Задание 1. Задание свободное квантовое электромагнитное поле. Состояния свободного электромагнитного поля
 Скачать 164.78 Kb.
|
|
ЗАДАНИЕ 1. Свободное квантовое электромагнитное поле. Состояния свободного электромагнитного поля Задачи первого уровня сложности 1.Используя явный вид оператора векторного потенциала свободного электромагнитного поля в представлении вторичного квантования  Показать, что операторы напряженности электрического и магнитного полей имеют вид   .Здесь  ‒ волновой вектор и  ‒ индекс поляризации.2. Используя уравнения Максвелла для свободного электромагнитного поля, покажите, что в кулоновской калибровке векторный потенциал удовлетворяет волновому уравнению  .Докажите, что решением этого уравнения для кубической проводящей полости (длиной L) являются    где  . 3. Докажите, что для свободного электромагнитного поля имеет место соотношение  4. Рассмотрите суперпозицию вакуумного состояния и состояния с определенным числом фотонов, равным 5  Вычислите среднее число фотонов для такого состояния. 5. Предположим, что состояние свободного электромагнитного поля в резонаторе в момент времени  есть , - некоторая фаза. Найти временную волновую функцию поля  для  . Вычислите для этого состояния квадратурные компоненты  and  .6. Покажите, что А) когерентное состояние может быть представлено через фоковские состояния в виде  .Б) вероятность обнаружить  фотонов в когерентном состоянии дается распределением Пуассона  .В) среднее счисло фотоновs  , неопределенность  Так, что 7. Покажите, что для когерентных состояний когерентных состояний  и  имеем и   8. Докажите, что когерентные сосстояния неортогональны, то есть  9. Покажите, что матрица плотности  , описывает чистое состояниe ( ) тогда и только тогда, когда  . 10. Рассмотрите одномодовое поле в нелинейной среде, описываемое гамильтонианом  Найдите временной волновой вектор для начального состояния с определенным числом фотонов n=2 b когерентного начльного состояния ? 11. Рассмотрите свойства одномодового теплового поля А) Среднее число фотонов есть  ,где  Б) Покажите, что вероятность обнаружить фотонов  есть  .В) Покажите, что имеет место  .Задачи второго уровня сложности 1. Докажите, что для любых двух операторов  и  и   .2. Докажите, что для любых двух операторов, удовлетворяющих условию  Имеет место соотношение Бейкера-Хаусдорфаone  .3. Используя  , докажите, что  .4. Найдите среднее значение координаты для собственных функций гармонического оператора  , а также для векторов  и  .5. Показать, что для одномодового гамильтониана  ,  and  ‒ операторы рождения и уничтожения фотонов, удовлетворяющие коммутационному соотношению  , имеет место соотношение  . Получить аналогичное выражение для  .6. Рассмотрите суперпозиционное состояние  , где  и  - комплексные константы. Удовлетворяющие соотношению  . Вычислите неопределенности квадратурных компонетs  and  Могут ли они быть меньше, чем для вакуумного состояния? Рассмотрите аналогичную проблему для состояния  |