Лекция 5 Дискретные случайные величины

• Название: Лекция 5 Дискретные случайные величины
• Дата: 19.11.2020
• Размер: 0.51 Mb.
• Имя файла: biderman_dsv.pdf
• Тип: Лекция; #152103
• страница: 1 из 4

ЛЕКЦИЯ 5
Дискретные случайные величины
§ 5.1. Понятие случайной величины
Когда подбрасывается игральная кость, то появляются случайные числа
1, 2, 3, 4, 5, 6. При этом определить, какое именно появится число, заранее невозможно.
Точно также невозможно определить, сколько человек зайд¨
ет в течение часа в ближайший магазин, или сколько вызовов в течение этого часа по- ступит на городскую станцию скорой помощи
1
Но при всей случайности исходов, образующих полную группу этих опытов-наблюдений, с ними связана одна закономерность. Каждый из этих опытов определяет (одну или несколько) случайную величину, принимаю- щую числовые значения, связанные с исходами, каждому из которых соот- ветствует определ¨
енная вероятность.
Пусть Ω = {ω} − пространство элементарных событий некоторого опы- та, а X = {x} − конечное (или сравнимое с множеством натуральных чисел
2
) числовое множество.
Определение 5.1. Функция, отображающая пространство Ω в мно- жество X, называется дискретной случайной величиной.
Определ¨
енная таким образом дискретная случайная величина обозна- чается X = X(ω).
Рассмотрим несколько примеров:
1. Опыт с подбрасыванием игральной кости. Пространство Ω определяют события выпало «1» очко, выпали «2» очка, ..., выпали «6» очков. Если задать множество X, состоящее из первых 6 чисел натурального ряда, то можно определить случайную величину X = X(ω) как «число очков, вы- павших при однократном подбрасывании кости».
2. Опыт с магазином. Событием ω является посещение магазина очередным покупателем. Каждому такому событию можно поставить в соответствие число покупателей, оказавшихся вместе в магазине в данный час. Таким образом, случайная величина Y = Y (ω) − «число покупателей в магазине в течение часа».
3. Опыт с последовательным подбрасыванием n монет. Событиями являют- ся выпадение «герба» или «реш¨
етки». Можно определить несколько слу- чайных величин на множестве этих событий: случайная величина
1
Конечно, хотелось бы, чтобы их вообще не было, но об этом можно только мечтать.
2
Такое множество называется cч¨
етным множеством, то есть множеством, каждому элементу ко- торого можно единственным образом поставить во взаимно однозначное соответствие натуральное число.
1

Z = Z(ω) − «число выпадений герба», случайная величина T = T (ω) −
«число выпадений реш¨
етки», случайная величина V = V (ω) − «число серий выпадения двух гербов подряд».
Далее возникает вопрос, о способах задания дискретной случайной ве- личины.
Если задавать случайную величину перечислением множества е¨
е значе- ний, то может оказаться, что у разных случайных величин могут оказаться одинаковые множества значений. Например, при подбрасывании одной мо- неты множество значений случайной величины X − «число выпадений герба» состоит из двух чисел {0, 1}. Точно также, при рождении одного реб¨
енка в родильном доме случайная величина Y − «число родившихся мальчиков» тоже состоит из двух чисел {0, 1}. Но эти случайные величины отличаются друг от друга, так как событиям из областей их определения соответствуют разные вероятности. В случае с монетой вероятность каждо- го события равна 0, 5, а, согласно статистике, вероятность рождения маль- чика 0, 515 (соответственно нерождения 0, 485).
Следовательно, для задания случайной величины недостаточно задать только множество е¨
е значений. Необходимо также определить вероятности событий, связанных с этими значениями.
§ 5.2. Закон распределения дискретной случайной величины
Предположим, что X = X(ω) − дискретная случайная величина, един- ственными значениями которой являются числа x
1
, x
2
, . . . , x n
Так как каждое из этих значений является образом некоторого события:
x
1
= X(ω
1
), x
2
= X(ω
2
), . . . , x n
= X(ω
n
),
то вероятности P (ω
i
) определяют вероятности
1
P (ω
i
: X = x i
), которые для краткости обозначим через p
i
= P (X = x i
), (i = 1, n).
Поскольку для каждого ω
i существует только одно значение x i
= X(ω
i
),
то события X = x
1
, X = x
2
, ..., X = x n
образуют полную группу событий опыта. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:
p
1
+ p
2
+ · · · + p n
= 1.
(5.1)
Замечание 5.1. Если множество значений дискретной случайной ве- личины X сравнимо с множеством натуральных чисел, то есть является
1
То есть вероятности событий, заключающихся в том, что случайная величина X принимает зна- чение x i
2

бесконечным множеством, то числовой ряд
∞
X
n=1
p n
= p
1
+ p
2
+ · · · + p n
+ . . .
сходится, а его сумма равна единице.
Определение 5.2. Отображение, при котором каждому возможно- му значению дискретной случайной величины соответствует вероят- ность события, при котором случайная величина принимает это значе- ние, называется законом распределения дискретной случайной величины.
Так как закон распределения является числовой функцией, то его можно задать в виде таблицы, или графика, или аналитически с помощью неко- торой формулы. Рассмотрим первые два из этих способов.
5.2.1. Табличное задание закона распределения
При табличном задании значения случайной величины упорядочивают по возрастанию, записывая в первой строке таблицы, а соответствующие значения вероятностей располагают во второй е¨
е строке:
X
x
1
x
2
x n−1
x n
p p
1
p
2
p n−1
p n
(5.2)
Критерием правильности составления закона распределения является условие (5.1).
Задача 5.1. Дан закон распределения дискретной случайной величины
δ
δ
2 5
8 11
p 0,46 ? 0,11 0,14
Найдите неизвестную вероятность.
Решение. Так как таблица представляет закон распределения дискрет- ной случайной величины δ, то сумма вероятностей во второй строке должна быть равна единице.
Пусть неизвестная вероятность равна p.
Тогда,
0, 46 + p + 0, 11 + 0, 14 = 1.
Следовательно, p = 1 − 0, 46 − 0, 11 − 0, 14 ⇒ p = 0, 29.
Задача 5.2. Делопроизводитель написал три письма и подписал три конверта. Затем, произвольным образом, разложил письма по конвер- там и отправил. Случайная величина X − число адресатов, получивших свои письма. Составьте закон распределения X.
3

Решение. Разложить три письма по конвертам с адресами можно сле- дующим образом:
положить в один из конвертов первое письмо, и положить в один из оставшихся конвертов второе письмо и положить в один из оставших- ся после этих действий конвертов третье письмо
1
Так как положить первое письмо в конверт можно тремя способами и положить второе письмо (после того, как в один из конвертов положено первое) можно только двумя способами и положить третье письмо (по- сле того, как в в двух конвертах уже лежат письма) можно только одним способом, то общее число способов, согласно принципу произведения,
n = 3 · 2 · 1! ⇒ n = 6.
Случайная величина X может принимать четыре значения:
1) X = 0, если ни один из адресатов не получил сво¨
е письмо.
2) X = 1, если только один из адресатов получил сво¨
е письмо.
3) X = 2, если только два адресата получили свои письма.
4) X = 3, если все адресаты получили свои письма.
Рассмотрим каждое из этих событий отдельно:
Первое из событий X = 0 может наступить в двух случаях:
а) первый получит письмо, адресованное второму, второй − третьему, тре- тий − первому;
б) первый получит письмо, адресованное третьему, второй − первому, тре- тий − второму.
Поэтому, p({X=0} =
2 6
⇒ p({X=0} =
1 3
Второе из событий X = 1 может наступить в тр¨
ех случаях:
а) первый получит письмо, адресованное ему, второй − третьему, третий
− второму;
б) первый получит письмо, адресованное третьему, второй − сво¨
е, третий
− первому;
в) первый получит письмо, адресованное второму, второй − первому, тре- тий − сво¨
е.
Поэтому, p({X=1} =
3 6
⇒ p({X=1} =
1 2
Третье из событий X = 2 не наступит никогда,
следовательно, p({X=2} = 0.
Так как четв¨
ертое событие X = 3 может наступить только в одном слу- чае, то p({X=1} =
1 6
1
Другое решение заключается в том, чтобы увидеть, что это задача на перестановки из тр¨
ех элементов, а значит, n = 3! ⇒ n = 6.
4

В силу того, что
1 3
+
1 2
+ 0 +
1 6
= 1, можно утверждать, что закон распределения дискретной случайной величины X имеет следующий вид:
X
0 1
2 3
p
1 3
1 2
0 1
6
Задача 5.3. В магазине имеется 10 автомобилей определ¨
енной мар- ки. Среди них 6 ч¨
ерного цвета, 3 серого и 1 белого. Представители фир- мы обратились в магазин с предложением о продаже им 3 автомобилей этой марки, безразлично какого цвета. Случайная величина Y − число случайно проданных автомобилей ч¨
ерного цвета. Составьте закон рас- пределения Y .
Решение. Общее число выбранных автомобилей три из десяти, при этом при выборе порядок не имеет значения, то выбор реализуется с помо- щью сочетаний:
n = C
3 10
⇒ n =
10!
3! · 7!
⇒ n = 120.
Установим значения, которые может принимать дискретная случайная величина Y :
Число ч¨
ерных автомобилей, среди купленных может быть Y = 0, или
Y = 1, или Y = 2, или Y = 3.
Определим соответствующие события и их вероятности:
1. Y = 0: A
0
=куплены нуль ч¨
ерных автомобилей из 6 ч¨
ерных и
B
0
=куплены три неч¨
ерных автомобиля из четыр¨
ех неч¨
ерных.
Найд¨
ем число благоприятных исходов, соответствующих Y = 0.
m(A
0
) = C
0 6
⇒ m(A
0
) = 1; m(B
0
) = C
3 4
⇒ m(B
0
) =
4!
3! · 1!
⇒ m(B
0
) = 4.
Согласно принципу произведения число благоприятных исходов m({Y=0} = m(A
0
) · m(B
0
), ⇒ m({Y=0} = 1 · 4 ⇒ m({Y=0} = 4.
Следовательно, вероятность p({Y=0} =
4 120
⇒ p({Y=0} =
1 30 2. Y = 1: A
1
=куплены один ч¨
ерный автомобиль из 6 ч¨
ерных и
B
1
=куплены два неч¨
ерных автомобиля из четыр¨
ех неч¨
ерных.
Найд¨
ем число благоприятных исходов, соответствующих Y = 1.
m(A
1
) = C
1 6
⇒ m(A
1
) = 6; m(B
1
) = C
2 4
⇒ m(B
1
) =
4!
2! · 2!
⇒ m(B
1
) = 6.
Согласно принципу произведения число благоприятных исходов m({Y=1} = m(A
1
) · m(B
1
), ⇒ m({Y=1} = 6 · 6 ⇒ m({Y=1} = 36.
Следовательно, вероятность
5

p({Y=1} =
36 120
⇒ p({Y=1} =
3 10 3. Y = 2: A
2
=куплены два ч¨
ерных автомобиля из 6 ч¨
ерных и
B
2
=куплен один неч¨
ерный автомобиль из четыр¨
ех неч¨
ерных.
Найд¨
ем число благоприятных исходов, соответствующих Y = 2.
m(A
2
) = C
2 6
⇒ m(A
2
) =
6!
2! · 4!
⇒ m(A
2
) = 15;
m(B
2
) = C
1 4
⇒ m(B
2
) = 4.
Согласно принципу произведения число благоприятных исходов m({Y=2} = m(A
2
) · m(B
2
), ⇒ m({Y=2} = 15 · 4 ⇒ m({Y=2} = 60.
Следовательно, вероятность p({Y=2} =
60 120
⇒ p({Y=2} =
1 2
4. Y = 3: A
3
=куплены три ч¨
ерных автомобиля из 6 ч¨
ерных и
B
3
=куплены нуль неч¨
ерных автомобилей из четыр¨
ех неч¨
ерных.
Найд¨
ем число благоприятных исходов, соответствующих Y = 3.
m(A
3
) = C
3 6
⇒ m(A
3
) =
6!
3! · 3!
⇒ m(A
3
) = 20;
m(B
3
) = C
0 4
⇒ m(B
3
) = 1.
Согласно принципу произведения число благоприятных исходов m({Y=3} = m(A
3
) · m(B
3
), ⇒ m({Y=3} = 20 · 1 ⇒ m({Y=3} = 20.
Следовательно, вероятность p({Y=3} =
20 120
⇒ p({Y=3} =
1 6
Так как
1 30
+
3 10
+
1 2
+
1 6
= 1, то можно утверждать, что закон распре- деления дискретной случайной величины Y имеет следующий вид:
Y
0 1
2 3
p
1 30 3
10 1
2 1
6
Задача 5.4. Экзаменатор зада¨
ет студенту, прогулявшему весь се- местр, дополнительные вопросы. Вероятность того, что студент от- ветит на любой из заданных вопросов равна 0, 8. Преподаватель прекра- щает экзамен, как только студент не отвечает на очередной вопрос.
Случайная величина Z − число дополнительно заданных вопросов.
1.Составьте закон распределения Z.
2. Найдите наивероятнейшее число заданных студенту дополнительных вопросов.
6

Решение. Теоретически, в случае студента-всезнайки и неутомимого преподавателя, случайная величина Z может принимать бесконечное чис- ло целочисленных значений, начиная от единицы.
Попробуем установить вероятности первых событий, а затем, закон их изменения:
1. Z = 1: A
1
=студент не ответил на первый вопрос.
p({Z=1}) = 1 − 0, 8 ⇒ p({Z=1}) = 0, 2.
2. Z = 2: A
2
=студент ответил на первый вопрос и
B
2
=не ответил на второй вопрос.
Так как A
2
и B
2
− независимые события, то p({Z = 2}) = p({A
2
}) · p({B
2
}) ⇒
⇒ p({Z = 2}) = 0, 8 · (1 − 0, 8) ⇒ p({Z = 2}) = 0, 16.
3. Z = 3: A
31
=студент ответил на первый вопрос и
A
32
=студент ответил на второй вопрос и
B
3
=не ответил на третий вопрос.
Так как A
31
, A
32
и B
3
− независимые события, то p({Z = 3}) = p({A
31
}) · p({A
32
}) · p({B
3
}) ⇒
⇒ p({Z = 3} = (0, 8)
2
· (1 − 0, 8) ⇒ p({Z = 3}) = 0, 128.
Можно догадаться, что p({Z = 4} = (0, 8)
3
· (1 − 0, 8) ⇒ p({Z = 4} = 0, 1024.
Вероятности соответствующих событий, начиная со второго события,
образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знамена- телем q = 0, 8 и первым членом b
1
= 0, 2.
Таким образом, событию {Z = k} соответствует вероятность
0, 2 · (0, 8)
k−1
Согласно замечанию 5.1, множество значений дискретной случайной величины Z является сч¨
етным множеством, поэтому вероятности, соответ- ствующие этим значениям, являются членами бесконечного ряда. Так как они являются одновременно членами бесконечно убывающей геометриче- ской прогрессии, то этот ряд сходится.
Найд¨
ем по известной формуле S =
b
1 1 − q сумму членов этого ряда
S =
0, 2 1 − 0, 8
⇒ S = 1.
Так как S = 1, то можно утверждать, что закон распределения для дис- кретной случайной величины имеет вид
Y
1 2
3
k p 0, 2 0, 16 0, 128 . . .
0, 2 · (0, 8)
k−1 7

Видя перед глазами закон распределения легко ответить на второй во- прос задачи.
Наивероятнейшее число заданных студенту дополнительных вопросов равно одному, так как именно этому событию соответствует наибольшая вероятность.
5.2.2. Графическое задание закона распределения
График закона распределения в декартовой системе координат, на го- ризонтальной оси которой откладываются значения x, а на вертикальной
− вероятности, называется многоугольником распределения
Рис. 5.1
x p
x
1
x
2
x
3
x n−1
x n
p
1
p
2
p
3
p n−1
p n
Задача 5.5. В условиях задачи 5.1 постройте многоугольник распре- деления δ.
Решение. В системе координат x − p построим точки, взяв за их ко- ординаты соответствующие значения из полученного при решении задачи
5.1закона распределения дискретной случайной величины δ. Построенные точки соединим пунктирной линией:
x p
2 5
8 11 0, 11 0, 14 0, 29 0, 46
§ 5.3. Функция распределения дискретной случайной величины
Ещ¨
е одной геометрической иллюстрацией дискретной случайной вели- чины является е¨
е функция распределения.
Определение 5.3. Функцией распределения случайной величины назы-
8

вается функция, которая в каждой точке x числовой прямой определяет вероятность события, в котором случайная величина принимает значе- ние, меньшее, чем x. То есть
1
,
F (x) = P (X < x).
(5.3)
Таким образом, вероятность того, что X < x зависит от x, поэтому функция F (x) называется функцией распределения
2
С точки зрения геометрии функция распределения определяет вероят- ность того, что случайная величина X в результате исхода попадет на ко- ординатную прямую левее x:
-
X
0
X
x z
}|
{
Рис. 5.2
Для дискретной случайной величины X, значения которой x
1
, x
2
, . . . , x n
,
функция распределения имеет вид
3
F (x) =
X
x k
P (X = x k
)
(5.4)
или в разв¨
ернутом виде
F (x) = P (X = x
1
) + P (X = x
2
) + · · · + P (X = x k
), где x k
< x.
Построим график функции распределения F (x) случайной величины X,
заданной табличным законом распределения (5.2).
При x ≤ x
1
: F (x) = P (X < x) = 0.
При x
1
< x ≤ x
2
: F (x) = P (X < x) = P (X = x
1
) = p
1
При x
2
< x ≤ x
3
: F (x) = P (X < x) = P (X = x
1
) + P (X = x
2
) = p
1
+ p
2
При x n−1
< x ≤ x n
: F (x) = P (X < x) =
= P (X = x
1
) + P (X = x
2
) + · · · + P (X = x n−1
) = p
1
+ p
2
+ · · · + p n−1
При x ≥ x n
: F (x) = P (X < x) =
= P (X = x
1
) + P (X = x
2
) + · · · + P (X = x n−1
) + P (X = x n
) =
= p
1
+ p
2
+ · · · + p n−1
+ p n
Функция распределения имеет неустранимые разрывы первого рода сле- ва в тех точках, в которых дискретная случайная величина X принимает
1
Под выражением P (X < x) следует понимать вероятность события ω, в котором случайная вели- чина принимает значение меньшее, чем x. Или в обозначениях: P (X < x) = P (ω : X < x).
2
В старых учебниках по теории вероятностей, а также в приложениях функцию распределения называют кумулятивной функцией или накопительной функцией. Такое название вытекает из е¨
е оп- ределения: из него видно, как накапливается «количество вероятности».
3
Неравенство x k
< x означает, что суммирование относится ко всем значениям x k
, котороые по своей величине меньше x.
9

возможные значения, указанные в таблице (5.2) закона распределения.
В интервалах между возможными значениями случайной величины функ- ция F (x) является постоянной. Сумма скачков функции распределения равна единице. График функции распределения дискретной случайной ве- личины есть разрывная ступенчатая функция:
x
F(x)
x
1
x
2
x
3
x n−1
x n
p
1
p
1
+ p
2
p
1
+ p
2
+ p
3
p
1
+ p
2