Лекция 5 Дискретные случайные величины
 Скачать 0.51 Mb.
|
|
+ p 3 + · · · + p n−1 1 0 Рис. 5.3 Задача 5.6. В условиях задачи 5.1 постройте график функции распре- деления δ. Решение. Используя алгоритм построения (см. стр.9), имеем: При x ≤ 2: F (x) = P (δ < x) = 0. При 2 < x ≤ 5: F (x) = P (δ < x) = P (δ = 2) = 0, 46. При 5 < x ≤ 8: F (x) = P (δ < x) = P (δ = 2) + P (δ = 5) = = 0, 46 + 0, 29 = 0, 75. При 8 < x ≤ 11: F (x) = P (δ < x) = P (δ = 2) + P (δ = 5) + P (δ = 8) = = 0, 46 + 0, 29 + 0, 11 = 0, 86. При x ≥ 11: F (x) = P (δ < x) = P (δ = 2) + P (δ = 5) + P (δ = 8)+ +P (δ = 11) ⇒ F (x) = P (δ < x) = 1. F (x) = 0, если x ≤ 2, 0, 46, если 2 < x ≤ 5, 0, 75, если 5 < x ≤ 8, 0, 86, если 8 < x ≤ 11, 1, если x > 11. x F(x) 2 5 8 11 0, 46 0, 75 0, 86 1 0 10 Задача 5.7. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Случайная величина H − число светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Составьте закон распределения H и постройте гра- фик функции распределения H. Решение. Рассмотрим события, связанные с условием задачи, и опре- делим их вероятности. 1. H = 0: A 0 =автомобиль попал под запрещающий сигнал на первом светофоре. p({H = 0}) = p({A 0 }) = 0, 5. 2. H = 1: A 1 =автомобиль проехал первый семафор без остановки и B 1 =автомобиль попал под запрещающий сигнал на втором светофоре. Так как A 2 и B 2 − независимые события, то p({H = 1}) = p({A 1 }) · p({B 1 }) ⇒ ⇒ p({H = 1}) = (1 − 0, 5) · 0, 5 ⇒ p({H = 1}) = 0, 25. 3. H = 2: A 2 =автомобиль проехал первый и второй семафоры без остановки и B 2 =автомобиль попал под запрещающий сигнал на третьем светофоре. Так как A 2 и B 2 − независимые события, то p({H = 2}) = p({A 2 }) · p({B 2 }) ⇒ ⇒ p({H = 2} = (1 − 0, 5) 2 · 0, 5 ⇒ p({H = 2}) = 0, 125. 4. H = 3: A 3 =автомобиль проехал первый, второй и третий семафоры без остановки и B 3 =автомобиль попал под запрещающий сигнал на четв¨ ертом светофоре. Так как A 3 и B 3 − независимые события, то p({H = 3}) = p({A 3 }) · p({B 3 }) ⇒ ⇒ p({H = 3} = (1 − 0, 5) 3 · 0, 5 ⇒ p({H = 3}) = 0, 0625. 5. H = 4: A 4 =автомобиль проехал все четыре семафора без остановки. p({H = 4}) = p({A 4 }) ⇒ ⇒ p({H = 4} = (1 − 0, 5) 4 ⇒ p({H = 4}) = 0, 0625. Так как 0, 5 + 0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0625 = 1, то можно утвер- ждать, что закон распределения дискретной случайной величины H имеет следующий вид: 11 Y 0 1 2 3 4 p 0, 5 0, 25 0, 125 0, 0625 0, 0625 Далее, используя алгоритм построения (см. стр.9) и опыт решения за- дачи 5.7, имеем: При x ≤ 0: F (x) = P (H < x) = 0. При 0 < x ≤ 1: F (x) = P (H < x) = P (H = 0) = 0, 5. При 1 < x ≤ 2: F (x) = P (H < x) = P (H = 0) + P (H = 1) = = 0, 5 + 0, 25 = 0, 75. При 2 < x ≤ 3: F (x) = P (H < x) = P (H = 0) + P (H = 1) + P (H = 2) = = 0, 5 + 0, 25 + 0, 125 = 0, 875. При 3 < x ≤ 4: F (x) = P (H < x) = P (H = 0) + P (H = 1)+ +P (H = 2) + P (H = 3) = +0, 5 + 0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 = 0, 9375. При x ≥ 4: F (x) = P (H < x) = P (H = 0) + P (H = 1) + P (H = 2)+ +P (H = 3) + P (H = 4) ⇒ F (x) = P (H < x) = 1. Собирая полученную информацию, имеем F (x) = 0, если x ≤ 0, 0, 5, если 0 < x ≤ 1, 0, 75, если 1 < x ≤ 2, 0, 875, если 2 < x ≤ 3, 0, 9375, если 3 < x ≤ 4, 1, если x > 4. На основании расч¨ етов строим график F (x): x F(x) 1 2 3 4 0, 5 0, 75 0, 875 0, 9375 1 0 5.3.1. Свойства функции распределения Из определения 5.3 и рисунка 5.2 можно вывести следующие свойства функции распределения: Свойство 5.1. ∀ x 0 ≤ F (x) ≤ 1. 12 Это очевидно, так как F (x) определяется с помощью вероятности события. Свойство 5.2. ∀ x 1 , x 2 : x 1 < x 2 ⇒ F (x 1 ) ≤ F (x 1 ). - X 0 X x 1 x 2 A z }| { B z }| { | {z } C Рис. 5.4 Воспользуемся Рис.5.4. Пусть событие C = {ω : X(ω) < x 2 }. Предста- вим его как сумму событий A = {ω : X(ω) < x 1 } и B = {ω : x 1 ≤ X(ω) < x 2 }: C = A + B. Так как A и B − несовместные события, то из теоремы ?? о сложении вероятностей следует, что P (C) = P (A) + P (B). То есть, P (X < x 2 ) = P (X < x 1 ) + P (x 1 ≤ X < x 2 ). Следовательно, F (x 2 ) = F (x 1 ) + P (x 1 ≤ X < x 2 ). Так как вероятность P (x 1 ≤ X < x 2 ) ≥ 0 по определению, то F (x 1 ) ≤ F (x 2 ). Свойство 5.3. lim x→−∞ F (x) = 0. Если на Рис. 5.2 «заставить» точку x стремиться влево, то видно, что событие {ω : X(ω) < x}, состоящее в том, что случайная величина X окажется левее, чем x, становится невозможным, а его вероятность − рав- ной нулю. Свойство 5.4. lim x→∞ F (x) = 1. Точно также, перемещая точку x на рисунке 5.2 вправо, можно убе- диться, что событие {ω : X(ω) < x} в пределе становится достоверным. А значит его вероятность стремится к единице. § 5.4. Числовые характеристики дискретной случайной величины 5.4.1. Математическое ожидание распределения дискретной случайной величины С точки зрения теории вероятности закон распределения полностью описывает случайную величину. Но получение всей содержащейся в н¨ ем информации во-первых избыточно во многих случаях, а во-вторых требует затрат на получение этой информации. Для практических целей нужно иметь гораздо меньше информации, чтобы получить представление о поведении изучаемой случайной величи- ны. Если представлять множество значений случайной величины как не- который интервал, расположенный на числовой прямой, то нужно знать 13 «центр» этого интервала, то есть места, где расположена основная «масса вероятности». А также нужно знать «радиус» этого интервала, как «меру рассеяния» этой «массы вероятности» относительно «центра». Пусть известен закон распределения дискретной случайной величины X: X x 1 x 2 x n−1 x n p p 1 p 2 p n−1 p n Определение 5.4. Математическим ожиданием 1 случайной величи- ны X называется скалярное произведение вектора значений случайной величины на вектор соответствующих им вероятностей. То есть, M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + · · · + x n−1 p n−1 + x n p n (5.5) Или, в сжатом виде: M (X) = n X i=1 x i p i Задача 5.8. В условиях задачи 5.1 найдите математическое ожида- ние δ. Решение. Согласно формуле 5.5, M (X) = 2 · 0, 46 + 5 · 0, 29 + 8 · 0, 11 + 11 · 0, 14. Выполнив вычисления, получаем M (X) = 4, 79. Задача 5.9. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных холодильника. Случайная величина P − число импортных холодильников из четыр¨ ех наудачу выбранных холодильников. 1. Составьте закон распределения случайной величины P . 2. Вычислите математическое ожидание случайной величины P . Решение. Рассмотрим события, связанные с условием задачи. Найд¨ ем общее число вариантов выбора 4-х холодильников из имеющих- ся 8. Так как мы не делаем между холодильниками различий, то выбор реализуется с помощью сочетаний: Далее, рассмотрим благоприятные варианты выбора и вычислим соот- ветствующие вероятности событий. n = C 4 8 ⇒ n = 8! 4! · 4! ⇒ n = 70. 1. P = 0: A 0 =выбрали 0 импортных холодильников из 3 импортных и B 0 =выбрали 4 отечественных холодильника из 5 отечествен- ных. 1 Термин математическое ожидание связан с ожиданием выигрыша в азартных играх, с желанием определить среднее значение предполагаемого выигрыша с помощью математики. 14 Так как события A 0 и B 0 являются независимыми, то согласно принципу произведения m({P = 0}) = m({A 0 }) · m({B 0 }). m({A 0 }) = C 0 3 ⇒ m({A 0 }) = 1; m({B 0 }) = C 4 5 ⇒ m({B 0 }) = 5. Следовательно, m({P = 0}) = 1 · 5 ⇒ m({P = 0}) = 5. В итоге, из классического определения вероятности следует, что p({P = 0}) = m({P = 0}) n ⇒ p({P = 0}) = 5 70 ⇒ p({P = 0}) = 1 14 2. P = 1: A 1 =выбрали 1 импортный холодильник из 3 импортных и B 1 =выбрали 3 отечественных холодильника из 5 отечествен- ных. Точно также, как и в пункте 1, определим p({P = 1}). m({P = 1}) = m({A 1 }) · m({B 1 }). m({A 1 }) = C 1 3 ⇒ m({A 1 }) = 3; m({B 1 }) = C 3 5 ⇒ m({B 1 }) = 10. Следовательно, m({P = 1}) = 3 · 10 ⇒ m({P = 1}) = 30. В итоге, из классического определения вероятности следует, что p({P = 1}) = m({P = 1}) n ⇒ p({P = 1}) = 30 70 ⇒ p({P = 1}) = 3 7 3. P = 2: A 2 =выбрали 2 импортных холодильника из 3 импортных и B 2 =выбрали 2 отечественных холодильника из 5 отечествен- ных. Также, как и в первых пунктах, определим p({P = 2}). m({P = 2}) = m({A 2 }) · m({B 2 }). m({A 2 }) = C 2 3 ⇒ m({A 2 }) = 3; m({B 2 }) = C 2 5 ⇒ m({B 2 }) = 10. Следовательно, m({P = 2}) = 3 · 10 ⇒ m({P = 2}) = 30. В итоге, имеем p({P = 2}) = m({P = 2}) n ⇒ p({P = 2}) = 30 70 ⇒ p({P = 2}) = 3 7 4. P = 3: A 3 =выбрали 3 импортных холодильника из 3 импортных и B 3 =выбрали 1 отечественный холодильник из 5 отечествен- ных. Аналогично пунктам 1-3, определим p({P = 3}). 15 m({P = 3}) = m({A 3 }) · m({B 3 }). m({A 3 }) = C 3 3 ⇒ m({A 3 }) = 1; m({B 3 }) = C 1 5 ⇒ m({B 3 }) = 5. Следовательно, m({P = 3}) = 1 · 5 ⇒ m({P = 3}) = 5. В итоге, имеем p({P = 3}) = m({P = 3}) n ⇒ p({P = 3}) = 5 70 ⇒ p({P = 3}) = 1 14 Так как 1 14 + 3 7 + 3 7 + 1 14 = 1, то можно утверждать, что закон распре- деления дискретной случайной величины P имеет следующий вид: P 0 1 2 3 p 1 14 3 7 3 7 1 14 Используя формулу 5.5, вычислим математическое ожидание дискрет- ной случайной величины P : M (P ) = 0 · 1 14 + 1 · 3 7 + 2 · 3 7 + 3 · 1 14 = 1 · 1 2 ⇒ M (P ) = 1, 5. Задача 5.10. Из опыта сдачи экзамена некоторому преподавателю предыдущими поколениями студентов установлено, что сдать ему эк- замен на «отлично» можно с вероятностью 0, 3, на «хорошо» − с ве- роятностью 0, 4. Какова вероятность получить у этого преподавателя другие оценки, если математическое ожидание случайной величины S, связанной с распределением оценок у данного преподавателя при случай- но выбранном билете, равно 3, 9. Решение. Согласно Положению о высшей школе, S может принимать значения из множества {2 3, 4, 5}. Допустим, что x и y − вероятности того, что сдающий может соответ- ственно получить оценки «неудовлетворительно» и «удовлетворительно». Составим предполагаемый закон распределения дискретной случайной величины S: S 2 3 4 5 p x y 0, 4 0, 3 . Согласно условию 5.1, сумма вероятностей должна быть равна единице, поэтому x + y + 0, 4 + 0, 3 = 1. Кроме этого, согласно условию и формуле 5.5, имеем 2x + 3y + 4 · 0, 4 + 5 · 0, 3 = 3, 9. 16 Приведя подобные члены в каждом из уравнений, составим систему x + y = 0, 3, 2x + 3y = 0, 8. Решив систему, получим x = 0, 1, а y = 0, 2. Следовательно, у данного преподавателя можно получить «удовлетворительно» с вероятностью 0,2 и «неудовлетво- рительно» с вероятностью 0,1. Замечание 5.2. В том случае, когда дискретная случайная величи- на X принимает бесконечное множество значений (см. замечание 5.1), е¨ е математическое ожидание является суммой абсолютно сходящегося ряда: M (X) = ∞ X i=1 x i p i 5.4.2. Вероятностный смысл математического ожидания Предположим, что опыт состоит из n исходов, в которых дискретная случайная величина X приняла k 1 раз значение x 1 , k 2 раз значение x 2 , . . . , k s раз значение x s . При этом k 1 + k 2 + · · · + k s = n. Тогда сумма всех значений, принятых случайной величиной X равна: S = k 1 x 1 + k 2 x 2 + · · · + k s x s Определим среднее арифметическое ¯ X всех значений, принятых случайной величиной. С этой целью разделим S на число исходов опыта n: ¯ X = k 1 x 1 + k 2 x 2 + · · · + k s x s n , или ¯ X = x 1 k 1 n + x 2 k 2 n + · · · + x s k s n (5.6) Так как k 1 n − относительная частота W 1 значения x 1 (см. ??), k 2 n − относительная частота W 2 значения x 2 и так далее, то перепишем представ- ление (5.6) в виде ¯ X = x 1 W 1 + x 2 W 2 + · · · + x s W s (5.7) Будем считать, что число исходов опыта n → ∞. Тогда, как следует из замечания (после определения 5.4) относительная частота стремится к вероятности появления события. То есть, W 1 ≈ p 1 , W 2 ≈ p 2 , . . . , W s ≈ p s 17 Заменим в представлении (5.7) относительные частоты соответствую- щими вероятностями: ¯ X ≈ x 1 p 1 + x 2 p 2 + · · · + x s p s Правая часть полученного приближ¨ енного равенства является математи- ческим ожиданием случайной величины X. Таким образом, ¯ X ≈ M (X). Следовательно, с точки зрения теории вероятности математическое ожи- дание приблизительно 1 равно среднему арифметическому возможных зна- чений дискретной случайной величины. 5.4.3. Свойства математического ожидания Свойство 5.5. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине: M (C) = C. Свойство 5.6. Постоянный множитель можно выносить за знак ма- тематического ожидания: M (CX) = CM (X). Свойство 5.7. Математическое ожидание суммы двух случайных ве- личин равно сумме их математических ожиданий: M (X + Y ) = M (X) + M (Y ). Чтобы сформулировать следующее свойство, понадобится следующее Определение 5.5. Две случайные величины называются независимы- ми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения может принимать другая величина. Свойство 5.8. Математическое ожидание произведения двух незави- симых случайных величин равно произведению их математических ожи- даний: M (XY ) = M (X) · M (Y ). Замечание 5.3. Естественно можно доказать, что свойства 5.7 и 5.8 имеют место для любого конечного числа случайных величин 2 : M (X 1 + X 2 + · · · + X n ) = M (X 1 ) + M (X 2 ) + · · · + M (X n ). (5.8) M (X 1 X 2 . . . X n ) = M (X 1 ) · M (X 2 ) . . . M (X n ). (5.9) 1 Чем большим является число исходов опыта n, тем более точным является данное равенство. 2 С уч¨ етом взаимной независимости величин в случае их произведения. 18 5.4.4. Дисперсия дискретной случайной величины Математическое ожидание как характеристика случайной величины да- ¨ ет много информации о ней, но, как видно из следующих примеров, этой информации оказывается недостаточно. Рассмотрим законы распределения двух случайных величин: X −0, 1 0, 1 p 0, 5 0, 5 Y −100 100 p 0, 5 0, 5 Найд¨ ем математические ожидания каждой из случайных величин: M (X) = −0, 1 · 0, 5 + 0, 1 · 0, 5 ⇒ M (X) = 0. M (Y ) = −100 · 0, 5 + 100 · 0, 5 ⇒ M (Y ) = 0. Случайные величины X и Y имеют одинаковые математические ожида- ния, но их возможные значения не равны. При этом, в одном случае воз- можные значения располагаются вблизи математического ожидания, а в другом случае удалены от него. Проблема заключается в отсутствии информации о рассеянии возмож- ных значений случайных величин относительно математического ожида- ния. Чтобы исследовать вопрос о рассеянии, рассмотрим отклонение случай- ной величины от е¨ е математического ожидания. Определение 5.6. Отклонением называется разность между случай- ной величиной X и е¨ е математическим ожиданием M (X). Из определения следует, что отклонение X − M (X) является случайной величиной, обладающей следующим свойством. Теорема 5.1. Математическое ожидание отклонения случайной ве- личины от е¨ е математического ожидания равно нулю: M (X − M (X)) = 0. Используя свойства 5.5 и 5.8 математического ожидания, имеем M (X − M (X)) = M (X) − M (M (X)) = M (X) − M (X) = 0. Из данной теоремы вытекает, что определять рассеяние возможных зна- чений случайной величины с помощью математического ожидания откло- нения невозможно. Объяснить это можно тем, что одни отклонения явля- ются положительными числами, а другие − отрицательными. Поэтому их алгебраическая сумма обращается в нуль. Вследствие этого возникают два варианта: исследовать математическое ожидание модуля отклонения 1 или квадрата отклонения. Практическое 1 Так как модуль не является всюду дифференцируемой функцией, то при его исследовании возни- кает много проблем 19 применение получил второй вариант. Определение 5.7. Дисперсией дискретной случайной величины назы- вается математическое ожидание квадрата отклонения случайной ве- личины от е¨ е математического ожидания: D(X) = M (X − M (X)) 2 (5.10) Замечание 5.4. Из определения следует, что дисперсия случайной ве- личины является неотрицательной константой. При расч¨ етах дисперсии е¨ е определение оказывается очень неудобным в силу большого числа вычислений. Поэтому рассмотрим следующую тео- рему. Теорема 5.2. Формула вычисления дисперсии Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной ве- личины и квадратом е¨ е математического ожидания: D(X) = M X 2 − (M (X)) 2 (5.11) Используя свойства 5.5 и 5.8 математического ожидания, получаем M (X − M (X)) 2 = M (X 2 − 2X(M (X) + (M (X) 2 ) = = M X 2 − 2M (X)M (X) + (M (X) 2 |