Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
w π 2 , получаем (18.159) Для того чтобы выходной сигнал достигал уровня ограничения (те. чтобы вторая нелинейность участвовала в работе, необходимо выполнение условия Таким образом, следует рассматривать входные сигналы с частотой (18.160) Амплитуда первой гармоники для треугольного сигнала с ограничением имеет вид (18.161) Следовательно, первая гармоника сигналах будет (18.162) В результате можно записать уравнение нелинейного блока (рис. 18.33) в гармонически линеаризованном виде (18.163) где (18.164) Характеристическое уравнение всей замкнутой системы при этом получит вид (18.165) Для удобства дальнейших преобразований представим q ив виде (18.166) где Q1 и Q2 зависят от частоты w, а от амплитуды а не зависят. Будем искать частоту w пи амплитуду а п автоколебаний путем подстановки р = jw в (18.165), что дает (18,167) (18.168) Поскольку 0 ≠ a можно найти частоту w п (18.169) Так как в Q1 и Q2 входит п под знаком тригонометрических функций, решаем это уравнение графически. Его левая часть изображается кривой, показанной на рис. 18.35. В результате получаются два значения частоты периодического решения w пи п = w2. Преобразуем уравнение (18.168) к виду (18.170) Отсюда, подставляя значения полученных при решении уравнения (18.169) частот, можно найти амплитуду периодического решения а п сигнала на входе нелинейного звена. Остается определить, которое из двух найденных решений соответствует действительным автоколебаниям в системе. Для этого исследуем устойчивость найденного решения с помощью критерия (18.63). Поскольку согласно (18.167) частная производная так как выражение F1(w) представляет собой (18.169), обращающуюся в нуль при w= w п Для отыскания a Y ∂ ∂ представим Y в виде Тогда так как выражение F2 (а, w) представляет собой левую часть уравнения (18.170), образующуюся в нуль при w = w па а па частная производная В результате условие устойчивости автоколебаний (18.63) сводится к требованию (18.171) При отыскании частоты w п автоколебаний по уравнению (18.169) был построен график. Из рассмотрения этой кривой (рис. 18. 35) видно, что условие устойчивости (18.171) выполняется для большего из найденных значений частоты w п =w 2 . Таким образом, в системе существуют автоколебания, параметры которых определяются указанными значениями частоты w п = Помимо условия (18.171) для устойчивости найденного решения необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (18.165) были положительными, а именно Легко проверить, что все эти условия были выполнены в самом процессе отыскания периодического решения. § 18.5. Вычисление высших гармоники уточнение первой гармоники автоколебаний Пусть задано дифференциальное уравнение нелинейной системы (18.172) До сих пор периодическое решение (автоколебания) для нелинейной системы искалось для первого приближения в виде (18.173) что соответствовало приближенному значению первой гармоники периодического решения. Все высшие гармоники при этом отбрасывались ввиду их малости при наличии в системе свойства фильтра 18.2). Оставляя в силе это условие, произведем отыскание малых высших гармоник [100], введя отдельное обозначение для каждой й гармоники (18.174) где амплитуда й гармоники a k δ выражена через амплитуду первой гармоники а, причем коэффициент k δ является малой величиной (так как амплитуда высшей гармоники предполагается малой по сравнению с амплитудой первой гармоники. Величину k δ , играющую в данной задаче роль малого параметра, можно назвать относительной амплитудой й гармоники. Теперь с учетом конечного числа n высших гармоник искомое периодическое решение автоколебания) запишется в виде (18.175) где обозначает уточненную по сравнению с (18.173) первую гармонику автоколебаний. Поскольку амплитуды высших гармоник a k δ малы, то их вычисление можно производить, используя первое приближение периодического решения (18.173), так как использование уточненного решения (18.175) внесло бы в определение бди несущественные малые высшего порядка, но зато привело бык неразрешимой системе уравнений. Это чрезвычайно важное (для вычисления высших гармоник автоколебаний) допущение можно иначе сформулировать следующим образом. Считая, что на входе х нелинейного звена (рис. 18.36) истинное периодическое решение (18.175) (при n ∞ → ) мало отличается от синусоидального (18.173), будем для определения высших гармоник, порождаемых нелинейностью (те. на выходе нелинейного звена, где они немалые, подавать на вход нелинейного звена синусоиду (18.173). Тогда каждая из высших гармоник на выходе нелинейного звена ух, рх) в комплексной форме запишется в виде (18.176) где a k и β k — искомые амплитуда и фаза высшей гармоники у k на выходе нелинейного звена, а — амплитуда входной синусоиды. При этом величины r k и s k определяются коэффициентами ряда Фурье, деленными на ат. е. (18.177) Следовательно, (18.178) Затем эти немалые высшие гармоники с выхода нелинейного звена проходят через линейную часть (рис. 18.36) с передаточной функцией становясь малыми за счет наличия свойства фильтра. Учитывая перемену знака воздействия в замкнутой системе, получаем малые высшие гармоники для переменной х в виде (18.174), где Окончательно находим (18.179) или, в комплексной форме, (18.180) Итак, по формулам (18.179) легко определяются относительная амплитуда и фаза каждой из высших гармоник (18.174) периодического решения (автоколебаний) для переменной х (18.175). Они вычисляются по известным амплитуде аи частоте w первого приближения (18.173), определению которого были посвящены предыдущие параграфы данной главы. Теперь произведем уточнение амплитуды аи частоты w первой гармоники за счет учета уже найденных высших гармоник. Уточненные значения аи обозначаются через аи Имея ввиду форму решения (18.175), где х — первая гармоника, разложим нелинейную функцию Р (х, рх) вряд Тейлора Ограничимся написанными членами разложения ввиду малости высших гармоник ∑ = n k k x 2 Применяя далее разложение вряд Фурье, по аналогии с § 18.1 получим (18.181) где имеем аналогичные прежним формулам первого приближения (18.7) основные коэффициенты (причем t w 1 = ψ ) (18.182) и новые добавки к ним, вычисляемые, в отличие от этих основных, через первое приближение (18.173): Они и дают уточнение первой гармоники х за счет учета высших гармоник искомого периодического решения. Формулы для q ∆ и q ∆ ' с учетом (18.174) можно преобразовать к следующей, удобной для вычислений, форме (18.183) где (18.184) причем Подставив выражение (18.181) в уравнение системы (18.172) с учетом свойства фильтра, получим уравнение для определения уточненной первой гармоники х в виде Характеристическое уравнение представим в форме (18.185) где введено обозначение (18.186) замена w1 на w в малых добавках не играет существенной роли. Введение такого обозначения удобно по двум причинам. Во-первых, отделяются искомые аи, входящие в q и q', от известных величин q ∆ и q ∆ ', которые вычисляются здесь предварительно по формулам (18.183) через найденные выше значения k δ , k ϕ и через аи, известные из первого приближения (§§ 18.1 — 18.4). Во-вторых, уравнение (18.185) для определения уточненной первой гармоники x 1 =a 1 sinw 1 t приведено к виду, формально совпадающему с уравнением (18.33), которое определяет первое приближение. Это позволяет использовать при определении уточненной первой гармоники совершенно те же способы, что ив для первого приближения. Кроме того, согласно (18.182) здесь можно использовать все прежние готовые выражения коэффициентов гармонической линеаризации q к q' для конкретно заданных нелинейностей с заменой только а, w на а, Итак, полностью найдено искомое уточненное решение для автоколебаний (18.175) в виде Следует помнить, что, используя любой из способов § 18.2 применительно к данной задаче, надо везде вместо р) ставить новый многочлен Q1 (р, отличающийся от р) некоторыми добавками к его коэффициентам я определяемый по формуле (18.186). Важная особенность уточненного решения состоит еще ив том, что многочлен р, в отличие от прежнего р, зависит не только от параметров линейной части системы, но, согласно (18.186) и (18.183), также тот формы нелинейности F (х, рх) за счет добавков q ∆ и q ∆ '. Однако, в то время как основные коэффициенты q и q' имеют готовые выражения для каждой нелинейности (см. § 18.1), здесь нельзя применять заранее вычисленные конкретные формулы для величин q ∆ итак как входящие в формулы (18.183) величины k δ и k ϕ , согласно (18.179), зависят от параметров и структуры линейной части системы. Однако можно заранее вычислить для различных конкретных форм нелинейностей вспомогательные величины r k и s О том, какой состав высших гармоник (18.175) в каждой конкретной задаче следует учесть, можно судить по разложению заданной нелинейной функции х, рх) вряд Фурье. Так, например, в часто встречающемся на практике случае однозначной нечетносимметричной нелинейности х) наиболее существенной из высших гармоник будет третья. Учитывая ее, (представляем искомое периодическое решение автоколебания, согласно (18.175), в виде (18.187) В этом случаев уравнении для первой гармоники (18.185), как и прежде, будет равен нулю коэффициент q' и характеристическое уравнение будет (18.188) где причем выражение для коэффициента (18.189) остается прежним (§ 18.1) с заменой а на a1. Формулы для добавочных коэффициентов q ∆ и q ∆ ' здесь значительно упрощаются, так как в формулах (18.183) и (18.184) многие члены пропадают, а коэффициент s k = 0. В результате приходим к весьма простым соотношениям (18.190) где введено новое сокращенное обозначение h 3 , причем (18.191) Из формул (18.179) определяются относительная амплитуда и фаза третьей гармоники (18.192) Таким образом, достаточно просто определяется уточненное периодическое решение для случая однозначной нелинейности х) с учетом третьей гармоники в виде (18.193) Проведем вычисление коэффициентов h 3 и r 3 по формулам (18.191) для релейных характеристик, где оно представляет некоторые особенности. Рассмотрим релейную характеристику с зоной нечувствительности (риса. Входящая под интеграл в формуле для h 3 величина производной dF/dx будет для этой нелинейности равна нулю везде, кроме двух точек х = ±b, где она равна мгновенному импульсу, площадь которого равна с (рис. 18.37, б. Такой импульс называется дельта- функцией. Выражение ψ ψ d sin при х =a ψ sin можно преобразовать к виду (18.194) Поскольку подынтегральное выражение в формуле (18.191) для h3 на участке интегрирования (0, π /2) согласно рис. 18.37, д будет нулем везде, кроме одной точки 1 ψ ψ = , то эту формулу в данном примере можно переписать в виде (18.195) а из риса при a>b Окончательно получаем (18.196) Формула (18.191) для r 3 согласно рис. 18.37, г принимает вид откуда с учетом соотношений (18.195) находим (18.197) В частности, для идеальной релейной характеристики из формул (18.196) и (18.197), полагая b= 0, получим (18.198) Рассмотрим два примера, иллюстрирующих процесс отыскания высших гармоник при автоколебаниях, а также уточнения первой гармоники за счет учета высших. Пример 1. Исследуем следящую систему с нелинейностью типа насыщения, автоколебания в которой в первом приближении x=asinwt (уже были найдены ранее, в примере 1 § 18.3, в общем виде. Пусть теперь заданы параметры системы Они удовлетворяют соотношению (18.76). Следовательно, здесь имеет место случай, изображенный на рис. 18.14, б, причем согласно (18.79) ив сек, k min = 125 сек. Заданное значение k лежит между ними, что соответствует области наличия двух периодических режимов. Выведенные выше формулы первого приближения (18.70) и (18.71) при это дают для неустойчивого режима а = 2,29 б, w = 118,2 сек, а для устойчивого режима а =21,4 в, w=44,8 сек, причем а м = 7,08 в (в точке w м рис. 18.14, б. Наибольший интерес представляет первое (неустойчивое) периодическое решение. Оно указывает границу для начальных условий, вне которой переходный процесс в системе будет расходиться, стремясь к автоколебаниям сочень большой амплитудой а = 21,4 в, что практически можно считать неустойчивостью системы в большом. Поэтому уточнение решения с вычислением высших гармоник произведем только для первого периодического решения. Для данной нелинейности (риса) по формулам (18.191) находим выражения Из формул (18.192) и (18.68) получаем относительную амплитуду 3 δ и фазу третьей гармоники в виде Вычисление по этим формулам дает Для уточнения первой гармоники за счет только что вычисленной третьей гармоники находим согласно (18.190) добавки к коэффициентам гармонической линеаризации подставляя которые в (18.188) согласно (18.68) придем к уточненному характеристическому уравнению (18.200) где аналогично (18.66) имеем (18.201) Подставив в уравнение (18.200) р и мнимую части, получим два уравнения Эти уточненные уравнения отличаются от прежних уравнений первого-приближения несколькими добавочными членами, но способ решения их остается прежним. Из последнего уравнения находим (18.202). а из первого (18.203) Задаваясь разными значениями амплитуды a 1 и вычисляя каждый раз по формулам (18.201) — (18.203) значения аи, получим графики а) типа рис. 18.14, но уже для уточненного значения амплитуды a 1 первой гармоники периодического решения. Для заданного значения k = 140 это уточнение дает а 2,39 в, w 1 = 117,8 сек. Значения эти достаточно близки к величинам первого приближения, а подсчитанная выше амплитуда третьей гармоники достаточно мала. Пример 2. Пусть в системе автоматического регулирования используется двухфазный индукционный двигатель, описываемый нелинейным уравнением (18.119). В примере 7 § 18.3 найдены автоколебания для первого приближения в общем виде. Рассмотрим следующий числовой пример с двумя вариантами нелинейности а) слабая нелинейность б) сильная нелинейность Расчет по формулам первого приближения (18.126) и (18.128) дает автоколебания в виде x=a sinwt, где для варианта слабой нелинейности а для варианта сильной нелинейности Вычислим теперь высшие гармоники. Для учета второй и третьей гармоник воспользуемся формулой (18.178). Для рассматриваемой в настоящем примере нелинейности х, рх) коэффициенты r 2 и s 2 , подсчитанные по формулам (18.177), оказываются нулями. Поэтому остается только третья гармоника, для которой по формулам (18.177) для данной нелинейности с учетом обозначений (18.121) находим (18.204) Тогда по формулам (18.179) с учетом того, что согласно (18.124) находим относительную амплитуду и фазу третьей гармоники При указанных выше данных получаем для варианта слабой нелинейности а для сильной нелинейности После этого уточняется первая гармоника автоколебаний a 1 sinw 1 t. Для этого по формулам (18.183) находим величины добавок q ∆ и q ∆ ' к коэффициентам гармонической линеаризации Поэтому новое характеристическое уравнение для определения уточненной первой гармоники будет Подставляя p=jw 1 и выделяя вещественную и мнимую части, получим Эти уравнения решаются тем же методом, что и (18.125), а именно из второго уравнения получаем а из первого Эти уравнения приводят также к графику а (k) вида рис. 18.23, в. Для приведенных выше числовых значений параметров системы получаем следующие уточненные значения амплитуды и частоты автоколебаний для слабой нелинейности для сильной нелинейности Как видим, сильная нелинейность значительно снижает амплитуду автоколебаний (в линейной системе было бы а = ∞ ). Этот результат получался выше в решении по первому приближению и подтверждается теперь уточненным решением. § 18.6. Частотный метод определения автоколебаний Здесь, следуя Л. С. Гольдфарбу [32, 121], будем рассматривать простые нелинейности х2=F(х1), так как в других случаях получаются более сложные графические построения. Пусть в нелинейной системе автоматического регулирования выделено, как обычно, нелинейное звено (рис. 16.1). Разомкнем систему указанным на риса образом, причем уравнение нелинейного звена будет (18.205) а линейной части системы — (18.206) Замыкание системы соответствует замене (18.207) Подадим на вход нелинейного звена (риса) синусоидальные колебания (18.208) На выходе нелинейного звена получим согласно (18.205) вынужденные колебания (18.209) которые можно найти, например, как показано на рис. 18.38, били в. Разложим (18.209) вряд Фурье и сохраним только основную синусоиду (первую гармонику, отбросив все высшие гармоники. Очевидно, что это приближенное представление вынужденных колебаний эквивалентно гармонической линеаризации нелинейностей, рассмотренной в § 18.1. На основании этого для определения первой гармоники вынужденных колебаний величины х можно воспользоваться частотным аппаратом, который применялся ранее для линейных систем, следующим образом. Согласно формулам (18.9) приближенная передаточная функция нелинейного звена с уравнением х = х) будет и соответственно при наличии гистерезисной петли и при отсутствии ее. При этом выражения аи а) определяются формулами (18.10). Приближенный комплексный коэффициент усиления, или приближенная амплитудно- фазовая характеристика нелинейного звена с уравнением x2 =F(x1)> при наличии гистерезисной петли, следовательно, будет (18.210) а без гистерезисной петли — (18.211) Эта приближенная амплитудно-фазовая характеристика определяет амплитуду и фазу первой гармоники на выходе нелинейного звена (если на его вход подается синусоида, а именно выражение (18.210) можно представить в виде где (18.212) Следовательно, амплитуда первой гармоники на выходе будет а = аА н (а), а фазовый сдвиг — на, где а — амплитуда на входе нелинейного звена. В результате получим следующие вынужденные колебания на выходе нелинейного звена (первая гармоника Например, выходная величина x2 релейного звена с характеристикой риса меняется в процессе вынужденных колебаний по закону, изображенному сплошной ломаной линией на рис. 18.38, в. Пунктиром показана основная синусоида для нее, причем из (18.212) и (18.15) имеем Действительная ступенчатая кривая заменяется в данном случае синусоидой (первая гармоника, вершина которой совпадает с осью симметрии действительного прямоугольника (рис. 18.38, в. Для нелинейных звеньев с уравнением видах) без гистерезисной петли, как следует из § 18.1, |