Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
где у (t) — регулируемая величина или ее отклонение, g(t) и f(t) — задающее и возмущающее воздействия. Степени многочленов R (р) и N (р) обычно ниже, чем D (р в некоторых случаях они могут иметь туже степень, что и полином D (р. Пусть переходный процесс вызывается единичным скачком 1 (t) либо функции f при g = const, либо функции g при f = const. Положим, например, что рассматриваем скачок задающего воздействия g (t) = 1 (t). Изображение Лапласа такого скачка будет . Перейдя в формуле (8.58) к изображениям, получаем (8.59) Изображение регулируемой величины у (t) представляет собой дробно-рациональную функцию (8.60) Отклонение х регулируемой величины от нового установившегося состояния в переходном процессе, входящее в формулу (8.56), будет где уесть решение уравнения (8.59), а также оригинал изображения (8.60), Для изложенных условий при m < n ниже без вывода приводится формула [121], по которой может быть вычислена квадратичная интегральная оценка (8.61) где А есть следующий определитель го порядка (равный старшему определителю Гурвица, но записанный в несколько иной форме (8.62) На границе устойчивости ∆ = 0 и I→∞. Через ∆ k (k = m, m-1, .. ., 2, 1, 0) в формуле (8.61) обозначены определители, получающиеся путем замены в определителе (8.62) (го столбца столбцом (8,63) Коэффициенты В, В, ... вычисляются по формулам (8.64) В определителе (8.62) заменяются нулями все буквы с индексами меньше нуля и больше n, а в формулах (8.64) — с индексами меньше нуля и больше m. В том случае, когда m = n, формула (8.61) заменяется следующей (8.65) где (8.66) При поступлении на вход системы единичного импульса δ (t) = 1' (t), изображение которого по Лапласу равно 1, изображение регулируемой величины можно также представить в виде дробно-рациональной функции (8.60). Разница будет заключаться только в том, что степень числителя m возрастает на единицу, а последний коэффициент числителя b m = 0. Это обусловлено тем, что получение реакции системы на единичный импульс (весовой функции) эквивалентно дифференцированию переходной функции, получающейся при действии единичного скачка. В области изображений это эквивалентно умножению на комплексную величину р. В связи с этим квадратичную интегральную оценку при действии единичного импульса можно рассматривать в виде выражения (8.67) где ω (t) — весовая функция системы по задающему или возмущающему воздействию, х (t) — отклонение регулируемой величины от нового установившегося состояния в переходном процессе при действии единичной ступеньки задающего или возмущающего воздействия. Таким образом, техника вычисления оценки /' полностью совпадает с вычислением оценки I по формуле (8.61) или (8.65). Совпадает при этом и значение определителя А (8.62). Отличаться в вычислениях будут определители ∆ 0 , . . ., ∆ m и коэффициенты В, . . ., Вили В, . . ., В, что обусловлено повышением степени т в выражении (8.60) на единицу при вычислении /' по сравнению со случаем вычисления /. Интегральная оценка /' также может использоваться в безразмерном виде аналогично формуле (8.57): (8.68) Интегральные оценки / и /' (или выражения квадратичных динамических ошибок) применяются для выбора структуры и параметров систем автоматического регулирования. При этом наилучшими параметрами считаются такие, при которых величина / или /' имеет минимальное значение. Вычисление квадратичных интегральных оценок I и I’ можно также производить на основании так называемой формулы Релея, которая будет доказана ниже, в главе 11. Здесь она будет приведена без доказательства. Если X (jω) есть изображение Фурье функции времени х (t), то существует зависимость те. интегрирование квадрата функции повременив пределах от нуля до бесконечности можно заменить интегрированием квадрата модуля изображения Фурье этой функции по всем частотам. При нахождении интегральной оценки /, соответствующей реакции системы на входное задающее воздействие типа 1 (t), изображение Фурье исследуемого отклонениях) будет где Ф (jω) — частотная передаточная функция замкнутой системы. Тогда (8.69) В астатических системах и статических системах с неединичной обратной связью или с масштабированием (см. § 9.3) установившееся значение у (∞) = 1 и Ф (0) = 1. Тогда формула (8.69) будет иметь вид (8.70) где - частотная передаточная функция замкнутой системы по ошибке. Аналогичным образом для входного задающего воздействия типа единичного импульса δ(t), изображение которого равно 1, изображение Фурье исследуемого отклонениях у (t) равно частотной передаточной функции замкнутой системы . В результате получаем (8.71) Подобные выражения могут быть получены и для входного возмущающего воздействия, если вместо частотной передаточной функции Ф) использовать передаточную функцию по возмущающему воздействию Ф. Недостатком интегральных оценок является то, что здесь ничем не ограничивается форма кривой переходного процесса. Оказывается, например, что три совершенно различных по форме процесса, изображенных на рис. 8.21, имеют одно и тоже, значение квадратичной интегральной оценки (8.56). Часто оказывается, что выбранные по минимуму этой оценки параметры системы соответствуют слишком сильно колебательному процессу, ибо отмечавшееся уже при этом стремление приблизить процесс к идеальному скачку вызывает большую скорость процесса при подходе к установившемуся значению х = 0. Это получается вследствие того, что оценка (8.56) учитывает только величину отклонения и быстроту затухания и никак не учитывает близость системы к колебательной границе устойчивости. Если, например, подать на вход системы единичный скачок, то ошибка в переходном процессе определится заштрихованной частью на риса. Очевидно, что величина интегральной оценки (8.56) будет тем меньше, чем ближе будет кривая переходного процесса к ломаной линии АОВС. Но приближение процесса к этой линии требует увеличения угла наклона кривой в начальной стадии процесса (приближение части кривой О к отрезку О. Увеличение же начальной скорости может вызвать значительное перерегулирование и, следовательно, малый запас устойчивости. Поэтому применяется еще другой вид интегральной оценки, в которой ограничение накладывается не только на величину отклонениях, но также и на скорость отклонениях. Эта улучшенная квадратичная интегральная оценка имеет вид (8.72) где Т — некоторая постоянная времени. Выясним, какой вид переходного процесса будет получаться при выборе параметров системы регулирования по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72). Для этого проделаем следующие , преобразования где х — начальное значение отклонения в переходном процессе. Наименьшее значение последнего выражения будет при выполнении условия Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого имеет вид (8.73) где х — установившееся отклонение регулируемой величины. Этот процесс изображен на рис. 8.22, б пунктиром. Следовательно, выбирая параметры системы по минимуму улучшенной интегральной оценки (8.72), можно приблизить переходный процесс к заданной экспоненте (8.73) с постоянной времени Т, которая носит в этом случае название экстремали. Из этих соображений можно заранее задаться определенной величиной Т. Выбор параметров системы по улучшенной квадратичной интегральной оценке приводит к менее колебательным процессам по сравнению с использованием обычной квадратичной интегральной оценки (8.56). Методика вычисления интеграла (8.72) сводится к тому, что правая его часть разбивается на два слагаемых При входном воздействии типа единичной ступенчатой функции первое слагаемое последнего выражения соответствует интегральной оценке I, а второе — T 2 I’. Поэтому в результате получаем для этого случая (8.74) Улучшенная интегральная оценка I k может также применяться в безразмерном виде аналогично (8.57) и (8.68): (8.75) где Ω 0 — среднегеометрический корень характеристического уравнения, а С — некоторая величина, имеющая размерность у (t), например статическое отклонение у (∞). Недостатком приведенных расчетных формул для вычисления как I, таки является их выражение через определители, которые трудно бывает раскрывать в букетном виде при высокой степени характеристического уравнения. В этих случаях можно использовать имеющиеся специальные приемы числовых расчетов. Сам определитель ∆ (8.62), как старший определитель Гурвица, согласно § 6.2 имеет вид Несколько сложнее вычисляется только определитель ∆ m , когда первый столбец ∆ (8.62) с одним элементом a n заменяется столбцом (8.63) с двумя элементами a n-1 и a n . Все остальные определители оказываются проще. Удобство интегральных оценок состоит в том, что они дают единый числовой критерий качества. Недостатком является то, что одному и тому же значению интегральной оценки могут отвечать разные формы переходного процесса, что создает недостаточную определенность решения задачи. В принципе возможно использование более сложных выражений, чем (8.72), в которые кроме первой производной от отклонения будут входить вторая, третья и т. д. производные. Так, например, ограничившись при подаче ступенчатого воздействия g (t) или f (t) отклонением х, первой производной и второй производной , получим интегральную оценку в виде (8.76) Эта оценка будет характеризовать приближение переходного процесса к экстремали, определяемой решением дифференциального уравнения Экстремаль в данном случае будет соответствовать более сложной кривой, чем экспонента, что позволяет точнее задать желаемый вид переходного процесса. Однако нахождение интегральных оценок вида , к которым сводится вычисление интеграла (8.76), сопряжено со значительными трудностями, что ограничивает их применение. Определение минимума интегральной оценки. Пусть требуется, исходя из минимума какой- нибудь интегральной оценки, выбрать два каких-нибудь параметра α и β заданной автоматической системы. Указанные два параметра входят в коэффициенты дифференциального уравнения системы. Прежде всего по вышеприведенным формулам находится выражение соответствующей интегральной оценки. Это выражение, если все параметры системы заданы, кроме α и β, имеет вид Для определения значений α и β, соответствующих минимуму /, вычисляем частные производные пои и приравниваем их нулю. В результате получаем два уравнения с двумя неизвестными α и β. Отсюда и определяются искомые значения параметров α и β. Чтобы убедиться в том, что это действительно минимума не максимум, можно вычислить значение / при полученных значениях α и β, а затем при каких-нибудь соседних. Последние должны оказаться больше. Аналогично можно поступить и при выборе нескольких параметров по минимуму интегральной оценки. Функция / (α, β) не всегда обладает минимумом по рассматриваемым (параметрам. Тогда нужно выбирать их по наименьшему значению интегральной оценки / внутри области, назначаемой из других соображений Важно также иметь ввиду, что выражение интегральной оценки через выбираемые параметры системы в буквенном виде может в ряде случаев оказаться сложным для исследования в общем виде. В таких случаях можно поступить иначе задавать несколько числовых значений одного из выбираемых параметров (при жестко заданных всех остальных) и вычислять для каждого из них значения I (или I k ). В результате будет видно, при каких значениях данного параметра получается I min (можно для наглядности построить график величины I в зависимости от выбираемого параметра. Аналогично нужно поступить и с другими выбираемыми параметрами системы. В конкретных расчетах всегда надо учитывать, что одновременно с таким выбором параметров нужно, во-первых, обеспечить хорошие статические свойства системы и, во-вторых, проследить, чтобы оптимальная точка не оказалась слишком близкой к границе устойчивости, так как всегда надо иметь некоторый запас устойчивости. Рассмотрим в качестве примера дифференциальное уравнение третьего порядка (8.77) где ψ(t) — входное задающее или возмущающее воздействие. Пусть входное воздействие ψ(t) = 1(t). Тогда изображение по Лапласу регулируемой величины будет Установившееся значение регулируемой величины здесь будет у (∞) = Вычислим для этого случая интегральную оценку I. Так как n = 3, а m = 0, тов соответствии с формулой (8.61) имеем Далее по выражению (8.62) находим определитель Для нахождения ∆ 0 необходимо первый столбец определителя ∆ заменить на (8.63): По формуле (8.64) находим единственный коэффициент В результате получаем значение интегральной квадратичной оценки (8.78) Это выражение и служит для выбора параметров системы, входящих в коэффициенты а, а, а, а, из условия минимума величины I. Построим диаграмму квадратичной интегральной оценки на плоскости параметров Вышнеградского Аи В. Согласно § 8.7, Подставив это выражение в (8.78), получим Найдем безразмерную оценку I 0 в соответствии с формулой (8.57). Подставляя значение среднегеометрического корня , получаем (8.79) При I 0 = const это дает на плоскости параметров Вышнеградского кривую (8.80) Построенные поэтому уравнению кривые постоянных значений оценки 7 о нанесены на диаграмме (рис. 8.23). Там же пунктиром нанесены кривые, взятые из диаграммы Вышнеградского (рис. 8.15), показывающие области колебательного (I), монотонного (II) и апериодического (III) процессов. Минимум интегральной оценки находим, приравнивая нулю частные производные , что дает , откуда находим А = 1, В = 2. Следовательно, минимум квадратичной интегральной оценки I 0 = 1,5 имеет место в точке D (рис. 8.23). Эта точка лежит, однако, слишком близко к границе устойчивости, что может не обеспечить необходимого запаса устойчивости (см, например, рис. 8.18). Практически лучше брать параметры системы неточно в точке, а несколько правее и выше. Этот результат имеет смысл, однако, только в тех случаях, когда b 0 , а, а остаются постоянными, а выбираемые параметры системы входят только в коэффициенты a 1 и а уравнения (8.77). § 8.9. Частотные критерии качества Под частотными критериями качества будем понимать такие критерии, которые не рассматривают вида переходного процесса, а базируются на некоторых частотных свойствах системы. Частотные критерии качества особенно удобно применять при использовании частотных методов расчета, так как при этом получается наиболее простое решение задачи. Частотные критерии наиболее разработаны в отношении оценки запаса устойчивости. Запас устойчивости можно определять по удалению амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы (риса) от точки (—1, j0). Для этой цели вводятся понятия запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе. Для общего случая условной устойчивости, изображенного на риса, запас устойчивости по амплитуде определяется двумя точками аи си. соответственно, двумя величинами, выраженными обычно в децибелах Запас устойчивости по амплитуде тем больше, чем больше L 1 и L 2 . В хорошо демпфированных системах эти величины составляют примерно 6-20 дб, что соответствует 2-10 в линейном масштабе. В случае абсолютной устойчивости смысл имеет только величина L 1 , так как L 2 →∞. Запасом устойчивости по фазе называется запас по фазе , где ψ — аргумент частотной передаточной функции разомкнутой системы, соответствующий модулю, равному единице (точка b на риса сдвиг по фазе ψ 1 определяется условием В хорошо демпфированных системах запас по фазе составляет около 30-60°. В некоторых случаях вместо задания дискретных точек, определяющих запас устойчивости системы регулирования (точки аи сна риса, задают некоторую запретную область для амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Эта запретная область окружает точку ( — 1, j0) и может быть построена по заданным значениям запаса устойчивости по фазе и запаса устойчивости по модулю β (рис. 8.24, б. Недостатком рассмотренного критерия является то, что для определения запаса устойчивости необходимо задать два числа β и µ 1 . В этом отношении более удобно определять запас устойчивости по показателю колебательности. Показателем колебательности называется максимальное значение ординаты M max амплитудной характеристики замкнутой системы (см. рис. 8.25) при начальной ординате, равной единице, те. относительная высота резонансного пика. Физически эта характеристика представляет собой следующее. Если управляющий сигнал на входе системы регулирования меняется по закону g = g max ·sinωt, то регулируемая величина в режиме установившихся вынужденных колебаний будет меняться по закону y = y max ·sin(ωt+ψ). Отношение амплитуд y max и g max определяется модулем частотной передаточной функции замкнутой системы (8.81) где W(jω) — частотная передаточная функция разомкнутой системы. Максимальное значение этого модуля и представляет собой показатель колебательности имеется ввиду наибольший максимум) (8.82) Как видно из этих рассуждений, показатель колебательности определяется посредством задания задающего воздействия g = g max ·sinωt. В принципе возможно определение показателя колебательности системы посредством задания возмущающего воздействия f = f max ·sinωt и отыскания относительной величины резонансного пика. Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колебаниями тем выше резонансный пик. Допустимое значение показателя колебательности определяется на основании опыта эксплуатации систем регулирования. Считается, что в хорошо демпфированных системах регулирования показатель колебательности не должен превосходить значений 1,1-1,5, хотя в некоторых случаях можно допускать величины до 2-2,5. Для отыскания показателя колебательности системы регулирования нет необходимости строить амплитудную частотную характеристику (рис. 8.25) или отыскивать максимум (8.82). Существуют приемы, позволяющие найти показатель колебательности по виду амплитудно- фазовой характеристики разомкнутой системы. Возьмем на амплитудной характеристике (рис. 8.25) некоторую точку в, которой соответствует ордината Ми отобразим эту точку на |