Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
dt dx = 0) . При этом на управление u наложено ограничение Обозначив х = x, dt dx = x2, приведем уравнение (23.19) к исходному виду (23.4): (23.20) Функция Н согласно (23.14) и (23.4) здесь имеет вид (23.21) Чтобы определить максимум попеременной, надо найти ψ 2 . Для этого воспользуемся уравнениями (23.16), которые в данном случае будут Принцип максимума (23.17), (23.18) с учетом выражения (23.21) и ограничения | u | < 1 дает так как положительный максимум функции H попеременной будет согласно (23.21) при u = +1 когда с2-с1t > 0, и при u = -1, когда с – с 0. Поскольку линейная функция с2-с1t не более одного раза меняет знак, тов оптимальном процессе регулирования будет не более одного переключения u=+1 u= -1 или наоборот. Следовательно, оптимальная по быстродействию система будет релейной, ноне обычной релейной, ас особым специальным законом переключения реле по знаку вспомогательной функции ψ 2 = с — с. Чтобы представить себе это нагляднее, изобразим процесс на фазовой плоскости. Исключив из уравнений (23.20) dt, получим при u = +1 дифференциальное уравнение откуда фазовая траектория будет (23.22) Аналогично при u = - 1 получаем (23.23) Это параболы, симметричные относительно оси абсцисс х. Процесс должен заканчиваться вначале. Поэтому сначала изобразим фазовые траектории (параболы, вливающиеся в начало координат соответственно при u = +1 и при u = -1, как показано сплошными линиями на рис. 23.2. Нанесем теперь и все остальные параболы с различными значениями св формулах (23.22) и (23.23) до точек их вливания в изображенные ранее две ветви параболы, идущие к началу координат. Это и сделано на рис. 23.3. Как видим, из произвольной точки М, x 20 ) процесс идет по некоторой параболе М при управляющем сигнале u = -1 (в другой области было бы u = +1). В точке D происходит переключение реле на сигнал u = -1, после чего процесс идет по параболе О и заканчивается в точке О за конечное время, которое согласно принципу максимума является минимальным из всех возможных для перехода данной системы из состояния М (х, х) в равновесное состояние О (0, 0). Точка переключения реле D может находиться в любом месте кривой АОВ. Последняя называется поэтому линией переключения. На ней лежат заключительные отрезки фазовых траекторий, приходящие в начало координат. Итак, искомое уравнение преобразовательной части системы (оптимальной по быстродействию) будет (23.24) причем х = х отсчитывается на оси абсцисс. Замечая, что из формул (23.22), (23.23) ирис находим уравнение линии переключения (23.25) и следовательно, уравнение преобразовательной части системы будет (23.26) Итак, в системе должны быть либо два измерителя, либо один измеритель хи дифференцирующее устройство. Должно формироваться (автоматически вычисляться) переключающее значение согласно формуле (23.25), и на основе сравнения фактического текущего значения со значением зависящим от текущего х, должно производиться включение и переключение реле в соответствии с уравнением (23.26). Это является специальным нелинейным законом регулирования для линейного объекта (23.19), приводящим к оптимальной по быстродействию системе. Таков результат решения простейшей задачи оптимизации. Пример 2. Пусть задана система (23.27) Требуется найти такое уравнение преобразовательной части системы u = х, чтобы система была оптимальной по быстродействию, те. в кратчайшее время приходила бы в равновесное состояние х = 0, dt dx = 0. При этом задана область допустимых значений управления Перепишем заданное уравнение (23.27) в виде (23.28) Функция Н согласно (23.14) и (23.4) здесь будет (23.29) Для вспомогательных переменных из (23.16) и (23.29) получаем уравнения откуда Принцип максимума (23.17) и (23.18), с учетом выражения (23.29) и условия u <1, дает (23.30) так как согласно (23.29) положительный максимум величины Н попеременной и будет при u= +1, если ψ 2 >0, и при u=-1, если ψ 2 < 0. При ψ = +1 уравнения системы (23.28) будут Решения их имеют вид где а >0, 0< β < 2 π . Следовательно, фазовые траектории прибудут окружностями (23.31) Аналогично при u = -1 (23.32) Очевидно, что вливающиеся в начало координат фазовые траектории будут иметь вид полуокружностей (23.31) и (23.32) с радиусами а = 1 (рис. 23.4). Это будут концевые участки траекторий. В них будут входить в произвольных точках В и D1 предыдущие участки фазовых траекторий снизу (где u = +1) в виде полуокружностей с центром, смещенным на единицу вправо (В, а сверху (где u = -1) — с центром, смещенным на единицу влево (В. Это будут именно полуокружности, так как знак u меняется согласно (23.30) через t = π . Следовательно, линия переключения составится из единичных полуокружностей, как показано на рис. 23.4 в виде ломаной кривой В отличие от примера 1, здесь процесс регулирования может идти нес одним переключением, ас несколькими, в зависимости от начальных условий. Итак, искомое уравнение преобразовательной части системы u = х) будет (23.33) Поскольку х = х, х = dt dx , то указанная линия переключения представляет собой определенную зависимость (23.34) вследствие чего уравнение преобразовательной части системы можно представить в прежнем виде (23.26), нос новым значением Устройство измерительно- преобразовательной части системы, согласно этому нелинейному закону регулирования, будет здесь аналогично прежнему (примерно с другим алгоритмом вычислений. Замечания. Сделаем некоторые общие замечания для оптимальных по быстродействию систем с линейной стационарной заданной частью без внешнего воздействия. В обоих примерах рассматривались системы второго порядка. Для них были получены линии переключений. Для систем высокого порядка будут получаться поверхности переключения в многомерном фазовом пространстве. При этом, если заданная часть системы го порядка имеет только вещественные неположительные корни (включая нулевые, то процесс будет иметь не более n— 1 переключений, а если имеются комплексные (включая чисто мнимые) корни, то переключений может быть и больше, в зависимости от начальных условий. Оптимальная по быстродействию система имеет релейный переключающий элемент, управляемый с помощью специального вычислительного логического устройства, алгоритм работы которого тем сложнее, чем выше порядок системы. При этом требуется непрерывно измерять все n фазовых координат или же, иначе, — регулируемую величину и n— 1 ее производных для введения в вычислительное устройство. Для систем высокого порядка это далеко не всегда реально. Поэтому практически прибегают к созданию нестрого оптимальных система систем, близких к оптимальным, но проще реализуемых. Некоторые конкретные рекомендации по таким системам см. в книге [61], стр. 474 — 477. § 23.3. Последовательная оптимизация на базе нелинейного программирования Изложим этот метод, следуя В. М. Пономареву [105]. Рассмотрим более общий случай системы, описываемой нелинейными уравнениями динамики (23.35) с переменными коэффициентами, с внешними воздействиями f i (t), которые могут иметь случайную природу при заданном распределении, и с начальными условиями (23.36) которые также могут быть случайными с заданным распределением. Рассматривается конечное время процесса управления Нужно найти оптимальный нелинейный закон регулирования (23.37) при котором осуществляется минимум функционала (критерий оптимальности) (23.38) где М обозначает математическое ожидание, причем должны еще удовлетворяться необходимые ограничения на некоторые переменные и характеристики, обусловленные практической реализацией системы. Представим нелинейные функции i ϕ , i u , Н в виде степенных рядов степени l. Заданные функции i ϕ будут (23.39) где величина индексов q и r определяется порядковым местом этих членов в ряде. Аналогично и искомый нелинейный закон регулирования представляется в виде (23.40) Тогда задача оптимизации сводится к отысканию коэффициентов. Если подставить выражения (23.39) ив исходные уравнения системы (23.35), то неизвестные коэффициенты k ji войдут как параметры в правые части уравнений системы. Поскольку решения дифференциальных уравнений являются непрерывными функциями от параметров, то неизвестные х i могут быть представлены в виде (23.41) Подставляя (23.41) в (23.40), получаем (23.42) Аналитические выражения для функций х i (k ij , t) можно получить, например, решая уравнения системы методом последовательных приближений. Подставляя выражения (23.41) ив формулу (23.38), получим критерий оптимальности в виде (23.43) Поскольку ограничения приводятся к аналогичному виду, то задача оптимизации нелинейного закона регулирования в общем случае сводится к задаче нелинейного программирования, тек задаче отыскания минимума нелинейной функции n x r переменных при нелинейных ограничениях. Метод последовательной оптимизации предусматривает замену полученной задачи нелинейного программирования последовательностью задач квадратичного программирования. Три возможных способа построения такой последовательности предложены в главе II книги [105]. Алгоритмы для решения задач квадратичного программирования отработаны достаточно хорошо. Один из наиболее удобных алгоритмов предложен Билом. При реализации метода последовательной оптимизации можно не отыскивать аналитические выражения для функций х i (k ij , t), так как в процессе численного решения используются только производные от критерия оптимальности и ограничений по искомым коэффициентам k ij . Способы получения этих производных рассмотрены в гл. II книги [105]. Приведем один пример решения задачи оптимизации указанным методом. Пример. Допустим, что имеется линейный объект второго порядка с нелинейным инерционным исполнительным органом регулятора. Этот исполнительный орган описывается апериодическим звеном первого порядка с насыщением скоростной характеристики. При этом динамика объекта описывается уравнениями (23.44) (23.45) а регулятора — (23.46) где (23.47) Вводятся ограничения на управление (23.46) Такая задача является типичной, например, для летательных аппаратов при ограничении угла отклонения руля и скорости его движения. Задано с = —10 секс сек, v1= 0,3 рад, v2 =1 рад/сек. Переменные коэффициенты a1(t) и b1 (t) заданы в виде графиков (рис. 23.5). Возмущающее воздействие f(t) является случайными описывается каноническим разложением (23.49) где случайные величины w1 и w2 имеют следующие математические ожидания и дисперсии атак называемые координатные функции f1 (t) и f2 (t) заданы графически (рис. 23.6). Дополнительно к этому вводятся еще ограничения на фазовые координаты движения объекта по траектории а также на коэффициенты k1 ив виде Ставится задача отыскания значений коэффициентов нелинейного закона управления k1, k2, k3, оптимизирующих систему по критерию точности (минимальная ошибка (23.50) и вторая задача — отыскания значений тех же коэффициентов, оптимизирующих систему по энергетическому критерию (минимум затраты энергии на управление (23.51) Результаты решения первой задачи оптимизации описанным выше алгоритмическим методом, проведенного на ЦВМ, даны в табл. 23.1. В этой таблице показано не только как меняются значения самих коэффициентов k1, k2, k3 на каждом шаге последовательной оптимизации, но и то, как меняется, постепенно уменьшаясь, дисперсия ошибки (отклонения объектах в конце управляемого движения (t= t ка также и величина минимизируемого функционала I т Решение второй задачи оптимизации — по энергетическому критерию (23.51) — приводит к следующим результатам (табл. 23.2); Из таблицы видно, что коэффициенты k1, k2, k3 нелинейного оптимального закона в этом случае существенно отличаются от первого в основном за счет увеличения коэффициента k3 при кубическом члене выражения нелинейной функции (23.47) и уменьшения коэффициента k1. Видно также, что точность управления при минимизации затраты энергии ухудшается. В заключение отметим, что описанным здесь методом последовательной оптимизации на базе нелинейного программирования с использованием ЦВМ могут решаться задачи синтеза оптимальных систем большой сложности, в том числе многомерных, с уравнениями высокого порядка и с произвольными видами внешних воздействий и налагаемых практикой ограничений при различных критериях оптимальности. РАЗДЕЛ V ЦИФРОВЫЕ И АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ГЛАВА 24 СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ЦИФРОВЫМИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМИ МАШИНАМИ § 24.1. Общие понятия Использование цифровых вычислительных машин (ЦВМ) для управления автоматизированными объектами имеет большие перспективы. Это объясняется значительными вычислительными и логическими возможностями ЦВМ, что позволяет реализовывать сложные алгоритмы управления. Включение цифровой вычислительной машины в систему автоматического регулирования требует рассмотрения двух групп вопросов. К первой группе относятся вопросы, связанные с проектированием л реализацией самой ЦВМ, а также ее входных и выходных устройств (преобразователей, задачей которых является преобразование непрерывных физических величин к цифровому виду и обратно. Ко второй группе относятся вопросы, связанные с изучением влияния дискретного характера выходных сигналов ЦВМ на динамические свойства системы автоматического регулирования. Дальнейшее изложение будет касаться именно этой группы вопросов. Как правило, целесообразно вводить ЦВМ в систему регулирования в тех случаях, когда требуется сложная обработка поступающей информации. Так, например, в системах управления движущимися объектами необходимо производить сложные вычисления, связанные с операциями преобразования координат, решение прямоугольных и сферических треугольников, счисление пути и т. п. В системах управления сложными производственными объектами, например доменными печами, автоматизированными линиями и т. п, приходится производить большой объем логических операций _ Ввиду сравнительно большой сложности ЦВМ включение ее в состав автоматизированной системы оправдывается тогда, когда на ЦВМ возлагается решение ряда задач с обслуживанием нескольких зависимых или независимых каналов управления. Общий случай системы регулирования с ЦВМ изображен на рис. 24.1. Здесь g1, g2, g3, . . ., gn представляют собой задающие воздействия, в функции которых ЦВМ вырабатывает регулирующие воздействия, прикладываемые к системе регулирования y1, y2,y3…,yn являются регулируемыми величинами, а f1, f2, f3, . . ., fn — возмущающими воздействиями. По своему принципу действиям ЦВМ является вычислительным устройством дискретного действия. Поэтому и система регулирования с ЦВМ представляет собой дискретную систему. Ввиду того, что рассмотрение системы со многими переменными (рис. 24.1) представляет собой весьма громоздкую задачу, ограничимся случаем, когда ЦВМ вводится в одиночный контур регулирования с одной регулируемой величиной у и одним задающим воздействием g. Во многих случаях задача исследования системы с ЦВМ может быть сведена к рассмотрению таких одиночных контуров (рис. 24.2). Принцип работы ЦВМ заключается в том, что возложенные на нее математические действия она производит в дискретные моменты времени t = 0, Т, Т, Т и т. д, где Т — период повторения ЦВМ. В интервалах между решениями на выходе ЦВМ сохраняется то Решение, которое было получено вначале рассматриваемого интервала. Поэтому непрерывная функция f(t) заменяется на выходе ЦВМ ступенчатообразной функцией f Т в соответствии с рис. 24.3. Эта функция и прикладывается к непрерывной части системы регулирования (рис. 24.2). В интервалах между решениями на выходе ЦВМ возможна также экстраполяция предыдущих решений по линейной, квадратичной и т. д. зависимостям. Сохранение предыдущего решения, указанное выше, соответствует использованию экстраполятора нулевого порядка. Этот случай и будет рассматриваться в дальнейшем. Процесс превращения непрерывной функции в ступенчатую (рис. 24.3) соответствует квантованию повремени. Вследствие цифрового представления непрерывной величины в цифровой вычислительной машине имеет место также процесс квантования по уровню. Последнее объясняется тем, что цифровое представление допускает только вполне определенные фиксированные уровни сигналов, отличающиеся друг от друга на единицу младшего разряда. Квантование повремени делает всю систему регулирования дискретной, а квантование по уровню — нелинейной. В дальнейшем изложении будем вначале предполагать, что влиянием квантования по уровню можно пренебречь. Это делает всю систему линейной и дает возможность использовать для ее расчета аппарат, развитый для исследования импульсных систем (глава 15). Влияние квантования по уровню будет рассмотрено отдельно в § 24.4. Дискретные передаточные функции. Непрерывная часть системы, на входе которой действует ступенчатая функция Т, изображенная на рис. 24.3, носит название фильтра с фиксацией или фильтра с запоминанием. Для исследования подобных систем может использоваться аппарат г-преобразования и его модификации. Разница будет заключаться только в получении исходной дискретной передаточной функции разомкнутой системы W(z), те. дискретной передаточной функции фильтра с фиксацией. Дальнейшие исследования могут производиться в соответствии с изложенным выше для импульсных схем. Дискретный элемент, каким является ЦВМ, генерирует импульсы, длительность которых равна периоду повторения Т. В связи с этим можно воспользоваться формулой (15.139), если положить в ней τ = 0: (24.1) где h 0 (t) — переходная функция непрерывной части риса) является z- преобразованием переходной функции Н (1). Таким образом, отыскание передаточной функции разомкнутой дискретной системы с запоминанием сводится к отысканию переходной функции разомкнутой непрерывной части, переходу от нее к г-преобразованию, что может быть сделано по таблицами умножению полученного результата на z z Формула (24.1) может быть представлена также в другом виде. Переходная функция h 0 (t) является преобразованием Лапласа от передаточной функции непрерывной части р) деленной нар) Поэтому формулу (24.1) можно символически записать в виде (24.3) где Z, означает преобразование от изображения Лапласа, находящегося в квадратных скобках. Пусть передаточная функция непрерывной части статической системы регулирования в разомкнутом состоянии может быть представлена в виде (24.4) Разложим ее на простые дроби где |