Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
1. Идеальная релейная характеристика (риса. Из формулы (22.4) находим где обозначено (22.12) числовые значения этого интеграла вероятностей имеются в некоторых сборниках математических таблиц. Зависимость величины сот отношениях х показана графически на рис. 22.3, б. По формулами) находим соответственно (22.13) где Зависимости фиф показаны на рис. 22.3, в. 2. Однозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности риса. По формуле (22.4) с учетом обозначения (22.12) находим где (22.14) Функция с изображена графически на рис. 22.4, б в зависимости от при разных значениях σ 1 По формулами) получаем выражения типа (22.13), где что изображено графически на рис. 22.4, в и г. 3. Петлевая релейная характеристика общего вида (риса. По формулам (22.7) находим где кроме (22.14) и (22.12) введены, еще обозначения Зависимость с для случая m = 0,5 показана на рис. 22.5,6. Далее получаем выражения типа (22.13), где Эти функции для случая m = 0,5 изображены на рис. 22.5, в и г. 4. Характеристика типа насыщения (риса. По формуле (22.4) с учетом обозначений (22.12) и (22.14) находим что показано в зависимости от x 1 при разных σ 1 на рис. 22.6,6. По формулам же (22.9) и (22.11) находим выражение (22.13), где что изображено на рисе и г. § 22.2. Простейшие случайные процессы в нелинейных системах В данном параграфе рассматриваются такие задачи, в которых регулярная составляющая процессах (математическое ожидание) постоянна или медленно меняется во времени по сравнению с составляющими основных частот спектра случайной составляющей х сл Обратимся к нелинейным системам, динамика которых описывается уравнениями вида (22.15) где f(t) — внешнее воздействие, представляющее собой случайный процесс, причем Здесь f — заданное математическое ожидание (регулярная составляющая, а f сл — центрированная случайная составляющая. Пусть параметры системы таковы, что автоколебания отсутствуют и система устойчива относительно равновесного состояния. Применив статистическую линеаризацию (22.3) и подставив полученное выражение в заданное уравнение (22.15), разобьем последнее на два уравнения (22.18) соответственно для регулярных (математических ожиданий) и случайных центрированных) составляющих. При этом определяются для каждой заданной нелинейности, как указано в §. 22.1 Рассмотрим в общем виде две различные задачи. Первая задача. Если имеет место стационарный процесс, то величины f, х, х являются постоянными (имеет место некоторый установившийся режим) и уравнение (22.17) принимает алгебраический вид (22.19) Здесь фигурируют две неизвестные хи х. Поэтому в принципе отсюда можно лишь выразить величину х как функцию σ x : (22.20) Далее по линейной теории случайных процессов, описанной в главе 11, производится исследование уравнения (22.18). В этом уравнении величина f сл задана спектральной плотностью s f (w) или корреляционной функцией r f ( τ ). Линейная теория дает (22.21) где в выражении (22.22) необходимо х заменить найденной выше функцией (22.20). Тогда в уравнении (22.21) останется одна неизвестная величинах Учитывая формулы (11.91) и (11.92), уравнение (22.21) можно записать в виде (22.23) где h — постоянный множитель, выносимый за знак интеграла (формулы для вычисления интеграла I n приведены в приложении 2). Таким образом, путем решения уравнения (22.23) с подстановкой (22.20) будет найдено среднеквадратичное отклонение ха затем по формуле (22.20) будет вычислено и математическое ожидание х, те. полностью определится искомое приближенное решение уравнения (22.15): (22.24) Это решение справедливо для случая установившегося режима при стационарном случайном процессе. Однако зависимость х ( σ x ) далеко не всегда можно выразить из уравнения (22.19) в явном виде ввиду сложности выражениях, х. Поэтому в большинстве случаев придется решать совместно два уравнения, (22.19) и (22.23), либо численно, путем последовательных приближений, либо графически. Можно применять, например, следующий графический прием. Представим уравнение (22.19) в виде двух уравнений (22.25) Первое из них дает прямую 1 (риса, а второе — серию кривых 2 для различных постоянных значений х. Перенеся^все точки пересечения этих кривых с прямой 1 на плоскость координат х, х (рис. 22.7, б, получим зависимость σ х (х) в виде кривой 3, так как каждой точке пересечения на верхнем графике соответствовало определенное значение ах. После этого построим (рис. 22.7, б) еще одну зависимость σ х (х) в виде кривой 4 по формуле (22.23), подставляя в правую часть этой формулы значениях, взятые для каждого х из кривой 3. Очевидно, что координаты точки пересечения С кривых 3 и 4 представляют собой искомый результат совместного решения уравнений (22.19) и (22.23). Вторая задача Перейдем теперь к решению другой задачи, когда исследуется неустановившийся процесс. Часто в автоматических системах управления разложению искомого решения (22.24) на о их сл соответствует разложение его на полезный регулярный сигнал хи случайную помеху х сл . Когда полезный сигнал управлениях изменяется во времени, процесс уже не будет стационарным. Однако, если помехи (флуктуации) характеризуются спектром значительно более высоких частот, чем полезный сигнал, можно считать последний медленно меняющимся. Тогда можно исследовать случайный процесс в первом приближении как стационарный, применяя формулу (22.23). Но при этом для определения регулярной составляющей х нельзя пользоваться алгебраическим уравнением (22.19), а надо обращаться к дифференциальному уравнению (22.17). В этом случае описанное выше графическое решение не годится и следует поступать иначе. Сначала надо из уравнения (22.23) определить зависимость σ x (х. Для этого по аналогии с графическим решением (21.25) разобьем уравнение (22.23) на два уравнения (22.26) Первое из них дает параболу 1 (риса второе — серию кривых 2 при разных постоянных значениях х. Перенеся ординаты их точек пересечения на плоскость хи отложив для каждой из них соответствующие кривым 2 абсциссы х, получим в виде кривой 3 (рис. 22.8) искомую зависимость х (х. Подставив полученную зависимость х (х) в вычисленное для заданной нелинейности согласно § 22.1 выражение (22.27) исключим из него величину хи получим функцию от одной переменной (22.28) которую, как ив главе 19 и § 21.2, можно назвать функцией смещения , так как здесь, математические ожиданиях и F представляют собой смещения центра случайных составляющих. Когда функция смещения (22.28) найдена, ее можно подставить в уравнение (22.17); (22.29) и отсюда по заданной функции f(t) найти путем решения дифференциального уравнения регулярную составляющую процессах. В большинстве задач функция смещения (22.28) будет иметь вид плавной кривой (рис. 22.9), которую в некоторых пределах можно подвергнуть обычной линеаризации (22.30) В случае, если система такова, что линейная часть с передаточной функцией не пропускает спектр частот, соответствующий флуктуациям f сл (t) и определяемый спектральной плотностью s f (w), отыскание величины х значительно упрощается, а именно из (22.21) следует (22.31) тех не будет зависеть от формы нелинейности и от величины х. В этом случае вместо дифференцирования функции смещения (22.28) можно определить н непосредственно 2) из (22.27); Здесь k н получается как функция от σ x ; Затем надо подставить величину х, найденную из формулы (22.31). Вместо этого можно воспользоваться кривой на рис. 22.3, б, б, соответствующей найденному значению σ x . При этом вычисление интеграла (22.31) производится по готовым формулам σ x 2 = п (см. приложение 2). В результате подстановки (22.30) или (22.32) уравнение для определения регулярной составляющей (22.29) станет линейным (22.34) Оно решается при помощи обычного характеристического уравнения (22.35) Важно отметить, однако, следующее. Согласно формулами) величинах зависит от спектральной плотности помехи s f (w). Поэтому и определяемая через величину σ x форма функции смещения (22.28) и крутизна ее (рис. 22.9) зависят не только от параметров самой системы, но также и от спектральной плотности помехи s f (w). Но если н зависит от , то согласно (22.34) и (22.35) все статические и динамические качества и даже устойчивость системы по полезному сигналу будут зависеть не только от параметров самой системы, но и от параметров спектральной плотности внешней случайной помехи. Следовательно, устойчивая при отсутствии помех нелинейная система может при определенном уровне помех потерять свои качества, те. выйти из строя как система автоматического управления не по причине того, что система перестает фильтровать полезный сигнал, как бывает обычно, а потому, что основной контур регулирования меняет свои динамические качества с изменением k н или даже становится неустойчивым. Возможны случаи, когда это специфическое для нелинейных систем явление будет наступать раньше, чем система, рассчитанная как линейная, перестанет фильтровать полезный сигнал. С этой точки зрения учет фактически имеющихся в системе автоматического управления нелинейностей при наличии высокочастотных (по сравнению с полезным сигналом) помех является чрезвычайно важным для практики. Это столь же важно, как и учет влияния вибрационных синусоидальных помех, рассмотренный в § 21.2. Результаты решения обеих задач аналогичны. Очевидно, что описанное специфическое для нелинейных систем влияние помех в некоторых случаях может и улучшать динамические качества системы. Привлекательной стороной изложенного метода является то, что исследование качеств переходных процессов, всех частотных характеристики других качеств системы управления по полезному (регулярному) сигналу производится любыми методами линейной теории автоматического регулирования по уравнению (22.34). Несмотря на эту линеаризацию решения задачи, хорошо выявляются и все важные для практики специфические нелинейные явления благодаря описанному методу определения коэффициента k н, учитывающему несправедливость принципа суперпозиции для нелинейных систем. Важно иметь ввиду еще следующее. Исследуя методами линейной теории регулирования по уравнению (22.34) изменение статических и динамических качеств системы по полезному сигналу с изменением структуры и параметров этой системы, надо обязательно учитывать при этом и изменение самого коэффициента н, вытекающее из выражений (22.33) и (22.31) или (22.21). § 22.3. Пример исследования влияния случайных помех на динамику нелинейной системы На нелинейную систему автоматического управления (рис. 22.10) действует случайная помеха f(t), являющаяся высокочастотной по сравнению с медленно меняющимся полезным сигналом управления в данной системе. Проходя через нелинейное звено, помеха изменяет его коэффициент усиления по отношению к полезному сигналу (вторая задача § 22.2). Требуется оценить влияние этого явления на динамические качества данной системы автоматического управления по полезному сигналу. Уравнение замкнутой системы (рис. 22.10) в целом будет (22.36) где k = k 1 k 2 , х) — заданная нелинейность (рис. 22.10, б. При этом заданы k=18, k 2 = 60, k ос = 0,03, k 0 = 0,5, Т 0,5, Т = 0,02, c/b= 4. Помеха имеет нормальный закон распределения и задана спектральной плотностью (рис. 22.11) (22.37) где а = 0,05, β = 1,35, w 1 2 = 7,5, ϕ = 0,03. Меняя величину дисперсии помехи σ f 2 , характеризующую уровень помехи, будем определять динамические качества системы в зависимости от величины Произведя статистическую линеаризацию (22.3), разобьем уравнение системы (22.36) на два, соответственно для регулярной и случайной составляющих (22.38) Поскольку передаточная функция линейной части системы при заданных выше ее параметрах практически не пропускает частот, при которых спектральная плотность помехи (рис. 22.11) имеет существенное значение, то согласно (22.31) дисперсия помехи на входе нелинейного звена будет Чтобы привести этот интеграл к стандартному виду (§ 11.6), преобразуем сначала знаменатель спектральной плотности, а именно Тогда согласно обозначениям приложения 2 получим где В числителе же получим В результате находим (22.39) где согласно приложению 2 (22.40) Перейдем теперь к уравнению (22.38) для регулярной составляющей, те. для полезного сигналах. Функция F определяется в нем графиком рис. 22.6, б в зависимости от хи. В начальной части все кривые этого графика близки к прямым. Поэтому можно провести их обычную линеаризацию в виде (22.41) где k н крутизна вначале координат (рис. 22.6, б, которая зависит от величины σ 1 . Для данной задачи получим Физически величина k н является коэффициентом усиления полезного сигнала в нелинейном звене в присутствии помех, причем приведенная таблица дает зависимость этого коэффициента от уровня помехи, те. от среднеквадратичного ее значения σ 1 = σ x /b, на входе нелинейного звена. Как видим, увеличение уровня помехи ведет к существенному снижению коэффициента усиления полезного сигнала в нелинейном звене, что показано графически на рис. 22.12. Это составляет принципиальную особенность нелинейной системы, которая обусловливает зависимость всех ее статических и динамических качеств по полезному сигналу, в том числе и устойчивости, от уровня помех. Найдем, например, зависимость устойчивости системы от уровня помех. Для этого согласно (22.38) и (22.41) запишем характеристическое уравнение системы (22.42) Условие устойчивости системы по критерию Гурвица принимает вид (22.43) При заданных вначале параграфа параметрах это дает k н. Это согласно рис. 22.12 соответствует значению Но согласно (22.39) (22.44) где обозначено Эту величину удобно принять для выражения среднеквадратичного значения внешней помехи σ f в относительных единицах, учитывая, что согласно рис. 22.10 размерности переменных f(t) их связаны между собой именно через коэффициент k= Вычислив величину I 3 по формуле (22.40) при заданных выше параметрах системы, из (22.44) находим Это означает, что только при уровне помех, не превышающем указанного значения, данная система остается устойчивой. Далее она теряет устойчивость по полезному сигналу. Выясним теперь влияние параметров k и Т на устойчивость системы в присутствии помех. Для этого по формуле (22.43) найдем сначала границы устойчивости системы на плоскостях параметров k, k ни Т, k н (риса и б. На границе устойчивости для каждого значения k н по графику рис. 22.12 (или по приведенной выше таблице) находим величину k, а по ней согласно (22.44) и среднеквадратичное значение внешней помехи, при которой теряется устойчивость системы (22.45) Это позволяет перестроить найденные на рис. 22.13 границы устойчивости в новые координаты соответственно (риса и б. При этом надо иметь ввиду, что величина I 3 , согласно (22.40), зависит от параметра Т, вследствие чего вычисление по формуле (22.45) при построении графика рис. 22.14, б необходимо производить с учетом изменения I 3 при изменении Т. Как видим, с увеличением параметра k опасный уровень помех снижается, а при увеличении параметра Тон растет. Это вполне естественно, поскольку Т является, согласно рис. 22.10, коэффициентом интенсивности введения производной, улучшающим стабилизацию системы. По линейному уравнению, вытекающему из (22.38) и (22.41), используя линейную теорию автоматического регулирования, можно исследовать также и все другие динамические качества данной нелинейной системы по полезному сигналу в присутствии помех, учитывая, однако, при этом все время, что величина коэффициента k н зависит от уровня помех σ f , от общей структуры и от некоторых параметров системы. ГЛАВА 23 НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ § 23.1. Общие положения Ранее, в главе 12, была рассмотрена уже задача оптимизации систем автоматического регулирования в линейной постановке. Однако в большинстве случаев практики, когда на управление накладываются ограничения по величине, по скорости или другие, оптимальный закон регулирования становится нелинейным, если даже сам регулируемый объект описывается линейными уравнениями. Тогда система в целом после оптимизации становится нелинейной. Итак, здесь будет рассматриваться синтез такого закона регулирования, который оптимизирует процесс управления в системе по заданному критерию, причем этот закон регулирования оказывается нелинейным (23.1) Оптимизации может подвергаться также и временная программа управления. Наиболее простой является задача оптимизации системы регулирования по быстродействию, те. по минимуму времени переходного процесса при заданных начальных отклонениях и при отсутствии внешнего воздействия. Усложнение задачи возникает при усложнении критерия оптимизации в виде минимума функционала (23.2) или же при усложнении ограничений, задаваемых в виде неравенства также при повышении порядка уравнений системы и при наличии внешних воздействий. Внешние воздействия и начальные условия могут быть заданы в детерминированной форме или же вероятностными характеристиками. Существуют различные методы оптимизации процессов управления и регулирования. Ниже будет в простейшем виде изложено использование принципа максимума Л. С. Понтрягина [96], а затем последовательная оптимизация на базе нелинейного программирования, разработанная В. М. Пономаревым [105]. Другие важные направления развиты в работах Н. Н. Красовского [63] и др, ранее уже рассматривались работы А. М. Летова [77] и принцип динамического программирования Р. Беллмана [5]; см. также книги [60, 95, 133]. § 23,2. Синтез оптимальной системы с использованием принципа максимума Принцип максимума, используемый в теории (оптимальных систем, разработан школой Л. С. Понтрягина [96]. Допустим, что уравнения динамики системы автоматического регулирования заданы в следующей общей форме (нелинейной (23.4) без переменных во времени коэффициентов и без внешнего воздействия, где x1, х, ..., х — переменные, относящиеся к заданной части системы, включающей в себя регулируемый объект и неизменяемую в процессе синтеза часть регулятора u1, u2,..., иm—переменные, выражающие воздействия проектируемой части регулятора на заданную часть системы и называемые коротко управлениями. Неизменяемой частью регулятора может быть, например, его силовая часть (привод регулирующего органа тогда u 1 , . . ., u r будут воздействиями измерительно-преобразовательной части регулятора на его силовую часть (рис. 23.1). В заданные уравнения системы (23.4) не входят уравнения проектируемой преобразовательной части регулятора, которые должны быть найдены в процессе синтеза в виде зависимостей (закон регулирования) (23.5) Во всякой реальной системе величины управлений u j будут ограниченными, например, или любой другой определенной областью допустимых значений. Критерием оптимальности системы пусть будет минимум некоторого функционала (23.6) Для удобства решения задачи вводится дополнительная искусственная переменная х (t), определяемая уравнением (23.7) а также еще вспомогательные переменные ψ 0 , линейными однородными уравнениями (23.8) Если ввести теперь вспомогательную функцию Н в виде (23.9) то все уравнения (23.4), (23.7) и (23.8) можно объединить в одну систему, типа известной из механики системы уравнений Гамильтона, а именно (23.10) (23.11) Принцип максимума гласит, что для оптимальности системы, те. для получения минимума функционала I(23.6), необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций ψ 0 (t), . . ., ψ n (t), что при любом I, находящемся в заданном интервале t 0 , величина Н, как функция переменных u1, . . ., ur, в заданной области их допустимых значений достигает максимума (23.12) причем ψ 0 и M -постоянны во времени и (23.13) Для простейшего случая оптимальности — оптимальности по быстродействию — имеем о = 1, а функция Н принимает вид где (23.14) В этом случае прежние искусственные величины с нулевыми индексами ненужны. Гамильтонова система уравнений принимает вид (23.15) (23.16) Формулировка принципа максимума для оптимальности системы по быстродействию необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций ψ 1 (t), . . ., ψ n (t), что для всех 2 в заданном интервале t 0 . функция Н переменных u 1 , . . ., u n в заданной области их допустимых значений достигает максимума (23.17) причем величина М постоянна во времени и (23.18) Согласно приведенным формулировкам принцип максимума дает только необходимые условия оптимальности. Вопрос же о существовании ее и о случаях достаточности этих условий очень труден. Поэтому в практических приложениях заранее интуитивно предполагают достаточность по физическому смыслу исследуемой системы. Применение принципа максимума проиллюстрируем сначала на двух простейших примерах, когда решение задачи доводится до конца в аналитической форме [96]. Пример 1. Система задана уравнением (23.19) Требуется найти уравнение преобразовательной части системы u = х, чтобы система была оптимальной по быстродействию при переходе ее из произвольного начального состояния в равновесное состояние (х = 0, |