теоритическая механика. Аушатов Теоретическая механика решение. Задача 1 Простейшие движения твердого тела

• Название: Задача 1 Простейшие движения твердого тела
• Анкор: теоритическая механика
• Дата: 31.03.2022
• Размер: 0.56 Mb.
• Имя файла: Аушатов Теоретическая механика решение.doc
• Тип: Задача; #431117

Задача № 1: «Простейшие движения твердого тела»

Для заданного момента времени t₁=1,25 сек определите линейные скорости и линейные ускорения всех отмеченных точек, если: r₁=2 см, R₁=4 см, r₂=5 см, R₂=10 см, r₃=4 см, R₃=12 см, закон движения см.



Рисунок 1.1

Дано: r₁=2 см, R₁=4 см, r₂=5 см, R₂=10 см, r₃=4 см, R₃=12 см, t₁ = 1,25 с

,

Найти: v_A - ? v_B - ? v_C - ? a_A - ? a_B - ? а_C - ?

Решение:

1. Определим скорость рейки 4



при t₁ = 1,25 с скорость рейки 4 равняется



знак «минус» показывает, что угловая скорость s₄ направлена в сторону, противоположную s₄, т.е. против вниз.

2. Определим ускорение рейки 4:



при t₁ = 1,25 с ускорение рейки 4 равняется



знак «минус» показывает, что ускорение а₄ направлено в сторону, противоположную s₄, т.е. вниз.

3. Рейка 4 и колесо 2 находятся в зацеплении, поэтому

Отсюда угловая скорость колеса 2:

4. Угловое ускорение колеса 2 равняется



5. Скорость точки В



6. Определим ускорение точки В:



где - тангенциальное ускорение точки B.

- нормальное ускорение точки B

Полное ускорение точки B:



7. Колеса 1 и 2 связаны ременной передачей, поэтому

Отсюда угловая скорость колеса 1:

8. Угловое ускорение колеса 1 равняется



9. Скорость точки А



10. Определим ускорение точки A:



где - тангенциальное ускорение точки A.

- нормальное ускорение точки A

Полное ускорение точки A:



11. Колеса 1 и 3 находятся в зацеплении, поэтому

Отсюда угловая скорость колеса 3:

12. Угловое ускорение колеса 3 равняется



13. Скорость точки C



14. Определим ускорение точки C:



где - тангенциальное ускорение точки C.

- нормальное ускорение точки C

Полное ускорение точки C:





Рисунок 1.2

Ответ: ; ; ; ; ;
Задача № 2: «Определение реакций в опорах жесткой рамы»

Жёсткая рама опирается на шарнирно-неподвижную опору в точке A и шарнирно-подвижную опору в точке В. К раме приложены силы Р₁ (Н) и Р₂ (Н), пары сил с моментами M₁ (Нм) и M₂ (Нм), распределённая нагрузка интенсивностью q₁ (Н/м). В центре тяжести однородной треугольной пластины приложена сила G, пропорциональная её площади (коэффициент пропорциональности γ=0,5). Определите реакции в опорах жесткой рамы. Вы- полните проверку правильности решения.



Рисунок 2.1

Дано: P₁ = 1 Н; Р₂ = 6 Н; M₁ = 30 Нм; M₂ = 1 Нм; q₁ = 4 Н/м; l_CB = 0,8 м; l_BD = 0,6 м; l_DA = 1 м; l_AE = 1,2 м; α₄ = 60º; β₁ = 0º; β₂ = 90º.

Решение:

Вычертим расчетную схему рамы в масштабе 1:10 (рис. 2.2). Проведем координатные оси х,y и изобразим действующие на пластину силы: силы и , пары сил с моментами М₁ и М₂, распределенную нагрузку q₁ и реакции связей , и (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция невесомого стержня направлена вдоль стержня). Сила тяжести пластины G приложена в центре тяжести пластины, в точке пересечения медиан треугольника

Площадь пластины



Сила тяжести пластины .

Равномерно распределенную нагрузку q₁ заменим силой:

(приложена на расстоянии 1,2/2=0,6м от точки Е).



Рисунок 2.2.
Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. Получим:

(1)

(2)

(3)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин

и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Из уравнения (3) выразим R_B



Из уравнения (2) выразим Y_A



Из уравнения (1) выразим Х_A



Сделаем проверку:

Условие равновесия выполняется. Реакции определены верно.

Ответ: , , знак «минус» показывает, что направление реакции противоположно указанному на рисунке.
Задача 3: «Теорема об изменении кинетической энергии»

Механическая система, состоящая из груза 1, ступенчатого шкива 2 и однородного диска 3, движется из состояния покоя под действием сил тяжести тел. На груз 1 действует сила трения скольжения и движущая сила , на диск 3 – движущий момент М. Определить скорость груза 1 в момент времени, когда пройденный им путь станет S=2м.



Рисунок 3.1

Дано: m₁ = 25 кг; m₂ = 2,5 кг; m₃ = 1,2 кг; r₂ = 1 м; R₂ = 2,2 м; ρ₂ = 2 м; R₃ = 1,5 м; М = 35 Нм; f = 0,1; α = 30º;

Определить: V₁ при S = 2 м.

Решение:

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1,2,3 и соединяющей их нити относительно неподвижно­го основания (рис. 3.1).

2. Заданные силы - силы тяжести тел:

, , ,

, , .

3. Связи:

Шероховатая плоскость, неподвижные цилиндрические шар­ниры –О₂ и О₃;реакции:

4. При движении механической системы к ней приложены внешние силы и моменты:



5. Для определения скорости V₁, груза при его перемещении из состояния покоя на расстояниеS применим теорему об изме­нении кинетической энергии механической системы на конечном перемещении:



где Т – кинетическая энергия механической системы в конечном положении;

Т₀ – кинетическая энергия механической системы в началь­ном положении;

– сумма работ внешних сил, приложенных к механиче­ской системе при ее конечном перемещении, соответствующем заданному перемещениюS груза;

– сумма работ внутренних сил, приложенных к механи­ческой системе при том же перемещении.

Т₀ = 0, так как механическая система была в покое в началь­ном положении;

, так как тела 1, 2, 3 - твердые, нити – нерастяжимые и нет их проскальзывания по поверхностям тел 2 и 3, тогда теорема примет вид:



Вычисляем кинетическую энергию механической системы в ее конечном положении:



где - кинетическая энергия тела 1, совершающего по­ступательное движение;

- кинетическая энергия тела 2, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной осиz₂, проходящей через точку О₂ перпендикулярно плоскости, рис. 3.2;

- кинетическая энергия тела 3, совершающею вращательное движение вокруг неподвижной осиz₃ проходящей через точку О₃ перпендикулярно плоскости, рис. 3.2.

, – моменты инерции тел относительно осей вращения.

Выразим угловые скорости ω₂ и ω₃ через ис­комую скорость V₁:

;

так как тросы нерастяжимы и нет проскальзы­вания. Тогда кинетиче­ская энергия тел:

;

;



тогда





Рисунок 3.2

Вычислим сумму работ всех внешних сил, приложенных к механической системе при перемещении, соответствующем перемещениюS груза 1 вниз по наклонной плоскости:



где h — изменение положения центра тяжести груза, при его перемещении наS, , тогда

,

,

так как точки О₂ и O₃ приложения этих сил неподвижны.

, так как





где , а и ,



получаем:



Подставим вычисленные значения в теорему:



и получим:

,

откуда:

.

Ответ: скорость груза V₁, при его перемещении наS= 2 м из состояния покоя равна .