Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
Демпфирование посредством поднятия высоких частот или, соответственно, введение упреждения по фазе является универсальным методом, так как позволяет получить требуемый результат практически при любых передаточных функциях исходной системы, в том числе и при наличии в канале регулирования неминимально-фазовых звеньев. Однако это не означает, что данный метод может быть рекомендован для использования во всех случаях. Поднятие верхних частот расширяет полосу пропускания системы, что приводит к увеличению ее быстродействия и одновременно усиливает влияние на систему высокочастотных помех. При большом уровне помех на входе или в канале регулирования поднятие верхних частот может привести к неприемлемым результатам. Поэтому данный метод демпфирования имеет ограниченную сферу применения. Она определяется, в основном, теми случаями, когда введение положительного фазового сдвига является принципиально необходимым для получения устойчивой работы, а также теми случаями, когда необходимо повысить быстродействие системы при допустимости возрастания влияния высокочастотных помех. В некоторых случаях при поднятии верхних частот приходится предусматривать меры одновременного подавления высокочастотных помех путем введения специальных узко- или широкополосных фильтров. Иногда задача может оказаться вследствие этого весьма сложной. Демпфирование с подавлением средних частот. Выведение амплитудно-фазовой характеристики из запретной зоны (рис. 10.17) может быть произведено при помощи подавления усиления в области частот, соответствующей отрезку характеристики между точками аи. В результате будет получена характеристика, изображенная на рис. 10.17 пунктиром. Подавление средних частот может быть осуществлено включением в цепь регулирования последовательного интегро-дифференцирующего звена (табл. 10.1), имеющего л. ах, изображенную хам же. Из видала. х. вытекает, что звено подавляет усиление в некоторой области средних частот. Вместо пассивного интегро-дифференцирующего звена могут применяться его эквиваленты, например гибкая отрицательная обратная связь, охватывающая инерционный усилитель (табл. 10.4). По своим свойствам демпфирование с подавлением средних частот занимает промежуточное положение между двумя рассмотренными методами. При демпфировании с подавлением средних частот сохраняется быстродействие системы и сохраняется полоса пропускания. Этот вид демпфирования является наиболее распространенным. Демпфирование с введением отрицательных фазовых сдвигов. Сущность этого метода можно уяснить, например, из рассмотрения рис. 6.22. На рис. 6.22, б изображен случай, когда из- за наличия в канале разомкнутой системы консервативного звена, имеющего чисто мнимые полюсы, замкнутая система будет неустойчивой. Добавление отрицательного фазового сдвига вызовет закручивание а. ф. х. почасовой стрелке. В результате система в замкнутом состоянии может быть сделана усхойчивой (риса. Введение отрицательного фазового сдвига производится использованием последовательных корректирующих звеньев фазосдвигающего типа (табл. 10.1). Так как подобные звенья оказываются обычно неминимально-фазовыми, то такой метод демпфирования иногда называют в литературе методом демпфирования с использованием неминимально-фазовых звеньев. Демпфирование с введением отрицательных фазовых сдвигов оказывается эффективным в случае наличия в канале разомкнутой системы консервативных, а также колебательных звеньев со слабым демпфированием. В первом случае это приводит к появлению в амплитудной частотной характеристике (или в л. ах) резонансных пиков бесконечной высоты, а во втором — к резонансным пикам конечной, но значительной высоты. Использование демпфирования других типов здесь оказывается затруднительным. По своим свойствам этох метод демпфирования сходен со случаем подавления средних частот, так как фазосдвигающие звенья обычно не вносят изменений в амплитудную частотную характеристику и модуль их частотной передаточной функции . В результате сохраняется быстродействие демпфируемой системы и сохраняется ее полоса пропускания. Рассмотренные выше методы демпфирования систем регулирования являются основными, но лишь иллюстрируют те идеи, которые используются для повышения запаса устойчивости. В практике, в зависимости от конкретных условий, могут использоваться и более сложные изменения динамических свойств системы регулирования. Так, например, может осуществляться подавление средних частот с одновременным поднятием высоких, поднятие высоких частот с подавлением их некоторой области (фильтрация определенных частот) и т. п. § 10.6. Примеры 1. Система управления движущимся объектом. Рассмотрим систему управления, изображенную на рис. 10.18. Здесь обозначено ГН — гироскоп направления, показывающий отклонение движущегося объекта от заданного курса П — потенциометр Д — двигатель рулевого устройства и Р — редуктор. При отклонении объекта от заданного курса на угол α ее движок потенциометра отклоняется на тот же угол. В результате на усилитель поступает напряжение. Пройдя усилитель, это напряжение поступает на двигатель, и руль объекта начинает поворачиваться. Составим передаточную функцию разомкнутой системы. Для этой цели отсоединим гироскоп направления от объекта и введем обозначения а — угол отклонения гироскопа и а — угол поворота объекта (в замкнутой системе а = а = а. Передаточная функция разомкнутой системы Найдем передаточные функции отдельных звеньев. Потенциометр. Считая потенциометр безынерционным звеном, получаем (10.47) где k 1 — крутизна потенциометра Усилитель. При безынерционном усилителе (10.48) где k 2 — коэффициент усиления по напряжению. Двигатель совместно с редуктором. Передаточная функция двигателя с редуктором в случае пренебрежения переходными процессами в обмотке управления имеет вид (10.49) где k 3 — коэффициент передачи двигателя совместно с редуктором по скорости , ад электромеханическая постоянная времени. Объект. Будем считать, что угловая скорость поворота объекта по курсу пропорциональна углу отклонения руля. Тогда угол поворота будет пропорционален интегралу от угла поворота руля повремени. При учете инерционности объекта его передаточная функция будет иметь вид где k 4 — коэффициент передачи объекта , Т — постоянная времени объекта. Передаточная функция разомкнутой системы (10.51) где — общий коэффициент усиления разомкнутой системы. Найдем характеристическое уравнение системы (10.52) После подстановки получаем (10.53) Достаточно одного взгляда на это уравнение, чтобы убедиться в неустойчивости системы при любом коэффициенте усиления К. Это вытекает из того, что в характеристическом уравнении отсутствует член с оператором впервой степени. Такая неустойчивость называется структурной неустойчивостью, так как приданной структуре изменение параметров схемы любым образом не дает устойчивости. На рис. 10.19 изображена амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая передаточной функции разомкнутой системы (10.51). Из вида характеристики вытекает, что устойчивость может быть достигнута только при закручивании высокочастотной части годографа против часовой стрелки, что показано на рис. 10.19 пунктиром. Только в этом случае амплитудно-фазовая характеристика не будет охватывать точку (—1, j0) и замкнутая система окажется устойчивой. Для введения положительного фазового сдвига необходимо применить демпфирование с поднятием высоких частот, что достигается включением звеньев дифференцирующего типа. На рис. 10.20 изображена схема использования в качестве чувствительного элемента кроме гироскопа направления ГН дополнительного дифференцирующего гироскопа — гиротахометра ГТ. Угол поворота движка потенциометра П можно считать пропорциональным угловой скорости а поворота гиротахометра. В результате вместо (10.41) будем иметь (10.54) где постоянная времени Передаточная функция разомкнутой системы (10.55) Характеристическое уравнение системы (10.72) в этом случае уже не имеет пропуска членов (10.56) и при соответствующем выборе постоянной времени коррекции Тк и общего коэффициента усиления в системе может быть получена устойчивая работа. 2. Следящая система. Схема следящей системы без корректирующих средств изображена на рис. 6.4. В этом случае предельная добротность по скорости из условия устойчивости определяется неравенством, полученным в § 6.2: Рассмотрим случай демпфирования с поднятием верхних частот. Включим последовательно в канал усиления (рис. 10.21) пассивное дифференцирующее звено ПЗ с передаточной функцией (10.57) где Будем считать, что затухание G 0 вносимое звеном на низких частотах, компенсируется соответствующим увеличением коэффициента усиления усилителя. Тогда передаточная функция разомкнутой системы, полученная в § 6.2: примет вид (10.58) Примем теперь, что в использованном пассивном звене выполнено условие Т 1 =Т М Тогда вместо (10.58) получим (10.59) Найдем характеристическое уравнение Подстановка выражения для передаточной функции (10.59) приводит к уравнению (10.60) Условие устойчивости (10.61) Нетрудно видеть, что, уменьшая коэффициент G 0 можно получить устойчивость при любом значении добротности следящей системы. Рассмотрим теперь случай демпфирования с подавлением средних частот той же следящей системы (см. рис. 6.4). Для этой цели охватим часть усилителя, содержащую инерционность, гибкой отрицательной обратной связью (риса. Согласно табл. 10.4 это эквивалентно включению последовательного интегро-дифференцирующего звена, обладающего свойством подавлять средние частоты. Передаточная функция разомкнутой системы может быть получена из передаточной функции исходной системы делением ее на представляет собой передаточную функцию по петле обратной местной связи Здесь k с — коэффициент усиления части усилителя, охваченной обратной связью, Т = RC — постоянная времени дифференцирующего конденсатора вцепи обратной связи. В результате получим (10.63) Положим теперь, что выполняется условием. Это всегда легко сделать выбором параметров R и С. Тогда (10.64) характеристическое уравнение (10.65) условие устойчивости (10.66) Из этого неравенства видно, что введение обратной связи позволяет повысить добротность системы К по сравнению со случаем k с = 0. Вместо включения гибкой отрицательной обратной связи аналогичный эффект может быть достигнут введением впрямую цепь эквивалентного пассивного интегро-дифференцирующего звена (рис. 10.22, б. ГЛАВА 11 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ § 11.1. Вводные замечания До сих пор поведение систем автоматического регулирования исследовалось при определенных, заданных во времени задающих и возмущающих воздействиях (ступенчатая функция, импульсная функция, гармоническое воздействие и т. д. Однако во многих случаях характер воздействия бывает таким, что его нельзя считать определенной функцией времени. Оно может принимать стечением времени самые разнообразные случайные значения. В таких случаях мы можем оценить только вероятность появления той или иной формы воздействия в тот или иной момент времени. Это происходит не потому, что оно неизвестно заранее, а потому, что сама природа реального задающего или возмущающего воздействия такова, что величина его в каждый момент времени и процесс его изменения стечением времени зависят от множества разнообразных величин, которые случайным образом могут комбинироваться друг с другом, появляться одновременно или с любым сдвигом во времени и т. д. Возьмем, например, систему автоматического регулирования напряжения электрического генератора. Возмущающее воздействие здесь является результатом изменения нагрузки в сети, зависящей от включения, выключения и изменения режима работы множества потребителей электрической энергии. Другой пример — автопилот. На него Действуют обычно возмущающие воздействия случайного характера порывы ветра и изменения других атмосферных факторов, изменение тяги, изменения напряжения питания усилителей и рулевых машинок и т. д. Третий пример — следящие системы, на вход которых попадают вместе с полезным сигналом помехи. Например, в радиолокационной системе сопровождения отраженный от цели сигнал содержит в себе помехи в виде многочисленных флуктуации, происходящих от вибраций и поворотов цели, замирания сигнала и т. п. Аналогичные помехи случайной природы имеют место в других автоматических устройствах. В следящих системах не только возмущающие воздействия и помехи являются случайными, но и сам полезный сигнал, который должен воспроизводиться (задающее воздействие, как правило, носит случайный характер. Прежде чем рассматривать поведение автоматических систем при случайных воздействиях, напомним некоторые сведения о случайных величинах, случайных процессах и об их вероятностных характеристиках. К категории случайных событий можно отнести такие, точное предсказание протекания которых в каждом отдельном случае оказывается невозможным. Так, например, если бросать монету, то выпадение герба или цифры будет случайным событием. Если повторить этот эксперимент N раз, то можно зафиксировать определенное число выпадений герба m и число выпадений цифры N — m. Относительная величина называется частотой события выпадения герба, а величина — частотой события выпадения цифры. - Если устремить число экспериментов , то частоты событий будут стремиться к некоторому пределу (11.1) называемому вероятностью данного события. В рассмотренном случае очевидно, что обе вероятности выпадения герба и цифры одинаковы и равны 0,5. Вероятность каждого события лежит в интервале Если событие является невозможным, вероятность его равна нулю если событие является достоверным, его вероятность равна единице. В примере с бросанием монеты рассматривалась дискретная случайная величина, которая могла принимать два фиксированных значения — выпадение герба и выпадение цифры. Существуют случайные величины, которые могут принимать непрерывные значения. Так, например, если рассмотреть стрельбу из орудия (рис. 11.1), то расстояние L от орудия до места падения снаряда будет случайной величиной, которая на определенном отрезке может принимать всевозможные значения. В этом случае можно говорить о вероятности нахождения случайной величины L ъ некотором интервале от L1 до L2. Вероятностные характеристики дискретных случайных величин. Чтобы полностью знать дискретную случайную величину, надо иметь следующие данные а) всевозможные значения, которые она может принимать приданных условиях задачи или опыта б) вероятность появления каждого из этих значений. Так, например, если дискретная случайная величина может принимать конечное число значений х, х, х, . . ., хи вероятность каждого значения будет соответственно Р Р, РЗ, ..., Р то можно представить так называемый закон распределения случайной величины в виде таблицы 11.1. При этом должно выполняться условие (11.2) Пусть, например, производится опыт бросания игральной кости. Очевидно, что при каждом бросании число выпавших очков, которое представляет собой случайную величину, может принимать одно из следующих значений 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если кость совершенно симметрична, то вероятность выпадения каждой из этих цифр является одинаковой. Так как число различных значений, которое может принимать случайная величина, равно шести, то из (11.2) имеем Графически этот закон распределения изображен на рис. 11.2. Он представляет собой равновероятное распределение в некотором интервале (в рассматриваемом случае от 1 до 6). В некоторых случаях закон распределения случайной величины может задаваться в аналитической форме. Примером аналитического задания закона распределения дискретной случайной величины является часто используемый закон Пуассона. Он применим к дискретным случайным величинам, которые теоретически могут принимать все положительные значения от 0 до оо. Примерами таких величин могут служить число пассажиров вагона трамвая, число вызовов на телефонной станции в течение какого-либо определенного отрезка времени, число электронов, попадающих на анод электронной лампы за определенный промежуток времени, и т. п. Этот закон записывается следующим образом для целых значений числах где Р (x) — вероятность появления значениях представляет собой среднее значение данной дискретной величины, полученное по результатам большого числа опытов. Графически этот закон имеет вид, изображенный на рис. 11.3, причем место максимума зависит от величины λ. В качестве одного из примеров рассмотрим функцию у (t), которая может принимать одно из значений + а или — а (рис. 11.4). Предположим, что среднее число перемен знака в единицу времени этой функции равно и и что вероятность перемены знака на интервале не зависит оттого, что происходит в остальные моменты времени. Тогда вероятность перемены знака на интервале ∆t составит . Вероятность того, что на интервале ∆t не произойдет перемены знака, будет Если взять два интервала времени ∆t, то вероятность отсутствия перемены знака на двух интервалах будет равна произведению вероятностей и составит . Для трех интервалов ∆t она составит ит.д. Возьмем теперь конечный интервал времени Т, который можно представить в виде . Тогда вероятность отсутствия перемены знака на этом интервале можно найти из выражения Аналогичным образом можно показать, что вероятность одной перемены знака на интервале Т будет , вероятность двух перемен знака и т. д. Следовательно, вероятность х перемен знака на интервале времени Т будет определяться выражением (11.4) которое совпадает с формулой (11.3), если положить в ней , где — среднее число перемен знака на интервале времени Т, которое будет наблюдаться при многократном повторении наблюдения. Хотя закон распределения полностью определяет случайную величину, для практики нужны некоторые более простые осредненные характеристики случайной величины, выражающиеся в виде обыкновенных неслучайных чисел. Одной из таких характеристик является среднее значение, или математическое ожидание, случайной величины. Оно определяется из выражения (11.5) Так, например, для случая бросания игральной кости Вообще для равновероятного закона распределения (11.5) превращается в формулу Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, среднее значение, подсчитанное по формуле (11.5), дает Основные свойства среднего значения случайной величины следующие. |