марок. Сколько марок сейчас у Чиполлино? (Все марки имеют один и тот же раз мер.) 4. При каких значениях параметра a решением неравенства − 3a| 6 √ x − 1 является отрезок длины Найдите количество 19-значных чисел, содержащих только цифры “2”, “5” и “7” (при этом каждая цифра встречается хотя бы один раз) таких, что цифр “7” ровно восемь, и они идут подряд. 6. Точки F и L лежат на сторонах AC и BC треугольника ABC соответственно, причём AF : F C = 3 : 5. Отрезки BF и AL пересекаются в точке Q; площади треугольников BQL и BAC относятся как 4 : 25. Найдите расстояние от точки L до прямой если расстояние от точки Q до прямой AC равно 12. 7. Пиноккио выбрал по 5 целых чисел из каждого промежутка 25], [26; 50], [51; 75], [76; 100]. Оказалось, что разность никаких двух выбранных чисел не делится на 25. Какое наименьшее значение может принимать сумма двадцати выбранных Пинок кио чисел МАТЕМАТИКА ЗАДАЧИ Билет 2 БИЛЕТ 2, 9 класс 1. Парабола y = пересекает прямые y = 125, y = 80 и y = высекая на каждой из прямых отрезок. При каких значениях параметра a из этих трёх отрезков можно составить прямоугольный треугольник? 2. Дан четырёхугольник ABCD. Внутри него расположены три попарно касающиеся окружности одинакового радиуса ω 1 , и ω 3 , причём касается сторон AD и DC, касается сторон и CB, а касается сторон CB, BA и AD. Найдите радиусы окружностей, если известно, что AD + BC − AB − CD = 28. |