Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
i i T 1 = α , аи коэффициенты, определяемые в соответствии с теоремой разложения (см. § 7.4). Переходная функция для последнего выражения представляет собой сумму экспонент Из табл. 15.1 следует, что дискретная передаточная функция W(z) может быть представлена в виде (24.5) Для астатических систем первого порядка с передаточной функцией непрерывной части (24.6) аналогичными рассуждениями можно показать, что дискретная передаточная функция W(z) может вычисляться по выражению (24.7) а для астатических систем с астатизмом второго порядка, имеющих передаточную функцию непрерывной части (24.8) — по выражению (24.9) где 0 0 > = Ω KT K — условная добротность по скорости, вычисляемая по формуле (24.10) аи коэффициенты разложения. Учет запаздывания. В контуре системы регулирования с ЦВМ может содержаться элемент, вносящий временное запаздывание (глава 14). Это запаздывание может относиться как к непрерывной части, таки к самой ЦВМ. В последнем случае запаздывание определяется программой работы машины и не может превышать периода повторения, те Т. Учет запаздывания вне зависимости оттого, относится ли оно к непрерывной части или к ЦВМ, осуществляется при определении дискретной передаточной функции разомкнутой системы W(z). В этом случае преобразование от переходной функции непрерывной части должно осуществляться в соответствии с выражением (15.138): (24.11) где T τ ξ = — относительное запаздывание, ε = 1- ξ , W1(z, ε ) — смещенное z- преобразование для переходной функции h 0 (t), определяемое по табл. 15.1. Исследование устойчивости и качества регулирования. После нахождения дискретной передаточной функции разомкнутой системы W(z) дальнейшее исследование производится в соответствии с главой 15. Для этой цели может быть найдена дискретная передаточная функция замкнутой системы (15.143): и дискретная передаточная функция по ошибке (15.144): Условие применимости формул (15.143) и (15.144) сводится здесь к тому, чтобы начальное значение переходной функции непрерывной части равнялось нулю, те. о. Это будет выполняться в том случае, когда степень числителя передаточной функции непрерывной части W0 (р) меньше степени знаменателя. Как ив импульсных системах, условием устойчивости замкнутой системы будет | z i | < 1, где z i — корни характеристического уравнения (15.158): Точность системы может определяться по коэффициентам ошибок (15. 171), а быстродействие и запас устойчивости — построением переходного процесса или частотными методами (см. главу 15). На основании изложенного можно представить структурную схему системы регулирования с ЦВМ следующим образом. Вне зависимости от сложности решаемых математических задач можно считать, что ЦВМ определяет разность между необходимым значением регулируемой величины и действительным значением, те. ошибку х = g— у. В функции этой ошибки ЦВМ должна прикладывать к системе регулирования управляющее воздействие. Поэтому для исследования динамики следует пользоваться структурной схемой (рис. 24.4), в которой ЦВМ условно введена последовательно в цепь вычисления ошибки. В общем случаев контуре регулирования может присутствовать элемент чистого временного запаздывания, выделенный в отдельное звено с передаточной функцией Эффекты запоминания на период интегрирования весовой функции (рис. 24.3), определяемые формулами (24.1) и (24.3), учитываются также отдельным звеном с передаточной функцией (24.12) где z= Если кроме определения ошибки х = g — у ЦВМ производит интегро- дифференциальные операции, тов контуре будет также присутствовать дискретная передаточная функция D(z), соответствующая некоторому дискретному фильтру, разностное уравнение которого может быть получено из D(z) на основании (15.96) и (15.98). Ключи, изображенные на структурной схеме (рис. 24.4), генерируют импульсные функции в соответствии с периодом повторения ЦВМ. Проходя через запоминающее устройство (24.12), последовательность импульсных функций образует ступенчатую функцию (рис. 24.3). Рассмотрим теперь простейшие примеры. Пример 1. Пусть непрерывная часть системы регулирования соответствует астатизму первого порядка и представляет собой идеальное интегрирующее звено с передаточной функцией В соответствии с (24.7) получаем дискретную передаточную функцию разомкнутой системы (24.13) Определим условие устойчивости замкнутой системы. Характеристическое уравнение системы 1+W(z) = 0 приобретает вид Для выполнения условия | z i | < 1 необходимо, чтобы удовлетворялось неравенство (24.14) Это и будет условием устойчивости системы. Если необходимо иметь запас устойчивости, то можно воспользоваться для его оценки, например, понятием показателя колебательности. Найдем дискретную частотную передаточную функцию, положив z= е jwT . В результате получаем Нетрудно видеть, что амплитудно-фазовая характеристика представляет собой прямую, параллельную оси мнимых (рис. 24.5). Условие получения заданного показателя колебательности (24.15) Это условие дает допустимое соотношение между общим коэффициентом усиления К, который в рассматриваемом случае, как нетрудно показать, равен добротности по скорости К Ω , и периодом повторения ЦВМ. Построим переходный процесс при подаче на вход ступенчатого воздействия g(t)=1(t). Дискретная передаточная функция замкнутой системы (24.16) Изображение единичной ступенчатой функции будет (табл. 15.1) (24.17) Изображение выходной величины (24.18) Примем следующие значения произведения добротности по скорости на период повторения 1) КТ = 1,4, что соответствует М = 1,5; 2) КТ = 1, что соответствует М = 1 для максимального значения КТ, 3) Т = 0,5, что соответствует М = 1. Раскладывая (24.18) вряд Лорана, получаем значения выходной величины у Т в дискретные моменты времени, соответствующие n = 0, 1, 2, . . . Процессы изображены на рис. 24.6. Значения выходной величины в дискретные моменты времени соединены между собой прямыми линиями, соответствующими переходным характеристикам интегрирующего звена, которым является непрерывная часть системы. Нетрудно заметить, что оптимальный процесс будет при М = 1 (случай 2). Тогда переходный процесс длится конечное время, равное одному периоду повторения. Пример 2. Рассмотрим систему с астатизмом второго порядка. Пусть передаточная функция непрерывной части имеет вид В соответствии с (24.9) получаем (24.19) Воспользуемся для расчета методом логарифмических частотных характеристик. Для этой цели применим подстановку (15.162) и перейдем к преобразованию (24.20) Для перехода к частотной передаточной функции сделаем подстановку λ 2 T j w = , где λ представляет собой абсолютную псевдочастоту. В результате получим частотную передаточную функцию Модуль этой величины и фаза По этим выражениям на рис. 24.7 построены асимптотическая л. ахи л. ф. х. Нетрудно видеть, что этот случай по расположению фазовой характеристики сводится к случаю л. ах. типа 2—1—2, изображенной на рис. 12.13. Используя полученные в главе 12 формулы, получаем требуемую протяженность участка с наклоном 20 дб/дек в оптимальном случае (24.21) Далее, имеем связь между постоянной времени т и базовой частотой откуда находим общий коэффициент усиления (24.22) Эту формулу можно записать также в следующем виде (24.23) Формулы (24.21) и (24.22) позволяют выбрать значения общего коэффициента усиления непрерывной части К и постоянной времени τ при заданном значении периода повторения Т или определить значение периода повторения при заданном значении общего коэффициента усиления К. Заметим, что в рассматриваемой системе коэффициенты ошибок си равны нулю, а общий коэффициент усиления равен добротности системы по ускорению Формула (24.23) дает возможность определить допустимое соотношение между добротностью системы по ускорению К и периодом дискретности Т. Построение переходного процесса можно произвести аналогично примеру 1 § 24.1. § 24.2. О синтезе систем регулирования с ЦВМ Синтез систем регулирования с ЦВМ наиболее просто производить на основе той методики, которая была изложена в § 12.6 для непрерывных систем. Покажем, как можно перенести ее на дискретные системы регулирования. Как ив случае непрерывных систем, будем определять качество переходного процесса устойчивых дискретных систем, точнее их запас устойчивости, по показателю колебательности, соответствующему максимуму амплитудной частотной характеристики замкнутой системы (24.24) Соотношение (24.24) полностью аналогично соответствующему соотношению для непрерывных систем. Поэтому получение требуемого показателя колебательности может быть обеспечено выполнением условия для л. ах. разомкнутой системы подобно тому, как это было сделано в § 12.6 для непрерывных систем. Для упрощения выкладок ограничимся рассмотрением систем с астатизмом не выше второго порядка, хотя методика остается применимой ив случае более высокого порядка астатизма. Пусть передаточная функция непрерывной части разомкнутой системы имеет вид При построении л. ах. следящей системы с учетом ЦВМ введем следующие предположения. 1. Величина, обратная периоду дискретности Т, больше половины частоты среза (w ср л. ах. непрерывной части системы, те ср T < 2. При расчете следящих систем с ЦВМ это неравенство приходится выполнять практически во всех случаях в связи с требованиями по устойчивости и запасу устойчивости. 2. Все постоянные времени T1 . . ., Т можно разделить на две группы. К первой группе Т, . . ., Т отнесем те из них, которым соответствуют сопрягающие частоты, меньшие частоты среза w ср (большие постоянные времени. Ко второй группе Т, . . ., Т отнесем те постоянные времени, которым соответствуют сопрягающие частоты большие, чем частота среза w ср малые постоянные времени, причем для каждой постоянной времени второй группы должно выполняться неравенство Т < Т. 3. Постоянным временем τ 1, . . ., τ m соответствуют сопрягающие частоты меньшие, чем частота среза. Это не относится к тем постоянным времени числителя передаточной функции разомкнутой непрерывной части, которые были введены для компенсации некоторых ее полюсов и поэтому после сокращения соответствующих множителей не вошли в окончательное выражение (24.25). 4. Переход оси нуля децибел асимптотической л. ах. непрерывной части происходит при отрицательном наклоне 20 дб/дек. Л. ах. системы с ЦВМ в области низких частот. Рассмотрим построение л. ах. для (24.25) в области низких частот, те. левее частоты среза. Передаточная функция непрерывной части для этой области может быть представлена в виде Очевидно, что вследствие условия 4 имеем равенство m =q+1. Разложим (24.26) на простые дроби (24-27) где Ni— коэффициенты разложения, добротность по скорости, а представляет собой условную (24.28) На основании (24.9) дискретная передаточная функция, соответствующая (24.26), будет (24-29) где Перейдем к дискретной частотной передаточной функции посредством использования преобразования (15.163) и подстановки (15.164). В результате получим (24.30) где абсолютная псевдочастота Ранее было сделано допущение, что Ti>T/2; поэтому можно считать (24.31) откуда окончательно (24.32) Сравнение последнего выражения с (24.27) показывает, что в низкочастотной области частотная передаточная функция системы с ЦВМ может быть получена из передаточной функции непрерывной части подстановкой р = j λ и умножением на дополнительный множитель (1 — }КТ/2). Псевдочастота λ в этой области практически совпадает с частотой входного воздействия w, что вытекает из (24.31). Так как было принято, что 2/T>w ср , то влияние дополнительного множителя (1 —j λ Т) при построении асимптотической л. ах. можно не учитывать. Поэтому в низкочастотной области асимптотическая л. ах. системы с ЦВМ практически сливается с л. ах. непрерывной части, причем можно положить λ = w. Это дает большие удобства в формировании низкочастотной части л. ах. проектируемой системы и позволяет полностью использовать ту методику, которая была изложена выше для непрерывных систем. Л. ах. системы с ЦВМ в области высоких частот. В соответствии с принятыми условиями передаточная функция непрерывной части для этой области может быть представлена в виде (24.33) где частота среза асимптотической л. ах. Разложим (24.33) на простые дроби (24.34) Аналогично предыдущему найдем частотную передаточную функцию переходом к псевдочастоте: (24.35) Так как Ti < T/2, то можно положить Учитывая, что получаем в результате (24.36) Это выражение и может использоваться для построения л.а.х., причем модуль (24.36) (24.37) Начало л. ах. в высокочастотной области сливается с низкочастотной области в точке λ =w ср При построении фазовой характеристики следует учитывать появление множителя (1-j λ T/2), соответствующего неминимально-фазовому звену. Для построения фазовой характеристики можно воспользоваться результирующим выражением для дискретной частотной передаточной функции, которое на основании изложенного будет (24.38) Результирующий фазовый сдвиг (24.39) В районе частоты среза при λ < 2/T можно считать с достаточной точностью (24-40) В результате при построении высокочастотного хвоста приходится учитывать сумму малых постоянных времени Ti и дополнительный множитель (1 — j λ T/2). Последний приводит к подъему л. ах. на высоких частотах и дает дополнительный фазовый сдвиг в отрицательную сторону, равный λ T/2. Методика расчета следящих систем с ЦВМ и здесь совпадает с методикой расчета непрерывных систем, изложенной выше. Только формула (12.96) должна быть переписана в виде (24.41) Аналогичным образом для несимметричных л. ах. типа 1—2—3... (рис. 12.18) систем с астатизмом первого порядка можно показать, что вид л. ах. в низкочастотной области сохраняется, а требуемый запас устойчивости получится при (24.42) Последнее выражение является достаточным, если имеется хотя бы одна постоянная времени, по величине большая чем T/2. Если для всех постоянных времени выполняется условие Т, то для предотвращения захода высокочастотного хвоста л. ах. в запретную зону (рис. 12.16) необходимо выполнить дополнительное условие (24.43) При построении л. ах. для систем с ЦВМ можно не вводить специального обозначения для псевдочастоты λ , а употреблять обычное обозначение w, считая, что в области рабочих частот (левее частоты среза) это есть частота входного воздействия, а в высокочастотной области она переходит в псевдочастоту. Сделаем теперь два замечания. Первое относится к случаю наличия в передаточной функции непрерывной части (24.25) сомножителей, соответствующих колебательным звеньям с передаточной функцией Если выполняется условие Т < 2, то дискретная частотная передаточная функция для подобного сомножителя совпадает с частотной передаточной функцией непрерывного звена иона может быть получена подстановкой р = j λ и умножением на (1 — j λ T/2). При Г >2 построение л. ах, несколько усложняется вследствие явления транспонирования частот. Однако и здесь не возникает никаких принципиальных трудностей [10]. Второе замечание касается последней части условия 2, которое было сформулировано выше при построении л. ах. для передаточной функции (24.25). Если для всех постоянных времени T q+1 . . . Т условие Т 0,5T не выполняется, то построение л. ах. делается следующим образом. Строится л. ах, соответствующая передаточной функции непрерывной части рис. 24.8). Затем проводится вертикальная линия, соответствующая граничной частоте л. ах, расположенная левее граничной частоты, соответствует низкочастотной части, иона может быть принята в качестве л. ах. дискретной системы, так как в этой области абсолютная псевдочастота совпадает с обычной частотой λ =w. Далее находится формула, соответствующая высокочастотной части л. ах. непрерывной системы, аналогичная формуле (24.33). Пусть, например, пересечение граничной частоты происходит при наклоне асимптоты 40 дб/дек так, как это показано на рис. 24.8. Тогда уравнение высокочастотной части будет (24.44) где w в = k — частота пересечения оси частот асимптотой, имеющей отрицательный наклон 40 дб/дек. Раскладывая выражение (24.44) на простые дроби, переходя ква затем кв, получим аналогично формуле (24.36) для высокочастотной части (24.45) где Если выполняется условие, то формула (24.45) упрощается (24.46) В соответствии с выражением для в (j λ ) строится высокочастотная часть л. ах, которая показана на рис. 24.8 пунктиром. Построение фазовой характеристики делается аналогично изложенному выше. Таким же способом строится высокочастотная часть л. ах. при пересечении граничной частоты асимптотой 60 дб/дек, 80 дб/дек и т. д. Во всех случаях формирование высокочастотной части делается по сумме малых постоянных времени, которым соответствуют сопрягающие частоты, находящиеся правее граничной частоты w = Т. Пример. Произведем расчет следящей системы с астатизмом второго порядка при следующих исходных данных 1) максимальная входная скорость max Ω = 10 град/сек, 2) максимальное входное ускорение max ε = 5 град/сек; 3) максимальная допустимая ошибка max θ = 2 угл. мин 4) непрерывная часть содержит постоянные времени Т = 0,01 сек, Т = 0,002 секи Т = 0,001 сек 5) допустимый показатель колебательности Ми М = 1,2. Требуется определить параметры непрерывной части системы и допустимый период повторения ЦВМ. Решим задачу вначале для случая Т = T2 = Т = 0 и М = 1,5. Передаточная функция непрерывной части разомкнутой системы, структурно устойчивой в замкнутом состоянии, должна иметь вид где 1 τ — постоянная времени, вносимая корректирующим звеном дифференцирующего типа. Так как высокочастотная часть после частоты срезав рассматриваемом идеализированном случае представляет собой прямую с наклоном 20 дб/дек, то вся частотная передаточная функция системы с ЦВМ может быть получена подстановкой р = jw, где w — псевдочастота, и введением дополнительного множителя (1 — Т Л. ах. для нее построена на риса. На этом же рисунке построена запретная зона для л. ах. на основании условий поточности ив соответствии с рис. 12.11. Базовая частота (12.76) Требуемое значение общего коэффициента усиления при совпадении первой асимптоты л. ах. с границей запретной зоны (рис. 12.24) В соответствии с расчетом, проделанным выше, для л.а.х., изображенной на рис. 12.14 ирис, получаем требуемое значение постоянной времени Частота срезала. х. В соответствии с формулой (24.41) получаем далее откуда допустимый период дискретности Т <0,0568 сек. В случае учета постоянных времени Т, T2 и Т имеем и допустимый период дискретности Т <0,0308 сек. Аналогичные расчеты для случая М = 1,2 дают τ 1 = 0,2 сек, w ср = 30 секи Т < 0,0368 сек (при Т = Т = Т = 0) и Т < 0,026 сек (при Т, T2 ≠ 0 и T3 ≠ 0). На рис. 24.9, б для иллюстрации построены переходные процессы при воздействии на входе в виде единичной ступенчатой функции. Переходные процессы построены посредством разложения вряд Лорана преобразования выходной величины. Таким образом, синтез следящих систем методом л. ах. на основе частотных критериев качества (поточности и запасу устойчивости) оказывается применимыми для систем, содержащих в своем контуре ЦВМ. При этом все расчеты сохраняют свою простоту и наглядность. Для расчета удобно применять абсолютную псевдочастоту, которая в области низких частот (левее частоты среза) совпадает с обычной угловой частотой w. При этом в области высоких частот л. ах. приходится строить по сумме малых постоянных времени. Влияние квантования повремени, вносимое ЦВМ, легко учитывается при построении только л. ах, без необходимости рассмотрения фазовой характеристики. Для облегчения процесса синтеза можно ввести понятие типовых л. ах. систем регулирования с ЦВМ. На риса приведены типовые л. ах. для статической системы и астатической первого и второго порядков без учета временного запаздывания. На рис. 24.10, б изображены соответствующие им л. ах. непрерывной части, а в табл. 24.1 приведены передаточные функции. Синтез непрерывных корректирующих средств. При использовании для коррекции системы непрерывных средств возможно применение корректирующих средств трех основных видов последовательных, параллельных и обратных связей (рис. 10.1). Наиболее просто производится расчет корректирующих средств последовательного типа. В этом случае дискретная передаточная функция разомкнутой системы должна равняться желаемой передаточной функции (24.47) Здесь WпкWо (z) представляет собой дискретную передаточную функцию последовательно включенных корректирующего звена с передаточной функцией р) и непрерывной части с передаточной функцией W0 (p). Напомним, что поэтому расчет последовательных корректирующих средств в дискретных системах не является столь простой задачей, как в непрерывных системах. Однако выше было показано, что л. ах. дискретных систем, построенные в функции абсолютной псевдочастоты для частот практически сливаются с л. ах. непрерывной части. Поэтому можно воспользоваться известными приемами расчета последовательных корректирующих средств, если в качестве желаемых л. ах. использовать характеристики, соответствующие передаточным функциям непрерывной части. Требуемый вид последовательного корректирующего звена определяется в этом случае по виду л. ах, полученной вычитанием ординат л. ах. нескорректированной системы из ординат желаемой (типовой) л. ах. Рассмотрим иллюстративный пример [10]. Пример. Произведем расчет системы с астатизмом первого порядка последующим исходным данным максимальная скорость слежения Ω = 20 град/сек максимальное ускорение слежения ε = 10 град/сек 2 ; максимальная допустимая ошибка θ = 4 угл. мин допустимый показатель колебательности М = 1,5; шаг выдачи данных ЦВМ (период дискретности) Т = 0,02 сек передаточная функция непрерывной части имеет вид где Определим вид и параметры последовательного корректирующего звена, которое должно быть включено в непрерывную часть системы, а также необходимое значение общего коэффициента усиления К. Левее частоты срезала. х. дискретной системы совпадает с л. ах. ее непрерывной части, а псевдочастота К — с реальной частотой о. Поэтому формирование желаемой л. ах. левее частоты среза произведем обычными приемами. Построим запретную зону для л. ах. из условий точности (рис. 24.11). Контрольная частота Модуль передаточной функции разомкнутой системы при w = w к По этим данным на рис. 24.11 построены контрольная точка Аки запретная зона, сформированная из прямых с наклоном 20 и 40 дб/дек (наклоны 1 и 2). Желаемая л. ах. в низкочастотной области формируется гак, чтобы она проходила выше точки Ак на 3 дб (в линейном масштабе — 2 ). Она состоит отрезков прямых с наклонами 1—2—1. В низкочастотной области частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид Параметры желаемой л.а.х. и передаточной функции разомкнутой системы в низкочастотной области определим в следующем порядке. Базовая частота л.а.х. Постоянная времени корректирующего звена, формирующая первый излом л. ах, Для получения заданного показателя колебательности должно выдерживаться условие (формула 12.86) Отсюда получаем значение второй постоянной времени корректирующего звена Далее определяем необходимое значение общего коэффициента усиления и частоту среза л.а.х.: Для обеспечения заданного показателя колебательности в высокочастотной области должно удовлетворяться неравенство (24.41): где — сумма постоянных времени меньших, чем Т. Отсюда получаем допустимое значение для суммы постоянных времени На рис. 24.11 пунктиром построена л. ах. непрерывной части нескорректированной системы, сплошной линией — желаемая (скорректированная) л. ах. непрерывной части. В низкочастотной области (до частоты среза w ср ) она совпадает с л. ах. дискретной системы (см. риса на рис. 24.11 л. ах. дискретной системы не изображена. В области высоких частот вид желаемой л. ах. непрерывной части, вообще говоря, может быть произвольным. Важно только, чтобы сумма постоянных времени Т не превышала допустимого значения. Наиболее простые корректирующие звенья получаются в тех случаях, когда сопрягающие частоты л. ах. нескорректированной системы и желаемой л. ах. совпадают между собой. В рассматриваемом примере Целесообразно принять Тогда Вычитая из ординат желаемой л. ах. ординаты характеристики нескорректированной системы, получим искомую л. ах. последовательного корректирующего звена. Она соответствует интегро-дифференцирующему звену с передаточной функцией где Из приведенного примера видно, что при синтезе непрерывных последовательных корректирующих устройств метод логарифмических частотных характеристик не теряет своей простоты и наглядности. Можно показать [131], что при наличии временного запаздывания допустимый период повторения ЦВМ должен быть снижен в соответствии с формулой где Т — допустимый период повторения, полученный в результате синтеза системы без учета запаздывания. Время запаздывания , где k = 1, 2, 3,... и 0< ξ < 1. Если время запаздывания τ соответствует целому числу периодов, то формула (24.48) становится точной (24.49) § 24.3. Дискретная коррекция В общем случае передаточная функция ЦВМ (рис. 24.4) может быть сделана неравной единице. Пусть она представляет собой дробно-рациональное выражение вида (24.50) Здесь X (z) и Х (z) — изображения решетчатых функций на входе и выходе ЦВМ. Степень числителя (24.50) не может быть выше степени знаменателя. В формуле (24.50) взят предельный случай, когда они равны. После деления числителя и знаменателя на z k передаточная функция получится в другом виде (24.51) Отсюда можно найти разностное уравнение, соответствующее алгоритму работы ЦВМ: (24.52) где хи х [n] — решетчатые функции на входе и выходе ЦВМ. Результирующая передаточная функция разомкнутой системы будет (24.53) где W 0 (z) — передаточная функция разомкнутой системы при D(z) определенная в соответствии с § 24.1. Дискретная коррекция может быть также реализована в системах управления без ЦВМ. В этом случае дискретные корректирующие средства реализуются на дискретных фильтрах, построенных на различных ячейках памяти. Расчет дискретных корректирующих средств, те. определение желаемого вида передаточной функции D(z), может производиться следующим образом. Пусть известна желаемая дискретная передаточная функция разомкнутой системы (24.54) где Ф ж (z) — желаемая передаточная функция замкнутой системы, а W 0 (z) — передаточная функция исходной нескорректированной системы. Тогда искомая передаточная функция ЦВМ (или дискретного фильтра) будет (24.55) Формирование желаемой передаточной функции ж (z) должно производиться с учетом некоторых ограничений. Необходимо, чтобы передаточная функция ж (z) содержала в качестве нулей все те нули W° (z), модуль которых равен или больше единицы. Необходимо также, чтобы выражение 1 - ж (z) содержало в качестве нулей все те полюсы W 0 (z), модуль которых равен или больше единицы. Невыполнение этих условий вызывает нарушение требований к грубости системы и вызывает ее неустойчивость, так как приводит к неустойчивым линейным программам ЦВМ, которые должны реализовать получающуюся по формуле (24.55) передаточную функцию D(z). Кроме того, получающаяся дробно-рациональная передаточная функция D(z) не должна иметь степень числителя выше, чем степень знаменателя, так как это приводит к необходимости знания будущего значения входного сигнала, что не может быть реализовано. Вместо формулы (24.55) может применяться соотношение, связывающее дискретные частотные передаточные функции (24.56) или соответствующие им логарифмические частотные характеристики (24.57) После определения W пк *(j λ ) подстановкой j λ = Т можно получить передаточную функцию W пк *(j λ ), а затем путем перехода от преобразования к z- преобразованию — передаточную функцию W пк *(j λ ) = D(z). Сформулированные выше ограничения по отношению к выражению (24.56) имеют следующий вид. Необходимо, чтобы передаточная функция ж ) содержала в качестве своих нулей и полюсов попеременной х = j λ все те нули и полюсы передаточной функции W* (j λ ), которые лежат в правой полуплоскости. Кроме того, необходимо, чтобы получающаяся дробно-рациональная функция W пк *(j λ ) имела степень числителя не больше, чем степень знаменателя. Поясним сказанное примером. Пусть в цифровой системе с экстраполятором нулевого порядка передаточная функция непрерывной части соответствует интегрирующему звену второго порядка. Тогда без коррекции имеем Далее можно получить частотную передаточную функцию Соответствующая ей л. ах построена на рис. 24.12. Если принять в качестве желаемой л. ах, то желаемая частотная передаточная функция (24.58) Она совпадает с типовой передаточной функцией (табл. 24.1), если положить Т = 0, где i = 1, 2, . . ., n. Дискретная частотная передаточная функция требуемого корректирующего звена, последовательного типа (24.59) Переход к передаточной функции ЦВМ дает (24.60) Последнее выражение определяет неустойчивую программу, так как полюс передаточной функции z 1 =-1 соответствует колебательной границе устойчивости. Заметим, что получившаяся частотная передаточная функция корректирующего устройства (24.59) не может быть реализована, вообще говоря, ив непрерывном варианте. Эта функция соответствует бесконечному подъему усиления приросте частоты до бесконечности. При реализации в дискретном варианте эта функция приводит к неустойчивой программе ЦВМ. Для исключения этого явления примем желаемую л. ах в другом виде (рис. 24.12). Желаемая передаточная функция (24.61) Передаточная функция корректирующего устройства в этом случае имеет вид (24.62) Переход к передаточной функции ЦВМ дает (24.63) Этой передаточной функции соответствует устойчивая программа ЦВМ. Для рассмотренного примера произведем числовой расчет. Пусть по условиям точности К 100 сек, а показатель колебательности М = 1,5. Дальнейший расчет произведем в соответствии с формулами § 12.6. Базовая частота л. ах. Требуемое значение постоянной времени равно Допустимое значение суммы малых постоянных времени для передаточной функции (24.61) равно периоду дискретности Примем период дискретности Т = 0,0346 сек. Передаточная функция ЦВМ (24.63) имеет вид В табл. 24.2 приведены некоторые простейшие дискретные корректирующие средства, которые могут реализоваться на ЦВМ или дискретных фильтрах. В табл. 24.2 даны также их параметры и значения модуля частотной передаточной функции G 0 на нулевой псевдочастоте и ∞ |