Лекция 5 Дискретные случайные величины
 Скачать 0.51 Mb.
|
|
n − число появлений A в n−м испытании, 29 то X = X 1 + X 2 + · · · + X n Так как каждое из слагаемых в последнем равенстве представляет число появлений события в одном испытании, то закон распределения вероятно- стей для каждого из них можно описать в виде следующей таблицы: X k = k 0 1 p q p Следовательно, M (X k ) = 0 · q + 1 · p ⇒ M (X k ) = p, (k = 1, n). Согласно свойству 5.7 для математического ожидания M (X) = M (X 1 ) + M (X 2 ) + · · · + M (X n ). Подставив вместо каждого слагаемого в равенстве p, получим M (X) = np. (5.14) Применим этот подход для вычисления дисперсии биномиального рас- пределения вероятностей. Здесь нам прид¨ ется учесть что так как каждый исход в опыте не зависит от от другого исхода, то рассматриваемые случайные величины X k взаимно независимы. Поэтому, согласно свойству 5.11 D(X) = D(X 1 ) + D(X 2 ) + · · · + D(X n ). Очевидно также, что D(X 1 ) = D(X 2 ) = · · · = D(X n ). Для вычисления D(X k ) добавим в последний закон распределения стро- ку квадратов значений X k : X 2 k = k 2 0 1 X k = k 0 1 p q p Найд¨ ем M (X 2 k ): M (X 2 k ) = 0 · q + 1 · p ⇒ M (X 2 k ) = p, (k = 1, n). Вычитая из этого представления квадрат математического ожидания X k , имеем D(X k ) = p − p 2 ⇒ D(X k ) = p(1 − p) ⇒ D(X k ) = pq (k = 1, n). Подставляя последний результат в сумму для вычисления дисперсии X, имеем D(X) = npq. (5.15) Замечание 5.8. Если бы мы знали формулы 5.14 и 5.15 до решения задачи 5.17, то мы бы нашли математическое ожидание и дисперсию для 30 случайной величины Y гораздо быстрее. Теперь же оста¨ ется только прове- рить правильность тех вычислений. В задаче 5.17 n = 3, p = 0, 2, q = 0, 8. Поэтому, M (Y ) = 3·0, 2 ⇒ M (Y ) = 0, 6; D(Y ) = 3·0, 2·0, 8 ⇒ D(Y ) = 0, 48. То есть, ошибок ранее мы не допустили. Замечание 5.9. В заключение заметим, что биномиальное распределе- ние применяется там, где требуется оценка количества успехов в выборке, состоящей из n наблюдений, например, при проведении выборочного кон- троля за качеством производственных изделий, при котором отбор изделий для пробы производится по схеме случайной повторной выборки, то есть, когда проверенные изделия возвращаются в исходную партию. Тогда коли- чество нестандартных изделий среди отобранных есть случайная величина с биномиальным законом распределения вероятностей. Кроме этого, биномиальное распределение связано с задачами о случай- ных блужданиях и перемешиваниях. С ростом n биномиальное распределение стремится к непрерывному нормальному распределению вероятностей. Если же при n → ∞ p → 0, таким образом, что произведение λ = np яв- ляется величиной постоянной, биномиальное распределение вероятностей превращается в пуассоновское распределение. 5.6.2. Распределение Пуассона Определение 5.10. Дискретная случайная величина X называется распредел¨ енной по закону Пуассона, если вероятности событий {ω k : X = k} определяются по формуле Пуассона: P n (k) = λ k k! e −λ (5.16) В отличие от биномиального распределения распределение Пуассона явля- ется бесконечным, то есть, случайная величина пробегает сч¨ етное множе- ство значений. Поэтому е¨ е закон распределения имеет следующий вид: X 0 1 2 k p e −λ λe −λ λ 2 2 e −λ λ k k! e −λ Чтобы убедиться, что таблица истинна, вычислим сумму вероятностей e −λ + λe −λ + λ 2 2! e −λ · · · + λ k k! e −λ + . . . . Вынеся e −λ , как общий множитель, за скобки, имеем 31 e −λ 1 + λ 1! + λ 2 2! · · · + λ k k! + . . . Если внимательно посмотреть на числовой ряд, образовавшийся в скоб- ке, то можно увидеть, что он представляет из себя ряд Маклорена для функции e λ . Заменив содержимое скобки на сумму ряда, получаем произ- ведение e −λ e λ = 1. Таким образом, мы показали, что сумма вероятностей равна 1, а значит, распределение построено правильно. Используя формулу 5.5, вычислим математическое ожидание X: M (X) = 0 · e −λ + 1 · λe −λ + 2 · λ 2 2! e −λ · · · + k · λ k k! e −λ + . . . . С помощью знака сокращ¨ енного суммирования перепишем правую часть равенства в компактной форме и преобразуем 0 · e −λ + 1 · λe −λ + 2 · λ 2 2! e −λ · · · + k · λ k k! e −λ + · · · = ∞ X k=0 k λ k k! e −λ Так как при k = 0 первое слагаемое суммы обращается в нуль, то изменим нижнее значение индекса суммирования на единицу: ∞ X k=0 k λ k k! e −λ = ∞ X k=1 k λ k k! e −λ = ∞ X k=1 k λ k k(k − 1)! e −λ = ∞ X k=1 λ k k − 1)! e −λ Представив λ k = λ · λ k−1 , вынесем λe −λ за знак суммирования: λe −λ ∞ X k=1 λ k−1 k − 1)! Заменив переменную суммирования k − 1 = m ⇒ m = 0, имеем λe −λ ∞ X k=1 λ k−1 k − 1)! = λe −λ ∞ X m=0 λ m m! Как мы видели выше, ряд ∞ X m=0 λ m m! является рядом Маклорена для функ- ции e λ . Следовательно, M (X) = λe −λ · e λ . Таким образом, M (X) = λ. (5.17) Далее, дополнив таблицу распределения Пуассона строкой для квадра- тов значений случайной величины X 2 0 1 4 k 2 X 0 1 2 k p e −λ λe −λ λ 2 2 e −λ λ k k! e −λ , определим M (X 2 ). Для этого представим скалярное произведение векто- ров строки квадратов и вероятностей в компактном виде и преобразуем 32 его: 0 · e −λ + 1 · λe −λ + 4 · λ 2 2! e −λ · · · + k 2 · λ k k! e −λ + · · · = ∞ X k=0 k 2 λ k k! e −λ = = ∞ X k=1 k 2 λ · λ k−1 k(k − 1)! e −λ = λ ∞ X k=1 k λ k−1 (k − 1)! e −λ Представив k = (k − 1) + 1, перепишем последнюю сумму и разобъ¨ ем е¨ е на две: λ ∞ X k=1 ((k − 1) + 1) λ k−1 (k − 1)! e −λ = λe −λ ∞ X k=1 (k − 1) λ k−1 (k − 1)! + ∞ X k=1 λ k−1 (k − 1)! ! Заменив, как и в случае с математическим ожиданием (см. стр.32), k − 1 = m ⇒ m = 0, преобразуем последнее равенство к виду λe −λ ∞ X m=0 m λ m m! + ∞ X m=0 λ m m! ! Так как e −λ ∞ X m=0 m λ m m! = λ (см. стр. 32), а ∞ X m=0 m λ m m! = e λ , то M (X 2 ) = λ 2 + λ. Поэтому, вычитая из этого результата квадрат математического ожидания M (X), получаем: M (X) = λ. (5.18) Замечание 5.10. В заключение заметим, что распределение вероят- ностей Пуассона играет важную роль во многих задачах физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания. Литература 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. − М.: Высш.шк., 1997. − 479 с. 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. − М.: Высш.шк., 1975. − 333 с. c Бидерман В.И. 33 |