Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
(8.13) В линеаризованной системе при гармоническом задающем воздействии (8.12) ошибка в установившемся режиме будет также меняться по гармоническому закону с частотой ω k : (8.14) Точность системы в этом режиме может быть оценена по амплитуде ошибки, которая может быть найдена из (8.13) на основании символического метода подстановкой : (8.15) Так как предполагается, что амплитуда ошибки значительно меньше амплитуды входного воздействия то, следовательно, модуль знаменателя (8.15), значительно больше единицы. Это позволяет с большой точностью выражение (8.15) заменить приближенным где A(ω k ) — модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы при ω=ω k Последняя формула позволяет легко вычислять амплитуду ошибки в установившемся режиме. Для этого необходимо располагать либо аналитическим выражением для передаточной функции разомкнутой системы, либо иметь экспериментально снятую амплитудную или амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы. Формула (8.16) широко используется также при расчете системы методом логарифмических амплитудных частотных характеристик (л.а.х.). В этом случае модуль A(ω k ) в децибелах, те, равен ординате л.а.х. при частоте ω=ω k (риса. Простота выражения (8.16) позволяет легко решить обратную задачу, те. сформулировать требования к л.а.х., которые необходимо выполнить, чтобы амплитуда ошибки в установившемся режиме была не больше заданной. Для этого необходимо по заданному значению амплитуды задающего воздействия g max и допустимой амплитуде ошибки x max вычислить требуемое значение модуля частотной передаточной функции разомкнутой системы в децибелах (8.17) Это значение модуля необходимо отложить на логарифмической сетке яри частоте управляющего воздействия ω=ω k . Полученная точка А (рис. 8.2, б) обычно называется контрольной точкой для л.а.х. Для того чтобы амплитуда ошибки в системе не превосходила допустимого значения x max , л.а.х. должна проходить не ниже контрольной точки А. Если л.а.х. пройдет через эту точку, то амплитуда ошибки будет как раз равна допустимому значению. Если л.а.х. пройдет ниже точки А, то ошибка будет больше допустимого значения. § 8.3. Коэффициенты ошибок Рассматриваемый метод может применяться как для задающего g(t), таки для возмущающего / (г) воздействий. Не снижая общности рассуждений, рассмотрим случай, когда имеется только задающее воздействие. Если функция времени § (2) имеет произвольную форму, но достаточно плавную вдали от начальной точки процесса в том смысле, что через некоторое время существенное значение имеет только конечное число m производных то ошибку системы можно определить следующим образом. Из формулы (5.20) можно найти изображение ошибки (8.18) где Фх (р) — передаточная функция замкнутой системы по ошибке, G (р) — изображение задающего воздействия. Разложим передаточную функцию по ошибке в выражении (8.18) вряд ло возрастающим степеням комплексной величины р (8.19) сходящийся при малых значениях рте. при достаточно больших значениях времени t, что соответствует установившемуся процессу изменения регулируемой величины при заданной форме управляющего воздействия. Переходя в выражении (8.19) к оригиналу, получаем формулу для установившейся ошибки (8.20) Величины c 0 , c 1 , c 2 ... называются коэффициентами ошибок. Они могут определяться согласно общему правилу разложения функции вряд Тейлора по формулам Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно-рациональную функцию, то коэффициенты ошибок можно более просто получить делением числителя на знаменатель и сравнением получающегося ряда с выражением (8.19). Коэффициент сможет быть отличным от нуля только в статических системах и то только в тех случаях, когда не принимаются меры по устранению первой составляющей статической ошибки посредством масштабирования или использования неединичных обратных связей (см. § 9.3). В системах с астатизмом первого порядка с = 0, а коэффициент с связан с добротностью по скорости соотношением (8.21) В системах с астатизмом второго порядка си с = 0, а коэффициент с связан с добротностью по ускорению соотношением (8.22) При исследовании ошибки от возмущающего воздействия можно получить все коэффициенты неравными нулю при астатизме любого порядка, так как астатизму по задающему воздействию может соответствовать наличие статической ошибки по возмущению. Если задающее воздействие g (t) имеет ограниченное число производных, то ряд (8.20) будет иметь ограниченное число членов. Предположение, что коэффициенты ошибок представляют-собой постоянные числа, обусловливает применение этого метода для сравнительно медленно меняющихся входных воздействий g(t) или f(t), когда можно пренебречь влиянием переходной составляющей процесса и рассматривать только вынужденное движение системы. Пример. Определим первые три коэффициента ошибки по задающему воздействию, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид Передаточная функция по ошибке Деля числитель на знаменатель, получаем ряд Сравнение этого ряда сдает Так, например, если задающее воздействие в этой системе меняется по закону то установившаяся ошибка будет § 8.4. Определение запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристике Оценку запаса устойчивости и быстродействия можно произвести по виду кривой переходного процесса в системе автоматического регулирования прж некотором типовом входном воздействии, которым может быть как задающее, таки возмущающее воздействие. В качестве типового входного воздействия рассматривается обычно единичный скачок. В этом случае кривая переходного процесса для регулируемой величины будет представлять собой переходную характеристику системы (рис. 8.3). Она может строиться для регулируемой величины у (t) или для ошибки х (t). Склонность системы к колебаниям, а следовательно, и запас-устойчивости могут быть охарактеризованы максимальным значением регулируемой величины г/тах или так называемым перерегулированием где у (∞) ≠ 0 представляет собой установившееся значение регулируемой величины после завершения переходного процесса. Допустимое значение перерегулирования для той или иной системы автоматического регулирования может быть установлено на основании опыта эксплуатации подобных систем. В большинстве случаев считается, что запас устойчивости является достаточным, если величина перерегулирования не превышает 10-30%. Однако в некоторых случаях требуется, чтобы переходный процесс протекал вообще без перерегулирования, те. был монотонным в ряде других случаев может допускаться перерегулирование 50-70%. Быстродействие системы может определяться по длительности переходного процесса t п Длительность переходного процесса определяется как время, протекающее от момента приложения на вход единичного скачка до момента, после которого имеет место неравенство (8.24} где ∆ — заданная малая постоянная величина, представляющая собой обычно допустимую ошибку. Величина у (∞) в частном случае может равняться нулю. Допустимое значение времени переходного процесса определяется на основании опыта эксплуатации систем регулирования. В следящих системах в качестве единичного скачка принимается мгновенное изменение управляющего воздействия g(t) = 1(t). В этом случае под величиной ∆ обычно понимают некоторую долю входного воздействия, составляющую, как правило, от 1 до 5% величины скачка на входе. Иногда дополнительно к величине перерегулирования σ% (или к величине y max ) задается допустимое число колебаний, которое может наблюдаться в течение времени переходного процесса. Это число составляет обычно 1-2. В некоторых системах колебания могут вообще не допускаться, а иногда может допускаться до 3-4 колебаний. Графически требования к запасу устойчивости и быстродействию сводятся к тому, чтобы отклонение регулируемой величины не выходило при единичном входном воздействии из некоторой области, изображенной На рис. 8.4. Эта область называется областью допустимых отклонений регулируемой величины в переходном процессе. В следящих системах удобно применять сформулированные требования качества к ошибке системы х (t) = g (t) — у (t). В этом случае можно рассматривать область допустимых значений ошибки и при более сложных входных воздействиях, например при мгновенном приложении на входе постоянной скорости. Дальнейшее развитие критериев качества, использующих переходную характеристику, приводит к введению дополнительных оценок качества (кроме введенных выше t пи. К ним относятся следующие оценки. 1. Время запаздывания t 3 , равное отрезку времени, заключенному между моментом приложения входного скачкообразного сигнала и моментом времени, при котором осредненная выходная величина становится равной половине ее установившегося значения. Примененный здесь термин «осредненная» означает, что в случаях, когда на передний фронт выходного сигнала накладываются высокочастотные колебания (это может иметь место в системах высокого порядка, величина t 3 определяется по сглаженной кривой, аппроксимирующей реальную переходную характеристику системы. 2. Время нарастания t нравное отрезку времени, заключенному между точкой пересечения оси времени с касательной, проведенной к осредненщщ кривой переходной характеристики в точке t = t 3 , и координатой t точки пересечения указанной касательной с горизонтальной прямой, соответствующей установившемуся значению регулируемой величины. Максимальное время нарастания t н) ограничивается требуемым быстродействием. Минимальное время нарастания н) ограничивается допустимыми в системе ускорениями и колебательными режимами. Уточненная диаграмма качества переходного процесса изображена на рис. 8.5. § 8.5. Приближённая оценка вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике. Построение кривой переходного процесса является в большинстве случаев весьма трудоемкой операцией. Поэтому целесообразно использовать методы, позволяющие определить вид переходной характеристики без построения всей кривой процесса. Это можно сделать по вещественной частотной характеристике Р (ω) замкнутой системы, которая используется для построения переходной функции (см. § 7.5). При этом предполагается, что лереходный процессу) вызван скачком задающего воздействия g(t). Возможна оценка вида переходного процесса при приложении скачка возмущения f(t). В этом случае необходимо использовать вещественную часть частотной передаточной функции системы по возмущающему воздействию Использование оценки вида переходного процесса по вещественной частотной характеристике наиболее удобно применять в том случае, когда для исследования автоматической системы используются частотные методы. Пусть вещественная частотная характеристика замкнутой системы имеет вид, изображенный на рис. 8.6. Интервал частот , в котором , называется интервалом положительности. Интервал частот называется интервалом существенных частот, если при ω = ω c и далее при ω > ω c величина Р (ω) | становится и остается меньше некоторой заданной достаточно малой положительной величины δ. Влиянием остальной части вещественной частотной характеристики (при ) на качество переходного процесса можно пренебречь. Если же при ω > показывается, что |Р(ω)|<0,2Р(ω), то при оценке качества переходного процесса в первом приближении можно принимать во внимание только интервал положительности Заметим, что отбрасываемый хвост вещественной частотной характеристики (ω > ω c или ω > п) влияет главным образом на начальную часть переходного процесса, которая, следовательно, будет оцениваться более грубо. Начало же вещественной частотной характеристики определяет главным образом концевую часть переходного процесса. На основании анализа интеграла (7.53) были получены следующие оценки качества переходного процесса. 1. Статическое отклонение у (∞) регулируемой величины, получающееся в результате единичного скачка внешнего воздействия, равно начальному значению вещественной частотной характеристики Р (0). Если речь идет о скачке задающего воздействия, то Р (0) должно равняться либо 1, либо некоторому k 0 , если система должна воспроизводить задающее воздействие в определенном масштабе k 0 . Если же вводится скачок возмущающего воздействия f, то значение Р (0) должно быть как можно меньше, причем в астатической системе возможно Р) = 0. 2. Чтобы величина перерегулирования y max — y (∞) (кривая 1 на риса) не превышала 18% от статического отклонения, достаточно иметь положительную невозрастающую непрерывную характеристику Р (ω) (кривая 1 на рис. 8.7, б. 3. Для монотонности переходного процесса у (t) (кривая 2 на риса) достаточно, чтобы Р представляла собой отрицательную, убывающую по модулю непрерывную функцию от со кривая 2 на рис, 8.7, б, причем P(∞)=0 4. Простейшим признаком немонотонности переходного процесса является наличие значений Р (∞) Р (0) (кривая 3 на рис. 8.7, б. Переходный процесс тоже будет немонотонным, когда кривая Р (∞) располагается при каких-нибудь со выше ступенчатой кривой С (∞) (рис. 8.7, в, причем где через обозначены целочисленные значения, взятые с избытком например, если , то берется 5. В случае, если вещественная частотная характеристика Р (∞) имеет очертание вида кривой 3 (рис. 8.7, б, которую можно представить как разность двух положительных невозрастающих непрерывных функций, то величина перерегулирования y max — y(∞) (риса) будет меньше, чем 1,18 Р max -Р (0). 6. Для монотонных процессов y (t) время затухания t 1 до значения y = 5% от статического отклонения y (∞) будет больше, чем . В общем же случае. Вообще при прочих равных условиях переходный процесс тем быстрее затухает, чем больше п, те. чем больше растянута область положительности вещественной частотной характеристики Р (ω) вдоль оси ω. 7. Если заданную вещественную частотную характеристику Р (ω) можно приближенно заменить трапецией (риса, тов зависимости от отношения длин оснований аи п трапеции величина перерегулирования в процентах и время затухания переходного процесса в относительном виде п t 1 могут быть приближённо оценены графиками, показанными на рис. 8.8, б ив, причем величина t 1 заключается в интервале — 8 . Если заданную характеристику Р) можно приближенно заменить ломаной, изображенной на риса, причем то зависимость максимально возможного перерегулирования (в процентах) от величины отношения определяется кривой на рис. 8.9, б. При этом заданной верхней границе допустимого значения времени затухания переходного процесса t 1 соответствует нижняя допустимая граница величины интервала положительности п определяемая кривой на рис. 8.9, в. 9. Склонность системы к колебаниям тем больше, чем выше пику вещественной характеристики. В частности, этот пик уходит в бесконечность, если система находится на границе колебательной устойчивости, что соответствует наличию пары чисто мнимых корней кривая 1 на рис. 8.10). При нахождении системы на границе устойчивости, соответствующей наличию одного нулевого корня, в бесконечность уходит начальное значение ординаты Р (0) вещественной частотной характеристики (кривая 2 на рис. 8.10). На основании вышеуказанных простых признаков можно грубо оценивать качество переходного процесса в замкнутой автоматической системе по виду ее вещественных частотных характеристик Р (ω) и Р (ω). Для иллюстрации, следуя В. В. Солодовникову, приведем ряд кривых переходного процесса у, у, у, у) (рис. 8.11, б, которые соответствуют вещественным частотным характеристикам замкнутой системы , изображенным на риса. Наилучший переходный процессу) соответствует характеристике Р (ω), а наихудший у) — характеристике Р (ω), обладающей наибольшими пиками. § 8.6. Корневые методы Как было сказано выше, вид корней характеристического уравнения определяет характер переходных процессов в системе автоматического регулирования. Поэтому можно сформулировать требования по запасу устойчивости и быстродействию системы, не рассматривая самих переходных процессов, а накладывая определенные условия на корни характеристического уравнения. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид , (8.25) где р = с + j ω — комплексное число. Используя понятие среднегеометрического корня (8.26) где р, р, . . ., р n — корни характеристического уравнения, в формуле (8.25) можно перейти к новой комплексной величине q путем подстановки . В результате получим уравнение (8.27) в котором безразмерные коэффициенты определяются выражением (8.28) а его корни равны и т. д. Исходное характеристическое уравнение (8.25) при возвращении к прежней комплексной величине получает вид (8.29) Среднегеометрический корень Ω 0 может служить мерой быстроты протекания переходных процессов. Если в уравнении (8.29) увеличить Ω 0 , например, враз, тона основании теоремы подобия (табл. 7.2) переходный процесс, оставаясь подобным сам себе, будет протекать враз быстрее. В связи с этим можно рассматривать (8.27) как некоторое нормированное характеристическое уравнение, которому соответствует переходный процесс, построенный для безразмерного времени t 0 = Ω 0 t. Если качество переходного процесса является приемлемым сточки зрения допустимого запаса устойчивости, определяемого, например, перерегулированием рис. 8.3), то требуемая быстрота протекания переходного процесса может быть обеспечена соответствующим выбором величины Для увеличения величины Ω 0 , как следует из (8.26), необходимо увеличивать свободный член характеристического уравнения а n . Напомним, что в статических системах а n = 1 + Ка в астатических а n = К, где К — общий коэффициент усиления по разомкнутой цепи регулирования. Следовательно, повышение быстродействия может осуществляться за счет увеличения общего коэффициента усиления. Для оценки быстродействия системы может использоваться понятие степени устойчивости. Термин степень устойчивости не является удачными его, вообще говоря, следовало заменить термином степень быстродействия. Это объясняется тем, что степень устойчивости никак не связана с удалением системы от границы устойчивости, определяемым по склонности системы к колебаниям. Однако этот термин используется в литературе, и мы будем его придерживаться) Под степенью устойчивости η понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 8.12). Здесь могут быть два случая когда ближайший корень является вещественным (риса) и когда коси мнимых ближе всего расположена пара комплексных корней (рис. 8.12, б. Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего коси мнимых, те. имеющие наименьшую по абсолютной величине вещественную часть, дают в переходном процессе (7.3) члены, которые затухают наиболее медленно. В большинстве случаев переходный процесс можно считать закончившимся тогда, когда затухнет член, определяемый ближайшим к мнимой оси корнем. Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то составляющая в переходном процессе, определяемая этим корнем, будет иметь вид |