Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
Положив в конце переходного процесса , где ∆ = 0,01-0,05, можно получить приближенную зависимость между степенью устойчивости и временем переходного процесса (8.30) Так, например, если принять ∆ = 0,05, то время переходного процесса составит Если ближайшей коси мнимых является пара комплексных корней , то составляющая в переходном процессе, определяемая этими корнями, будет. Положив в этом случае , нельзя в общем виде определить время переходного процесса, так как для этой цели потребовалось бы решить трансцендентное уравнение. Однако можем найти верхнюю границу переходного процесса, положив в этом уравнении. Тогда получим выражение (8.31) Таким образом, ив этом случае величина степени устойчивости будет в какой-то мере определять быстроту затухания переходного процесса. Более строго связь между видом переходного процесса и величиной степени "устойчивости может быть определена для случая, когда исходное дифференциальное уравнение системы имеет вид (8.32) Тогда можно показать [61], что при всех вещественных корнях или одной паре комплексных корней для переходной функции справедливо неравенство (8.33) где — функция, ограничивающая h(t) сверху (мажоранта — функция, ограничивающая h(t) снизу (миноранта. Вспомогательная функция определяется из выражения (8.34) Миноранта совпадает с переходной функцией, если характеристическое уравнение имеет корень р = -η кратности n, те. выглядит следующим образом (8.35) Очевидно, что в этом случае кратный корень совпадает со среднегеометрическим корнем Из неравенства (8.33) вытекает, что при заданном значении среднегеометрического корня Ω 0 =const и всех вещественных корнях наименьшее время переходного процесса будет при всех кратных корнях, те. в случае (8.35). На рис. 8.13 приведены миноранты, совпадающие с переходными характеристиками для случая кратного корня, построенные в функции относительного времени для различных значений порядка дифференциального уравнения n. Важным обстоятельством является то, что степень устойчивости можно найти без вычисления значений корней характеристического уравнения. Для этой цели в характеристическом уравнении (8.25) переходят к новой переменной z = p+η. Подставляя в него p = z-η, получаем так называемое смещенное уравнение Раскрывая скобки и группируя подобные члены, получаем (8.37) Это уравнение соответствует смещению осей на плоскости корней (рис. 8.12) влево на величину η. В результате один (риса) или два (рис. 8.12, б) корня попадают на ось мнимых, что соответствует границе устойчивости. Для вычисления степени устойчивости необходимо применить к смещенному характеристическому уравнению (8.37) любой критерий устойчивости и определить, при каком значении η получается граница устойчивости. Напомним, что апериодической границе устойчивости соответствует равенство нулю свободного члена характеристического уравнения (8.38) а колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица, прохождение кривой Михайлова через начало координат и прохождение амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через точку (—1, j0). Обратимся теперь к оценке запаса устойчивости системы автоматического регулирования. Склонность системы к колебаниям будет наблюдаться, если в решении характеристического уравнения будут присутствовать комплексные корни вида . Эта склонность может характеризоваться отношением мнимой части корня (угловой частоты колебаний) к вещественной (коэффициенту затухания, которое называется колебательностью: (8.39) Колебательность связана с другим корневым показателем запаса устойчивости — с так называемым затуханием. Комплексные сопряженные корни дают в выражении для переходного процесса член вида Найдем затухание амплитуды синусоидального колебания за один период. При некотором времени t=t 1 эта амплитуда равна Через один период Затуханием за период называют величину (8.40) Эта величина обычно выражается в процентах. Подставляя значение амплитуды С, получаем (8.41) или (8.42) Обычно в системах автоматического регулирования допускается затухание за один период не менее чем 90-98%. Так, например, если ξ% = 98%, то допустимая колебательность при этом составит Cоответственно при ξ = 90% получаем Задание определенной колебательности заставляет ограничивать область расположения корней двумя лучами (риса, которые составляют с осью вещественных угол Колебательность системы можно определить без нахождения корней характеристического уравнения подобно тому, как это было сделано выше по отношению к степени устойчивости. Идея метода заключается в том, что используется подстановка , которая соответствует повороту координатных осей (рис. 8.14, б) против часовой стрелки на угол . При этом по крайней мере один корень попадает на ось мнимых и затем он отыскивается. Ввиду громоздкости этот метод почти не имеет практического значения. При' задании допустимых значений колебательности и степени устойчивости область расположения корней должна ограничиваться также вертикальной прямой, проходящей параллельно оси мнимых на расстоянии η (рис. 8.14, б. Расположению корней в этой области соответствует выдерживание требуемого запаса устойчивости, определяемого величиной колебательности р, или затуханием, и требуемой степени устойчивости η, характеризующей быстродействие системы. Для определения параметров системы, при которых обеспечивается нахождение корней характеристического уравнения в заданной области, можно воспользоваться D- разбиением. В этом случаев плоскости двух параметров системы может быть построена область, аналогично построению области устойчивости (см. §6.4). Напомним, что при построении области устойчивости комплексная величина р = jω изменялась от —∞ до +∞, что соответствует движению по мнимой оси снизу вверх. В рассматриваемом случае комплексная величина р должна перемещаться по границе допустимого расположения корней edabc (рис. 8.14, б. В силу симметрии области достаточно рассмотреть участок abc. Методика построения допустимой области изменения двух параметров системы Аи В, входящих линейно в характеристический полином остается аналогичной, затем исключением, что для участка а делается подстановка p=-η+jω, а затем частота изменяется в пределах . Для участка сделается подстановка и частота изменяется в пределах Использование корней характеристического уравнения для оценки качества регулирования является не совсем полным, так как вид переходного процесса определяется не только левой, но и правой частью дифференциального уравнения. Для того чтобы учесть это обстоятельство, рассмотрим, например, зависимость между регулируемой величиной и управляющим воздействием, записанную посредством передаточной функции замкнутой системы (5.18): Передаточная функция замкнутой системы представляет собой дробно-рациональную функцию (8.44) Раскладывая числитель и знаменательна множители, получим (8.45) Корни числителя р 1 , . . ., Р называются нулями передаточной функции, так как в точке передаточная функция обращается в нуль. Корни знаменателя p 1 , ..., p n являются корнями характеристического уравнения, и они называются полюсами передаточной функции. В полюсе, те. при p = p i , передаточная функция обращается в бесконечность. Полюсы передаточной функции характеризуют левую часть дифференциального уравнения, а нули — правую. В частном случае, когда передаточная функция (8.44) не имеет нулей, правая часть дифференциального уравнения имеет вид и формула (8.45) сводится к выражению (8-46) В этом случае вид переходного процесса определяется только расположением полюсов. Задание области расположения полюсов и нулей позволяет более полно оценить вид переходного процесса. Не останавливаясь на подробном анализе, приведем без доказательства общие рекомендации, которых желательно придерживаться при выборе расположения полюсов и нулей передаточных функций [98]. 1. Желательно располагать нули вблизи области расположения полюсов. Удаление нулей от области полюсов ведет к увеличению амплитуд собственных колебаний в переходном процессе. 2. Для уменьшения отклонений в переходном процессе часто бывает выгодно удалять полюсы друг от друга. 3. Приближение друг к другу не представляет опасности для тех полюсов, которые расположены далеко от мнимой оси. Кроме этих рекомендаций сохраняют свою силу ограничения на область расположения полюсов, накладываемые в связи с требованиями обеспечения определенного запаса устойчивости и быстродействия (см. рис. 8.14, б. § 8.7. Диаграмма Вышнеградского Рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка (8.47) Приведем его к нормированному виду. Для этого разделим все члены на аи введем новую переменную (8.48) Здесь использовано понятие среднегеометрического корня (8.26): В результате получим нормированное уравнение (8.49) где коэффициенты называются параметрами Вышнеградского. На плоскости параметров Аи В нанесем границу устойчивости. Условия устойчивости системы третьего порядка были впервые сформулированы Вышнеградским еще в 1876 году, до появления в 1895 году критерия Гур-вица. Эти условия А >0, В >0 и АВ >1. Уравнение границы устойчивости (колебательной АВ = 1 при Аи В >0. Это есть равнобокая гипербола, для которой оси координат служат асимптотами (рис. 8.15). Область устойчивости системы, согласно написанным выше условиям, лежит выше этой кривой. Разобьем область устойчивости на отдельные части, соответствующие различному расположению корней характеристического уравнения. Заметим, что в точке С, где Аи В = 3, характеристическое уравнение (8.49) принимает вид . Следовательно, в этой точке все три корня равны . При этом для исходного характеристического уравнения согласно (8.48) получаем В общем случае возможны два варианта 1) все три корня вещественные 2) один корень вещественный и два комплексных. Граница между этими двумя случаями определяется равенством нулю дискриминанта уравнения третьей степени (8.49), который может быть получен, например, из формулы Кардана для решения кубического уравнения Это уравнение дает на плоскости параметров А, В две кривые СЕ и С (рис. 8.15). Внутри области ЕСF дискриминант положителен. Следовательно, в этой области имеется три вещественных корня (область III). В остальной части плоскости дискриминант отрицателен, что соответствует наличию пары комплексных корней. Существенное значение имеет взаимное расположение вещественного и комплексных корней. Будем различать здесь два случая I — пара комплексных корней лежит ближе к мнимой оси, чем вещественный, и II — вещественный корень лежит ближе к мнимой оси, чем пара комплексных. Границей между этими двумя случаями является расположение всех трех корней на одинаковом расстоянии от мнимой оси. Уравнение этой границы можно найти, положив значения корней и . Тогда характеристическое уравнение (8.49) будет Уравнивание коэффициентов при одинаковых степенях дает В результате совместного решения последних трех равенств получаем после исключения α и β искомое уравнение, соответствующее граничному случаю Написанное равенство дает на плоскости параметров кривую СВ результате область устойчивости разбивается натри части I, II, III (см. рис. 8.15). Этот график называется диаграммой Вышнеградского. Он построен им в 1876 году в работе, которая положила начало развитию теории автоматического регулирования. На рисунке показан характер расположения корней внутри каждой из этих частей области устойчивости. В области ///, где все корни вещественные, в зависимости от начальных условий получим апериодический переходный процесс водной из форм, показанных на третьем графике рис. 8.16. Область /// носит название области апериодических процессов. В областях / и //, где имеется один вещественный корень и два комплексных, переходный процесс будет иметь соответственно формы, показанные на первых двух графиках рис. 8.16. В области быстрее затухает экспонента и переходный процесс в основном будет определяться колебательной составляющей. Это будет область колебательных процессов. В области //, наоборот, быстрее затухает колебательная составляющая. Это будет область монотонных процессов. Диаграмма Вышнеградского получила дальнейшее развитие. Для более точной оценки характера переходного процесса на ней можно нанести вспомогательные линии, разбивающие области /, // и /// на еще более мелкие части, что позволяет при известных параметрах Вышнеградского иметь более полное суждение о быстродействии и запасе устойчивости. Ниже будут рассмотрены наиболее . распространенные способы уточнения диаграммы Вышнеградского посредством нанесения линий равной степени устойчивости (для оценки быстродействия) и линий равного затухания (для оценки запаса устойчивости. Для нанесения линий равной степени устойчивости обратимся к нормированному характеристическому уравнению (8.49). Для получения смещенного уравнения введем новую переменную, определяемую соотношением обозначает степень устойчивости для нормированного уравнения. Для исходного уравнения (8.47) согласно (8.48) степень устойчивости будет Смещенное уравнение имеет вид Коэффициенты этого уравнения (8.50) Применим к смещенному уравнению условие границы устойчивости. Колебательная граница устойчивости, соответствующая чисто мнимым корням смещенного уравнения (8.50), будет при выполнении условия A 1 A 2 = A 3 . Апериодическая граница устойчивости (нулевой корень) будет при А = 0. Первое условие при подстановке значений коэффициентов приводит к уравнению (8.51) а второе На оновании полученных уравнений, задаваясь различными значениями η 0 =const, можно построить на диаграмме Вышнеградского линии одинаковых значений нормированной степени устойчивости (рис. 8.17). По уравнению (8.51) построены кривые η 0 =const в области I, так как там согласно рис, ближайшими к мнимой оси являются комплексные корни. Кривая η 0 =0 совпадает с границей устойчивости. Уравнение (8.52) дает прямые которые нанесены в областях II, III. Как видно из диаграммы, наибольшая степень устойчивости η 0 = 1 имеет место в точке С с координатами Аи В. Следовательно, эта точка соответствует наилучшим значениям параметров сточки зрения величины степени устойчивости. Однако, как уже отмечалось, степень устойчивости является приближенной оценкой быстроты затухания переходного процесса. Поэтому при выборе параметров системы регулирования практически нет смысла попадать именно в эту точку диаграммы. Можно считать, что наилучшей областью параметров системы будет область, прилегающая к точке С, например внутри замкнутой кривой η 0 =0,5. На рис. 8.18 приведена диаграмма Вышнеградского с нанесенными линиями равного затухания ξ=const. (Аналитические выкладки не приводятся ввиду громоздкости. Эти же линии являются, по существу, и линиями равной колебательности µ=const, так как колебательность и затухание связаны между собой формулами (8.41) и (8.42). § 8.8. Интегральные оценки Интегральные оценки имеют целью дать общую оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины в совокупности, без определения того и другого в отдельности. Простейшей интегральной оценкой может служить величина (8.53) . где х (t) — отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения, которое она будет иметь после завершения переходного процесса. В устойчивой системе х при t→оо и этот интеграл имеет конечную величину. Геометрически это будет площадь под кривой переходного процесса, построенного для отклонения (риса. Площадь будет тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше величина отклонения. Поэтому параметры системы рекомендуется выбирать таким образом, чтобы добиваться минимума этой интегральной оценки. Для вычисления интеграла (8.53) нет необходимости в нахождении х (t), так как его можно легко вычислить, используя изображение Лапласа или Хевисайда — Карсона. Действительно, изображение Лапласа определяется выражением Отсюда следует, что интеграл (8.53) может быть найден посредством предельного перехода p→0: (8.54) Неудобством интегральной оценки вида (8.53) является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонениях. Если же имеет место колебательный процесс (рис. 8.19, б, то при вычислении интеграла (8.53) площади будут складываться алгебраическим минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания. Так как форма переходного процесса при расчете систем регулирования может быть неизвестна, то применять интегральную оценку вида (8.53) оказывается практически нецелесообразным. Поэтому предлагалась другая интегральная оценка (8.55) те. сумма абсолютных величин всех площадей по кривой переходного процесса. Но оказалось, что вычисление ее по коэффициентам уравнения затруднительно. Квадратичная интегральная оценка. В свете вышесказанного целесообразно перейти к квадратичной интегральной оценке, называемой иногда квадратичной площадью регулирования (8.56) которая не зависит от знаков отклонении, а значит, и от формы переходного процесса монотонной или колебательной. Величина / (8.56) будет тем меньше, чем меньше сумма заштрихованных на рис. 8.20 площадей (взятых для квадратов ординат, те. чем лучше переходный процесс приближается к идеальному скачку регулируемой величины вслед за скачком задающего или возмущающего воздействия. Ниже будет показано, что такая оценка не всегда является лучшей, но пока остановимся на ней. Заметим, что оценку (8.56) называют также квадратичной динамической ошибкой регулирования. Ее можно записать в безразмерном виде (8.57) где х = х (t) обозначает отклонение регулируемой величины в переходном процессе от ее нового установившегося значениях у (t) — у (∞); C — некоторая величина, имеющая размерность регулируемой величины, например статическое отклонение у (оо); Ω 0 — среднегеометрическое значение корня характеристического уравнения (8.26). Рассмотрим один из возможных способов вычисления квадратичной интегральной оценки (8.56) при скачкообразном внешнем воздействии. В общем случае дифференциальное уравнение системы автоматического регулирования (в символической операторной записи) согласно (5.5) имеет вид (8.58) |