Заказ №58022. Задачи для контрольных заданий

• Название: Задачи для контрольных заданий
• Дата: 27.02.2019
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: Заказ №58022.doc
• Тип: Документы; #69015

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

1.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
7. Даны координаты вершин треугольника . Найти:

а) длину стороны ,

б) уравнения сторон , и и их угловые коэффициенты,

в) угол ,

г) уравнение высоты ,

д) уравнение медианы ,

е) систему линейных неравенств, определяющих треугольник . Сделать чертёж.

, , .

Решение:

а) ;

;

б) Составим уравнение стороны :

; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

Составим уравнение стороны :

; ; ; ; ;

; ; ;; ; ;

Составим уравнение стороны :

; ; ; ; ;

; ; ; ;

в) ; ;

;

;

;

;

г) Высота перпендикулярная стороне . Найдём угловой коэффициент высоты, из условия: ; . Следовательно: ;

; ; или - уравнение высоты ;

е) Найдём координаты точки , середины стороны : ;

;; ; ;

; ; ; ; ;

; или - уравнение медианы;

е) Подставим координаты точки в уравнение



Подставим координаты точки в уравнение

;

Подставим координаты точки в уравнение

. Следовательно:



Чертёж.




17. Составить уравнение линии, для каждой точки которой её расстояние до точки равно расстоянию до прямой . Сделать чертёж.

Решение:

Пусть точка  принадлежит данной линии. Тогда расстояние от нее до прямой   равно  ,  а до точки : . Следовательно:

;

;



;

;

;

;

;



27. Найти матрицу, обратную данной матрице.

;

Проверить результат, вычислив произведение данной и полученной матриц.

;

Решение:

1) Вычислим определитель матрицы:

. Следовательно, обратная матрица существует.

2) Найдём алгебраические дополнения матрицы.

;

;

;

;

;

;

;

;

;



Проверка:





;

37. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) Матричным методом; 2) По формулам Крамера; 3) Методом Гаусса.



Решение:

Докажем совместность системы. Найдём ранг основной матрицы.

Умножим первую строку на 8:

;

Умножим вторую строку на

;

Прибавим вторую строку к первой строке:

;

Умножим третью строку на

;

Прибавим третью строку ко второй строке:

;

Умножим вторую строку на

;

Прибавим вторую строку к первой строке:

. Ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, и равен 3. Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли, система является совместной.

1) Матричный метод.

,.

1) Вычислим определитель матрицы:

. Следовательно, обратная матрица существует.

2) Найдём алгебраические дополнения матрицы.

;

;

;

;

;

;

;

;

;
;

Проверка:





;



. Следовательно: ; ; .

Проверка:



2) Метод Крамера.

;

;

;

.

Следовательно: ; ; .

Проверка:



3) Метод Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы:

;

Умножим первую строку на 8:

;

Умножим вторую строку на

;

Прибавим вторую строку к первой строке:

;

Умножим третью строку на

;

Прибавим третью строку ко второй строке:

;

Умножим вторую строку на

;

Прибавим вторую строку к первой строке:

;

Запишем получившуюся систему уравнений:



Проверка:


47. Дано комплексное число . Требуется записать число в алгебраической и тригонометрической формах.



Решение:

1)

- алгебраическая форма комплексного числа.

2) ; ; ;

; ;

- тригонометрическая форма комплексного числа.
57. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

;




;

;




.
67. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.



Функция непрерывна на интервалах: , , . Исследуем на непрерывность точки , . Пусть . Найдём пределы слева и справа:

;

.

Пределы слева и справа конечны и равны. Следовательно, в точке функция непрерывна. Пусть . Найдём пределы слева и справа:

;

. Пределы слева и справа конечны, но не равны. Следовательно, в точке функция терпит разрыв первого рода. Скачок функции равен: ;

Чертёж.


2.ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

77.Найти производные данных функций.

а);





;
б) ;









;

в) ;



;
г);







.
87. Вычислить приближённое значение , заменив в точке приращение функции дифференциалом.
, , .

Решение:

;

;

; ; ;

; ;

.