Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем

• Название: 3 Примеры непрерывных автоматических систем
• Анкор: Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975.pdf
• Дата: 24.04.2017
• Размер: 25.93 Mb.
• Имя файла: Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П..pdf
• Тип: Документы; #2232
• страница: 36 из 57

T
t
−
) и (
λ
γ
0
T
t
+
):
(14.52) легко проверить, что при подстановке этих выражений уравнения (14.29) удовлетворяются тождественно. Для определения функций Фи Ф используются граничные условия. При исследовании переходного процесса уравнение потребления газа в конце трубопровода (те. второе граничное условие) возьмем в виде (14.46). Это соответствует значению l = L, те. Поэтому из условия (14.46) с подстановкой (14.52) получаем откуда
(14.53) где обозначено
(14.54) Для начала трубопровода, где
λ = 0, из (14.52) с учетом (14.53) получаем
(14.55) К этим уравнениям надо присоединить первое граничное условие (14.38) и уравнения регулятора. Запишем теперь все уравнения системы регулирования в символической операторной форме, заметив предварительно, что согласно § 14.1 равенство (14.53) в операторной форме имеет вид

(14.56) В результате все указанные уравнения системы регулирования будут
(14.57) или, после объединения некоторых уравнений,
(14.58) Исключив отсюда переменные
ξ
и
η
, приходим к одному дифференциальному уравнению данной системы автоматического регулирования которое преобразуется к виду
(14.59) Это уравнение имеет в основном тот же вид, что и уравнение системы с запаздыванием например, (14.19) и (14.20)). Здесь оно определяет величину Ф, через которую затем находятся из вышенаписанных соотношений регулируемая величина
1
ϕ и другие. Параметр
τ в этом уравнении согласно (14.54) и (14.30) вычисляется по формуле
(14.60) те.
τ есть удвоенное время прохождения звука в газе поданному трубопроводу. Уравнение системы регулирования без учета волновых процессов. Интересно сравнить полученное дифференциально-разностное уравнение (14.59) стем, которое получилось бы, если не учитывать волновых явлений в трубопроводе. Будем считать, что весь газ в трубопроводе движется, как единая масса сединой скоростью и давлением, при этом учтем, конечно, сжимаемость газа. Будем считать, что притоки потребление газа в единицу времени в этом случае будут
G
1
=G
1
(x), G
2
=G
2
(x). Изменение количества газа, находящегося в трубопроводе, в единицу времени будет G
1
-G
2
; но используя (14.35), (14.36) и (14.27), получим
(14.61) С другой стороны, количество газа (повесу) равно
FL
g
ρ
, так как FL есть объем трубопровода. Поэтому изменение количества газа в единицу времени, используя (14.24) и соотношение —
ρ
ρ
0
, запишем в виде или, с учетом (14.25), (14.27) и (14.37),

(14.62) Сравнивая (14.61) и (14.62), получаем искомое уравнение регулируемого объекта трубопровода) без учета волновых процессов
(14.63) где
(14.64) Здесь То — прежняя постоянная объекта (14.30), а
β
— новый постоянный параметр объекта, в выражении которого значение частной производной определяется для заданного объекта графически, аналогично рис. 14.8, или же расчетным путем. К этому же уравнению объекта присоединяются прежние уравнения регулятора (14.47) —
(14.51), где
1
ϕ
заменяется на. Следовательно, в символической операторной форме уравнения данной системы регулирования давления без учета волновых явлений будут
(14.65) или
(14.66) Следовательно, в этом случае вместо дифференциального уравнения третьего порядка с запаздывающим аргументом (14.59) получается обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка.
§ 14.3. Исследование устойчивости и качества регулирования В § 14.1 были приведены уравнения линейных систем с запаздыванием, которые для разомкнутой цепи имели вида для замкнутой системы
(14.68) где
(14.69) В § 14.2 при выводе уравнений для одной линейной системы автоматического регулирования с распределенными параметрами было показано что они сводятся к тому же самому виду во всех тех случаях, когда распределенное звено системы описывается волновым уравнением в частных производных типа (14.31) или (14.29). Характеристическое уравнение для таких систем с распределенными параметрами и систем с запаздыванием имеет согласно (14.69) трансцендентный вид
(14.70) где р и р — обыкновенные многочлены, причем степень р обычно меньше или в крайнем случае равна степени Q (р Уравнение (14.70) записывается иногда ив другом виде, например

или Могут встретиться уравнения и более сложного вида и т. п. Рассмотрим характеристическое уравнение вида (14.70). Известно, что решение дифференциально-разностных уравнений (14.68) можно записать в виде некоторых рядов и что для затухания этого решения, те. для устойчивости системы, необходимо и достаточно, чтобы все корни трансцендентного характеристического уравнения (14.70) имели отрицательные вещественные части. Нов отличие от обыкновенного алгебраического уравнения здесь вследствие наличия множителя
p
e
τ
−
уравнение может иметь бесконечное количество корней. К указанным системам применимы критерий устойчивости Михайлова и критерий устойчивости Найквиста в их прежних формулировках (см. главу 6). Однако здесь вследствие наличия множителя
jwt
e
−
существенно изменяется очертание как кривой
Михайлова замкнутой системы
(14.71) таки амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой цепи, построенной по частотной передаточной функции
(14.72) причем размыкание системы производится по определенному правилу, которое дается ниже. Из кривой Михайлова не получается таких простых алгебраических выражений, как в
§6.3. Как следствие, для устойчивости линейных систем первого и второго порядка с запаздыванием, оказывается, уже недостаточно только положительности коэффициентов, а для систем третьего и более высокого порядка с запаздыванием неприменимы критерии

устойчивости Вышнеградского, Рауса и Гурвица. Ниже будет рассмотрено определение устойчивости только по критерию Найквиста, так как его использование для этой цели оказывается наиболее простым. Построение амплитудно-фазовой характеристики и исследование устойчивости по критерию Найквиста лучше всего производить, если передаточная функция разомкнутой системы представлена в виде (14.72). Для получения этого необходимо произвести соответствующим образом размыкание системы. Для случая, изображенного на риса, размыкание можно сделать в любом месте главной цепи, например так, как это показано. Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет что совпадает по форме с (14.72). Для случая, изображенного на рис. 14.9, б, размыкание главной цепи дает выражение передаточной функции разомкнутой системы, неудобное для дальнейших исследований В этом случае удобнее разомкнуть систему по цепи местной обратной связи. Тогда передаточная функция разомкнутой системы приобретает вид, совпадающий с (14.72): Наконец, в случае, изображенном на рис. 14.9, в, при размыкании системы в указанном месте получаем выражение, также совпадающее с (14.72): Заметим, что при наличии характеристического уравнения, записанного в виде (14.70), передаточная функция разомкнутой системы может быть записана сразу в виде (14.72), без нахождения места размыкания на структурной схеме. Записанное в таком виде выражение может быть использовано далее для исследования устойчивости. Частотную передаточную функцию (14.72) можно представить в виде
(14.73) Кроме того,
(14.74) где А
(w) — модуль и
)
(
0
w
ψ
— фаза (аргумент) системы без запаздывания. Модуль второго сомножителя (14.73) равен единице, а его аргумент равен
τ
ψ
w
=
∆
. Поэтому, представив выражение (14.72) в виде получаем значение модуля результирующей частотной передаточной функции
(14.75) и фазы
(14.76) Таким образом, наличие звена с запаздыванием не меняет модуля и вносит только дополнительный фазовый сдвиг.

На рис. 14.10 изображена амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая (14.74). Сплошной линией показана исходная характеристика при
0
=
τ
, а пунктиром - характеристика, которая получается при наличии постоянного запаздывания Из этих характеристик видно, что наличие дополнительного фазового сдвига закручивает годограф, особенно в высокочастотной части, почасовой стрелке. Это, вообще говоря, ухудшает условия устойчивости, так как вся кривая приближается к точке
(-1, j0). Иногда в особых случаях, при сложной форме годографа W
0
(jw), введение постоянного запаздывания может улучшить условия устойчивости. По имеющемуся годографу W
0
(jw) можно определить критическое значение времени запаздывания
ср
τ
τ
=
, при котором система оказывается на границе колебательной устойчивости. Для этой целина годографе Ж (со) отыскивается точка, для которой модуль равен единице (рис. 14.10). Частоту, соответствующую этой точке, обозначим w
1
, а фазу —
1
ψ
−
. При введении постоянного запаздывания кр. условие совпадения этой точки сточкой) запишется следующим образом откуда критическое значение запаздывания
(14.77) Если подобных опасных точек будет несколько, то необходимо сделать расчеты для всех точек и взять наименьшее значение т
кр
Заметим, что частота w
1
равна частоте срезала. х, w
1
= w ср
(см, например, рис. 4.10 или 6.25). Поэтому нахождение w
1
и
1
ψ
удобно делать при наличии построенных л. ахи л. ф. х. В этом случае, вообще, расчеты по определению устойчивости могут совмещаться с определением качества, системы частотными методами. Л. ах. системы с запаздыванием совпадает с л. ах. исходной системы (без запаздывания. Дополнительный фазовый сдвиг, который надо учесть при построении л. ф. х. системы с запаздыванием, определяется (14.76). В некоторых случаях могут

использоваться аналитические расчеты. Так, например, рассмотрим статическую систему с одной постоянной времени. Частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
(14.78) Приравняем модуль единице Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке Фазовый сдвиг на этой частоте По формуле (14.77) находим критическое запаздывание
(14.79) Поэтому выражению на рис. 14-11 построена область устойчивости в координатах общий коэффициент усиления — относительное запаздывание. Рассмотрим более сложный случай астатической системы с одной постоянной времени, когда частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
(14.80) Приравняем модуль единице Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке Фазовый сдвиг на этой частоте Критическое запаздывание на основании формулы (14.77)
(14.81) Если Т = 0, то из последней формулы, сделав предельный переход, находим
(14.82) Пусть К =10 секи сек. Тогда критическое запаздывание, при котором система теряет устойчивость, а при Т =0 Оценку качества регулирования в системах с запаздыванием удобнее всего производить при помощи частотных критериев качества (§ 8.5 и § 8.9). Запас устойчивости можно определять по величине показателя колебательности, а быстродействие — по полосе пропускания. Как ив случае систем без запаздывания, заданное значение показателя колебательности будет получено, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой

системы, построенная по выражению (14.73), не будет заходить в запретную зону, окружающую точку (—1, j0), что изображено на рис. 8.27. Для расчета могут применяться логарифмические характеристики (рис. 8.30). Построение переходных характеристик удобнее всего производить при помощи вещественных частотных характеристик (§ 7.5). Для построения переходного процесса могут применяться графические и численно- графические методы, а также вычислительные машины.

ГЛАВА 15. ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 15.1. Общие сведения Линейной системой импульсного регулирования называется такая система автоматического регулирования, которая кроме звеньев, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, содержит импульсное звено, преобразующее непрерывное входное воздействие в равноотстоящие друг от друга повремени импульсы. В качестве импульсного звена (элемента) может использоваться падающая дужка гальванометра (рис. 1.28), генерирующая прямоугольные импульсы (рису которых либо высота (риса, либо ширина (рис. 15.1, б) пропорциональна непрерывной величине, поступающей на это звено в момент времени, совпадающий с началом импульса. Кроме того, импульсным звеном может служить устройство типа ключа, которое (как и падающая дужка) по какой-то внешней причине производит замыкание цепи короткими импульсами через равные промежутки времени. Отличие импульсного звена типа ключа от импульсного звена типа падающей дужки состоит в том, что оно вырезает определенные участки из непрерывно изменяющегося воздействия (рис. 15.1, в. И те и другие импульсные звенья могут быть осуществлены различными электромеханическими или электронными устройствами. Будем называть их соответственно импульсными звеньями типа I, типа II и типа III (риса, б, в. В качестве примера возьмем импульсную систему автоматического регулирования температуры 6 (рис. 1.27). Структурная схема ее дана на риса. Регулируемым объектом может являться, например, тепловой двигатель, температура в котором 6 должна поддерживаться постоянной путем изменения положения
ϕ
ξ
= шторок (регулирующего органа, те. путем изменения интенсивности охлаждения двигателя. В общем случае любая импульсная линейная система регулирования будет содержать ряд непрерывных звеньев, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, и хотя бы одно прерывное — импульсное звено. Поэтому можно изобразить обобщенную структурную схему импульсной системы регулирования так, как показано на рже. 15.2, б, где все непрерывные звенья сведены в один блок — непрерывную часть системы. Последняя может иметь какую угодно структуру (любой сложности, с обратными связями и т. п. В данном примере в линейную часть входят приводной двигатель, регулирующий орган (шторки, регулируемый объект и чувствительный

элемент (термометр сопротивления с гальванометром. В качестве импульсной системы можно также рассматривать системы регулирования с управляющими цифровыми вычислительными машинами (ЦВМ). Дискретный характер получения и обработки информации в ЦВМ приводит к так называемому квантованию повремени, что и позволяет применить здесь теорию импульсных систем. Однако системы с ЦВМ оказываются более сложными вследствие так называемого квантования по уровню, что делает их нелинейными. Поэтому теория импульсных систем в случае использования
ЦВМ применима только для приближенных исследований, когда задача может быть линеаризована. Более подробно системы с ЦВМ будут рассмотрены в главе 24. Импульсные фильтры Ограничимся случаем, когда на выходе импульсного элемента импульсы отстоят друг от друга на одинаковые интервалы времени, продолжительность их также одинакова и они отличаются друг от друга только по амплитуде (тип I и тип III на рис. 15.1). Импульсная система может быть схематически представлена в виде соединения импульсного звена и непрерывной части. Последовательность импульсов на выходе импульсного звена после прохождения через непрерывную часть вследствие сглаживающих свойств последней превращается в непрерывные величины на выходе. Обычно схема импульсной системы такова, что сигнал ошибки, полученный в элементе сравнения, поступает затем на импульсный элемент (рис. 15.3). Импульсное звено на этой схеме изображено условно в виде ключа, который замыкается с периодом Т. Если время замыкания ключа мало по сравнению с периодом чередования Т и постоянными времени непрерывной части и если сигнал на входе ключа в течение времени, когда он замкнут, практически постоянен, то последовательность конечных по продолжительности импульсов на выходе ключа можно заменить последовательностью дельта-функций. Величина каждой дельта-функции (точнее, интеграла от нее повремени) будет пропорциональной значению сигнала на входе ключа в момент его замыкания. Поскольку ключ замыкается в определенные моменты времени (ОТ, Т, ЗТ и т. д, то сигнал на входе необходимо рассматривать именно в эти моменты времени. Хотя на выходе непрерывной части сигнал и непрерывен, будем рассматривать его только в отдельные дискретные моменты времени. Непрерывную часть совместно с ключом на ее входе будем называть импульсным фильтром (рис. 15.4). Более строго импульсный фильтр следует определить как устройство, которое получает входные сигналы и одновременно дает выходные сигналы лишь в определенные моменты времени, например Т, Т, ЗТ и т. д. На входе непрерывной части с передаточной функцией о (р) действует дискретная функция х*[nТ], где n = 0,
±1, ±2, ±3 и т. д. В соответствии со сказанным эта функция может быть представлена в виде последовательности дельта-функций.

На выходе будет непрерывная функция, определяемая в эти же дискретные моменты времени у (t) = у Т, где n = 0, +1, ±2 и т. д. Решетчатые функции Введем понятие решетчатой функции времени Т, или в сокращенной записи f[n], значения которой определены в дискретные моменты времени
t= Т, где n — целое число, а Т — период повторения. Операция замены непрерывной функции решетчатой показана на рис. 15.5. Изображенные на рис. 15.5, б ординаты представляют собой так называемые дискреты исходной непрерывной функции f(t) при t = Т (риса.
Дискреты f(t) могут быть также определены для смещенных моментов времени t = Т +
t
∆
= (n +
ε Т. Смещение
const
T
=
∆
может быть положительной или отрицательной величиной при выполнении условия
T
∆ < Т. Относительное смещение
ε = T
∆ T
1
по модулю меньше единицы. Образование смещенной решетчатой функции Т, T
∆ ], или в сокращенной записи е, из непрерывной функции f(t) для случая T
∆ >0 изображено на рис. 15.5, в. В последующем изложении будем считать, что в решетчатой функции
f[n,
ε ] аргумент
n>0 и параметр
ε >0. В случае необходимости рассмотрения функции f[n, ε
0
] с отрицательным параметром
ε
0
< 0 дискретное время можно представить в виде
[(n-1) +
+(1+
ε
0
)] Т = [(n- 1) +
ε ]T. Тогда решетчатая функция может быть записана в виде f[n-1,
ε ], где ε = 1 + Решетчатая функция необязательно должна формироваться из некоторой исходной непрерывной. Любая числовая последовательность некоторой величины, определенная в дискретные равноотстоящие моменты времени, может быть представлена в виде решетчатой функции. Заметим, что обратная задача — формирование непрерывной функции из решетчатой — не может быть решена однозначно, так как функции, заданной в дискретные моменты времени, может соответствовать бесконечное множество непрерывных функций. Это показано на рис. 15.6. Непрерывные функции, совпадающие с заданными дискретами,

называются огибающими решетчатой функции. Так, например, огибающая может быть изображена в виде ступенчатой функции (кривая 3 на рис. 15.6).
Введем также понятие основной огибающей функции. Под основной огибающей будем понимать непрерывную функцию, совпадающую с заданными дискретами, которая может быть получена как результат решения дифференциального уравнения, порядок которого наименьший по сравнению с другими возможными огибающими, а для периодических решетчатых функций, Кроме того, выполняется требование минимальности значений частот гармоник. Так, например, решетчатой функции
nT
e
α
−
могут соответствовать огибающие
t
e
α
−
и
)
sin
(cos
0 0
t
w
t
w
e
t
β
α
+
−
, где
,
2 1
0
−
kT
w
k — целое число,
β
— любое число. Однако первая из них (основная огибающая) может быть получена в результате решения дифференциального уравнения первого порядка, тогда как вторая — в результате решения дифференциального уравнения второго порядка. Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая прямая разность
(15.2) либо первая обратная разность
(15.3) Обе эти разности показаны на рис. 15.7. Разности могут быть определены и для смещенных решетчатых функций f[n,
ε ]. Однако формулы для ≠
ε
0 и
ε = 0 здесь и далее оказываются идентичными, вследствие чего в дальнейшем изложении принято
ε =0. Прямая разность определяется в момент времени t= Т по будущему значению решетчатой функции при t = (n + Т. Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно. Обратная разность определяется для момента времени Т по прошлому значению решетчатой функции в момент времени t = (n — 1)T. Аналогом второй производной непрерывной функции для решетчатой функции служат вторые разности прямая
(15.4) и обратная
(15.5) Приведенные выше замечания относительно возможности вычисления прямой и обратной разностей сохраняют свою силу и здесь. Могут определяться и высшие прямая и обратная разности. Для вычисления й разности возможно использование рекуррентных соотношений
(15.6)

(15.7) или формул общего вида
(15.8)
(15.9) где биномиальные коэффициенты (число сочетаний)
(15.10) Обратные разности обладают важной особенностью. Если решетчатая функция определена только для положительных значений аргумента, те при n< 0, то, как следует изв точке n=0 я разность
(15.11) для любого целого положительного k. Аналогами интеграла непрерывной функции в пределах от 0 до t для решетчатой функции являются неполная сумма
(15.12) и полная сумма
(15.13) Отличие (15.13) от (15.12) заключается в том, что значение f[n] в момент времени t= Т также участвует в формировании результата. Разностные уравнения В качестве аналогов дифференциальных уравнений можно рассматривать разностные уравнения (уравнения в конечных разностях. При использовании прямых разностей неоднородные линейные разностные уравнения имеют вид
(15.14) где f[n] — заданная, ау искомая решетчатые функции. При f[n] = 0 уравнение
(15.14) становится однородным разностным уравнением, решением которого будет y[n]. При использовании (15.8) разностное уравнение (15.14) можно записать в другом виде
(15.15) Коэффициенты этого уравнения определяются из зависимости
(15.16) где биномиальные коэффициенты
(15.17) При использовании обратных разностей уравнение в конечных разностях будет
(15.18) С учетом формулы (15.9) последнее выражение приобретает вид
(15.19) Коэффициенты последнего уравнения определяются выражениями

(15.20)
(15.21) Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволяющие вычислять значения у + m] при n— 0, 1, 2, ... для заданных начальных значений y [0], у [1], . . ., y [m— 1] и уравнения вида (15.15) или значения у при n = 0, 1,
2, ... для заданных начальных значений у —m], у —m+ 1], . . ., у [n — 1] и уравнения вида (15.19). Такие вычисления легко машинизируются, а также не представляют никаких принципиальных трудностей и при ручном счете (кроме, конечно, затрат времени) даже в случае, когда коэффициенты разностных уравнений
i
a (i = Ос течением времени изменяются. Это отличает разностные уравнения от их непрерывных аналогов — дифференциальных уравнений. Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом
(15.22). где z(i= 1, 2, . . ., m) — корни характеристического уравнения
(15.23) а С — произвольные постоянные. Изв частности, вытекает условие того, чтобы свободное движение системы, описываемой разностным уравнением (15.15), было бы затухающим (условие устойчивости
(15.24) Для получения возможности исследования решений разностных уравнений в общем виде широко используются дискретное преобразование Лапласа, преобразование, преобразование, а также частотные методы, которые будут изложены ниже.
§ 15.2. Использование преобразования Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определяемое формулой
(15.25) Для смещенных решетчатых функций может быть записано аналогичное выражение
(15.26) Формулы (15.25) и (15.26) можно представить в символической записи аналогично (7.20):
(15.27)
(15.28) В приведенных формулах, как ив случае непрерывного преобразования Лапласа, комплексная величина р = с + jw, где с — абсцисса абсолютной сходимости. Если сто ряд, определяемый формулами (15.25) и (15.26), сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение. Как следует из (1:5.25) и (15.26), изображение решетчатой функции является функцией величины е
рТ
. Для смещенных решетчатых функций в изображение будет входить, кроме того, параметр
ε .

Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него. Применительно к преобразованию ниже будут рассмотрены основные свойства и теоремы дискретного преобразования Лапласа. Под преобразованием понимается изображение несмещенной или смещенной решетчатых функций, определяемое формулами
(15.29) В этих формулах введено новое обозначение z= е
рТ
. Из них следует, что преобразование практически cовпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только обозначением аргумента изображения. Таким образом, решетчатая функция времени (оригинал) заменяется ее изображением (z- преобразованием. Формулы преобразования (15.29) могут быть записаны в символической форме
(15.30) Формулы преобразования (15.30) могут быть записаны и для непрерывной производящей функции в виде
(15.31) где n=0, 1, 2, ... Ряды (15.29) сходятся, и изображение решетчатой функции существует, если выполняется условие, сформулированное выше для дискретного преобразования Лапласа с <
∞ , где с
— абсцисса абсолютной сходимости. В табл. 15.1 приведены изображения некоторых решетчатых функций, а также производящих функции времени и их изображений Лапласа. В таблице введена единичная импульсная решетчатая функция [68].
(15.32) Эта функция играет в дискретных системах такую же важную роль, как
δ -функция функция Дирака) в непрерывных системах. Для всех непрерывных и решетчатых функций, приведенных в табл. 15.1, предполагается, что они тождественно равны нулю при t< 0. В некоторых изображениях табл. 15.1 использованы полиномы R
k
(z), которые могут быть представлены в виде определителя
[136]
(15.33). Некоторые частные значения этого полинома

(15.34) Операцию нахождения преобразования от решетчатой функции (15.30) или от непрерывной производящей функции (15.31) можно распространить на изображение Лапласа непрерывной производящей функции Пусть решетчатая функция Т получается из непрерывной функции f(t) квантованием в моменты времени t = Т. Введем вспомогательную импульсную функцию, образованную умножением исходной непрерывной функции на последовательность
δ -функций
(15.35). Найдем преобразование Лапласа введенной функции
(15.36). Так как интеграл от
δ -функции равен единице, то имеем где z= е
рт
.

Таким образом, преобразование Лапласа для импульсной функции оказывается равным z- преобразованию исходной непрерывной производящей функции. Обозначив последовательность
δ -функций вида
)
(
t
nt
t
ε
δ
−
−
, где
n— 0, 1, 2, . . ., через
)
(t
T
δ
, импульсную функцию при
0
≠
ε
, можно представить следующим образом '
(15.38)

Применим клевой и правой части последнего выражения преобразование Лапласа. В соответствии с приведенным доказательством в левой части будет получено z- преобразование исходной непрерывной функции времени
(15.39) Используем далее теорему свертки в комплексной области
(15.40) Здесь
F
л
(р) = L{f(t)}. Кроме того, а также Интегрирование введется по прямой р = с + jw, где с — число, большее абсциссы абсолютной сходимости, и по полуокружности радиуса Полуокружность может быть выбрана как в левой, таки в правой части комплексной плоскости. В последнем случае внутрь контура интегрирования попадают полюсы подынтегрального выражения, определяемые равенством или
r
j
T
p
π
λ
2
)
(
=
−
−
, где
r = 0, ±1, ±2, . . Значение полюса Для вычисления интеграла удобно обозначить 'Тогда искомый интеграл можно представить в виде
(15.41) Для каждого из полюсов в соответствии с теоремой Коши можно записать
(15.42)
Окончательное выражение для искомого преобразования будет при
(15.43) Эта формула справедлива при любом значении
ε > 0. Однако при ε = 0 она становится неверной, так как начальный момент времени становится моментом квантования. Для этого случая можно показать [136], что преобразование должно вычисляться в соответствии с выражением
(15.44) Операцию нахождения преобразования по преобразованию Лапласа символически можно записать, аналогично формулами, в виде
(15.45) Формулы (15.43) и (15.44) имеют больше теоретическое, чем практическое значение. В большинстве случаев нахождение преобразования для изображения Лапласа Р
л
(р) проще

осуществить переходом к оригиналу f(t) известными методами и использованием затем табл. 15.1. Рассмотрим кратко основные правила и теоремы применительно к преобразованию. Эти же правила и теоремы будут справедливыми и для дискретного преобразования Лапласа. Рассмотрение проведем для несмещенных решетчатых функций, но полученные результаты можно распространить и на случай смещенных функций f[n,
ε ], кроме случаев, оговоренных особо.
1. Свойство линейности. Это свойство заключается в том, что изображение линейной комбинации решетчатых функций равно той же линейной комбинации их изображений. Пусть решетчатая функция определяется выражением
(15-46) Тогда для ее изображения можно записать
(15.47)
2. Теорема запаздывания и упреждения. Рассмотрим решетчатую функцию f[n — m], сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов m. Тогда из формулы (15.29) следует, если обозначить n — m = r,
(15.48) Здесь F(z) — изображение функции f[n]. Если исходная решетчатая функция f[n] равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то формула (15.48) упрощается
(15.49) Если сдвиг функции f[n] происходит влево (упреждение) и рассматривается функция
f[n+m] , где m— целое положительное число, то аналогично случаю запаздывания можно показать, что
(15.50) Второе слагаемое в правой части (15.50) обращается в нуль, если f[n] = 0 при n = 0, 1, . . ., m-1. При запаздывании на нецелое число периодов
ξ
+
m
приходится вводить смещенную решетчатую функцию. Пусть рассматривается функция f[n -
ε
ξ
−
− m
], где m— целая, а
ξ
— дробная часть запаздывания. Если смещение е удовлетворяет условию
m
n
m
n
f
+
<
+
=
−
−
+
<
≤
ξ
ξ
ξ
ε
ξ
ε
при
0
]
[
и
0
при, то можно показать, что
(15.51) Если, то
(15.52) При использовании табл. 15.1 для нахождения изображений следует вместо
ε подставить
1
+
+
−
ε
ξ
или
ε
ξ
+
−
в соответствии с формулами (15.51) и (15.52).
3. Теорема об умножении оригинала на экспоненту (теорема смещения в области изображений. Умножим решетчатую функцию на экспоненту е Т. Тогда из формулы
(15.29) следует

(15.53) Для смещенной решетчатой функции аналогичная формула имеет вид
(15.54)
4. Теорема об умножении оригинала на степенную функцию. Пусть решетчатой функции
f[n] соответствует изображение F(z). Тогда можно показать, что
(15-55) Для смещенной решетчатой функции аналогичная зависимость имеет вид.
(15.56)
5. Изображение разностей. Для первой прямой разности на основании (15.50)
(15.57) Если k — целое число, то аналогичным образом
(15.58) причем Если решетчатая функция f[n] равна нулю в первых k точках оси времени, те, то формула (15.58) упрощается
(15.59) Для первой обратной разности можно аналогичным образом найти
(15.60) Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тождественно равна нулю, то формула (15.60) упрощается
(15.61) Для й обратной разности при f[n] = 0 для n<0
(15.62) Полученные формулы изображений прямых и обратных разностей формально напоминают формулы для нахождения изображений производных непрерывных функций. Формула (15.62) аналогична случаю изображения производной го порядка непрерывной функции по начальным условиям слева при нулевых их значениях. Заметим, что при Т непрерывный случай) множитель в правой части стремится к пределу
(15.63) К такому же пределу стремится множитель (z — 1)
k в (15.59). Это также иллюстрирует сходство формул изображений производных и разностей.
6. Изображение сумм. Рассмотрим вначале неполную сумму (15.12): Составим первую прямую разность этой суммы

возьмем преобразование от правой и левой частей На основании (15.59) имеем, далее, Отсюда можно найти изображение неполной суммы
(15.64) Распространяя эту зависимость на случай кратного суммирования можно записать
(16.65) Для полной суммы (15.13) аналогичным образом можно найти первую обратную разность ее изображение из (15.61) Отсюда изображение полной суммы
(15.66) Для случая кратного суммирования
(15.67) Из приведенного рассмотрения вытекает справедливость равенства
(15.68) Таким образом, взятие прямой разности и взятие неполной суммы (или обратной разности и полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору р = св непрерывных системах, в первом случае играет оператора во втором случае — оператор
z
z 1
−
. В случае перехода к пределу при Т обе пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывных функций.
7. Изображения решетчатых функций с измененным периодом следования. Пусть рассматривается решетчатая функция с периодом следования дискрет
λ Т, где
≠
λ 1. Тогда на основании (15.29) можно записать
(15.69) Из (15.69) следует, что при изменении периода враз необходимо в изображении решетчатой функции f[n] заменить z на z λ и Т на
λ Т. Так, например, если рассматривается решетчатая функция
anT
e
−
, то при введении периода
λ Т в соответствии с табл. 15.1 изображение будет где
λ
z
z
=
1
и
λ
d
d
=
1
На рис. 15.8 построены для этого случая решетчатые функции с исходным периодом следования Т (риса, растянутым периодом при
λ > 1 (рис.
15.8, б) и сжатым периодом при
λ < 1 (рис. 15.8, в.

8. Сумма ординат решетчатой функции. Если абсцисса абсолютной сходимости решетчатой то, положив в (15.29) p = 0, имеем
(15.70)
9. Конечное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разность решетчатой функции f[n] и на основании (15.47) найдем ее изображение Далее на основании (15.70) найдем сумму ординат
∆ f[n]: Кроме того, можно записать Из двух последних выражений следует
(15.71) Если провести аналогичное рассмотрение с первой обратной разностью, то можно получить формулу для вычисления конечного значения решетчатой функции в другом виде
(15.72)
10. Начальное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разность и на основании (15.48) найдем ее изображение Рассмотрим теперь предел выражения Тогда из последних двух формул можно найти
(15.73)

Зависимости (15.72) и (15.73) представляют собой аналоги соответствующих выражений для нахождения конечного и начального значений непрерывной функции f(t) по ее изображению Лапласа
11. Свертка решетчатых функций. Если то можно показать, что
(15.74) Эта формула аналогична соответствующему выражению для свертки двух непрерывных функций.
12. Формула обращения. Рассмотрим задачу нахождения решетчатой функции (оригинала) по ее изображению. Эту операцию запишем в символическом виде как обратное z- преобразование
(15.75)
(15.76) Заметим, что аргумент изображения обладает свойством
(15.77) где k — произвольное целое число. Вследствие этого изображения F(z) и F(z,
ε ) представляют собой периодическую функцию относительно мнимой части аргумента рус периодом
T
π
2
, что дает основание рассматривать изображения только внутри интервала изменения
T
w
π
2 Удобнее использовать интервал —
1 1
−
−
≤
<
T
w
T
π
π
так как он оказывается аналогичным интервалу частот
∞
<
<
∞
−
w
, рассматриваемому обычно для непрерывных функций времени. Принятый интервал дает на комплексной плоскости р =
γ
+ jw область рис. 15.9), в которой достаточно рассматривать изображение F(z) = ер. Изображение F(z) может иметь в этой области особые точки тина полюсов — p
i
(где i = 1,
2, . . ., k). Полюсы могут быть или вещественными или комплексно сопряженными. В случае
1 1
2
,
1
−
±
=
T
j
p
π
γ
достаточно рассматривать один из этих полюсов, соответствующий, например, положительной мнимой части (на верхней границе области. Рассмотрим выражение (15.29):

Умножим левую и правую его части на е
mрТ
, где m— целое число, и проинтегрируем его вдоль линии Ь (рис. 15.9) в пределах от
1 1
−
−
=
T
j
c
p
π
до
1 2
−
+
=
T
j
c
p
π
, где с — произвольная величина, большая, чем абсцисса абсолютной сходимости
(15.78) При этом все полюса е рт) будут лежать в рассматриваемой области на комплексной плоскости левее линии интегрирования L. Это и дает право изменить в (15.78) порядок операций интегрирования и суммирования. Если
n
m
≠ , то Если
n
m
=
, то Вследствие этого (15.78) можно представить в виде Заменяя m на n, получим окончательно формулу обращения
(15.79) Так как ер и dz = Тzdр, то формула обращения (15.79) может быть также представлена в другом виде Интегрирование ведется по окружности с центром вначале координат и радиусом
R>|z ах где v=1,2, ...,1 — полюсы функции F(z). В случае простых полюсов значение интегрального вычета в точке z= z v
, может быть определено из выражения
(15.81) В случае полюса кратности r значение интегрального вычета в точке — z= z определяется выражением
(15.82) Если функция F(z) имеет нулевой полюс кратности r, то для функции F(z)z n-1
при n = 0 полюс будет иметь кратность r+1. В этом случае значение интегрального вычета в точке z=0 будет Аналогичные формулы обращения имеют место и для смещенной решетчатой функции
(15.84)

(15.85) Полученные выражения (15.79), (15.80), (15.84) и (15.85) несколько сложны для практического использования. Поэтому для нахождения решетчатой функции по ее изображению обычно применяются другие методы, которые даны ниже.
13. Формулы разложения. Если изображение представляет собой простейшую табличную форму (см, например, табл. 15.1), то переход к оригиналу не представляет трудностей. Сложная дробно-рациональная форма может быть представлена в виде суммы дробей первой степени. Рассмотрим некоторые употребительные разновидности формулы разложения. а) Пусть изображение F(z) представляет собой отношение двух многочленов причем будем предполагать, что степень числителя не выше, чем степень знаменателя, а корни знаменателя простые. Тогда изображение можно представить в виде суммы
(15.86) где В) — производная В (z) по z, а z v
(v= 1, 2, . . ., l) — корни знаменателя. Элементарному слагаемому z(z —z v
)
-1
соответствует оригинал
n
v
nT
a
z
e
v
=
−
, где
1 1
ln
−
−
=
v
v
z
T
a
(см. табл. 15.1). В табл. 15.1 единственный корень дроби первой степени обозначен z
1
= d. Поэтому оригинал (15.86) можно записать следующим образом
(15.87) б) Пусть изображение F(z) не имеет нулевого корня числителя, но степень числителя А
(z) меньше степени знаменателя. Тогда, как следует изначальное значение решетчатой функции f[0] = 0. Для нахождения оригинала в этом случае можно воспользоваться формулами (15.86) и
(15.87), но применить их следует для сдвинутой на один такт влево решетчатой функции, изображение которой будет zF(z). Для тога чтобы получить в результате искомую функцию, следует в правой части (15.87) сделать сдвиг на один такт вправо, для чего нужно заменить n на n — 1. В результате имеем
(15.88) причем последнее выражение будет справедливым только для n>1. в) Пусть изображение F(z) не имеет нулевого корня числителя А (z), причем степень А) равна степени знаменателя В. Тогда следует понизить степень числителя, поделив его на знаменатель, и представить Р (г) в виде суммы составляющей нулевого порядка и дробно-рационального остатка F
0
(z). В соответствии с формулой (15.29) первая составляющая равна начальному значению решетчатой функции f(0). Поэтому Переход от второй составляющей изображения к оригиналу может быть сделан по формуле (15.88), которая справедлива для n> 1.

г) Если изображение F(z) можно представить в виде некоторой дробно-рациональной функции F
0
(z), умноженной на изображение единичной ступенчатой решетчатой функции f[n], которое равно z(z — I)
-1
, те. то можно показать, что формула разложения приобретает вид
(15.89) Последнее выражение представляет собой аналог известной формулы разложения
Хевисайда, полученной им для непрерывных систем. д) Пусть изображение F(z) имеет нулевой полюс кратности r и простые остальные полюсы причем степень числителя А) меньше степени полинома B
0
(z). Тогда на основании (15.83) и (15.88) можно найти оригинал в виде
(15.90) При равенстве степеней числителя и полинома В
(z) следует выделить делением А (z) на
B
0
(z) нулевую составляющую и остаток, после чего представить изображение в виде Здесь f[r] — значение оригинала в момент z = r. Далее можно воспользоваться формулой (15.90), заменив в ней А (z) на А. е) Пусть изображение F(z) имеет полюс z l
кратности r, а все остальные полюсы простые причем степень числителя меньше степени знаменателя. Тогда в соответствии си) оригинал будет
(15.91) Эта формула справедлива для n>1. При n = 0 значение оригинала f[0]= 0. Для случая двойного корня (r = 2) формула (15.91) приобретает вид
(15.92) Так, например, если То что совпадает с табл. 15.1.

В случае, когда степень числителя F(z) равна степени знаменателя, следует аналогично изложенному выше выделить член нулевого порядка f[0] делением числителя на знаменатель и рассматривать далее остаток отделения. Разложение вряд Лорана. Из основного выражения для нахождения преобразования
(15.29) следует Разложив любым способом изображение F (z) , вряд Лорана (ряд по убывающим степенями сравнивая два ряда между собой, можно установить, что с = f[0], с = f[1], с = f[2], . . ., сит. д. Разложение вряд можно делать любым способом, так как такое разложение единственно. Наиболее удобным приемом для дробно-рациональных функций является деление числителя на знаменатель. Применяя разложение вряд Лорана, можно вычислить значения оригинала f[n] или f[n,
ε
] в дискретных точках без нахождения полюсов изображения F(z).
15. Решение разностных уравнений. Пусть имеется разностное уравнение в форме (15.15) с начальными условиями у = у v
(v = 0, 1, . . ., m — 1). Найдем преобразование от его левой и правой частей. В соответствии с формулой (15.50) для случая упреждения на m тактов Аналогичные зависимости могут быть записаны для упреждения на (m — 1), (m — 2), . . .,
1 тактов. Поэтому при переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям можно получить
(15.93) В правой части (15.93), кроме изображения F(z) решетчатой функции f[n], находятся члены, определяемые начальными условиями. Сумма их обозначена Уо (z). Из (15.93) можно найти изображение У) искомой решетчатой функции
(15.94) где Далее можно использовать изложенные выше приемы перехода к искомому оригиналу у. Для решения рассматриваемого разностного уравнения необходимо, как следует из изложенного, знать начальные условия у = y v
(V = 0, 1, . . ., m — 1). Последние же зависят от вида действующей в правой части разностного уравнения решетчатой функции. Более удобны для решения разностные уравнения вида (15.19) с начальными условиями Изображение решетчатой функции у [n — m], запаздывающей на т тактов, в соответствии сбудет Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на (m — 1), (m — 2), . . ., 1 тактов. При переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям могут быть получены выражения, аналогичные (15.93) и (15.94). Переход к искомой решетчатой функции у [n] осуществляется в соответствии с изложенными выше приемами. Особый интерес представляет случай, когда до момента времени n = 0 искомая решетчатая функция тождественно равна нулю. Это эквивалентно случаю нулевых начальных условий слева (при t = -0) при решении дифференциальных уравнений для непрерывных функций. Тогда в выражении для изображения (15.94) пропадает член в правой части, определяемый начальными условиями, и оно приобретает вид
(15.95) Рассмотрим разностное уравнение видано записанное в более общем виде
(15.96) Если ввести предположение, что решетчатая функция у [n] тождественно равна нулю при n < 0 и, кроме того, функция f[n] в правой части (15.96) прикладывается в момент времени n= 0, то переход к изображениям дает
(15.97) Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде
(15.98) Здесь введена дискретная передаточная функция W(z), которая, как ив случае

непрерывных функций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин) при нулевых начальных условиях. Дискретная передаточная функция играет такую же роль в импульсных и цифровых системах, как и обычная передаточная функция в непрерывных системах. Получение этой функции будет подробно рассмотрено ниже.
16. Периодические решетчатые функции и их изображения. Введем в рассмотрение периодическую решетчатую функцию
(15.99) где k и М — целые числа, причем М представляет собой относительный период (риса. Первая гармоника имеет относительную угловую частоту
(15.100) Функция (15.99) может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник с частотами, кратными w
1
:
(15.101) Число гармоник равно целой части M/2. Ряд (15.101) может быть представлен в комплексной форме
(15.102) где
(15.103) Для М = 2N при k =N
(15.104) Комплексные амплитуды могут находиться из формул при М = 2N + 1
(15.105) при М = 2N
(15.106) Для r = N при Ми при М =2N
(15.108) Для симметричной периодической функции (рис. 15.10, б, те. при выполнении условий Ми, формула для комплексной амплитуды принимает вид
(15.109)

Из последнего выражения следует, что при четном r будет ст. е. четные гармоники отсутствуют. При r нечетном
(15.110) Если N нечетно, то при r = N
(15.111) Так как здесь присутствуют только нечетные гармоники, то тригонометрический ряд может быть записан в вещественной форме
(15.112) где N
1
= N—1 для четных N и N
1
= N для нечетных N. Для нахождения изображения периодической решетчатой функции (15.99) применим теорему сдвига (15.50): Отсюда следует
(15.113) Сумма в правой части (15.113) представляет собой изображение решетчатой функции на интервале 0 — М. Для симметричной периодической функции f[n] = -f [n + N] аналогичным образом можно получить
(15.114) Найдем, например, изображение симметричной периодической решетчатой функции, показанной на рис. 15.10, в
§ 15.3. Передаточные функции Блочная схема импульсной системы, содержащая импульсный элемент ИЭ в канале ошибки, изображена на рис. 15.11. Импульсный элемент обычно считают идеальным. Понятие идеального импульсного элемента вводится двояким образом. Можно положить, что идеальный импульсный элемент генерирует решетчатую функцию с периодом Т, образованную из непрерывного значения ошибки системы
(15.115) Здесь принято, что в решетчатой функции смещение
ε
= 0. Это всегда можно сделать выбором начала отсчета времени.

Подобным образом, те. в соответствии сработают, например, устройства дискретного съема информации с объектов различного вида. Далее решетчатая функциях поступает на формирующее устройство, или экстраполятор Э, а затем сигнал с выхода экстраполятора поступает на непрерывную часть системы. Задача формирующего устройства (экстраполятора) заключается в формировании реального импульса прямоугольной, трапецеидальной, треугольной и т. п. формы. Совокупность идеального импульсного элемента и экстраполятора образует реальный импульсный элемент. Можно ввести понятие идеального импульсного элемента и иначе, считая, что он генерирует с периодом Т последовательность бесконечно коротких импульсов типа
δ - функции, площадь которых пропорциональна сигналу ошибки х) в моменты времени t
= Т, те) где
δ т (t) = δ (t— Т. Представление импульсного элемента согласно (15.116) не соответствует действительности, так как никакой импульсный элемент не может генерировать бесконечные по высоте импульсы. Однако подобное формальное представление позволяет упростить изображение структурной схемы импульсной системы и поэтому используется. Введем понятие приведенной весовой функции w п) разомкнутого канала регулирования рис. 15.11), понимая под этим термином реакцию непрерывной части системы совместно с экстраполятором на единичную импульсную решетчатую функцию х =
δ
0
[n], которая определена формулой (15.32). При этом используется понятие идеального импульсного элемента в соответствии ст. е. ух. Более строго весовую функцию w п (t) следует определить (см. главу 4) как отношение выходного сигнала у, возникающего при поступлении на вход экстраполятора единственной дискреты х в момент n = 0, те. функции х [n] = х [n], к значению х
(15.117) Если выходную величину рассматривать только в дискретные моменты времени t= Т или t = (n +
ε ) Т, то разомкнутый канал регулирования будет представлять собой импульсный фильтр. Он может характеризоваться решетчатой весовой функцией w пили п [n,
ε
], полученной из производящей функции w п (t). Заметим, что приведенная весовая функция отличается от обычной весовой функции непрерывного фильтра как своим видом, таки размерностью. Приведенная весовая функция содержит дополнительный множитель, имеющий размерность времени. Знание решетчатой весовой функции w пили п [n,
ε
] позволяет найти реакцию импульсного фильтра на входную величину х [n] произвольного вида. Очевидно, что реакция импульсного фильтра на дискрету х [0] будет w п (t) х [0], реакция на дискрету х [1] будет w п (t — Т) х [1], реакция на дискрету х [m] будет w п (t- Т) х
[m]. Поэтому Для дискретных моментов времени
(15.118) Найдем преобразование от левой и правой частей последнего выражения
(15.119) На основании формулы свертки (15.74)
(15.120)

где дискретная передаточная функция W(z) есть преобразование от приведенной решетчатой весовой функции
(15.121) Последняя формула, вообще говоря, очевидна. Так как передаточная функция линейной системы не зависит от вида входного сигнала, то можно положить х [n] =
δ
0
[n]. Изображение единичной решетчатой импульсной функции равно единице. Поэтому передаточная функция импульсного фильтра оказывается равной в этом случае изображению выходной величины, которая представляет собой решетчатую приведенную весовую функцию w пи формула (15.121) может быть написана сразу. В случае использования понятия идеального импульсного элемента в соответствии с формулой (15.121) приведенная весовая функция может определяться аналогичным образом. Если х — сигнал на входе импульсного элемента в момент времени t=0, тона его выходе будет сигнал х [0] = х (t). Приведенная решетчатая весовая функция непрерывной части совместно с экстраполятором будет в этом случае равна отношению реакции на выходе у к сигналу на входе х, те п [n] = = х
0
у [n], что совпадает с изложенным выше. Однако в этом случае, поскольку изображение Лапласа единичной функции
δ (t) равно единице, можно считать, что изображение Лапласа выходной величины у) = w п (t) при воздействии на входе вида
δ
(t) совпадает с непрерывной передаточной функцией канала регулирования, те. Ул (р) п- В свою очередь передаточную функцию Ир, учитывая вид схемы, изображенной на рис, 15.11, можно представить в виде произведения передаточных функций экстраполятора и непрерывной части, тер эр) Wо(р). Это дает возможность представить структурную схему импульсной системы регулирования так, как это изображено на рис. 15.12. Передаточная функция пр) есть изображение Лапласа приведенной весовой функции пи ее можно назвать приведенной передаточной функцией непрерывной части совместно с экстраполятором. Формулы (15.120) и (15.121) указывают на полное сходство с непрерывными системами, у которых передаточная функция есть преобразование Лапласа от весовой функции
(15.122) Формула (15.121), определяющая дискретную передаточную функцию импульсного фильтра, может быть записана также в другом виде через введенную передаточную функцию пр) На выходе дискретного фильтра может рассматриваться смещенная решетчатая функция у [n,
ε
) и w п [n,
ε
]. Тогда передаточная функция
(15.124) изображение выходной величины
(15.125)

Однако большинство задач по исследованию дискретных систем может быть решено при использовании передаточной функции W(z), которая в основном и будет в дальнейшем рассматриваться. Как следует из полученных выше формул, дискретная передаточная функция должна определяться по приведенной весовой функции непрерывной части. В случае, когда непрерывная часть состоит из параллельно включенных звеньев и ее передаточная функция
(15.126) дискретная передаточная функция W(z) может быть определена суммированием частных дискретных передаточных функций, определенных для каждого звена в отдельности
(15.127) В отличие от непрерывных систем подобное правило не имеет места для случая последовательно включенных звеньев с общей передаточной функцией
(15.128) и общим импульсным элементом на входе. В этом случае
(15.129) и передаточная функция W(z) должна сразу определяться по результирующей весовой функции w п (z). Для последовательного соединения звеньев w п (t) может, например, определяться по теореме разложения. Иногда для последовательного соединения, например, двух звеньев результирующая передаточная функция вместо формы (15.129) записывается в виде W(z) = W
1
W
2
(z). Символ W
1
W
2
(z) должен рассматриваться как единый и относящийся к операции нахождения дискретной передаточной функции последовательно включенных звеньев с общей передаточной функцией W
01
(p) W
02
(o). Однако в том случае, когда имеется ряд последовательно включенных звеньев, каждое из которых имеет на входе свой импульсный элемент (последовательно включенные импульсные фильтры, результирующая передаточная функция может находиться перемножением дискретных передаточных функций каждого импульсного фильтра
(15.130) Непрерывная часть дискретного фильтра может содержать временное
T
ξ
τ
=
. Тогда дискретная передаточная функция
(15.131) должна определяться в соответствии с формулами (15.51) и (15.52). Если запаздывание лежит в пределах 0 <
τ < Т или 0 <
ξ
< 1, то при m= 0 и
ε
= 0 имеем из (15.51)
(15.132) При использовании табл. 15.1 необходимо положить
ε = 1 -
ξ
|. Рассмотрим нахождение приведенной весовой функции w пили ее изображения п (t) для различных экстраполяторов. В соответствии с изложенным выше можно записать следующую зависимость

(15.133) где и (р) — изображение импульса на выходе экстраполятора при поступлении на его вход единственной дискреты
δ
0
[n] в соответствии с (15.115), равное передаточной функции экстраполятора Эр) для случая (15.116). В формуле (15.133) передаточная функция р) относится к непрерывной части.