Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем

• Название: 3 Примеры непрерывных автоматических систем
• Анкор: Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975.pdf
• Дата: 24.04.2017
• Размер: 25.93 Mb.
• Имя файла: Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П..pdf
• Тип: Документы; #2232
• страница: 55 из 57

G
при Комбинированное регулирование. В цифровых системах возможно использование комбинированного регулирования по задающему или возмущающему воздействиям. При выполнении заданных условий поточности комбинированное регулирование позволяет снизить требования к основному каналу.

Комбинированное регулирование особенно удобно применять в тех случаях, когда задающее воздействие вычисляется в управляющей ЦВМ. В этом случае на ЦВМ может быть также возложена задача вычисления производных этого воздействия, что позволяет просто реализовать схемы комбинированного регулирования, аналогичные рассмотренным в § 9.2. Подобное положение возникает, например, при слежении телескопов за планетами, при управлении по исчислимым координатами т. п. Структурная схема системы комбинированного регулирования для случая использования дополнительного канала с передаточной функцией Е (г) по задающему воздействию изображена на рис. 24.13.

Эквивалентная передаточная функция замкнутой системы с учетом дополнительного канала
(24.64)

где
)
(
)
(
)
(
0
z
W
z
D
z
W
=
— передаточная функция разомкнутой системы, э — эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы. Эквивалентная передаточная функция по ошибке
(24.65) Эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы
(24.66) Из формулы (24.65), если положить Ф
эx
(z) = 0, можно получить условие полной инвариантности
(24.67) Для большинства реальных систем степень числителя W
0
(z) оказывается меньше степени знаменателя на единицу. Поэтому степень полинома Е) будет на единицу больше степени полинома Е (z) и формула (24.67) может быть приведена к виду
(24.68) Слагаемое
pT
ce
cz
=
означает, что при формировании сигнала по каналу с передаточной функцией Е (г) необходимо использовать упрежденное на один такт значение задающего воздействия. Это связано с необходимостью применения прямых разностей, которые в дискретном плане должны здесь заменить процесс дифференцирования (см. § 15.1). При этом возможны следующие ситуации.
1. Если ЦВМ вычисляет значение задающей величины по некоторым заложенным в нее данными использует при этом прогнозирование (например при вычислении текущих координат небесных тел, спутников, ракет и др, то вычисление будущего значения интересующей величины может быть легко сделано со сдвигом на практически любое число тактов. В этом случае реализация формулы (24.68) в принципе возможна. Однако практические трудности в реализации слишком сложных алгоритмов и ограничения в элементах не дают возможности получить полную инвариантность.
2. Если ЦВМ вычисляет задающую величину не по принципу прогнозирования, а в результате обработки поступающей текущей информации, то точная реализация формулы
(24.68) оказывается невозможной. Тогда приходится ограничиться приближенной реализацией формулы (24.67) либо вводить в прямой канал дополнительное запаздывание на один такт. В первом случае условие полной инвариантности (24.67) нарушается, во втором — вводится постоянное временное запаздывание на один такт в обработку задающего воздействия, что также нарушает условие инвариантности. Таким образом, при использовании комбинированного регулирования приходится ориентироваться не на полную инвариантность, а на некоторое, во многих случаях весьма существенное, повышение точности. Поскольку точность систем регулирования определяется низкочастотной частью л. ах, а низкочастотная часть л. ах. дискретных систем практически сливается с л. ах. непрерывной части системы, то расчет дискретных систем комбинированного регулирования осуществляется аналогично непрерывному случаю [10]. Важнейшим следствием использования комбинированного регулирования является возможность снижения требований к ЦВМ в части ограничения периода дискретности. Это связано с понижением требований к каналу регулирования по отклонению при введении дополнительного канала с передаточной функцией Е. Пониженные требования к точности воспроизведения в канале регулирования по отклонению позволяют перейти к желаемым л. ах. с меньшим значением частоты среза.

Это дает возможность увеличить период дискретности Т при сохранении необходимого запаса устойчивости.
§ 24.4. Периодические режимы, обусловленные квантованием по уровню Более полная по сравнению с рис. 24.4 структурная схема системы регулирования с
ЦВМ изображена на рис. 24.14. Здесь добавлены преобразователи непрерывной величины в дискретную (Н — Д) и дискретной в непрерывную (ДН. Преобразователи представляют собой нелинейные элементы. В преобразователях Н — Д число разрядов обычно велико (10—20), В преобразователях ДН число разрядов бывает меньше и может даже составлять единицу. На рис. 24.15 изображены статические характеристики преобразователей. На риса показана статическая характеристика входного преобразователя для задающего воздействия. По оси абсцисс отложено непрерывное значение g, а по оси ординат — цифровое представление g. Величина единицы младшего разряда обозначена Коэффициент передачи для линеаризованной характеристики
(24.69), Число отличных от нуля уровней рассматриваемой характеристики, если а число двоичных разрядов (без учета знакового разряда, будет
(24.70) На рис. 24.15, б изображена статическая характеристика входного, преобразователя для регулируемой величины. Символом у обозначено, непрерывное ее значение, ау цифровое представление. Крутизна линеаризованной характеристики
(24.71), где
2
δ
— цена младшего разряда. Число отличных от нуля уровней характеристики, если а — число двоичных разрядов преобразователя, будет
(24.72) Обычно
2 1
2 1
,
k
k
=
=
δ
δ
и
2 Объединенная статическая характеристика входного преобразователя для канала ошибки показана на рис. 24.15, в. По оси абсцисс отложена ошибках у, а по оси ординат — ее цифровое представление х. Характеристика справедлива для случая, когда задающее воздействие g=m
1
δ
= const, где m— целое число, либо у = m
1
δ
= const. Первый случай рассматривается обычно при исследовании периодических режимов, вызванных квантованием по уровню. В общем случае статическая зависимость х = х) определяет область расположения характеристик, которая показана на рис. 24.15, г. Характеристика, изображенная на рис.
24.15, в, представляет собой, по сути, некоторую среднюю характеристику этой области.

На рис. 24.15, д изображена статическая характеристика выходного преобразователя. По оси абсцисс отложена выходная величина ЦВМ в виде цифры ха по оси ординат х выходная величина преобразователя ДН совместно с экстраполятором. Обычно эта величина представляет собой электрическое напряжение или ток. Единица младшего разряда для выходной величины х обозначена
δ . Крутизна линеаризованной характеристики будет здесь k =
δ
. Если D(z) = 1 или при
∞
→
z
(в установившемся режиме, то общий линеаризованный коэффициент передачи ЦВМ совместно с входными выходным преобразователями будет Для этого случая на рисе изображена результирующая статическая характеристика ЦВМ совместно с преобразователями в относительном (цифровом) виде, тех. Если число двоичных разрядов выходного преобразователя а, то общее число отличных от нуля уровней статической характеристики будет
(24.74) На рис. 24.16 изображены статические характеристики при аи для случая, когда максимальное значение выходной величины одно и тоже. Наличие рассмотренных нелинейностей в ЦВМ может вызвать периодические режимы в системе регулирования. В случае их устойчивости получаются автоколебания. Однако термин автоколебания здесь несколько условен, так как частота периодических режимов жестко связана с частотой выдачи данных ЦВМ.

При исследовании периодических режимов, вызванных квантованием по уровню
[137], можно воспользоваться методом гармонической линеаризации, изложенным в главе
18. Однако следует сделать предварительные замечания. Если D(z) = 1, то статические характеристики входного и выходного преобразователей могут быть объединены в одну рисе. Тогда получается система с одним нелинейным звеном, которая может быть исследована достаточно просто. Если D(z)
≠
1 в том смысле, что в ЦВМ вводится некоторая корректирующая программа (см. § 24.3), то получаются, вообще говоря, два нелинейных звена, разделенных линейными фильтрами. Исследование подобных систем оказывается более сложным. Однако при наличии корректирующей программы D(z)
≠
1 можно выделить частный случай, когда при поступлении на вход ЦВМ целого числах на выходе ее будет также неокругляемое целое число х. В этом случае выходная величина ЦВМ будет точно попадать на линеаризованную характеристику (рис. 24.15, д, что эквивалентно исчезновению влияния одной нелинейности в пределах отсутствия насыщения выходного преобразователя. Примером такой корректирующей программы ЦВМ может служить приведенная в табл. 24.2 передаточная функция Если Аи В — целые числа, а А - В == 1, то сформулированное выше условие будет выполняться. В дальнейшем изложении будет рассматриваться только случай, когда две нелинейности сводятся к одной, отнесенной ко входу ЦВМ. Рассмотрим условия существования периодических режимов в системе регулирования с ЦВМ. Согласно методу гармонической линеаризации приближенное уравнение периодического режима можно представить в виде
(24.75) где q* — коэффициент гармонической линеаризации нелинейного элемента входного устройства ЦВМ) по первой гармонике при учете квантования повременив нормированном (безразмерном) виде, W= DW° — дискретная частотная передаточная функция линейной части системы в разомкнутом состоянии. В уравнении (24.75) предполагается, что коэффициент передачи входного устройства присоединен к линейной части и рассматривается нелинейность единичного вида (см. рисе. В отличие от коэффициентов гармонической линеаризации непрерывных систем (см. главу 18), коэффициент q* зависит не только от амплитуды на входе нелинейного элемента a
1
, но и от фазы входного воздействия
1
ϕ
и частоты воздействия
T
wT
w
π
=
=
, где относительный полупериод. Таким образом, q* = q* (a
1
,
1
ϕ
, N). В результате уравнение периодического режима (24.75) приобретает вид или
(24.76) Частота периодического режима находится в целочисленном соотношении с частотой выдачи данных ЦВМ
T
/
2
π
. Таким образом, всевозможные частоты периодических режимов заранее известны.

Определение периодических режимов можно производить несколькими способами. Возможно совместное рассмотрение годографа дискретной частотной передаточной функции линейной части W(j
π
/N) и графиков — а,
1
ϕ
,N), что показано на рис. 24.17. Точка пересечения при
T
N
Ω
=
/
π
(для данного N) указывает амплитуду a
1
и фазу
1
ϕ
периодического режима. Можно пользоваться и обратными характеристиками. Возможно использование кривых Михайлова. Для этого целесообразно представить коэффициент гармонической линеаризации в виде
(24.77) Уравнение характеристической кривой будет
(24.78) Выделим в выражении (24.78) вещественную и мнимую части
(24.79) где коэффициенты X* и Y* зависят от аи. Условию существования периодических режимов соответствуют
(24.80) Поскольку возможные частоты периодических режимов находятся в целочисленном отношении с частотой выдачи данных ЦВМ, то уравнения (24.80) позволяют отыскивать амплитуду аи фазу Рассмотрим порядок определения коэффициентов гармонической линеаризации для нелинейной зависимости х = f(x
1
). Пусть ко входу нелинейного элемента с симметричной характеристикой приложено гармоническое воздействие, заданное своими дискретными значениями
(24.81) Тогда на его выходе получим сигнал
(24.82) где k = ±1, ±3, . . ., ±1, причем l= N, если N нечетно, и l = N — 1, если N четно. Коэффициенты этого тригонометрического полинома выражаются формулой Бесселя [114] (см. также § 15.2)
(24.83) Если N нечетно, то при k=N

(24.84) Далее, как это следует из метода гармонической линеаризации, нужно ограничиться в (24.82) учетом лишь первой гармоники, те. использовать гипотезу фильтра. Для системы регулирования с ЦВМ определение периодических режимов при N = 1 и N = 2 может быть произведено точно. Из (24.82) следует для N = 1
(24.85) где а cos
1
ϕ
) для N = 2
(24.86) Комплексная амплитуда При N>3 определим приближенное значение х, учитывая только первую гармонику
(24.87) Комплексная амплитуда Отношение х [n] к х [n] в комплексной форме дает выражение для коэффициента гармонической линеаризации
(24.88) Сложная зависимость коэффициентов гармонической линеаризации не только от амплитуды а, но и от сдвига фаза также относительного полупериода N приводит к значительной трудоемкости определения периодических режимов в системе регулирования с ЦВМ. Дополнительные осложнения возникают при попытке определить устойчивость периодических режимов. Однако при постановке задачи синтеза обычно не ставится вопрос об отыскании периодических режимов. Наоборот, может быть поставлена задача так синтезировать систему регулирования с ЦВМ, чтобы исключить возможность возникновения периодических режимов в согласованном положении системы регулирования при | x уст <0,5 1
δ
, где
1
δ
— цена младшего разряда входного преобразователя.

Рассмотрим, каким образом необходимо учитывать квантование по уровню, если синтез системы регулирования вести на базе типовых желаемых л. ах. При этом наибольший интерес представляет случай одноразрядного выходного преобразователя, которому соответствует максимальное отклонение характеристики преобразователя от линейной зависимости. Если ограничиться случаем невозможности возникновения периодических режимов рис. 24.17), то вместо годографа величины —Z* (а) необходимо построить огибающую области, где расположены всевозможные кривые — Z* при различных значениях N=const,
1
ϕ
=const и N=var. В результате построения можно показать [131], что запретной областью для годографа величины
)
(
N
j
W
π
с некоторым запасом является сектор (рис. 24.18) с углом раствора
N
π
γ
=
, вне зависимости от принятого числа разрядов рассматриваемой нелинейной характеристики. Периодические режимы в системе будут невозможны, если амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы, построенная по функции
)
(
N
j
W
π
на фиксированных относительных частотах w =
N
π (абсолютная частота w=
N
π ) не будет заходить в запретную область.

При достаточно больших значениях относительного полупериода Н, те. при малых частотах, q* (а,
1
ϕ
,N)
→
аи годограф нелинейной части стремится к годографу соответствующей нелинейности в непрерывной системе регулирования. Для отыскания условий невозможности появления периодических режимов в согласованном положении [131] обратимся к типовым л. ах. (рис. 24.10). Этилах. построены на рис. 24.19. Там же нанесены запретные области для фазовых характеристик аналогично тому, как это было сделано на рис. 8.30. Запретные зоны построены симметрично относительно фазового сдвига
ψ
= —180°. Высота запретных зон в угловой мере связана с частотой искомых периодических решений
nT
/
π
=
Ω
. При N = 1 высота запретной зоны равна 180°, при N = 2 равна 90°, при N = 3 равна 60° и т. д. Для исключения периодических режимов фазовая характеристика
ψ
(
λ ) на фиксированных частотах
(24.89) не должна заходить в запретные зоны, построенные для этого же значения N = const. Если фазовая характеристика на фиксированной частоте (24.89) будет находиться в запретной зоне, соответствующей тому же значению N, то возможно существование периодического режима с частотой Рассмотрим вначале л. ах. несимметричного вида (рис. 24.20), которой соответствует передаточная функция непрерывной части
(24.90) Соответствующая дискретная частотная передаточная функция имеет вид
(24.91) где
∑
=
=
∑
n
i
i
T
T
1
Сопоставление фазовой характеристики
)
(
λ
ψ
и запретных зон (рис. 24.20) показывает, что периодические режимы при рассматриваемых типах нелинейностей невозможны, если общий коэффициент усиления разомкнутой цепи с учетом коэффициента усиления нелинейной части выбран на основании формул (24.42) и (24.43);
(24.92)
(24.93) где М — допустимое значение показателя колебательности.

Получим теперь условие отсутствия периодических режимов для типовых л. ах, изображенных на рис. 24.19. Рассмотрим наиболее тяжелый случай системы с астатизмом второго порядка (рис. 24.19, в. Для доказательства определим условие, при котором фазовая характеристика не будет заходить в соответствующие запретные зоны на фиксированных частотах (24.89). Запишем это условие следующим образом
(24.94) где Формулу (24.94) можно представить в следующем виде Для частот, лежащих левее частоты среза (N= 3, 4, 5…), формулу (24.95) с достаточной точностью можно привести к виду
(24.96) или
(24.97) Учитывая, что N>3, и используя (24.21), получим из (24.97) простое условие отсутствия периодических режимов
(24.98) Последнее неравенство выполняется при М < 2. Рассмотрим теперь случаи N = 1 и N = 2. При N = 1 частота периодического режима
nT
/
π
=
Ω
, а абсолютная псевдочастота
∞
→
Ω
λ
. Однако на частоте
∞
→
λ
запретная область для фазовой характеристики отсутствует (рис. 24.19), что говорит о невозможности существования периодического режима. При N =2 частота периодического режима
nT
/
π
=
Ω
, а абсолютная псевдочастота
T
/
2
→
Ω
λ
. Запретная зона на частоте
T
/
2
=
λ
также отсутствует (рис. 24.19), что говорит о невозможности существования периодических режимов и на этой частоте. Фазовые характеристики для типовых л. ах. (риса и б) в области низких частот отстоят от запретной области дальше, чему рассмотренной вышел. ах, соответствующей астатизму второго порядка. Поэтому полученное выше условие невозможности появления периодических режимов будет справедливыми для л. ах. этих типов. Симметричные периодические режимы Несмотря на то, что в согласованном положении можно добиться отсутствия периодических режимов, в системах с ЦВМ периодические режимы, вызванные квантованием по уровню, будут существовать практически всегда. Это объясняется тем, что при наличии ненулевой установившейся ошибки начальная точка статической характеристики входного преобразователя смещается изначала координат в другую точку риса Если начало отсчета сместилось в точку 1, то это не дает отличия в получаемой характеристике от исходного случая равенства нулю входного и выходного сигналов. Если начало отсчета сместится в точку 2, то результирующая статическая характеристика будет иметь вид, изображенный на рис. 24.21, 6. Требуемое дробное значение выходной величины преобразователях может быть получено только в результате периодического переключения от уровня m+1 к уровню m и обратно. Это будет симметричный периодический режим, относительный полупериод которого может быть различным N = 1, 2, 3, ... Системы с ЦВМ стараются делать так, чтобы амплитуда симметричного периодического режима не превышала единицы младшего разряда [67]. Тогда в подобном режиме входная величина ЦВМ (сигнал ошибки) будет представлять собой периодическую решетчатую функцию, изображенную на рис. 24.22. Для этого случая нелинейная зависимость для входного преобразователя может быть записана в виде (см. рис. 24.21, б)
(24.99) где х — переменная составляющая ошибки, вызванная периодическим режимом, ах ее цифровое представление. Для определения коэффициента гармонической линеаризации необходимо положить
2 2
-
),
cos(
]
[
*
1 где. Далее, используя формулу (24.84) и для приведения к безразмерному виду вводя в соответствии с (24.69) нормирующий множитель
1 1
1
−
=
δ
k
, получим для случая N = 1 из (24.88)
(24.100)
Амплитудно-фазовые характеристики величины — Z* изображены на риса. Они представляют собой прямые, расположенные во втором и третьем квадрантах. Для случая N = 2 аналогичным образом можно получить
(24.101)

Амплитудно-фазовые характеристики представляют собой прямые линии, расположенные в секторе - 180° ± 45° (рис. 24.23, б. При N = 3 модуль 1
5 Характеристики расположены в секторе (рис. 24.23, в. Для N > 3
(24.102) причем характеристики расположены в секторе —180° ±N
-1 90° (рис. г. При
∞
→
N
, что соответствует непрерывному случаю, сектор расположения а. ф. х. стягивается в линию, совпадающую с отрицательной вещественной полуосью. Уравнение периодического режима имеет вид (24.76). Его можно решить графически (рис. 24.17) или аналитически. В последнем случае необходимо приравнять — Z* = W. В результате при наличии точки пересечения, как это показано, например, на риса, для N = 1 амплитуда ошибки или, что все равно, амплитуда регулируемой величины объекта (рис. 24.14)
(24.103) Под знаком модуля в (24.103) находится значение частотной передаточной функции при или при При колебаниях с относительным полупериодом N = 2, если имеется точка пересечения двух годографов, как, например, показано на рис. 24.24, б,
(24.104)

Аналогичным образом для колебаний при
1 1
>
= N
N
(24.105) где
(24.106) Следует заметить, что в системе обычно могут существовать симметричные периодические режимы с различными значениями полупериода N. При этом для каждого конкретного значения N периодический режим в случае управляемого объекта без самовыравнивания (астатического) оказывается нейтрально-устойчивым относительно среднего значения регулируемой величины. В результате этого ни один из симметричных периодических режимов с фиксированным значением N не может существовать длительное время. Медленные движения объекта, вызванные наличием возмущений, приводят к непрерывным переходам периодических режимов от одного значения N = N
1
к другому N = Из всех возможных периодических режимов обычно наиболее тяжелым для системы сточки зрения влияния ограниченной линейности канала является режим при N = Это связано стем, что при использовании дискретных корректирующих программ ЦВМ, те. при D(z)
≠
1, более вероятно применение алгоритмов, эквивалентных дифференцирующим контурам, которые вызывают подъем высоких частот. Выходная величина ЦВМ в режиме симметричных периодических колебаний может быть получена, если входную решетчатую функцию (рис. 24.22) пропустить через фильтр с передаточной функцией D(z). Это делается на основании формул (15.175), (15.178) и
(15.180), которые позволяют вычислить параметры периодического режима на выходе дискретного фильтра при известных параметрах периодического режима на входе. Покажем, как это делается для случая N = 1, когда число гармоник оказывается равным единице. В соответствии с (15.175) амплитуда сигнала на выходе ЦВМ (рис.
24.14)
(24.107) где хи цифровые представления входного и выходного сигналов ЦВМ. Пусть, например, в ЦВМ используется алгоритм (табл. 24.2) Тогда для режима, изображенного на рис. 24.22, при x мах = 0,5 имеем длят. е. амплитуда колебаний на выходе ЦВМ превышает амплитуду колебаний на входе враз. При N > 1 расчет должен быть произведен для каждой гармоники и найдена их сумма, либо использованы формулы (15.178) или (15.180). Покажем теперь, что в системах с типовыми л. ах. (рис. 24.10 и табл. 24.2) для симметричных периодических режимов амплитуда ошибки при N = 1 не превосходит половины цены младшего разряда входного преобразователя. Пусть на входе нелинейного элемента (рис. 24.21, б) действует сигнал ха. Запишем амплитуду входного сигнала в виде а = (m+
1
∆
)
δ
1
, где m — целое, а
1
∆
> 0 — дробное число. Начальная фаза пусть находится в пределах
(24.108) Если начальная фаза удовлетворяет последнему неравенству, тона выходе нелинейного элемента будет последовательность (24.85):

(24.109) Нормированный коэффициент гармонической линеаризации
(24.110) В точке пересечения двух годографов (риса) имеем —
)
(
*
)
(
*
∞
=
=
j
W
e
W
Z
j
π
. Так как
1
)
(
*
+
≤
∞
M
M
j
W
то получаем
(24.111) откуда
(24.112) Так как
1
∆
>0, то при M<2 из последнего равенства следует, что m= 0, а дробная часть относительной амплитуды колебаний
(24.113) Квазипериодические режимы. Если установившееся значение сигнала на выходе входного преобразователя должно соответствовать точке 3 на риса, тов системе будет существовать несимметричный периодический режим. Установившееся значение на выходе преобразователя можно представить в виде
(24.114) где m — целое число, а дробная часть, причем
2
/
1
и
1
*
0
≤
∆
≤
x
Так как на самом делена выходе может существовать сигналили, то требуемое значение х получается как среднее значение в периодическом режиме. Как среднее в колебательном режиме получается и значение дробной части
(24.115) где N
1
— число тактов, когда на выходе существует величина m+ 1, N
2
— число тактов, когда на выходе существует величина та число тактов полного периода колебаний. Из (24.115), учитывая, что N
1
+ N
2
= 2N, можно найти следующую зависимость
(24.116) Знак модуля введен в (24.116) для обобщения на случай произвольного знака
∆ . Вместо N в формуле (24.116) записан средний полупериод р последующим соображениям. Числа N
1
, N
2
и N могут быть в каждом реальном цикле колебаний только целыми, а
∆ — произвольное число. Поэтому зависимость (24.115) может, как правило, кроме специально подобранных значений
∆ , выполняться только в среднем. Так, например, для случая, когда N
1
= 1, некоторые подобные режимы изображены на рис.
24.25.

В формулах (24.115) и (24.116) числа N
1
, N
2
и N могут быть целыми, вообще говоря, для любых значений
∆ , если поди понимать число тактов неводном цикле колебаний, а в течение многих циклов. Однако при этом все эти числа могут стремиться к бесконечности или во всяком случае быть очень большими. Период колебаний То = Т в этом случае не соответствует реально наблюдаемым колебаниям в системе, у которых будет существовать некоторая преобладающая гармоника. Целью введения усредненного периода и является выявление частоты преобладающей гармоники. Средний полупериод N
ср может быть как целым, таки дробным числом. Средние значения чисел N
1
и N
2
могут быть также целыми и дробными. Такой режим движения будем называть квазипериодическим. Проблема расчета квазипериодических режимов является весьма сложной. Поэтому ограничимся распространенным случаем, когда N
1
= 1 не в среднем, а в течение всего режима. Тогда формулы (24.115) и (24.116) приобретают вид
(24.117)
(24.118) Рассмотрим вначале случай, когда N
ср
= N — целое число. Для дробных частей хи х по-прежнему имеют место зависимости вида (24.81) и (24.82), а также рис. 24.21, б. Однако комплексное значение амплитуды первой гармоники b
1
на выходе входного преобразователя определяется при N>1 более общим выражением
(24.119) Это выражение можно упростить, если учесть, что
)
2
/
1
(
и
0
при
2
/
1 1
1
∆
−
−
=
=
∆
+
=
f
f
υ
при всех остальных значениях
υ
. Тогда
(24.120) так как сумма членов вида
υ
π
N
j
e
−
к при
υ = 0, 1, ..., 2N—1 равна нулю. Из (24.120) получается нормированный коэффициент гармонической линеаризации

(24.121) Расчет параметров периодического режима, когда N
ср
= N — целое число, не представляет труда. По значению ошибки в установившемся режима определяется относительный полупериод колебаний N (24.118) из (24.76) находится амплитуда колебаний на выходе системы
(24.122) где
N
λ
определяется формулой (24.106). На рис. 24.26 показано графическое построение для N = 2. Если N
ср представляет собой дробное число, то колебания носят квазипериодический характер. Их приближенный расчет может быть сделан следующими методами.
1) Введем предположение, что при переходе от одного периодического режима с целым значением N = N
0
к другому с новым целым значением N = N
0
+ 1 амплитуда первой гармоники и частота усредненного периодического режима изменяются непрерывно и плавно. В части частоты колебаний это полностью подтверждается формулой (24.116). Тогда для расчета амплитуды первой гармоники колебаний можно воспользоваться тем же графическим построением (рис. 24.26) и формулами (24.116) и
(24.122) при замене в последней N на N
ср и w на w
0 2) Второй метод заключается в том, что для усредненного значениях, изображенного на риса с учетом действия экстраполятора (пунктирная линия, находится обычными приемами разложения вряд Фурье амплитуда первой гармоники
(24.123) Далее может быть определена амплитуда колебаний на выходе системы пересчетом сна вход (умножением на
1
δ
) и умножением на модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы
(24.124) Здесь
(24.125)
— круговая частота и псевдочастота периодического режима (частота преобладающей гармоники.

3) Возможно использование способа расчета, когда рассматривается некоторый дополнительный усредненный режим движения у (t) на выходе непрерывной части (рис.
24.27, б, полученный припасовыванием на интервалах времени 0 - Т и Т - Т = Т. Далее в случае необходимости можно выделить в этом режиме первую гармонику. В отличие от предыдущих двух методов, здесь расчет может производиться ив тех случаях, когда время существования на выходе экстраполятора сигнала (m + 1)
1
δ
не подчиняется условию N
1
= 1, а может содержать произвольное число тактов. Пример Пусть передаточная функция непрерывной части
(24.126) Дискретная частотная передаточная функция разомкнутой системы
(24.127) где k = k
0
k ц
— общий коэффициент усиления разомкнутой цепи с присоединенным коэффициентом передачи ЦВМ (24.73). Режим симметричных колебаний при х = 0,5
δ
построен на риса. Амплитуда может быть найдена методом припасовывания:
(24.128) Так как из условий устойчивости КТ <2, то A<0,5
δ . Относительный полупериод
N=1. Первая гармоника этого колебательного режима имеет амплитуду
(24.129) Первая гармоника может быть также найдена из (24.103) для w
0
T =
π
и
∞
→
λ
:
(24.130) что близко совпадает с (24.129). Рассмотрим теперь несимметричные колебания. Зависимость N
ср от установившегося значения ошибки х в соответствии си) представлена на рис. 24.29. Точками отмечены целочисленные значения N
ср

Воспользуемся первым изложенным методом. В соответствии с (24.122)
(24.131) При с формула (24.131) дает
(24.132) При использовании второго метода в соответствии с (24.124)
(24.133) При N >2 формула (24.133) переходит в (24.132). Для того чтобы воспользоваться третьим методом, рассмотрим средний цикл колебаний. Он построен методом припасовывания для выходной величины на рис, б. Амплитуда колебаний
(24.134) Амплитуда первой гармоники при разложении вряд Фурье
(24.135) полностью совпадает со значением (24.131). Все полученные выражения для амплитуды первой гармоники показывают сравнительное постоянство ее для различных значений N
cp

ГЛАВА 25 АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 25.1. Системы экстремального регулирования Системами экстремального регулирования называются системы, в которых задающие воздействия, те. заданные значения регулируемых величин, определяются автоматически в соответствии с экстремумом (максимумом или минимумом) некоторой функции F(y
1
, y
2
, y
3
, . . ., у n
). Эта функция зависит не только от регулируемых величину, у n
, но и от неконтролируемых параметров системы и времени г. Поэтому она не является постоянной и заранее известной. Однако изменение функции F и смещение экстремальных значений регулируемых величин уг = э, y
2
= э, . . ., у = у э протекает относительно медленно. Условием экстремума дифференцируемой функции нескольких переменных F(y
1
, y
2
, . . ., y
n
) является равенство нулю в точке экстремума частных производных этой функции
(25.1) Градиентом функции F называется векторная величина
(25.2) где К, . . ., К — единичные векторы осей, по которым отсчитываются величины y1, ...,y n В точке экстремума градиент равен нулю grad F=0 (25.3) Задача поиска экстремума разбивается на две
1) определение градиента
2) организация движения в точке экстремума. Для решения, как первой, таки второй задачи предложено много способов. Ниже будут рассмотрены только простейшие из них [61]. Обратимся сначала к задаче определения градиента. Способ синхронного детектирования. Способ основан на том, что к основным медленно меняющимся величинам y
1
, . . ., у n
добавляются малые гармонические (в общем случае периодические) составляющие
(25.4) Величина F(y
1
, . . ., у n
) поступает на синхронные детекторы (рису которых в качестве опорных величин используются те же переменные составляющие (25.4). Идеальные синхронные детекторы умножают величину F на переключающую функцию, представляющую собой прямоугольную волну с периодом Т 2
π /w i
(i = 1, 2, . . ., n) и высотой единица. Переключающая функция приближенно может быть заменена синусоидой частоты w i
с единичной амплитудой. Поэтому средние значения выходных величин синхронных детекторов u
1
,…,u n
могут быть приближенно представлены в виде sin
,...,
sin
,
sin
2 2
1 1
t
w
F
u
t
w
F
u
t
w
F
u
n
n
=
=
=

В квазистационарном режиме, когда составляющие
0 1
y меняются медленно по сравнению с поисковым движением А sin w
i
t, величины u
1
, . . ., u n
с точностью до малых высших порядков пропорциональны соответствующим частным производным
n
dy
dF
dy
dF
,...,
1
в точке
,...,
,
0 0
2 2
0 и, следовательно, определяют grad F в этой точке. Для доказательства этого разложим функцию F в окрестностях точки
0 0
1
,...,
n
y
y
в степенной ряд
(25.5) В последнем выражении значения частных производных соответствуют точке
0 0
1
,...,
n
y
y
, а
t
w
A
t
w
A
y
n
n
sin
,...,
sin
1 1
0 Выходные величины синхронных детекторов можно представить в виде
(25.6) Если величины
0 0
1
,...,
n
y
y
постоянны или меняются настолько медленно, что их изменениями за небольшой период можно пренебречь, то, учитывая очевидные равенства
(25.7) выражение (25,6) можно свести к виду
(25,8) Погрешность метода определяется членом
q
u
∆ , которому соответствует выражение
(25.9) Величина
q
u
∆ по отношению к амплитудам А, . . ., Ат имеет порядок малости не ниже третьего, а по сравнению сне ниже второго. Если частоты выбраны по закону нечетных чисел
0
)
1 2
(
w
i
w
i
+
=
, где
const
w
=
0
то удовлетворяются условия и Тогда
(25.10) и величина
q
u
∆ имеет порядок малости не ниже четвертого.

Таким образом, выходные величины синхронных детекторов с достаточной степенью точности можно считать пропорциональными составляющим градиента А в точке
0 0
1
,...,
n
y
y
;
(25.11) Способ производной повремени. Производная повремени функции F(y
1
.... у n
) определяется выражением
(25.12) Отсюда следует, что, задавая поочередно скорости изменения
n
y
y ,...,
1
и измеряя производную повремени, можно найти составляющие градиента (25.3). Некоторым недостатком этого метода является необходимость дифференцирования функции F повремени, что сопровождается поднятием уровня высокочастотных помех. Способ запоминания экстремума Этот способ заключается в том, что система совершает вынужденное или автоколебательное движение в районе экстремума. При достижении экстремального значения F= э оно фиксируется на запоминающем устройстве. Градиент функции определяется затем по разности текущего и экстремального значений F— F
э
Обратимся теперь к организации движения по направлению к экстремуму. Рассмотрим несколько возможных способов. Способ Гаусса — Зайделя
. Способ заключается в поочередном изменении координат
n
y
y ,...,
1
. Сначала фиксируются все координаты
n
y
y ,...,
2
, а координата у изменяется так, чтобы обратилась в нуль соответствующая составляющая градиента. Затем изменяется координата y
2
при фиксированных остальных координатах до обращения в нуль и т. д. После изменения координаты у n
обращаются опять к y
1
и далее повторяют весь цикл снова. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не будет достигнута точка экстремума
F
э
Этот способ не обеспечивает быстрейшего достижения точки экстремума вследствие того, что координаты изменяются не все сразу, а поочередно. Способ градиента. В этом способе осуществляется одновременное изменение всех координат так, чтобы обеспечить движение системы в направлении, близком к мгновенному направлению вектора градиента (непрерывно или дискретно. В простейшем случае непрерывного безынерционного управления для этого должны реализовываться зависимости
(25.13) где k — некоторый коэффициент пропорциональности. Заметим, что для получения правильного направления движения должно быть k>0 для случая экстремума-максимума и k< 0 для экстремума-минимума. Траектория движения изображающей точки у, . . ., у n
в этом случае оказывается нормальной к поверхности у, . . .,y n
) = const. Уравнения (25.13) соответствуют устойчивому движению экстремальной системы, так как из (25.12) следует
(25.14)

Следовательно, производная функции F повремени сохраняет свой знак (больше нуля при k >0 и меньше нуля при k<0) повсюду, кроме точки экстремума, где эта производная обращается в нуль, что соответствует монотонному сходящемуся процессу. При шаговом движении реализуются зависимости
(25.15) где
1
y
∆
, . . .,
n
y
∆ — фиксированные шаги в направлении экстремума. Для способа градиента характерно плавное движение по направлению к точке экстремума и малый размах колебаний около точки экстремума при шаговом движении. Способ наискорейшего спуска. При способе наискорейшего спуска движение происходит по начальному направлению вектора градиента F до тех пор, пока производная функции F поэтому направлению не обратится в нуль. Затем опять определяется направление градиента и происходит движение вдоль этого вектора до обращения в нуль производной от F поэтому направлению. Процесс повторяется до достижения точки экстремума. Этот способ характеризуется быстрым выходом системы в район экстремума, что делает его предпочтительным для начальной стадии движения. В районе экстремума можно использовать другие способы, например способ градиента. На рис. 25.2 для случая двух регулируемых величин, что соответствует F= у, у, изображены траектории движения для рассмотренных выше способов поиска экстремума
[61]. Кривая 1 соответствует способу Гаусса — Зайделя, кривая 2 — способу градиента и кривая 3 — способу наискорейшего спуска. Рассмотрим теперь пример экстремальной системы для наиболее простого случая, когда
F= у. Пример На рис. 25.3 изображена схема экстремального регулирования настройки колебательного контура. Полезный сигнал с частотой f поступает на параллельный резонансный контур, состоящий из катушки L и конденсаторов переменной емкости Си С. Конденсатор С имеет сравнительно небольшую емкость. Ротор его вращается двигателем Д с постоянной скоростью, вызывая периодические изменения общей емкости контура, которая является регулируемой величиной. Общая емкость колебательного контура
t
w
A
C
C
C
C
C
1 20 1
2 1
sin
+
+
=
+
=

где С — постоянная составляющая емкости конденсатора С, а w - угловая скорость вращения его ротора. Частота w выбирается так, чтобы она была во много раз меньше частоты полезного сигнала w = 2
f
π
и больше возможной частоты процесса регулирования. Двигатель Д синхронно с вращением ротора конденсатора Сдает опорную величину в синхронный детектор СД, например, в виде опорного напряжения той же частоты от генератора ГОН. Переменное напряжение на колебательном контуре после выпрямления и сглаживания фильтром Ф поступает на вход синхронного детектора. На выходе синхронного детектора формируется сигнал, пропорциональный производной от амплитуды напряжения контура по емкости
dC
dU
m
. Этот сигнал после сглаживания фильтром Ф поступает далее на усилитель и двигатель Д. Последний будет вращать ротор конденсатора Ст. е. изменять регулируемую величину и производить подстройку контура до тех пор, пока производная
dC
dU
m
не станет равной нулю. Всякое изменение частоты сигнала f будет вызывать автоматическую подстройку на максимум напряжения на контуре. В этой системе поиски экстремума по способам Гаусса — Зайделя, градиента и наискорейшего спуска сливаются в один вследствие наличия только одной регулируемой величины (емкости контура. Нетрудно видеть, что в рассмотренной экстремальной системе получается своеобразная следящая система, ошибкой в которой является производная
dC
dU
m
. В соответствии с этим структурная схема этой экстремальной системы может быть сведена к структурной схеме следящей системы (рис. 25.4). Входной величиной является значение емкости С
э
, соответствующее экстремуму. Это значение связано с частотой полезного сигнала сои индуктивностью приближенным соотношением (при пренебрежении влиянием активных сопротивлений) В контур структурной схемы входят апериодические звенья, соответствующие фильтрам Фи Фи интегрирующее звено с замедлением (двигатель Д. Результирующая передаточная функция разомкнутой системы где Т — электромеханическая постоянная времени двигателя, Тж Т — постоянные времени фильтров. На рис. 25.4 показано также воздействие а от неподавленной переменной составляющей на выходе синхронного детектора и воздействие э , представляющее собой помеху во входном сигнале. Как следует из рис. 25.4, исследование динамики рассматриваемой экстремальной системы сводится к исследованию следящей системы. Поэтому здесь применимы все методы, используемые в непрерывных автоматических системах. Помимо обычных показателей качества для экстремальных систем используется еще одна характеристика — потери на поиск. В установившемся режиме регулируемая величина колеблется около значения,

соответствующего экстремуму функции у. Вследствие этого среднее значение этой функции отличается от экстремального. Среднее значение разности F— э, обусловленное колебаниями поискав установившемся режиме работы системы, называется потерями на поиск. Поскольку в точке экстремума первая производная
0
=
dy
dF
, то разность между (текущими экстремальным значениями функции у) можно представить в виде степенного ряда
(25.16) Здесь частные производные соответствуют точке экстремума, а
y
∆ — отклонение от этой точки. Если в (25.16) можно ограничиться только первым членом ряда, те. использовать квадратичную форму, то потери на поиск можно представить в виде
(25.17) где
2
y
∆ — средний квадрат отклонения регулируемой величины от значения y э, соответствующего экстремуму. При гармоническом поиске с амплитудой А средний квадрат
2 2
1 В общем случае наличия нескольких переменных F(y
1
,…,y n
), на поиск определяются суммой
(25.18) Рассмотрим исследование динамики экстремальной системы при F = F(y
1
, . . ., y n
) для случая поиска экстремума по способу градиента. Структурная схема для этого случая изображена на рис. 25.5. Вместо (25.13) здесь будут иметь место более сложные зависимости
(25.19) или, вином виде,
(25.20) где р) — передаточная функция, одинаковая для всех каналов. Для малых отклонений от точки экстремума разность F— э может быть представлена в виде квадратичной формы
(25.21) где

(25.22) В мерном пространстве координат (
1
y
∆
, . . . ,
n
y
∆ ) поверхность
(25.23) для экстремума-минимума представляет собой эллипсоид, называемый определяющим эллипсоидом. Поверхность
(25.24) соответствует определяющему эллипсоиду экстремума-максимума. В теории квадратичных форм показывается, что для малых отклонений уравнения (25.20) могут быть записаны в виде
(25.25) где с i
— полуоси определяющего эллипсоида. Знак плюс соответствует минимуму и знак минус — максимуму. Из (25.25) получаются характеристические уравнения для каналов
(25.26) Здесь знак введен в передаточную функцию р, которая должна быть положительной для экстремума-максимума. Таким образом, исследование динамики при F = у, . . ., у n
) сводится к анализу n изолированных каналов, которым соответствуют характеристические уравнения (25.26). Рассмотрим теперь систему с шаговым поиском. На рис. 25.6 изображена схема шагового поиска максимального значения функции у. В регулируемом объекте эта функция должна превращаться в напряжение постоянного тока u у по линейной или иной зависимости. Схема осуществляет поиск максимального значения u Изменение регулируемой величины у осуществляется серводвигателем Д. Работа всей схемы происходит при помощи управления от временного программного устройства, которое в определенной последовательности замыкает свои контакты. Эти контакты пронумерованы цифрами, помещенными рядом. В соответствии с последовательной работой программного устройства рассмотрим работу схемы. е положение. Замыкается контакт 1, который на короткое время включает конденсатор С. Конденсатор заряжается до значения напряжения u у. Далее при размыкании контакта 1 это напряжение запоминается на конденсаторе. К нему подключен усилитель с большим входным сопротивлением и коэффициентом усиления, равным единице. Выходное напряжение усилителя будет равно запомненному на конденсаторе напряжению u у

е положение. Замыкаются контакты 2. Один из них включает на короткое время силовое реле СР, которое подводит напряжение к реверсируемому серводвигателю Д. В результате регулируемая величина изменится на определенное значение
y
∆ , те. система сделает один шаг. Второй контакт 2 также на короткое время подключает к напряжению источника постоянного тока обмотку поляризованного реле РП1. Это делается для того, чтобы поляризованное реле запомнило направление шага. Вначале работы схемы положение поляризованного реле РП2 может быть произвольным. Поэтому трехпозиционное силовое реле может включаться в произвольную сторону, и шаг для поиска экстремума делается также в произвольную сторону. е положение Замыкается на короткое время контакт 3, который включает обмотку реле
РП2 на разность напряжений u удои после шага. Если напряжение u у увеличилось после шага, реле РП2 остается включенным в прежнем положении. Если это напряжение уменьшилось, реле РП2 переключится в другое положение и подготовит включение силового реле в следующем цикле в другую сторону. Это остается справедливыми в том случае, когда контакт реле РП2 включен не наверх, как показано на риса вниз. е положение. На короткое время замыкается контакт 4, который замыкает конденсатор Си стирает записанное (запомненное) на нем напряжение u у. Тем самым схема подготавливается для следующего цикла работы, который протекает аналогично. На рис. 25.7 изображена структурная схема рассмотренной экстремальной системы. Значение регулируемой величины, соответствующее точке экстремума, обозначено у эВ схему введен импульсный элемент ИЭ, соответствующий шаговому характеру работы схемы, и нелинейный элемент НЭ. Наличие нелинейного элемента вызвано тем обстоятельством, что величина шага системы постоянна и меняется только направление самого шага. Это и обеспечивается нелинейным элементом с идеальной релейной характеристикой. Серводвигатель совместно с регулирующим органом, изменяющим значение регулируемой величины, представлен в виде некоторой непрерывной части W (р- Непрерывным звеном является также сам объект регулирования р. Процессы в данной экстремальной системе могут изучаться при помощи моделирования структурной схемы (рис. 25.6). Могут использоваться также аналитические методы исследования нелинейных импульсных систем. Как следует из структурной схемы, в системе весьма вероятны автоколебания около точки экстремума. Это объясняется тем, что звено с идеальной релейной характеристикой при малых входных сигналах имеет коэффициент передачи, стремящийся к бесконечности. Поэтому и этой схеме будут присущи потери на поиск в соответствии с формулой (25.17).
§ 25.2. Самонастраивающиеся системы Самонастраивающиеся системы регулирования должны обеспечивать необходимое качество процессов регулирования при изменении свойств объекта регулирования и элементов регулятора, а также при изменении характеристик возмущающих сил. Различают самонастраивающиеся системы следующих разновидностей
1) самонастраивающиеся системы с разомкнутыми цепями самонастройки,
2) самонастраивающиеся системы с замкнутыми цепями самонастройки,
3) самонастраивающиеся системы с экстремальной, самонастройкой.

Системы с разомкнутыми цепями самонастройки. Эти системы используются в практике уже сравнительно большое время. Структурная схема подобной системы изображена на рис. 25.8. Здесь W
1
и W
2
обозначают передаточные функции части системы. Пусть W
2
— передаточная функция объекта и регулятора, а W
1
— передаточная функция некоторого звена, которое будем называть корректирующим устройством. Под влиянием внешних возмущений f
1
, . . ., f n
происходит изменение передаточной функции Для компенсации изменений эти же возмущения подводятся к корректирующему устройству с целью изменения его передаточной функции Передаточная функция замкнутой системы
(25.27) Очевидно, что для получения постоянства (25.27) необходимо выполнить условие
W
1
W
2
=const. Поэтому передаточная функция корректирующего устройства должна меняться по зависимости
(25.28) где W
10
и W
20
— передаточные функции для некоторого начального состояния системы. Выполнение условия (25.28) сопряжено со значительными трудностями вследствие того, что нельзя точно и полностью учесть всевозможные воздействия на объект регулирования. Кроме того, точная реализация зависимости (25.28) во многих случаях затруднительна вследствие технических трудностей. Поэтому во многих случаях реализуется приближенное выполнение этого условия. В качестве примера рассмотрим систему автоматического построения вектора по двум составляющим (рис. 25.9). На статорные обмотки синусно-косинусного вращающегося трансформатора СКВТ поступают напряжения переменного токах и u у, действующие значения которых пропорциональны проекциям вектора на оси хи у. В СКВТ образуется переменный магнитный поток, амплитуда которого пропорциональна модулю вектора
2 2
1 Фа ось его составляет с осью обмотки, на которую поступает напряжение и x
, угол
u
u
arctg
u
u
arctg
x
y
=
=
ψ
. Следящая система поворачивает ротор СКВТ до тех пор, пока напряжение на сигнальной обмотке ротора, включенной на вход усилителя, не станет равным нулю, точнее, минимальным. Тогда ось сигнальной обмотки будет перпендикулярна оси потока статора. Ось второй (квадратурной) обмотки

ротора будет совпадать с осью потока. На второй обмотке будет напряжение, действующее значение которого пропорционально модулю искомого вектора где w
1
и w
2
— числа витков статорных и роторных обмоток. Угол между осью квадратурной обмотки ротора и осью обмотки статора, на которую подается напряжение u х, является аргументом
ψ
вектора, который строится. При построении вектора следящая система работает в различных условиях в зависимости от величины модуля строящегося вектора. Это объясняется тем, что крутизна чувствительного элемента, которым является сигнальная обмотка СКВТ, зависит от амплитуды магнитного потока Ф
mах те. от модуля вектора. Эта крутизна может быть определена из известного для СКВТ выражения для напряжения сигнальной обмотки где
ψ
∆ — рассогласование между сигнальной обмоткой и осью, перпендикулярной потоку статор. Для малых углов получаем крутизну чувствительного элемента При малых модулях строящегося вектора напряжение u
2
мало и мала крутизна чувствительного элемента. Поэтому построение будет производиться с большой ошибкой. При больших модулях вследствие увеличения крутизны чувствительного элемента может быть нарушена устойчивость следящей системы. В связи с этим в схему построения вектора (рис. 25.9) вводится специальное корректирующее устройство, осуществляющее автоматическое регулирование коэффициента усиления одного из каскадов усилителя АРУ. Работа схемы АРУ происходит в функции модуля строящегося вектора. Для этой цели может использоваться напряжение u
2
квадратурной обмотки ротора СКВТ. АРУ осуществляется обычно на каком-либо нелинейном элементе (полупроводниковом диоде, ламповом или полупроводниковом триоде, пентоде, дросселе насыщения и т. д. АРУ должно работать так, чтобы при увеличении напряжения u
2
и соответственно при увеличении крутизны чувствительного элемента k чэ коэффициент усиления усилителя k у
уменьшался по гиперболической зависимости. Тогда их произведение будет оставаться постоянным (k
ЧЭ
k
У
= const), что обеспечит работу следящей системы при постоянном коэффициенте усиления разомкнутой цепи. Системы с замкнутыми цепями самонастройки. Рассмотрим два принципа построения систем с замкнутыми цепями самонастройки. На рис. 25.10 изображена схема системы со стабилизацией качества процесса регулирования посредством связей с эталонным фильтром. W
1
и W
2
представляют собой передаточные функции двух звеньев системы. Внешние условия воздействуют на передаточную функцию W. В качестве эталона используется некоторое звено (фильтр, передаточная функция которого Ф равна желаемой передаточной функции замкнутой системы. Выходная величина у системы регулирования, сравнивается с выходной

величиной y о эталона. Разность этих величин после прохождения усилителя с коэффициентом усиления k поступает на вход второго звена. Результирующая передаточная функция замкнутой системы с дополнительной связью от эталонного фильтра будет
(25.29) Если коэффициент усиления усилителя k велик, то можно положить Ф
≈ Ф. Таким образом, при изменении внешних условий передаточная функция замкнутой системы оказывается близкой к эталонной. Такие системы обладают сравнительно низкими качествами вследствие невозможности практически реализовать значительное увеличение коэффициента усиления k из-за потери устойчивости. Поэтому большее практическое значение имеет другая схема самонастройки, изображенная на рис. 25.11. Эта схема содержит вычислительное устройство дискретного или непрерывного типа, которое определяет отклонение характеристик замкнутой системы от желаемых или эталонных ив соответствии с имеющимся отклонением воздействует на различные параметры корректирующего устройства с передаточной функцией Один из возможных путей заключается в определении вычислительным устройством частотных характеристик системы. Для этой целина вход системы подаются малые колебания некоторых фиксированных частот, для которых определяется частотная передаточная функция системы. В некоторых случаях нет нужды специально подавать на вход колебания фиксированных частот, так как они могут присутствовать во входном сигнале. Задача тогда будет заключаться только в выделении этих колебаний из выходной величины посредством узкополосных фильтров. После нахождения частотной передаточной функции системы вычислительное устройство определяет требуемые значения параметров корректирующего устройства и посредством исполнительных устройств устанавливает эти значения параметров. В результате характеристики замкнутой системы будут непрерывно корректироваться так, чтобы реализовать приближение их к желаемому виду. Возможно также определение переходной или весовой функции системы при подаче на вход ступенчатого или импульсного воздействия и реализация воздействия на корректирующее устройство при наличии отклонения от желаемого вида переходного процесса. Основной трудностью здесь является недопустимость подачи на вход значительных пробных воздействий, так как они могут нарушать основной процесс регулирования. Подача же малых пробных воздействий затрудняет выделение получающейся реакции на фоне помехи шумов. Для контроля динамических характеристик возможно применение статистических методов. Пусть на входе системы действует случайный сигнал g(t), вызывающий на ее выходе реакцию у. Тогда взаимная корреляционная функция для этих двух функций времени может быть определена по выражению
(25.30) где w(t) — функция веса системы. Если при помощи корреляторов определить корреляционные функции
)
(
τ
g
R
и
)
(
τ
gy
R
, то решение интегрального уравнения (25.30) дает весовую функцию. Эта задача возлагается на вычислительное устройство (рис. 25.11). Указанный метод наиболее прост, когда в пределах полосы пропускания системы g(t) имеет белый спектр. Тогда

При статистическом методе определения весовой функции возможно использование имеющихся во входном сигнале шумовых помех в качестве пробных сигналов, что является достоинством этого метода. Кроме обычных критериев качества, самонастраивающиеся системы характеризуются временем и точностью самонастройки. Так как объект регулирования в самонастраивающейся системе, как правило, имеет переменные параметры, то определение динамических свойств системы повременным или частотным характеристикам должно производиться возможно более быстро, чтобы можно было выявить свойства объекта в. текущий момент времени. С другой стороны, все указанные выше методы требуют некоторого конечного времени, определяемого необходимостью накопления сигналов на фоне шумов. Так, например, при корреляционном методе время самонастройки обычно значительно превышает время переходного процесса, определяемое по затуханию весовой функции (25.30). На рис. 25.12 в качестве примера изображена схема самонастраивающейся системы с определением амплитудных частотных характеристик. Работа схемы происходит следующим образом. На вход системы поступает пробный сигнал, содержащий фиксированные частоты w
1
. . ., w q
. Эти частоты на входе и выходе системы выделяются узкополосными фильтрами Фа затем в делительных устройствах Д происходит деление выходной амплитуды на входную. Это дает фиксированные точки амплитудной частотной характеристики (или л. ах) на пробных частотах w
1
, . . ., w q
. В случае отклонения частотной характеристики от заданного значения сигнал с выхода делительного устройства поступает через усилитель на исполнительный элемент, представляющий собой интегратор, который воздействует на корректирующее устройство с целью восстановления требуемого значения модуля частотной передаточной функции на данной частоте. Нетрудно видеть, что процесс самонастройки в этой системе в некотором роде подобен автоматическому синтезу системы регулирования по ее частотным характеристикам. Число дискретных частот пробного сигнала определяется сложностью регулируемого объекта. Оно совпадает с числом опорных точек логарифмической амплитудной характеристики, которое надо иметь, чтобы осуществить синтез системы по методу л. ах. Таким образом, самонастраивающиеся системы этого типа (рис. 25.11) представляют собой, по существу, устройства автоматического синтеза систем регулирования по заданным качественным показателям. Системы с экстремальной самонастройкой. Эти системы отличаются от рассмотренных выше систем с замкнутыми цепями самонастройки тем, что в них автоматически осуществляется оптимальный синтез системы автоматического регулирования. Структурная схема в этом случае совпадает со схемой, изображенной на рис. 25.11. Для реализации оптимального синтеза в основу работы вычислительного устройства должен быть положен некоторый критерий оптимальности. При расчете систем

автоматического регулирования часто используется критерий минимума среднеквадратичной ошибки, когда минимизируется средний квадрат ошибки
(25.31) Очевидно, что реализовать эту оценку для самонастраивающейся системы затруднительно. Это связано, во-первых, стем, что необходимо вычисление интеграла
(25.31) в бесконечных пределах, и, во-вторых, стем, что оценка остается неизменной вовсе время работы системы. Практически легко реализуется минимизация оценки вида
(25.32) Устройство, реализующее выражение (25.32), представляет собой квадратор (звено, возводящее входную величину в квадрат) и последовательно включенное апериодическое звено с постоянной времени Т. Функция веса такого звена Выходная величина этого устройства, записанная при помощи интеграла Дюамеля, совпадает с (25.32). Постоянная времени Т апериодического звена, которое является фильтром нижних частот, должна выбираться так, чтобы устройства изменения параметров корректирующего звена практически не реагировали на случайные быстрые изменения ошибки х. Системы с экстремальной самонастройкой являются наиболее совершенными самонастраивающимися системами. Они обеспечивают оптимальную настройку системы в условиях изменения характеристик объекта, регулятора и возмущающих сил. Однако они являются наиболее сложными системами и их реализация сталкивается пока со значительными техническими трудностями. Самонастраивающиеся системы с экстремальной настройкой относятся к категории экстремальных систем с поиском минимума или максимума некоторой величины, определяющей оптимум работы системы. В качестве регулируемых величину, у здесь выступают параметры корректирующего устройства, например общий коэффициент усиления, значения постоянных времени и передаточных коэффициентов и т. п. Исследование этих систем может производиться в соответствии с теорией экстремальных систем (§ 25.1).