Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
. Если функция времени х (t) кроме периодической части будет содержать непериодическую составляющую, то спектр этой функции будет содержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывную часть (рис. 11.20). Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на присутствие в исследуемой функции скрытых периодичностей. Если функция времени хне содержит периодической части, то она будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков. Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, имеющие значение при исследовании систем регулирования и следящих систем. Будем рассматривать только центрированные процессы, те. такие процессы, математическое ожидание которых равно нулю . При этом средний квадрат случайной величины будет равен дисперсии Это ограничение не имеет существенного значения, так как в случае учет постоянного смещения в системе регулирования является элементарным. 1. Белый шум. Под белым шумом понимается случайный процесс, имеющий белый спектр, те. одинаковое значение спектральной плотности при всех частотах от риса) Примером такого процесса могут являться тепловые шумы сопротивления, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряжения на этом сопротивлении где R – сопротивление, постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура. На основании (11.68) спектральной плотности (11.71) соответствует корреляционная функция (11.72) Таким образом, корреляционная функция представляет импульсную функцию, расположенную вначале координат (рис. 11.21). Этот процесс является чисто случайным процессом, так как из графика корреляционной функции видно, что при любом отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной величины х. Процесс с подобного рода спектральной плотностью является физически нереальным, так как ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины , а следовательно, бесконечно большая мощность. Чтобы получить физически реальный процесс, удобно ввести понятие белого шума с ограниченной спектральной плотностью (рис. 11.21, б — полоса частот для спектральной плотности. Этому процессу соответствует корреляционная функция (11.74) Корреляционная функция также изображена на рис. , 11.21, б. Для этого процесса (11.75) Среднеквадратичное значение случайной величины пропорционально корню квадратному из полосы частот (11.76) Часто бывает удобнее аппроксимировать зависимость (11.73) плавной кривой. Для этой цели можно, например, использовать выражение (11.77) где — коэффициент, определяющий ширину полосы частот. График спектральной плотности, соответствующий этому выражению, построен на рис. 11.21, в. Для частот процесс приближается к белому шуму, так как для этих частот Интегрирование (11.77) по всем частотам дает возможность определить дисперсию Поэтому спектральная плотность (11.77) может быть записана в другом виде (11.78) Корреляционная функция для этого процесса (11.79)' Корреляционная функция также изображена на рис. 11.21, 2. Типовой входной сигнал следящей системы. В качестве типового сигнала для следящей системы часто принимают график изменения угловой скорости на входе в соответствии с рис. 11.22. Скорость сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона (11.4). В соответствии со сказанным выше будем считать, что математическое ожидание , а среднеквадратичное значение скорости равно дисперсии, те. График такого вида получается, например, в первом приближении при слежении радиолокатором за движущейся целью. Постоянное значение скорости соответствует движению цели по прямой. Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели. Обозначим µ среднее число перемен скорости за одну секунду. Тогда Т будет средним значением интервала времени, в течение которого угловая скорость сохраняет постоянное значение. Применительно к радиолокатору это значение будет средним временем движения цели по прямой. Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения При нахождении этого произведения могут быть два случая. 1. Моменты времени относятся к одному интервалу. Тогда среднее значение произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии 2. Моменты времени относятся к разным интервалам. Тогда среднее значение произведения скоростей будет равно нулю так как произведения с положительными отрицательным знаками будут равновероятными. Корреляционная функция будет равна где Р — вероятность нахождения моментов времени водном интервале, а — вероятность нахождения их в разных интервалах. Вероятность появления перемены скорости на малом промежутке времени пропорциональна этому промежутку и равна . Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же промежутка будет Для интервала времени т вероятность отсутствия перемены скорости, те. вероятность нахождения моментов времени водном интервале постоянной скорости, будет равна произведению вероятностей отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке , так как.эти события независимые. В результате для конечного промежутка получаем Устремив —> 0 и переходя к пределу, получим (11.80) Знак модуля при поставлен вследствие того, что выражение (11.80) должно соответствовать четной функции. Выражение для корреляционной функции совпадает с (11.79). Поэтому спектральная плотность рассматриваемого процесса должна совпадать с (11.78): (11.81) Заметим, что в отличие от (11.78) формула спектральной плотности (11.81) записана для угловой скорости процесса (рис. 11.22). Если перейти от угловой скорости к углу, то получится нестационарный случайный процесс с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Однако в большинстве случаев следящая система, на входе которой действует этот процесс, обладает астатизмом первого и более высоких порядков. Поэтому первый коэффициент ошибки су следящей системы равен нулю и ее ошибка будет определяться только входной скоростью и производными более высоких порядков, относительно которых процесс стационаре. Это дает возможность использовать спектральную плотность (11.81) при расчете динамической ошибки следящей системы. 3. Нерегулярная качка. Некоторые объекты, например корабли, самолеты и другие, находясь под действием нерегулярных возмущений нерегулярное волнение, атмосферные возмущения и т. п, движутся по случайному закону. Так как сами объекты имеют определенную, им свойственную, частоту колебаний, то они обладают свойством подчеркивать те частоты возмущений, которые близки к их собственной частоте колебаний. Получающееся при этом случайное движение объекта называют нерегулярной качкой в отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение. Типичный график нерегулярной качки изображен на рис. 11.23. Из рассмотрения этого графика видно, что, несмотря на случайный характер, это движение довольно близко к периодическому. В практике корреляционную функцию нерегулярной качки часто аппроксимируют выражением (11.82) где — резонансная частота, — параметр затухания, D — дисперсия. Значения находятся обычно путем обработки экспериментальных данных (натурных испытаний. Корреляционной функции (11.82) соответствует спектральная плотность (см. табл. 11,3) Неудобством аппроксимации (11.82) является то, что этой формулой можно описать поведение какой-либо одной величины нерегулярной качки (угла, угловой скорости или углового ускорения. В этом случае величина D будет соответствовать дисперсии угла, скорости или ускорения. Если, например, записать формулу (11.82) для угла, то этому процессу будет соответствовать нерегулярная качка с дисперсией для угловых скоростей, стремящейся к бесконечности, те. это будет физически нереальный процесс. Более удобная формула для аппроксимации угла качки (11.84) Соответствующая спектральная плотность (11.85) Здесь D 0 — дисперсия для угла. При такой аппроксимации дисперсия для угловой скорости получается конечной Однако и эта аппроксимация соответствует физически нереальному процессу, так как дисперсия углового ускорения получается стремящейся к бесконечности. Для получения конечной дисперсии углового ускорения требуются ещё более сложные формулы аппроксимации, которые здесь не приводятся. Типичные кривые для корреляционной функции и спектральной плотности нерегулярной качки приведены на рис. 11.24. § 11.6. Канонические разложения случайных функций Элементарной случайной функцией называется функция, которая может быть представлена в виде (11.86) где — некоторая известная неслучайная функция времени (синусоида, экспонента, степенная функция и т. п. Если математическое ожидание величины х равно нулю, то и математическое ожидание случайной функции . Корреляционная функция в этом случае (11.87) где дисперсия Рассмотрим случайную функцию х (t), которая может быть представлена в виде суммы математического ожидания и элементарных случайных функций (11.88) Здесь — случайные взаимно некоррелированные коэффициенты с нулевым математическим ожиданием. Представление случайной функции в виде суммы ее математического ожидания и взаимно некоррелированных элементарных случайных функций называется каноническим разложением. Случайные коэффициенты носят название коэффициентов канонического разложения, а функции — координатных функций. При использовании канонического разложения значительно упрощается выполнение различных операций над случайными функциями (дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т. п. Так, например, производная отбудет) Аналогичным образом интегрирование (11.88) дает х (I) Их (г) сИ+^У^ Г XV (I) 6, (11.90) Для нахождения, канонического разложения случайных функций существуют различные методы [108]. Из (11.88) может быть найдена корреляционная функция (11.91) Здесь — дисперсии коэффициентов канонического разложения. Таким образом, корреляционная функция может быть выражена через те же координатные функции. Для стационарной случайной функции, заданной в интервале — Т < t < Т, разность изменяется в интервале — Т < < 2 Т и разложение корреляционной функции может быть задано в виде ряда Фурье (11.92) где — целые числа. Этому выражению соответствует каноническое разложение самой случайной функции (11.93) где — взаимно некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и с одинаковыми дисперсиями В разложении (11.92) должны отсутствовать нечетные гармоники. Тогда ряд (11.93) будет содержать только четные гармоники, что соответствует периоду 2 Т (интервалу — Т < t < Т. Если разность между двумя соседними гармониками устремить к нулю, что соответствует можно представить в виде (11.94) Здесь введена спектральная плотность стационарного процесса (см. § 11.5) являющаяся изображением Фурье корреляционной функции § 11.7. Прохождение случайного сигнала через линейную систему Рассмотрим линейную систему (рис. 11.25) с передаточной функцией р) и функцией веса . Пусть на входе действует случайный сигнал с корреляционной функцией Выходной сигнал хна основании формулы свертки (7.44) Рассматривая в этой формуле математические ожидания, имеем (11.95) Для получения корреляционной функции на выходе запишем исходную формулу для центрированных значений для двух моментов времени (11.96) После перемножения получим (11.97) Далее, переходя к математическому ожиданию, можно найти корреляционную функцию (11.98) Для определения дисперсии на выходе О) в формуле (11.98) следует положить Тогда (11.99) В случае использования канонического разложения случайной функции (11.100) выходная величина может быть представлена в виде (11.101) где определяется формулой (11.95), а координатные функции (11.102) Корреляционная функция выходного сигнала (11.103) а дисперсия (11.104) Для нахождения математического ожидания и координатных функций в соответствии с выражениями (11.95) и (11.102) могут использоваться различные методы построения переходных процессов (см. главу 7), В случае, когда на входе (рис. 11.25) действует случайный стационарный процесс, корреляционная функция зависит только от сдвига . Однако на выходе линейной системы процесс некоторое время после включения будет устанавливаться и не будет стационарным. Корреляционная функция на выходе может быть получена из общего выражения (11.98); (11.105) а дисперсия – из (11.99) Если рассматриваемая система устойчива, то стремятся к некоторым пределам, которые определяют стационарный процесс на выходе. Они могут быть найдены из (11.105) и (11.1 06) , если положить Тогда Пусть, например, на входе интегрирующего звена с передаточной функцией и функцией веса действует белый шум с корреляционной функцией . Тогда в соответствии с (11.106) дисперсия на выходе будет те. дисперсия растет пропорционально времени. Нетрудно видеть, что , так как звено не является устойчивым, а оно находится на границе устойчивости (нейтрально- устойчиво. Для расчета установившегося стационарного процесса на выходе системы (рис. 11.25) более удобно исходить из известной спектральной плотности на входе . Тогда можно легко найти спектральную плотность выходного сигнала. Действительно, по определению спектральная плотность на входе связана с изображением Фурье случайной величины соотношением (11.61): Это же соотношение имеет место и для выходного сигнала В линейной системе изображения Фурье связаны между собой посредством частотной передаточной функции Отсюда можно найти (11.109) Таким образом, спектральная плотность выходной величины может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на квадрат модуля частотной передаточной функции линейной системы. Отметим, что приведенное выше доказательство, вообще говоря, не является строгим, так как существование стационарного случайного процесса на выходе не доказано. При известной спектральной, плотности выходной величины может быть найдена корреляционная функция по преобразованию Фурье (11.66) или (11.68). Получим выражение (11.109) более строго. Для этого используем формулу (11.107). Так как в реальных системах весовая функция тождественно равна нулю при t < 0, то нижние пределы интегрирования можно положить равными . Полагая, что на входе действует центрированный процесс , имеем (11.110) Найдем теперь спектральную плотность для выходного сигнала. Она связана с корреляционной функцией соотношением (11.65): Подставляя в последнюю формулу значение корреляционной функции из (11.110), получаем Последнее выражение совпадает с (11.109), что и требовалось доказать, Для нахождения дисперсии, или среднего квадрата выходной величины, необходимо проинтегрировать по всем частотам спектральную плотность (11.112) Отметим, что закон распределения для случайной величины может, вообще говоря, меняться при прохождении ее через линейную систему. Однако, в случае, если на входе линейной системы имеется нормальное распределение случайной величины х (t), тона выходе для случайной величины х (t) также будет иметь место нормальное распределение. При вычислении интеграла (11.112) обычно приходится иметь дело с подынтегральным выражением вида где представляют собой некоторые полиномы от комплексной переменной . Наивысшую степень знаменателя обозначим 2n. Наивысшая степень числителя в реальной системе может быть не выше 2n — 2. Для удобства интегрирования написанное выше выражение обычно представляют в виде Полином содержит только четные степени . Полином для устойчивой системы может иметь корни только в верхней полуплоскости. Область устойчивости оказалась в верхней полуплоскости вследствие того, что была использована подстановка , а множитель j означает поворот комплексного числа на угол . Таким образом, вычисление дисперсии (11.112) можно свести к нахождению интеграла (11.113) В общем случае, при любом га для устойчивой системы интеграл п может быть представлен в виде [38] (11.114) где (11.115) совпадает со старшим определителем Гурвица, а числитель определяется выражением (11.116) Интегралы такого вида вычислены дои сведены в таблицы (см. приложение 2). Заметим, что знаменатель правых частей приведенных в приложении 2 формул представляет собой — определитель Гурвица. На границе колебательной устойчивости этот определитель обращается в нуль, а дисперсия выходной величины будет стремиться к бесконечности. В заключение рассмотрим два важных случая прохождения случайного сигнала через линейную систему. Статистическое дифференцирование. При поступлении случайного сигнала на идеальнбе дифференцирующее устройство с передаточной функцией W (р) = р спектральная плотность выходной величины (производной от входной величины) может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на : (11.117) при двойном дифференцировании — на и т. д. Статистическое интегрирование. При поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирующее звено с передаточной функцией спектральная плотность выходной величины (интеграла от входной величины) может быть получена делением интегральной плотности входной величины на : (11.118) при двойном интегрировании — на и т. д. § 11.8. Расчет установившихся ошибок в автоматических системах Замкнутая система автоматического регулирования может находиться под воздействием случайного задающего сигнала g (t) и случайной помехи f (t), приложенной в произвольной точке системы (рис. 11.26). Корреляционные функции и спектральные плотности задающего воздействия и помехи будем считать известными. Конечной целью расчета является нахождение корреляционных функций и спектральных плотностей выходной величины у (t) и ошибки х (t). Обычно ограничиваются более узкой задачей и определяют только среднеквадратичную ошибку системы регулирования. Это может быть сделано посредством интегрирования по всем частотам спектральной плотности ошибки или через корреляционную функцию ошибки х (t). В простейшем случае, когда управляющее воздействие g (t) представляет собой, случайный стационарный процесс со спектральной плотностью , а помеха отсутствует f(t) = 0, расчет жожно свести к рассмотренной выше схеме (рис. 11.25). Тогда спектральная плотность ошибки будет (11.119) Частотная передаточная функция по ошибке связана с частотными передаточными функциями разомкнутой и замкнутой системы соотношением Таким образом, для спектральной плотности ошибки получаем |