Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
A θ , С, С, B θ . Заметим, что величины A θ и B θ , необходимые для определения произвольных постоянных, находятся как значения θ в конце предшествующих им участков. Поэтому, если будет задана величина θ в начальной точке первого участка процесса, то все вышенаписанное решение для переходного процесса в системе станет определенным. Такой метод решения задачи называется методом припасовывания. Выясним теперь, возможны ли в данной система автоколебания, те. устойчивое периодическое решение. Для этого нужно, очевидно, чтобы в конце D одного периода колебаний (рис. 16.4, б) получились точно такие же значения θ и θ , какие были вначале его А. Легко заметить, что при этом оба полупериода (АВ и ВВ) должны быть одинаковыми вследствие симметрии характеристики (риса. Поэтому для определения автоколебаний достаточно рассмотреть только один участок АВ и потребовать, чтобы (16.18) Обозначив период искомых автоколебаний через 2T, а длительность участка АВ, следовательно, через Т, из (16.14) найдем Подставляя сюда (16.18) и замечая, что из (16.16) A θ =C 1 -k 1 c получаем выражение (16.19) в котором содержатся две неизвестные Си Т. Величину Т (длительность участка АВ) можно выразить из (16.15), так как известно, что в конце участка θ = -b. Из (16.15) и (16.16) при этом находим Подставив сюда значение Сиз, получим уравнение для определения полупериода автоколебаний (16.20) Это трансцендентное уравнение для Т легко решается графически (рис. 16.6) пересечением двух кривых Если найдено вещественное положительное значение для T, то это свидетельствует о наличии периодического решения в данной системе. Чтобы доказать, что это соответствует автоколебаниям, нужно исследовать их устойчивость, те. показать, что в переходном процессе система ведет себя, как изображено на риса, ноне так, как на рис. 16.3, б. Это будет показано ниже. Амплитуда найденных автоколебаний определяется как 8тах на участке АВ (риса) путем исследования функции (16.15) на максимум обычным путем. Фазовое пространство. Для наглядного представления о сложных нелинейных процессах регулирования часто прибегают к понятию фазового пространства, которое заключается в следующем. Дифференциальное уравнение замкнутой системы регулирования го порядка можно преобразовать к системе n дифференциальных уравнений первого порядка в виде (16.21) с начальными условиями где x 1 , x 2 , . . ., х n — переменные, являющиеся искомыми функциями времени, причем хг может обозначать регулируемую величину, ах, х n — вспомогательные переменные f и g — возмущающее и задающее воздействия. Пусть, например, в уравнениях (16.21) будет n = 3 (система третьего-порядка). Переменные х, х, х здесь могут иметь любой физический смысл. Но условно их можно представить мысленно как прямоугольные координаты некоторой точки М (риса. В реальном процессе регулирования в каждый момент времени величины х, x 2 , х имеют вполне определенные значения. Это соответствует вполне определенному положению точки М в пространстве (риса. Стечением времени в реальном процессе величины х, х, х определенным образом изменяются. Это соответствует определенному перемещению точки М в пространстве по определенной траектории. Следовательно, траектория движения точки М может служить наглядной геометрической иллюстрацией динамического поведения системы в процессе регулирования. Точка М называется изображающей точкой, ее траектория называете фазовой траекторией, а пространство (х, х, х) называется фазовым пространством. Так как производные повремени от координат точки представляют проекции ее скорости υ на оси координат, то дифференциальные уравнения системы в форме (16.21) представляют собой выражения для проекций скорости υ ; изображающей точки М (риса) на оси координат. Следовательно, по значениям правых частей уравнений (16.21) в каждый момент времени можно судить о направлении движения изображающей точки М, а вместе стем и о поведении соответствующей реальной системы в процессе регулирования. Начальные условия процесса регулирования (х, х, определяют координаты начальной точки фазовой траектории М риса Если переменных в уравнениях (16.21) будет всего две хи х (система второго порядка, то изображающая точка будет двигаться не в пространстве, а на плоскости (фазовая плоскость. Если переменных будет любое число n > 3 (система то порядка, то фазовое пространство будет не трехмерным, а мерным. Итак, фазовое пространство и фазовые траектории представляют собой лишь геометрический образ динамических процессов, протекающих в системе. В этом геометрическом представлении участвуют координаты и исключено время. Фазовая траектория сама по себе дает лишь качественное представление о характере поведения системы. Чтобы определить количественно положение изображающей точки (а значит, и состояние системы) в любой момент времени, нужно найти решение заданных дифференциальных уравнений (16.21) во времени. Если уравнения (16.21) составлены в отклонениях от установившегося состояния, то последнее характеризуется значениями х = х = . . . = х n =0. Следовательно, изображением установившегося состояния системы является начало координат фазового пространства. Отсюда вытекает, что фазовые траектории устойчивой линейной системы будут асимптотически приближаться к началу координат при неограниченном увеличении времени. Фазовые траектории неустойчивой линейной системы будут неограниченно удаляться от начала координат. Для нелинейной системы вследствие ряда особенностей процессов, отмечавшихся выше, фазовые траектории могут принимать самые разнообразные очертания. Если имеется асимптотическая устойчивость для определенного круга начальных условий, то все фазовые траектории, которые начинаются внутри определенной области ε , окружающей начало координат фазового пространства (рис. 16.7, б, будут асимптотически приближаться к началу координат. Если устойчивость неасимптотическая, то фазовые траектории, начинающиеся внутри определенной области η вокруг начала координат фазового пространства, могут иметь любые очертания, ноне будут выходить за пределы некоторой определенной области ε , окружающей начало координат (рис. 16.7, б. Формулировка понятия устойчивости по Ляпунову. Невозмущенное движение установившийся процесс) называется устойчивым, если при заданной сколь угодно малой области ε (рис. 16.7, б) можно найти такую область η , что при начальных условиях, расположенных внутри этой области, возмущенное движение (переходный процесс) будет таким, что изображающая точка не выйдет из области ε при любом сколь угодно большом значении времени t. В аналитической записи формулировка понятия устойчивости по Ляпунову будет следующей. Невозмущенное движение (установившийся процесс) будет устойчивым, если при заданных положительных сколь угодно малых числах i ε можно найти такие положительные числа i η , (i = 1, . . ., n), что при начальных условиях (16.22) решение дифференциальных уравнений возмущенного движения (переходного процесса) удовлетворяет неравенствам при любом сколь угодно большом I, начиная с некоторого t= Т > 0. Представим себе для этой аналитической записи геометрический образ в фазовом пространстве. Очевидно, что при ограничении начальных условий по каждой координате неравенствами (16.22) получается мерный параллелепипед со сторонами 2 i η внутри которого должна лежать начальная точка фазовой траектории М (х, х, . . ., х n0 ). На фазовой плоскости (n= 2) он обращается в прямоугольник. Аналогично и второе из написанных неравенств геометрически означает, что фазовые траектории не должны выходить из параллелепипеда со сторонами В формулировке Ляпунова содержится требование сколь угодной малости указанных областей. Однако практически это определение, также как и теоремы Ляпунова, которые будут приведены ниже, применяется и тогда, когда эти области имеют определенные конечные размеры. Фазовые траектории для обыкновенных линейных систем. Пусть переходный процесс в некоторой системе описывается уравнением второго порядка (16.23) Введем обозначение для скорости изменения отклонения регулируемой величины Тогда уравнение системы (16.23) преобразуется к виду (16-24) Исключим из уравнений (16.24) время t, разделив первое из них на второе (при хи у (16.25) Решение ух) этого дифференциального уравнения с одной произвольной постоянной определяет собой некоторое семейство так называемых интегральных кривых на фазовой плоскости (х, у, каждая из которых соответствует одному определенному значению произвольной постоянной. Вся совокупность интегральных кривых представит собой всевозможные фазовые траектории, а значит, и всевозможные виды переходного процесса в данной системе автоматического регулирования при любых начальных условиях. Рассмотрим отдельно различные случаи. Уравнению (16.23) соответствуют корни характеристического уравнения причем возможны шесть случаев 1) корни чисто мнимые при a 1 = 0, а >0 (граница устойчивости линейной системы 2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при 2 1 a < а, a 1 > 0, а >0 (устойчивая линейная система 3) корни комплексные и имеют положительные вещественные части при 2 1 a < а, a 1 < 0, а >0 (неустойчивая линейная система 4) корни вещественные отрицательные при 2 1 a > а, a 1 >0, а >0 (устойчивая линейная система 5) корни вещественные положительные при 2 1 a а, а, а >0 (неустойчивая линейная система 6) корни вещественные и имеют разные знаки при а < 0 (неустойчивая линейная система в частности, один из корней будет равен нулю при a 2 =0 (граница устойчивости линейной системы. Случай 1. В первом случае получаются, как известно, незатухающие колебания риса с постоянной амплитудой Аи начальной фазой β , которые зависят от начальных условий. Для фазовой плоскости уравнения (16.26) представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями Аи А (рис. 16.8, б. Уравнение эллипса можно получить непосредственным решением дифференциального уравнения фазовых траекторий (16.25) при аи а = w 2 , причем А — произвольная постоянная интегрирования. Итак, периодическим колебаниям системы (риса) соответствует движение изображающей точки по замкнутой кривой (рис. 16.8, б. Случай 2. В этом случае (комплексные корни с отрицательными вещественными частями, как известно, имеют место затухающие колебания (риса) где а произвольные постоянные A и β определяются изначальных условий Значениях и у не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше. Это дает на фазовой плоскости (х, у) кривую (рис. 16.9, б, которая за один оборотне возвращается в прежнюю точку М, а подходит ближе к началу координат. Итак, затухающим колебаниям системы (риса) отвечают фазовые траектории в виде спиралей, по которым изображающая точка приближается к началу координат (рис. 16.9, б. Случай 3. Этот случай (комплексные корни с положительными вещественными частями) соответствует расходящимся колебаниям (риса. Рассуждая аналогично предыдущему, получим всю совокупность возможных фазовых траекторий тоже в виде спиралей, но только изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координата от него (рис. 16.10, б. Случай 4. Этот случай (вещественные отрицательные корни) соответствует апериодическому процессу (16.27) где На риса показаны два возможных варианта (кривые 1 и 2) протекания такого процесса. Легко видеть, что на фазовой плоскости (х, у) это изобразится кривыми 1 ж 2 соответственно (рис. 16.11, б, так как в первом варианте все время хи у < 0, а во втором варианте знаки x и y меняются по одному разу. Границы областей 1 и 2 представляют собой прямые у = -аи у = -а, получающиеся из уравнений (16.27) соответственно при аи при а = 0 (обращение одного из корней в нуль. В отличие от прежнего здесь все фазовые траектории вливаются непосредственно в начало координат 0 фазовой плоскости. Однако изображающая точка Мне попадает в начало координат в конечное время, а приближается асимптотически. Итак, затухающим апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории, вливающиеся в начало координат. Случай 5. Этот случай (вещественные положительные корни) соответствует также апериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (16.27), но при a 1 < 0 и а < 0. Аналогично предыдущему получаем кривые процесса и фазовые траектории, изображенные на рис. 16.12. Случай 6. В этом случае (вещественные корни разных знаков) также имеет место апериодический процесс (16.27) (риса, где a 1 и а имеют разные знаки, но картина фазовых траекторий здесь иная. Так как а < 0, то введем обозначение а = -а, причем для простоты построений рассмотрим случай a 1 = 0, что соответствует согласно (16.23) уравнению системы y x dt dy 2 α = и согласно (16.25) — уравнению фазовых траекторий (16.28) Интегрирование последних, аналогично случаю 1, дает 1 ) ( 2 2 2 2 = − C y C x α , те. семейство гипербол, изображенное на рис. 16.13, б. Направления движения изображающей точки М по фазовым траекториям, показанные на рис. 16.13, б, легко определяются в каждой четверти плоскости по знаку dx dy (16.28). Аналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и при а. Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории типа рис. 16.12, били типа рис. 16.13, б, причем изображающая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат. Особые точки. В точках, которые соответствуют установившемуся состоянию, получаем согласно (16.25) неопределенное выражение те. неопределенное направление касательных к интегральным кривым (фазовым траекториям. Такие точки называются особыми точками, причем существует следующая классификация для них а) особые точки типа точки Она риc. 16.8, б называются центрами, б) особые точки типа рис. 16.9, б называются устойчивыми фокусами, в) особые точки типа рис. 16.10, б называются неустойчивыми фокусами, г) особые точки типа рис. 16.11, б называется устойчивыми узлами, д) особые точки типа рис. 16.12, б называются неустойчивыми узлами, е) особые точки типа рис. 16.13, б называются седлами (седло всегда неустойчиво. Особые линии для нелинейных систем. Реальные системы автоматического регулирования можно считать линейными чаще всего в предположении малости отклонений переменных от их значений в определенном установившемся состоянии. За пределами указанной области вследствие значительного отклонения характеристик от линейных картина фазовых траекторий может сильно измениться и стать качественно иной. В частности, если по линейной теории система оказывается неустойчивой и процесс начинает расходиться, то может оказаться, что из-за фактической нелинейности характеристик он не будет расходящимся неограниченно. Амплитуда расходящихся колебаний может увеличиваться только до определенного значения, а затем оставаться постоянной, те. неустойчивая линейная автоматическая система как бы превращается в устойчивую нелинейную автоколебательную систему (система генерирует устойчивые колебания определенной формы. Картина фазовых траекторий для такой системы изображена на риса. Здесь вблизи начала координат получаются спирали, как в неустойчивой линейной системе (рис. 16.10, б, но далее все они расходятся не до бесконечности, а приближаются асимптотически к некоторому замкнутому контуру ограниченных размеров, как показано на риса. К нему же приближаются и все спирали, находящиеся вне контура. Это соответствует картине процессов во времени, изображенной на риса. Такого вида замкнутый контур, представляющий собой наиболее важный для теории регулирования тип особых линий на фазовой плоскости, называется устойчивым предельным циклом. Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебаниям системы. Размеры предельного цикла Аи В (риса) представляют амплитуды колебаний самой величины хи скорости ее изменения у = dx dy . Для определения периода автоколебаний надо обратиться к решению уравнений во времени. Случаю устойчивости системы в малом и неустойчивости в большом (рис. 16.3, б) соответствует картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 16.14, б. Граница начальных условий, до которой система устойчива, имеет чаще всего на фазовой плоскости вид неустойчивого предельного цикла, как на рис. 16.14, бот которого в обе стороны удаляются спиралевидные фазовые траектории. Это — второй важный тип особых линий, определяющий устойчивость системы в малом и неустойчивость в большом. Заметим, что в этом случае может быть также еще более удаленный устойчивый предельный цикл (рис. 16.14, в, соответствующий автоколебаниям с большой амплитудой. Это соответствует процессам во времени, изображенным на рис. 16.3, г. Такие же принципиальные качественные изменения картины фазовых траекторий при достаточно больших отклонениях могут наблюдаться ив случаях апериодических процессов (рис. 16.12, б и 16.13, б, включая превращения их в колебательные и наоборот. Например, картине процессов во времени, показанной на рис. 16.3, в, соответствует картина, фазовых траекторий на рисе. Аналогично для системы, находящейся согласно линейной теории на границе устойчивости (при чисто мнимых корнях, картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 16.8, б, может иметь место лишь вблизи состояния установившегося режима О. При больших отклонениях, если линейность характеристик звеньев системы нарушается, картина фазовых траекторий будет другой. Один из возможных вариантов изменения фазовых траекторий при больших отклонениях в этом случае показан на рис. 16.14, г. Здесь, кроме особой точки О типа центра, появляются два седла Си С, что приводит фактически к неустойчивости системы. Но может иметь место и устойчивый предельный цикл. Особые линии такого типа, как Си С 2 А 2 С 1 (рис. 16.14, г, на фазовой плоскости называются сепаратрисами (третий тип особых линий. Особые линии более сложного очертания рассматриваться не будут. Здесь говорилось пока о системах, которые при малых отклонениях рассматриваются как линейные. Но совершенно аналогичная картина получается и для таких нелинейных систем автоматического регулирования, которые даже в малом нельзя рассматривать как линейные. Таковыми являются многочисленные типы релейных система также системы с зоной нечувствительности, с гистерезисной петлей, с сухим трением, с зазором. Интересно отметить, что некоторые из таких систем скорее в большом, чем в малом, могут приближаться к линейным, когда зона нечувствительности или зазор оказываются малыми по сравнению с величиной отклонений х. В системах с зоной нечувствительности и с сухим трением существуют, как известно, области застоя, когда установившемуся состоянию приданных внешних условиях (данной нагрузке) соответствует не одна точка, а целая область возможных равновесных состояний системы. На фазовой плоскости это выражается в том, что особая точка вытягивается в особый отрезок (рис. 16.14, д. Заметим, наконец, что координатами (х, у) фазовой плоскости могут служить необязательно отклонения регулируемой величины и скорость ее, как было выше. Для этой цели могут быть взяты любые две переменные, однозначно характеризующие состояние системы второго порядка в произвольный момент времени. Пример Изобразим на фазовой плоскости переходный процесс и автоколебания в системе автоматического регулирования температуры, рассмотренной выше. Координаты фазовой плоскости будут (16-29) Если у >0, то согласно (16.10) ириса переключение регулятора происходит при θ = +b (линия Е на рис. 16.15); если же y<0, то при θ = -b (линия ОН. Справа от линии переключения ЕFGН справедливо уравнение системы (16.12), а слева — (16.13). Уравнение (16.12) в обозначениях (16.29) примет вид откуда получаем дифференциальное уравнение фазовых траекторий (16.30) Интегрирование его дает (16.31) где С — произвольная постоянная. Каждому конкретному значению С -соответствует определенная кривая на фазовой плоскости. Семейство кривых, отвечающих различным значениям С, изображено на рис. 16.15 справа от линии ЕFGН. Эти кривые имеют асимптоту ус. Направление движения изображающей точки по ним, показанное стрелками, определяется из условия |