питон2. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
![]()
|
Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. 3 семестр 2022/2023 учебный год. Лектор – Лохвицкий Михаил Сергеевич Часть 3 2. Случайные величины В жизни мы постоянно сталкиваемся с величинами, значения которых мы априорно не знаем (время ожидания транспорта, время безотказной работы аппаратуры, рост и вес человека в данный момент, курс акций на бирже, число студентов на лекции, продолжительность жизни любого субъекта). Всё это приводит нас к необходимости ввести в рассмотрение случайные величины. К случайным величинам относятся результаты измерений (из-за погрешностей измерительной аппаратуры), вычислений (из-за ошибок, возникающих при округлении и применении приближённых алгоритмов), параметры аппаратуры (из-за разного рода помех и геомагнитных воздействий) и т.п. Если значения, которые принимает случайная величина (СВ) дискретные или счетные ( ![]() ![]() 2.1. Дискретные случайные величины В результате опыта для ДСВ происходит событие ![]() ![]()
Совокупность событий ![]() Свойство ряда распределения (условие нормировки) ![]() Закон распределения можно задать и графически. Такой график называется многоугольником распределения. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 0 ![]() ![]() ![]() Рисунок. 2.2. Многоугольник распределения. Пример 2.1. На экзамене по Теории вероятностей студент может получить оценки 2, 3, 4, 5 с вероятностями 0,05; 0,15; 0,5; 0,3. Построить ряд и многоугольник распределения. Ряд распределения:
![]() Рисунок 2.2. Многоугольник распределения СВ оценки на экзамене. 2.2. Функция распределения вероятностей Определение 2.2. Функция ![]() определенная при всех x ![]() Свойства функции ![]() 1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2. ![]() ![]() 4. P( X ≥ x ) = 1 - ![]() 5. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 2.3. Вероятность попадания в интервал.. Событие попадания в интервал ![]() {X < ![]() ![]() ![]() ![]() Т.к слагаемые в правой части - несовместные события, то P{X < ![]() ![]() ![]() ![]() Заменяя первые две из этих вероятностей на выражение через функцию распределения, получаем требуемый результат. ![]() ![]() Пример 2.2. Производятся наблюдения над состоянием определённого элемента технического устройства. Закон распределения
![]() Рис. 2.4. График ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При 0 ![]() { X ![]() ![]() Пример 2.3. Случайная величина ![]() Р( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
В этом случае получаем для x ![]() { X ![]() ![]() ![]() ![]() Окончательно получаем: ![]() Если среди возможных значений случайной величины X имеется наибольшее, скажем, ![]() ![]() Графики функций распределения для бесконечной (а) и конечной (б) последовательностей ![]() ![]() Рис. 2.5. Графики ![]() примера 2.3. ![]() ![]() Рис. 2.6. График ![]() В общем случае по виду функции распределения случайные величины делятся на дискретные ( ![]() ![]() ![]() 2.3. Плотность распределения вероятностей Определение 2.3. Если ![]() ![]() называется плотностью распределения с.в. X. Свойства плотности распределения: 1. ![]() 2. ![]() Доказательство: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3. ![]() Доказательство: интервал ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Т.е. вероятность попадания в интервал ![]() 4. ![]() Доказательство: используем предыдущее свойство при ![]() ![]() ![]() Рисунок 2.8. Связь функции распределения с плотностью. Геометрически ![]() ![]() 5. ![]() 6. ![]() Условие нормировки: график ![]() Доказательство: используем свойство 3 при ![]() ![]() ![]() Рисунок 2.9. Условие нормировки плотности. 2.3. Числовые характеристики случайных величин Закон распределения (ряд распределения или многоугольник) для ДСВ, функция распределения как для дискретной, так и для непрерывной СВ, плотность распределения для непрерывной СВ являются самыми полными характеристиками СВ. Однако, во многих задачах можно ограничиться только несколькими числовыми характеристиками такими как, например, среднее ожидаемое значение, среднее отклонение от этого среднего значения и т.д. 2.3.1. Математическое ожидание Пример 2.4. В результате n испытаний СВ приняла значение x1 - n1 раз, значение x2 - n2 раза,…, значение xk -nk раз. В математической статистике значения, которые принимает СВ называются выборкой, а n – объёмом выборки: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Но величина ![]() ![]() Определение. 2.4. Математическим ожиданием ДСВ называется величина: ![]() Определение .2.5. Математическим ожиданием непрерывной СВ называется величина: ![]() Замечание. В дальнейшем будем считать, если есть выражение ![]() ![]() Свойства математического ожидания 1.MC =C; (2.12) Т.е. математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной. Доказательство: можно считать, что в этом случае СВ принимает только одно значение С с вероятностью единица. МС=С ![]() 2. M (CX) =C МX ; (2.13) Таким образом, постоянную можно выносить за знак математического ожидания (за знак усреднения). Доказательство: Если случайная величина X принимает значение ![]() ![]() ![]() ![]() 3. М(X +Y ) = МX + МY; (2.14) 4. Если случайные величины независимы , то М(XY ) = МX МY. (2.15) Замечание. Определение независимости СВ будет дано через несколько лекций, там же будет и доказано это свойство. Пример 2.4 Рассмотрим две случайные величины X и Y со следующими законами распределения
Найти математические ожидания случайных величин X и Y. Решение: MX = -1 ![]() ![]() ![]() ![]() Вывод: Математические ожидания у этих величин равны, но из законов распределения видно насколько эти величины различны. В теории вероятностей вводятся характеристики, которые характеризуют средние отклонения (разброс) СВ от их средних значений. Это дисперсия и среднее квадратическое отклонение. 2.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение Определение. 2.6. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания: DX = M (X – MX) 2(2.16) Вероятностный смысл дисперсии: Дисперсия равна среднему значению квадрата разброса случайной величины от её математического ожидания. Поэтому вводят определениесреднего квадратического отклонения: ![]() Эта величина характеризует среднее отклонение СВ от математического ожидания. Формула для вычисления дисперсии дискретной случайной величины: DX = ![]() Формула для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины: DX = ![]() Замечание. С целью сокращения числа вычислений дисперсию чаще вычисляют по вычислительной формуле: Вычислительная формула для дисперсии: ![]() Вывод формулы: ![]() Величина ![]() ![]() ![]() для дискретной и непрерывной СВ соответственно. Свойства дисперсии Дисперсия постоянной величины равна нулю: ![]() Доказательство. ![]() Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: ![]() Доказательство. ![]() Если случайные величины X и Y независимы, то: ![]() Замечание. Определение независимости СВ будет дано через несколько лекций, там же будет и доказано это свойство. Следствие 1. ![]() Следствие 2. ![]() Свойства среднеквадратического отклонения: ![]() ![]() ![]() Достоинством ![]() Нормальное (гауссовское) распределение ![]() Плотность распределения нормального закона имеет вид ![]() Наиболее часто встречается во всех областях науки и техники, экономики и финансов, медицине и демографии. Например, величина помехи в радиоканале, ошибки в любых измерениях, коэффициент интеллектуальности (IQ), рост человека, изменение напряжения в сети, колебания курса акций, температура тела, возраст въезжающих в страну эмигрантов имеют нормальное распределение (разумеется, в каждом случае значения параметров ![]() Параметры: ![]() Неприятной неожиданностью является тот факт, что функция распределения такой с. в. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (в последнем интеграле мы поменяли местами пределы интегрирования, изменив знак перед интегралом). ВАЖНАЯ ФОРМУЛА. Вероятность попадания в интервал для нормально распределённой С.В.: ![]() Где ![]() (Напомним, что функция Лапласа – нечетная и при ![]() Следствия из формулы (32): Функция распределения равна ![]() ![]() Формула вероятности попадания в интервал, симметричный относительно математического ожидания. ![]() (было использовано свойство нечетности функции Лапласа). «Правило» трёх сигм. При ![]() ![]() ![]() Т.е. с вероятностью близкой к 1 почти все значения нормального закона ![]() ![]() ![]() В обозначении ![]() Определение 6.2. Коэффициентом корреляции двух с. в. X и Y называется число ![]() где ![]() Замечание. По аналогии с моментами одной с. в. ковариацию можно назвать смешанным центральным моментом второго порядка. Вычислительная формула для ковариации. ![]() Свойства коэффициента корреляции: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Если X и Y независимы, то ![]() Если Y=kX+b, то ![]() Из свойства 6 ковариации, в частности вытекает, что если две гауссовские случайные величины независимы, то ![]() ![]() Чем лучше реальная зависимость Y от X аппроксимируется линейной, тем ближе по модулю к 1 будет их коэффициент корреляции. Если ![]() Если ![]() Шкала Чеддока для оценки линейной связи двух случайных величин
![]() ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ, Утверждение теоремы Чебышева означает, что при выполнении определённых условий среднее арифметическое случайных величин в первом приближении сходится к среднему арифметическому их математических ожиданий, т.е. случайные величины ![]() ![]() ![]() |