Курсовая по диффурам. Задание Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку Решение Построим поле направлений для данного дифференциального уравнения.

• Название: Задание Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку Решение Построим поле направлений для данного дифференциального уравнения.
• Анкор: Курсовая по диффурам
• Дата: 08.11.2021
• Размер: 1.53 Mb.
• Имя файла: 3857137 Part 1 Resheniya.docx
• Тип: Решение; #266275

Задание 1.
Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку :

.
Решение:
Построим поле направлений для данного дифференциального уравнения. Изоклины, соответствующие направлениям поля с угловым коэффициентом , равны . Отсюда , то есть изоклинами являются параболы. Учтем, что искомая интегральная кривая проходит через точку , и сделаем чертеж:

Задание 2.
Найти линию, проходящую через , если отрезок любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится точкой линии в отношении (считая от оси ОY).
Решение:
Сделаем чертеж:

Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид . В точке , откуда . В точке , . По условию задачи , откуда или , или . Опускаем индекс “ноль” и получаем следующее дифференциальное уравнение:

, , ,

, , ,

, , .

Константу определим из начального условия:

, .

Тогда получаем:

, , ,

- искомая линия, являющаяся гиперболой.
Задание 3.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

.
Решение:
Представим данное уравнение в следующем виде:

, ,

, ,

,

, ,

- общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Задание 4.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

.
Решение:
Сделаем замену , . Тогда получаем:

, ,

, ,

.

Используем метод неопределенных коэффициентов:

,

, .

Тогда получаем:



,

, , ,

- общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Задание 5.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

.
Решение:
Найдем решение системы уравнений , откуда . Сделаем замену , . Тогда получаем:

, .

Сделаем замену , . Тогда получаем:

, , ,

, , .

Используем метод неопределенных коэффициентов:

,

, .

Тогда получаем:

,

, .

Подставляем :

, .

Подставляем :

,

- общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Задание 6.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

.
Решение:
Проверим, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах для некоторой функции :

, , .

Отсюда следует, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах для некоторой функции . Тогда получаем:

,

,

, , ,

- общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Задание 7.
Найти решение задачи Коши:

, .
Решение:
Представим данное уравнение в следующем виде:

, .

Отсюда следует, что - особое решение данного дифференциального уравнения. Сделаем замену , . Тогда получаем:

, .

Умножим обе части равенства на

, ,

, ,

,



,

, .

Константу определим из начального условия:

, .

Тогда получаем:

- частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.
Задание 8.
Найти решение задачи Коши:

, .
Решение:
Сделаем замену , . Тогда получаем:

, ,

.

Рассмотрим первое уравнение:

, , , ,

, , .

Рассмотрим второе уравнение:

, , , ,

, .

Тогда получаем:

.

Константу определим из начального условия:

, .

Тогда получаем:

- частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.
Задание 9.
Решить задачу Коши:

, .
Решение:
Представим данное уравнение в следующем виде:

, , .

Сделаем замену , . Тогда получаем:

, ,

.

Рассмотрим первое уравнение:

, , , ,

, , .

Рассмотрим второе уравнение:

, , , ,

,

.

Тогда получаем:

.

Константу определим из начального условия:

, .

Тогда получаем:

- частный интеграл данного дифференциального уравнения, удовлетворяющий начальному условию.
Задание 10.
Найти общее решение дифференциального уравнения:

.
Решение:
Сделаем замену , . Тогда получаем:

, , ,

, ,

, .

Интегрируем обе части полученного уравнения:



.

Интегрируем обе части полученного уравнения:



,

- общее решение данного дифференциального уравнения.