Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем

• Название: 3 Примеры непрерывных автоматических систем
• Анкор: Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975.pdf
• Дата: 24.04.2017
• Размер: 25.93 Mb.
• Имя файла: Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П..pdf
• Тип: Документы; #2232
• страница: 51 из 57

§ 20.2. Примеры исследования колебательных переходных процессов Рассмотрим сначала построение диаграммы качества и кривой переходного процесса на примере нелинейной следящей системы, а затем исследуем Переходный процесс в нелинейной системе с логическим устройством. Пример 1. Структурная схема следящей системы изображена на рис. 20.5, где 1 — датчик рассогласования, 2 — усилитель, 3 — реле, 4 — исполнительный двигатель, 5 — редуктор, 6 — управляемый объект, 7 — дополнительная обратная связь.

Системы с такой структурной схемой находят применение в тех случаях, когда для управления двигателем нужна значительная мощность, а увеличение габаритов и веса усилителя нежелательно. Для датчика рассогласования системы имеем уравнения ,
(20.40) где аи соответственно входная и выходная величины системы, k1 - передаточное число датчика рассогласования, v — рассогласование. Статическая характеристика нелинейного звена — реле — изображена на рис. 20.6. Выполняя гармоническую линеаризацию нелинейной характеристики реле, получим уравнение
(20.41) где в соответствии с (18.16) для однозначной релейной характеристики с зоной нечувствительности коэффициент гармонической линеаризации определяется формулой
(20.42) Учитывая уравнение датчика рассогласования (20.40), гармонически линеаризованное уравнение реле (20.41) и передаточные функции других линейных звеньев, приведенные на рис. 20.5, запишем уравнение для собственного движения (а = 0) следящей системы в виде
(20.43) Характеристическое уравнение, соответствующее полученному дифференциальному уравнению, будет
(20.44) Произведем вначале построение диаграммы качества по первому способу, указанному в §
20.1. Для этого в уравнении (20.44) необходимо произвести подстановку р =
ξ
+ jw с использованием формулы (20.19). Вычисляя соответствующие производные характеристического полинома (20.44) пори подставляя р =
ξ
в полученные выражения производных, найдем коэффициенты разложения вряд уравнения (20.44) при р =
ξ
+jw, которое в результате распадается наследующие два уравнения
(20.45)
(20.46) Из последнего уравнения определяем квадрат частоты
(20.47) Подставляя значение w
2
в уравнение (20.45),

(20.48) Построим диаграмму качества для следящей системы по параметру k
1
, те. по передаточному числу (крутизне характеристики) датчика рассогласования. Так как затухание
ξ
в (20.48) входит нелинейно, то удобно данное уравнение разрешить относительно параметра k
1
. В результате получим
(20.49) Для построения диаграммы зададимся следующими значениями других параметров Т сек, Т =0,05 сек, k2 = 1, k3 = 200 град/сек- в, k4 = 0,01, ос = 10

3
сек-в/град, в, св. Подставляя приведенные значения параметров в (20.49) и задаваясь различными постоянными значениями показателя затухания
ξ
= const, строим кривые a(k1) (рис.
20.7). На основании формулы (20.47) при постоянных значениях частоты w= const строим также пунктирные кривые а (k1). Эти кривые представляют собой диаграмму качества для рассматриваемой следящей системы. Кривая а (k1) при
ξ
= 0 соответствует автоколебаниям. Выполним теперь построение диаграммы качества по второму способу, указанному в §
20.1. Уравнение (20.44) запишем в виде где Формулы (20.32) и (20.33) с этими значениями А, А, А позволяют построить диаграмму затухания нелинейных процессов по любому из параметров системы. Для параметра Ь при выбранных значениях других параметров следящей системы это дает тот же результат, что ив предыдущем случае. Аналогичное построение диаграммы качества переходного процесса для той же системы при отключении дополнительной обратной связи дает результат, представленный на рис.
20.8. В данном частном случае линии
ξ
= const и w = const накладываются друг на друга.

Сравнивая полученные диаграммы для случаев наличия дополнительной обратной связи и отсутствия обратной связи, убеждаемся, что за счет обратной связи расширяется область затухающих колебательных процессов (область левее и выше линии
ξ
= 0, соответствующей автоколебаниям. Кроме того, при тех же самых значениях параметра k1 в случае наличия обратной связи в области затухающих процессов получается большее по абсолютной величине затухание, чем без обратной связи. Например, при k1 = 8 и а 90° при наличии обратной связи затухание
ξ
=-4, тогда как в случае отключенной обратной связи
ξ
=-2. Это говорит о том, что обратная связь приводит к увеличению быстроты затухания переходного процесса. Полученные диаграммы качества позволяют оценить переходный процесс в нелинейной системе, если заданы параметры последней, а также дают возможность решить и обратную задачу, те. выбрать значения параметров из условия заданного качества переходного процесса. Кроме того, по диаграммам качества легко построить огибающую амплитуд переходного процесса и найти изменение частоты процесса от периода к периоду, те. в конечном счете выполнить приближенное построение переходного процесса. Для определения погрешности метода на рис. 20.9 построен переходный процесс в рассматриваемой системе численно-графическим методом Башкирова [98] при значении

параметра k1 = 5 в/град и при начальном значении амплитуды колебаний a
0
= 250 в.На том же рис. 20.9 изображена пунктиром огибающая переходного процесса, построенная приближенно на основании диаграммы качества (рис. 20.7). Из выполненного построения видно, что приближенный расчет по методу гармонической линеаризации дает небольшую погрешность при определении огибающей. На рис. 20.10 показан характер переходных процессов в той же системе при повышенной крутизне датчика рассогласования k1 = 10 в/град. В данном случаев установившемся режиме имеют место автоколебания с амплитудой а = 42 в. На рис. 20.11 построен переходный процесс в той же системе при k1 = 10 в/град для случая, когда система приходит к указанному режиму автоколебаний от малых начальных отклонений (снизу. Там же показана огибающая а (t), найденная по методу гармонической линеаризации на основании диаграммы качества. Приближенный метод дает достаточно хорошие результаты ив том случае, когда колебания затухают практически за один период (рис. 20.12). Пример 2. В главе 17 было рассмотрено точное исследование переходного процесса в идеальной системе с логическим устройством. Исследуем теперь приближенным методом переходный процесс в реальной системе с учетом нескольких постоянных времени, имея ввиду, что он сходится к автоколебаниям с некоторой амплитудой а = а п, которые изучались в § 18.4. Найдем зависимости показателя затухания
ξ
и частоты w отменяющейся в переходном процессе амплитуды ат. е. зависимости
ξ
(а, w (а. Тогда, зная начальную амплитуду аи конечную а = а п, можно судить о качестве переходного процесса по соответствующим значениям показателя затухания
ξ
и частоты w. Формула для гармонической линеаризации нелинейности вместо (18.153) принимает вид

где q и q' определяются прежними формулами (18.154), так как последовательность переключений, согласно рис. 20.13, остается прежней. Но значения входящих в q и q' тригонометрических функций (18.151) и (18.152) изменятся следующим образом. При определении аи и а v
через а нужно в соответствующие передаточные функции подставить р =
ξ
+ jw, что дает аналогичные выражения получаются для аи. Сравнивая их с (18.149) приходим к выводу, что в формулах (18.151) и (18.152) вместо а, T1w, aw, T2w должны быть поставлены соответственно выражения
(20.50) В результате q и q' будут функциями всех трех величина' (а, w,
ξ
) Характеристическое уравнение вместо (18.155) примет вид где После подстановки р =
ξ
+jw по формуле (20.19) получаем вещественную и мнимую части

Отсюда находим
(20.51) Будем задаваться разными значениями
ξ
и w и строить на основании уравнений (20.51) линии равных значений
ξ
и w на плоскости координата (рис. 20.14). Для этого для заданных
ξ
, со сначала строится кривая отношения q (а' (а) (рис. 20.15). Согласно
(20.51) это отношение должно быть равно определенному числу q (а' (а) = f1/f2, чем определится значение а (рис. 20.15) для данных
ξ
, w. После этого для них вычисляется значение k=f1/q. Таким путем по точкам строится вся диаграмма качества нелинейного переходного процесса (рис. 20.14). Линия
ξ
= О соответствует зависимости амплитуды установившихся автоколебаний от коэффициента усиления А. При любом заданном А изменение показателя затухания
ξ
и изменение частоты w вовремя переходного процесса определится прямой А = сонз1; (рис. 20.14, пунктир. Результат показан на рис. 20.16. Это позволяет судить о быстроте затухания и о количестве колебаний за время переходного процесса. Заметим, что решение задачи несколько упростится при малом
ξ
. В этом случае, считая постоянные времени измерителей T1 и T2 достаточно малыми, можем пренебречь произведениями Т ив выражениях (20.50) и пользоваться прежними выражениями q и q' (18.151) с подстановками (18.151) и (18.152). Кроме того, в написанных выше выражениях для X и Y нужно сохранить только первую степень
ξ
:

В принципе решение не меняется. Изложенный метод решения задачи отличается тем, что он одинаково пригоден к различным системам, описываемым уравнениями любого порядка, и не связан с построением годографов на комплексной плоскости.
§ 20.3. Система с нелинейным корректирующим устройством На примере конкретной следящей системы (рис. 20.17) рассмотрим некоторые особенности введения специальных нелинейных корректирующих устройств, использование которых приводит к тому, что переходный процесс системе имеет такой вид, как будто инерционность двигателя вовремя переходного процесса существенно уменьшается [134]. На рис. 20.18 тонкой линией показано, что при синусоидальных колебаниях вследствие инерционности двигателя ошибка реальной системы р, отстает от ошибки при идеальном двигателе и на угол
ψ
= arctgwT, где w — частота колебаний, Т — постоянная времени двигателя.

Введение нелинейных динамических корректирующих сигналов в данном случае производится таким образом, чтобы деформировать вид кривой ошибки р, как показано штриховкой на рис. 20.18. Для отыскания численных соотношений, определяющих зависимость между интервалом введения динамического корректирующего сигнала и эквивалентными параметрами двигателя, разложим заштрихованную кривую (рис. 20.18) вряд Фурье и сравним с кривой ошибки и при безынерционном двигателе. Ограничиваясь основной гармоникой колебаний, получим
(20.52) где или
(20.53) Заметим, что амплитуда ошибки напряжения а соотношением
δ
0 связана с амплитудой управляющего напряжения а соотношением
δ
0
=k
4
k
5
a cos
ψ
. При этом выражения для коэффициентов гармонической линеаризации примут вид
(20.54) Поэтому гармонически линеаризованное уравнение двигателя с указанной нелинейной коррекцией будет
(20.55) где и U обозначены на рис. 20.17.| Оно позволяет совместно с уравнениями остальных звеньев системы проводить анализ системы. Однако использование уравнения (20.55) технически не всегда бывает удобно. Недостатком формы записи его является то, что двигатель, по существу, является инерционным звеном, в то время как уравнение его получилось в форме уравнения звена с введением производной, причем q' < 0. Для получения передаточной функции двигателя обычного вида необходимо сделать некоторые специальные преобразования. Будем искать ее в виде
(20-56) с неизвестными пока k* и Т. Потребуем, чтобы (20.56) и (20.55) были эквивалентны друг другу. Уравнение (20.56) запишем в виде
(20.57) и подставим в него значения d Ω /dt и из (20.55):
(20.58) Для случая исследования автоколебаний и устойчивости системы выражение для напряжения U принимается в виде

Подставив это в уравнение (20.58) я выделив члены с синусами и косинусами, получим систему уравнений откуда находим
(20.59) Таким образом, передаточная функция двигателя с нелинейной коррекцией имеет вид
(20.60) Заметим, что в данном случае q' (аи эквивалентная постоянная времени звена Т, как это и должно быть, положительна. Из выражения (20.59) видно, что для уменьшения постоянной времени двигателя нужно уменьшить величину | q' |. Найдем передаточную функцию двигателя с указанной нелинейной коррекцией для исследования переходного процесса. Вместо (20.55) получим
(20.61) Передаточную функцию двигателя с нелинейной коррекцией, как и прежде, ищем в виде (20.56) или Подставим сюда значения и из (20.61). Получим
(20.62) Затем, учитывая форму решения (20.7), (20.8), запишем выражения и подставим их в (20.62). Разделяя там члены с синусами и косинусами, получим систему уравнений Отсюда находим выражения для эквивалентного коэффициента усиления и постоянной времени
(20.63)
(20.64) Они отличаются от выражений (20.59), выведенных для случая исследования автоколебаний и устойчивости, наличием членов с
ξ
/w, характеризующих переходный процесс.

Поскольку в полученные формулы величина показателя затухания
ξ
входит только в составе дроби
ξ
/w, причем практически при исследовании колебательных переходных процессов часто w>
ξ
, то во многих случаях и для переходных процессов можно использовать более простые формулы (20.59). Используя выражения, полученные для коэффициентов гармонической линеаризации
(20.54), и выражения для эквивалентных параметров двигателя (20.63) и (20.64), можно найти общее выражение для эквивалентной постоянной времени двигателя при использовании данного вида нелинейных корректирующих сигналов
(20.65) В тех случаях, когда требуется значительно скомпенсировать вовремя переходного процесса отрицательное влияние инерционности двигателя, необходимо ввести упреждение
γ
(рис. 20.19). Графики коэффициентов гармонической линеаризации и эквивалентных значений постоянной времени и коэффициента усиления звена для подобного типа корректирующих сигналов приведены на риса, б, в при разных значениях у- Из рис. 20.20, в виден эффект уменьшения инерционности приводного двигателя за счет описанной коррекции.

Для оценки влияния нелинейных корректирующих сигналов рассмотрим процессы в следящей системе, схема которой изображена на рис. 20.17. Перед усилителем следящей системы (или в первых каскадах усилителя) установлено логическое устройство, которое включает корректирующий сигнал. В те интервалы времени, в которые знаки анализируемых сигналов U и не совпадают, в системе формируется корректирующий сигнал, который на время
τ и подается для выключения сигнала ошибки. Уравнения системы имеют вид
(20.66) Отсюда выражение для ошибки системы с учетом выражений (20.59) будет
(20.67) Характеристическое уравнение системы будет где
(20.68) Для определения автоколебаний и устойчивости воспользуемся коэффициентным методом (§ 18.2). По критерию Гурвица (А- А = 0) находим критический коэффициент усиления
(20.69) причем уравнение для частоты колебаний системы получает вид
(20.70)

Решение системы этих двух уравнений целесообразно производить методом последовательных приближений. Производя вычисления для заданных значений параметров системы T
1
= сек, Т = секс в-сек/град, k
4
= 200 град/сек-в,
γ
= 30°, получим В линейной следящей системе (без нелинейной коррекции) k кр при таких же параметрах значительно ниже. Для определения качества переходных процессов используем формулы (20.32) и (20.33), что дает Решая эти уравнения методом последовательных приближений для значения коэффициента усиления системы k ст = 300 сек, получим значение показателя затухания и частоты колебаний
ξ
= — 5,25 сек, w = 55 сек. Длительность переходного процесса здесь составляет примерно 0,5 сек, а перерегулирование — 74%. Для того чтобы получить аналогичное качество переходного процесса в линейной системе без использования нелинейных динамических корректирующих сигналов, необходимо, чтобы коэффициент усиления системы был не более 90 секте. примерно в 3 раза меньше, чем в нелинейной системе. При этом показатель затухания и частота колебаний будут равны
ξ
= —5 сек, w= 40,5 сек. Длительность переходного процесса в данном случае будет равна t1
≈ 0,6 сек. На рис. 20.21 приведены результаты точного решения исходных нелинейных уравнений для следующих значений параметров системы k
1
k
2
= 2000, k
3
= 1, k
4
= 200 град/сек в, k5=
10
-3
, с 0, Т = 0,04 сек, Т = 0,02 сек.Точное значение коэффициента затухания
ξ
т
=-9сек
-1
отличается от приближенного
ξ
= -7 сек в данном случае на 22%. Точное значение частоты колебаний w т =52 сек отличается от приближенного значения w= 54 сек на 4%. Подобная точность определения параметров переходного процесса может считаться вполне приемлемой. При наличии в системе дополнительной нелинейности типа насыщения, что практически почти всегда имеет место, 'величина первого перерегулирования существенно уменьшается
§ 20.4. Применение логарифмических частотных характеристик для исследования нелинейных законов регулирования Аппарат логарифмических частотных характеристик является простым расчетным средством линейной теории регулирования. Многие расчеты нелинейных систем, основанные на гармонической линеаризации нелинейностей, могут быть также переложены на язык логарифмических частотных характеристик. Однако, имея ввиду желательность наибольшей простоты расчета, будем здесь вместо гармонического коэффициента усиления а) лрименять эквивалентный коэффициент усиления нелинейного звена х
(20.71)

Это выражение х) является точным для любой заданной точки графиках. Требуется определить коэффициент усиления амплитуды колебаний. Выше он записывался в виде а. Теперь же введем коэффициент усиления амплитуды в виде Большое его практическое преимущество состоит в простоте вычисления k по виду хи обратно, что затруднено в гармонической линеаризации. Строго говоря, это выражение а) соответствует несинусоидальным, а прямоугольным колебаниям (рис. 20.22), где действительно А = а) а (прямоугольная линеаризация. Однако вычисления показывают, что значения (аи а) для многих типовых нелинейностей отличаются друг от друга всего на несколько процентов, что вполне приемлемо для приближенных инженерных расчетов. Проиллюстрируем метод исследования на примере системы с нелинейным законом регулирования, формируемым в нелинейных блоках ирис, при учете нелинейности р = Р (σ ) в виде ограничения по скорости исполнительного привода. Система имеет три контура внутренний контур 1, промежуточный контур 2, внешний контур 3. Параметры внутреннего контура и объекта управления заданы. Задача состоит в отыскании структуры и параметров нелинейных блоков промежуточного и внешнего контуров, те. нелинейных передаточных функций и W
z
, обеспечивающих

наилучшие характеристики управления величинами
ψ
ив смысле устойчивости, а также точности стабилизации 1 при воздействии на систему возмущений f у и f Передаточная функция внутреннего контура тоже будет нелинейной
(20.72) где При этом с увеличением сигнала
σ (при σ > σ
0
) значение постоянной времени
τ (σ ) увеличивается. Передаточная функция разомкнутого промежуточного контура для рассматриваемого примера будет
(20.73) Если внутренний контур работает в линейной зоне (те. при
σ <σ
0
), то по линейной теории регулирования рекомендуется выбрать структуру блока ф в виде
(20.74) причем, на основании требований к быстродействию и к величине перерегулирования,
(20.75) где n — некоторое число, выбор которого зависит оттого, какой коэффициент колебательности и запас по фазе необходимо обеспечить, а о — постоянная времени рулевого тракта прите. При выборе параметров регулятора по формулам (20.75) частота среза w сбудет лежать на ветви логарифмической амплитудно-частотной характеристике. Однако при
σ > о внутренний контур будет работать в зоне насыщения скоростной характеристики и постоянная времени
τ (σ ) будет увеличиваться с увеличением σ . Это может привести при выбранных выше параметрах Таи к значительной колебательности и даже потери устойчивости в случае, когда
(20.76) Поэтому для обеспечения устойчивости при
σ >σ
0
необходимо брать значения n завышенными, но тогда окажутся неудовлетворительными характеристики стабилизации прите. невозможно обеспечить хорошую настройку системы регулирования

с по постоянных k
1
и T
a для всех режимов. В таком случае вместо (20.74) целесообразно вводить нелинейный закон регулирования, при котором параметры блока будут зависеть от величины сигнала. Стабилизация фазовой характеристики. За счет влияния нелинейности F(0) внутреннего контура наблюдается зависимость частотных характеристик не только от частоты w (как в линейных системах, но и от амплитуды сигнала на входе
σ . В результате амплитудная и фазовая частотные характеристики будут плавать с изменением амплитуды
σ , как показано на рис. 20.24 для некоторых двух значений σ
1
и
σ
2
. Условие стабилизации фазовой характеристики можно записать в виде
(20.77) Передаточной функции (20.73) соответствует выражение для фазовой характеристики
(20.78) Но где Поэтому условие стабилизации фазовой характеристики (20.77) принимает вид или
(20.79) Отсюда, взяв нелинейную передаточную функцию в виде
(20.80) получим условия
(20.81) В частности, если принять k1 = const, то
(20.82)

На рис. 20.25 представлена схема соответствующего нелинейного блока с передаточной функцией Видно, что при значении Т ) < T1(σ ) можно с достаточным приближением реализовать стабилизацию фазовой характеристики. На рис. 20.26 изображена л. ах. разомкнутого промежуточного контура, построенная по передаточной функции без учета нелинейного корректирующего контура, а на рис. 20.27 изображены стабилизированные за счет нелинейной коррекции амплитудная и фазовая характеристики данной нелинейной системы для промежуточного контура 2 (рис. 20.23). Можно рекомендовать иной способ стабилизации фазовой характеристики, используя управляющую функцию вида
(20.83) В этом случае отрицательное влияние постоянной времени
τ (σ ) компенсируется введением дополнительного демпфирования с помощью слагаемого k
2
|
σ | р
ψ
Аналогичными приемами можно стабилизировать запас по фазе, показатель колебательности и т. п, те. исключить плавание этих характеристик из-за нелинейности при изменении величины сигнала. Обеспечение повышенной точности внешнего контура. Поставим задачу выбора структуры и параметров блока W
z
(рис. 20.23), обеспечивающего устойчивость внешнего контура и повышенную точность стабилизации величины z с учетом ранее выбранной структуры и параметров первого и второго контуров. Передаточная функция промежуточного контура по отношению к управляющему воздействию будет

Если рассматривать наиболее характерные частоты, влияющие на работу внешнего контура, тесто получим
(20.84) В случае линейной системы блок W
ψ
имеет структуру (20.74), а блок внешнего контура должен иметь следующую структуру
(20.85) причем по рекомендации линейной теории
(20.86) где n' — некоторое число, выбор которого зависит от требований к колебательности и запасу по фазе внешнего контура. Зависимость установившейся ошибки z уст от возмущений f z
и f у определяется формулой
(20.87) Для уменьшения установившейся ошибки z уст при ранее выбранном k
4
необходимо увеличивать m1. Однако предельное значение m1 ограничено требованием обеспечения устойчивости системы. Для уменьшения установившейся ошибки можно рекомендовать нелинейный закон регулирования, например, в виде
(20.88) Тогда
(20.89) где Передаточная функция разомкнутого внешнего контура
(20.90) На рис. 20.28 представлены логарифмические амплитудные частотные характеристики, соответствующие этой передаточной функции. Характерно, что частота среза w св данном случае не зависит от величины сигнала z. Характеристика 1 соответствует малым сигналам, а 3 — большим сигналам. Величина установившейся ошибки в данной системе будет

(20.91) Расчеты и моделирование показывают, что таким путем можно в несколько раз повысить установившуюся точность по сравнению с линейным законом регулирования при сохранении устойчивости и требуемых запасов по фазе и по амплитуде.

ГЛАВА 21 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 21.1. Симметричные одночастотные вынужденные колебания Проблема определения вынужденных колебаний нелинейных систем вообще является весьма сложной и многообразной. Поскольку принцип наложения решений суперпозиция) здесь несправедлив, то, вообще говоря, нельзя складывать частные решения при различных, внешних воздействиях, найденных по отдельности, а также складывать свободные и вынужденные колебания. Особое нелинейное сложение решений возможно в случае, если решения разделяются по степени медленности протекания их во времени (те. по значению возможных частот колебаний, аналогично тому, как это делалось в главе 19. При этом каждое из складываемых решений существенно зависело от другого, а именно амплитуда автоколебаний существенно зависела от величины смещения, характеризующей медленно протекающие процессы. Такого же рода разделение решений для вынужденных колебаний будет рассмотрено ниже, где появится возможность рассмотрения нелинейных двухчастотных колебаний с большой разностью частот. Не касаясь сложных форм вынужденных колебаний нелинейных систем (хотя их исследование также имеет большое практическое значение, ограничимся в данном параграфе определением одночастотных вынужденных колебаний, когда колебания системы происходят с частотой внешнего периодического воздействия. Форма колебаний, как и прежде, на основании свойства фильтра будет считаться близкой к синусоидальной для переменной х, стоящей под знаком нелинейной функции. При рассмотрении вынужденных колебаний во многих случаях возникают ограничения, накладываемые на амплитуду и частоту внешнего периодического воздействия (зависящие также и от параметров системы) и обусловливающие существование одночастотных вынужденных колебаний в нелинейной системе. Будем их кратко называть условиями захватывания (в указанном широком смысле. Особое значение эти условия приобретают для автоколебательных систем при частотах, близких к частоте автоколебаний и выше. Итак, пусть имеется некоторая нелинейная автоматическая система, в любом месте которой приложено внешнее синусоидальное воздействие
(21.1) Пусть уравнение динамики системы приведено к виду
(21.2) Выполнение условий фильтра (§ 18.2), а также выводимых ниже условий захватывания где это необходимо) позволяет в первом приближении искать решение для установившихся вынужденных колебаний системы в синусоидальной форме
(21.3) где искомыми неизвестными постоянными будут амплитуда а в и сдвиг фазы
ϕ
, в то время как частота сов здесь уже задана выражением (21.1). В отличие от такой типичной постановки задачи можно будет, конечно, в дальнейшем решать и обратную задачу определения потребной частоты w вили амплитуды В внешнего воздействия по заданной амплитуде вынужденных колебаний а в и т. п. Чтобы иметь возможность применить тот же общий подход к решению задачи, который был принят при отыскании автоколебаний, выразим в уравнении (21.2) переменную f через х. Согласно (21.1) Отсюда, принимая во внимание выражение (21.3) для хи выражение для его производной

окончательно получаем
(21.4) Подставив это выражение в заданное дифференциальное уравнение системы (21.2), получим
(21.5) Таким образом, неоднородное нелинейное уравнение (21.2) при заданном внешнем воздействии (21.1) и предполагаемой форме решения (21.3) сведено к однородному нелинейному уравнению (21.5), содержащему добавочный член в левой части. Уравнение
(21.5) аналогично прежнему уравнению (§ 18.2) и отличается от него только заменой операторного многочлена р) на новый операторный многочлен, стоящий в (21.5) в квадратных скобках. Применяя при отыскании синусоидального периодического решения формально тот же метод, что ив главе 18, нужно потребовать выполнения свойства фильтра от этой новой системы. Заданная нелинейность х, рх) должна допускать симметричные колебания, те. должно выполняться условие
(21.6) Итак, получив для определения вынужденных колебаний однородное уравнение (21.5), можно, как ив, произвести гармоническую линеаризацию нелинейности
(21.7) где
(21.8) причем согласно (21.3)
(21.9) что, однако, не влияет на результат вычисления q и q'. Поэтому при определении симметричных однозначных вынужденных колебаний можно целиком пользоваться готовыми выражениями для q и q', приведенными в главе 18, с заменой в них а, w на а в, в. Таким образом, для каждой нелинейности в общем случае получаются зависимости
(21.10) а во многих частных случаях (см. главу 18)—
(21.11) В результате из (21.5) и (21.7) получаем характеристическое уравнение для первого приближения
(21.12) Подставляя сюда чисто мнимое значение р = jw в, что соответствует отысканию синусоидального решения (21.3), получаем

(21.13) Замечая, что из уравнения (21.13) находим, что
(21.14) Возможны два метода дальнейшего решения задачи. Эти методы остаются справедливыми и для нелинейных систем с временным запаздыванием
τ , когда выражение (21.14) принимает вид
(21.15) или другой аналогичный вид, содержащий
τ . Графический метод. Для каждого значения частоты при заданных параметрах системы на комплексной плоскости строится кривая (рис. 21.1)
(21.16) Эта кривая соответствует левой части равенства (21.14). Правая же часть (21.14) изобразится в виде окружности радиуса В. Пересечение ее с кривой а в) дает решение задачи, причем в точке пересечения по дуге окружности определяется фазовый сдвига по кривой Z (а в) величина амплитуды а в вынужденных колебаний. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний а вот частоты w в (рис. 21.2, б) можно получить, если на рис. 21.1 начертить серию кривых а в) при разных постоянных значениях сов (риса. Таким же путем, строя кривые а в) при разных постоянных значениях какого-нибудь параметра k (риса, можно определить зависимость а вот любого параметра системы k (рис. 21.2, в, входящего в выражение (21.16) для Z(ав). Для отыскания зависимости а вот амплитуды внешнего воздействия В нужно нанести серию концентрических окружностей разных радиусов В (риса. При этом

возможны два случая 1) когда имеется точка пересечения окружности с кривой Z(ав) при любой величине радиуса В, начиная от нуля, что дает зависимость а в
(В), например, в виде рис. 21.3, б 2) когда точка пересечения окружности с кривой а в) существует только при значениях радиуса В, превышающих некоторое пороговое значение В
пор
(риса, что приводит к зависимости а в
(В) типа рис. 21.3, в. Графическое определение В
пор ясно из чертежа. Можно построить зависимость пороговой амплитуды В
пор внешнего воздействия от частоты w в при заданных параметрах системы рис. 21.3, г) или от любого параметра k приданной частоте w в рис. 21.3, д. Последнюю зависимость можно найти с помощью риса построенного для серии кривых а в, соответствующих различным k. Рассмотренный второй случай, когда система переходит на одночастотные колебания с частотой w в только при В >В
ПОР
, наблюдается чаще всего в таких нелинейных системах, которые до приложения внешнего периодического воздействия работают в автоколебательном режиме. При этом величина В
пoр обращается в нуль в том случае, когда частота w в совпадает с частотой автоколебаний w п данной системы (рис. 21.3, г.
В
пор равно нулю обычно также в области отсутствия автоколебаний (область устойчивости равновесия системы, рис. 21.3, д. Тогда выше кривых на рис. 21.3, г, д будут лежать значения амплитуды В внешнего воздействия, при которых существует одночастотный режим вынужденных колебаний с частотой w в (область захватывания, а при значениях, лежащих ниже кривой, будет иметь место более сложное вынужденное движение системы. Это и является определением (пока графическим) условий захватывания, о которых говорилось выше. В других нелинейных системах может быть В
пор
= 0, как в случае рис. 21.3, б. Аналитический метод Из равенства (21.14) или (21.15) можно получить аналитические выражения для определения амплитуды а в и сдвига фазы
ϕ
одночастотных вынужденных колебаний нелинейной системы. Для этого выделим вещественные и мнимые части числителя и знаменателя и запишем равенства для модулей и аргументов обеих частей уравнения (21.14) или (21.15):
(21.17)
(21.18)

где X и Y — вещественная и мнимая части числителя выражения (21.14) или (21.15), Хи вещественная и мнимая части знаменателя, те в. При этом X и Y соответствуют левой части заданного нелинейного уравнения (21.2), те. являются теми же самыми выражениями X и Y, которые применялись при исследовании автоколебаний
(§ 18.2), а Х к являются новыми выражениями, соответствующими правой части заданного нелинейного уравнения (21.2). Как видим, выражение (21.17) может, вообще говоря, оказаться довольно сложным алгебраическим уравнением относительно а в. Однако важно то, что это уравнение содержит лишь одну неизвестную а в, которая, следовательно, так или иначе может быть определена. После этого фазовый сдвиг
ϕ
легко вычисляется по формуле (21.18). Напомним, что и при отыскании автоколебаний (глава 18) часто получалось сложное относительно а уравнение, но это не вызывало больших затруднений. Действительно, в большинстве случаев интересуются тем, как будет изменяться амплитуда вынужденных колебаний а в в зависимости от частоты и амплитуды внешнего воздействия, а также при изменении того или иного параметра системы. Указанные параметры могут входить в уравнение (21.17) более простым образом, чем амплитуда а в. Тогда уравнение (21.17) можно будет разрешить в явном виде относительно любого из этих параметров, а затем, задаваясь разными значениями ав и вычисляя по найденной формуле рассматриваемый параметр, можно построить искомые зависимости а в
(В), а вили в) и т. п затем по формуле (21.18) можно также вычислить для каждого случая фазовый сдвиг Например, возможен следующий простой прием решения уравнения (21.17). Для каждой заданной частоты внешнего воздействия а в будем задаваться разными значениями а в и вычислять каждый раз величину В. По результатам этих вычислений легко строится график (рис. 21.4), который и представляет собой искомое решение уравнения (21.17). Что касается условия захватывания, то оно может быть определено аналитически как условие существования вещественного положительного решения для а в в уравнении
(21.17). Это условие автоматически выявится при построении графика типа рис. 21.4. Итак, получены амплитуда а в и сдвиг фазы
ϕ
вынужденных колебаний для переменной х, стоящей под знаком нелинейной функции. После этого можно подсчитать амплитуду и фазу первой гармоники вынужденных колебаний для любой другой переменной исследуемой системы на основании соответствующих уравнений или передаточных функций звеньев, связывающих эту переменную с переменной х. Частотный метод. Пусть нелинейное звено в системе определяется уравнением
(21.19) Находим для него приближенную амплитудно-фазовую характеристику на) согласно формулами. Рассмотрим два случая. Первый случай Передаточная функция
f
x
замкнутой системы такова, что

(21.20) где
)
(
1
)
(
jw
W
jw
M
л
л
=
— обратная амплитудно-фазовая характеристика линейной части. Изобразим характеристики
)
( ли -На) на комплексной плоскости (рис. 21.5). Амплитуда а в вынужденных колебаний величины х определяет точку D, а частота w в — точку Е. Из формулы (21.20) и из чертежа (рис. 21.5) откуда амплитуда В внешнего периодического воздействия f получает значение
(21.21) Перемещая точку D вдоль кривой на, можно найти зависимость величины а вот В при заданной частоте w в, а перемещая точку Е — зависимость величины а вот частоты w в
Второй случай Передаточная функция замкнутой системы такова, что
(21.22) Тогда на основании этой формулы и чертежа (рис. 21.5) получаем откуда
(21.23) В других случаях, когда передаточная функция не подходит под частные виды (21.20) и
(21.22), построения усложняются.
§ 21.2. Несимметричные вынужденные колебания с медленно меняющейся составляющей Вынужденные колебания будут несимметричными в следующих случаях
1) при несимметричных нелинейных характеристиках системы
2) при наличии постоянного или медленно меняющегося внешнего воздействия (в статических системах
3) при наличии постоянной или медленно меняющейся скорости изменения внешнего воздействия (в астатических системах. В общем случае будем полагать, что к нелинейной системе приложены два внешних воздействия, вследствие чего ее уравнение вместо (21.2) имеет вид
(21.24)

причем f1(t) — медленно меняющееся внешнее воздействие, f2 (t) — периодическое внешнее воздействие
(21.25) Медленно меняющееся воздействие f1(t) считается мало изменяющимся за период T, те. предполагается, что возможные частоты изменения f1(t) значительно ниже частоты w в
Решение уравнения (21.24) будем искать в виде
(21.26) где х — медленно меняющаяся составляющая, ах колебательная составляющая, амплитуда а в и фаза
ψ
которой в общем случае тоже медленно изменяются во времени. Тогда гармоническая линеаризация нелинейности х, рх) может производиться по формуле, аналогичной (19.5):
(21.27) где
(21.28) причем
ψ
= w в +
ϕ
. Из сравнения этих формул с (19.6) видно, что при отыскании вынужденных колебаний можно целиком пользоваться всеми конкретными выражениями для F°, q и q', приведенными в главе 19. Таким образом, для каждой конкретной нелинейности имеются готовые выражения
(21.29) причем часто величина w в в них отсутствует. В качестве примера на рис. 21.6 приведены эти зависимости для нелинейности типа насыщения, аналогичные приведенным в главе
19.

По аналогии с формулой (21.4) запишем
(21.30) Подставив выражения для х, рх), f
2
(t) и ж в заданное дифференциальное уравнение нелинейной системы (21.24), получим уравнение которое разбивается нелинейным образом (см. главу 19) на два уравнения соответственно для медленно меняющихся и для колебательных составляющих :
(21.32) Оба уравнения содержат все три неизвестные аи х. Второе из этих уравнений совпадает с прежним уравнением (21.5), но только с иными коэффициентами гармонической линеаризации q и q', зависящими от величины смещениях. Поэтому уравнение (21.32) до конца решается только совместно с уравнением (21.31), хотя, как будет видно из дальнейшего, возможны и более простые случаи. Пока же можно, написав характеристическое уравнение вида (21.12), после подстановки р = jw в привести уравнение (21.32) к следующему
(21.33) в результате решения которого любым из двух методов (графическим или аналитическим, описанных в § 21.1, определяются зависимости амплитуды а в и сдвига фазы
ϕ
от величины смещениях, те) где х остается пока еще неизвестные.

Для применения графического метода § 21.1 к отысканию зависимости а в (х) по уравнению (21.33) нужно на рис. 21.1 построить серию кривых а в) для разных значений х =const, которые согласно (21.28) входят в выражения для q и q'. Уравнение аналитического метода (21.17) примет вид
(21.35) где Хи обозначают вещественные и мнимые части соответственно для выражения Z2 (w в) и выражения Уравнение (21.35) не решается так просто, как (21.17). Однако можно применить следующий графический прием его решения. Разбив (21.35) на два уравнения построим по первому из них на плоскости (
ξ
а в) кривую 1 (риса по второму — серию кривых 2 для разных значений х =const при заданных В ив. Перенося полученные точки пересечения кривых вправо на плоскость x°, а в, получаем сразу искомую зависимость а в (x°) для заданного внешнего периодического воздействия, те. для заданной пары значений В ив. Эту зависимость легко получить таким же путем и для любых других заданных В и w в
Подставив теперь значение амплитуды а в в первое из выражений (21.29), найдем функцию смещения в виде
(21.36). которая является характеристикой данного нелинейного звена системы по отношению к медленно меняющимся составляющим переменных F их. Эти медленно меняющиеся составляющие определяются затем путем решения дифференциального уравнения (21.31), в которое надо подставить найденную функцию смещения (21.36). Независимость очертания функции смещения Ф (хот характера изменения и места приложения медленно меняющихся внешних воздействий здесь остается в силе, как было и при автоколебаниях (глава 19). Однако принципиальным отличием функции смещения (21.36), определяющей прохождение медленно меняющихся сигналов через нелинейную систему при наличии вынужденных колебаний, от функции смещения (19.13) при автоколебаниях является существенная зависимость ее от частоты и амплитуды внешнего периодического воздействия (в то время как при автоколебаниях вид функции смещения зависел только от структуры и от соотношения параметров самой системы. В результате для каждой заданной частоты вынужденных колебаний сов получается серия кривых F° = Ф (х) для разных значений амплитуды В внешнего периодического

воздействия f2(t), как показано, например, на риса. При заданных сов и В получается вполне определенное очертание функции смещения Ф (x°), зависящее только от структуры и параметров самой системы, входящих в уравнение (21.33). Здесь, также как ив главе 19, возможен и второй метод отыскания функции смещения. При этом методе попутно определяются также статические и установившиеся ошибки. Метод состоит в следующем. Поскольку функция смещения F
0
= Ф (x°) не зависит от характера изменения и места приложения медленно меняющихся воздействий, то ее можно определить для простейшего случая f1= const = f
1 0
(или при астатической системе для pf1= const = f
1 0
). Тогда уравнение (21.31) принимает вид
(21.37) где Мили для астатических систем
0 1
0 1
0
)
(
g
p
p
S
M
p
=
=
. Используя первое выражение из (21.29), те. (при заданной частоте)
(21.38) из уравнения (21.37) находим
(21.39) Подставив это в выражения для q и q', определяемые второй и третьей из формул (21.29), получим зависимости Вводя их в уравнение (21.33), эквивалентное (21.32), и решая его любым из двух способов, указанных -выше, при заданных В ив находим амплитуду вынужденных колебаний а
в
(М°). Подставляя а в (М) в (21.38) и (21.39), получаем зависимости
(21.40) Эти зависимости представляют самостоятельный интерес, так какими определяется статическая ошибка (а для астатической системы — установившаяся ошибка при постоянной скорости) нелинейной системы о медленно меняющейся составляющей, на которую накладывается еще установившаяся периодическая ошибка вынужденных колебаний с амплитудой а в (М. Все эти ошибки определяются, как видим, в зависимости от величины постоянной правой части М уравнения (21.37), те. от величины внешнего

воздействия (постоянного и равного f1 или меняющегося с постоянной скоростью g1). Но, кроме того, что очень важно для нелинейных систем, величина статического отклонениях (М) может существенно зависеть от амплитуды В и частоты w в внешнего периодического воздействия, так как выражения (21.40) выводились с помощью уравнения (21.33), в которое входят В ив. В свою очередь амплитуда вынужденных колебаний а в зависит через Мот величины постоянного внешнего воздействия. Это яркий пример неприменимости принципа суперпозиции для нелинейных систем ив тоже время иллюстрация достоинства развиваемого здесь метода, который позволяет это уловить, несмотря на приближенность решения задачи. Далее, исключая из выражений (21.40) величину М, находим функцию смещения
F°=Ф(х°) для заданных В ив (риса. Итак, наличие в нелинейной системе вынужденных колебаний с частотой внешнего периодического воздействия приводит к эффекту вибрационного сглаживания нелинейности, как и при автоколебаниях. При этом согласно (21.31) для медленно протекающих процессов в условиях вынужденных вибраций исходное дифференциальное уравнение системы (21.24) заменяется уравнением
(21.41) те. заданная нелинейность х, рх) заменяется функцией смещения Ф (хи отбрасывается внешнее периодическое воздействие f2 (t), по сравнению с которым f1 (t) является медленно меняющимся. Функция смещения Ф (х) обычно на определенном участке изменения величины хй изображается однозначной плавной кривой (риса, в то время как заданная нелинейность х, рх) или х) может быть скачкообразной (релейной, петлевой, с зоной нечувствительности и т. п. Этот эффект сглаживания характеристики нелинейного звена позволяет, следовательно, ликвидировать влияние вредных гистерезисных петель, зоны нечувствительности, эффекта сухого трения и пр. по отношению к медленно меняющимся сигналам. В некоторых же случаях вибрационное сглаживание может оказаться отрицательным явлением, как было в случае рис. 19.8, где получался эффект снижения коэффициента усиления. Кроме этих явлений, аналогичных вибрационному сглаживанию при автоколебаниях, здесь появляются и принципиально новые явления вследствие зависимости характеристики Ф (хот В и сов, что будет подробнее рассмотрено ниже. Плавность функции смещения Ф (х) (риса) позволяет произвести обычную линеаризацию, а именно на некотором участке вблизи начала координат можно принять
(21.42) где
(21.43) Тогда все медленно протекающие процессы в данной нелинейной системе можно будет рассчитывать не по уравнению (21.41), а по линейному уравнению
(21.44) При этом очень существенно то, что коэффициент усиления k н (риса) будет зависеть не только от структуры и параметров самой системы, как было при автоколебаниях, но также и от амплитуды В и частоты w в внешнего периодического воздействия, которые могут меняться в известных пределах независимо от самой системы. Поэтому вибрационное сглаживание нелинейных характеристик при помощи вынужденных колебаний обладает значительно большими практическими возможностями, чем при автоколебаниях, и довольно часто применяется в технике, особенно в релейных системах автоматического управления. Однако в некоторых случаях

вибрационное сглаживание может приводить к вредным последствиям, вплоть до потери устойчивости системы. Сточки зрения упрощения решения задачи важно иметь ввиду, что для всех нечетно- симметричных нелинейностей х, как однозначных, таки петлевых, вычисление коэффициента k в при линеаризации функции смещения можно производить, как было показано вне по формуле (21.43), а поболее простой формуле

(21.45) те. непосредственно по первому из выражений (21.29), не определяя вовсе самой функции смещения Ф (х. Выражения k на в, найденные по формуле (21.45), для некоторых нелинейностей приведены в табл. 21.1. Геометрически величина k н будет крутизной кривой х) вначале координат, например кривой хна риса вначале координат. Чтобы взять при этом определенную кривую из изображенной на риса серии кривых для различных а в, нужно предварительно по заданным значениям амплитуды В и частоты w в внешнего периодического воздействия найти величину амплитуды вынужденных колебаний а в при х = 0. Но эта задача была уже решена в §
21.1, причем результат решения представлен в виде графика рис. 21.4. Следовательно, теперь для подстановки в формулу (21.45) или для риса нужно взять просто готовые значения а виз рис. 21.4 для заданных В и w в
При этом легко могут быть построены зависимости величины k н не только от В ив (рис.
21.8, б, но также и от любого параметра системы k (рис. 21.8, в, влияние которого желательно исследовать и от которого зависит амплитуда вынужденных колебаний а в
(рис. 21.2, в, фигурирующая на риса. Зависимость устойчивости и качества нелинейных систем от внешних вибраций После определения функции смещения F° = Ф (х) открывается возможность исследовать по уравнению (21.41) или по линейному уравнению (21.44) любые медленно меняющиеся процессы в системе. Устойчивость системы по медленно меняющейся составляющей можно рассматривать тоже путем исследования нелинейного уравнения (21.41) или же линейного уравнения
(21.44). На устойчивость системы существенно может влиять величина амплитуды В и частоты w в
внешнего периодического воздействия, так как от них зависят вид функции смещения Ф хи величина коэффициента н. Это является совершенно новыми очень важным специфически нелинейным фактором, который в предыдущих главах еще не встречался. В линейных системах такое явление вообще отсутствует. При использовании линейного уравнения (21.44) можно применять обычные критерии устойчивости линейных систем (Гурвица, Михайлова, Найквиста) и обычные логарифмические частотные характеристики. Может оказаться, что область устойчивости системы по какому-либо параметру k (риса) сужается, как показано на рис. 21.9, б, при увеличении амплитуды В внешних помех, имеющих вид вибраций заданной частоты w в. Вследствие этого для каждого значения k приданной частоте внешних вибраций может быть свое критическое значение их амплитуды В, при котором система становится неустойчивой. Аналогично, меняя

частоту вибраций w в, можно определить для заданного значения параметра k зависимость критической амплитуды внешних вибраций от частоты (рис. 21.9, в) — границу вибрационной помехоустойчивости системы. Важно при этом иметь ввиду, что при изменении параметров системы меняется и коэффициент k ни очертание функции смещения Ф (х. Поэтому, строя области устойчивости системы по какому-нибудь параметру k (рис. 21.9), нужно соответственно все время менять величину k н в уравнении (21.44) или Ф (х) в (21.41), те. при построении области устойчивости нужно учитывать, что любой параметр системы k может входить не только в состав р) и р, но также ив состав величины н. Зависимость же величины k нот любого параметра системы нетрудно найти предварительно согласно § 21.2 (см, например, рис. 21.8, в. Кроме исследования устойчивости нелинейной системы можно по уравнению (21.41) или
(21.44) провести полный анализ всех динамических качеств нелинейной системы, подверженной внешним вибрациям (качество переходных процессов, статические и динамические ошибки, при любых медленно меняющихся по сравнению с вибрациями внешних воздействиях f1(t). По указанным уравнениям могут определяться и вынужденные колебания системы на низких частотах, если медленно меняющееся воздействие f1 (t) изменяется периодически, те. имеется возможность исследования двухчастотных вынужденных колебаний нелинейной системы при большой разнице частот. Можно и здесь (как в § 19.2) проводить разделение общего движения нелинейной системы не только на два, но и натри вида по степени медленности движения во времени. В результате всех перечисленных расчетов будет выявлена специфическая для нелинейных систем зависимость всех статических и динамических качеств и даже ее устойчивости от величины амплитуды В и частоты w в внешнего периодического воздействия (вибраций, что в некоторых случаях на практике может оказаться решающим для создания качественной автоматической системы. Изложенная общая теория поведения нелинейных автоматических систем при наличии внешнего периодического воздействия (вибраций) может значительно упрощаться в различных частных задачах. Приведем здесь видоизменение этой общей теории для следующих двух наиболее типичных частных задач
1) приложение специального внешнего периодического воздействия с целью вибрационного сглаживания нелинейности (с последующей линеаризацией сглаженной характеристики при расчете системы в целом
2) исследование работы нелинейной автоматической системы при высокочастотных внешних вибрационных помехах, когда не все звенья системы пропускают эти вибрации. Задача 1. Когда в любой автоматической системе прикладывается внешнее периодическое воздействие f2 (t) (рис. 21.10) специально для того, чтобы произвести вибрационное сглаживание нелинейности, то обязательно ставится условие, чтобы на выходе амплитуда вынужденных колебаний х была практически ничтожной. В результате этого переменные хи х (рис. 21.10) практически не будут содержать колебательной составляющей, а будут определяться через медленно меняющееся воздействие f1(t) по уравнениям типа (21.41) или (21.44). Поэтому переменная хна входе нелинейного звена будет

(21.46) Следовательно, в данной задаче (вибрационная линеаризация нелинейности при помощи вынужденных колебаний) нет необходимости в решении уравнения 1(21.32) или (21.33) для определения колебательных составляющих, ибо, согласно (21.26), уже имеется готовое решение
(21.47) Поскольку внешнее периодическое воздействие f2 (t) предполагается приложенным к системе непосредственно там же, где их (рис. 21.10), тов уравнении (21.24), составленном для исследуемой части системы (не включая пунктирной части на рис.
21.10), будет
(21.48) На основании (21.47) по первой из формул (21.28) находим что и дает искомую сглаженную характеристику. При этом можно воспользоваться для всех типовых нелинейностей готовыми формулами из главы 19 и их графиками типа риса, заменив везде аи а в на величину В. Как видим, здесь совершенно отпадает описанное в § 21.2 особое определение функции смещения Ф (х. В результате сглаженная характеристиках) будет иметь крутизну, зависящую в общем случае от амплитуды В и частоты w в внешних вибраций. Если же имеется нелинейность менее общего вида, а именно х, то частота сов не войдет в выражение для
F°, как, например, в случае риса. Однако все же ив этом случае нужно потребовать, чтобы частота содержалась в определенных пределах, позволяющих считать воздействие f1 (t) по сравнению с f2 (t) медленно меняющимся. Определив таким образом сглаженную характеристику F° (х, можно затем по уравнению типа (21.31) или (21.44) с использованием линеаризации (21.45) исследовать любые медленно протекающие процессы в системе в целом обычными методами теории регулирования. Заметим, что линеаризация по формуле (21.45) в данной задаче справедлива для любых форм нелинейностей, так как здесь частная производная по х совпадает с полной производной. Что касается уравнения для колебательных составляющих (21.32) или, что тоже самое,
(21.33), то его нужно использовать в данной задаче только для определения желательной величины частоты w в внешнего периодического воздействия f2 (t), обеспечивающей возможность получения решения (21.47) для вынужденных колебаний и выполнение сделанного выше предположения о малости вынужденных вибраций на выходе системы х. С этой целью подставим равенства (21.47) ив уравнение (21.33). Тогда для удовлетворения последнего уравнения необходимо потребовать, чтобы модуль отношения был очень мал. Следовательно, частота внешнего периодического воздействия w в должна лежать за пределами полосы пропускания частотной характеристики всей линейной части рассматриваемого участка системы (блоки 1 и 2). Кроме того, чтобы амплитуда вынужденных вибраций на выходе системы хв была ничтожна, нужно взять частоту сов также и за пределами полосы пропускания отдельного блока 2 исследуемой системы (рис. 21.10). Задача 2. Пусть на какую-нибудь систему автоматического управления (рис. 21.11) воздействует внешняя вибрационная помеха

и, кроме того, внешнее задающее или возмущающее воздействие f1 (t), которое по отношению к помехе является медленно меняющимся. Уравнение динамики системы приводится к виду (21.24). Решение уравнения (21.24) ищется в виде (21.26), где х — полезный сигнал управления, ах вибрационная помеха на входе нелинейного звена. Разбив уравнение (21.24) на два, а именно на (21.31) и (21.33), необходимо, согласно развитому выше общему методу, определить сначала с помощью (21.33) и (21.29) функцию смещения F° = Ф (x°), после чего можно решать дифференциальное уравнение (21.31) относительно переменной х (г) при заданной функции f1(t). Однако в данной задаче этот общий метод решения можно упростить. Рассмотрим два случая. В том случае, когда вся приведенная линейная часть системы (рис. 21.11), определяемая передаточной функцией
(21.49) практически не пропускает вибраций с заданной частотой w в, уравнение (21.33) можно записать в виде Тогда амплитуда вибраций на входе нелинейного звена будет определяться формулой
(21.50) где через Х (w в, Y2 (w в) и Х (w в, Y
Q
(w в) обозначены вещественные и мнимые части соответственно для выражений S
2
(jw в) ив. Формула (21.50) дает линейную зависимость а в (В) с разными коэффициентами пропорциональности для разных частот вибраций сов (рис. 21.12). В частности, для схемы рис. 21.11 они будут определяться структурой линейных блоков 1 и 2. По сравнению с общей теорией здесь существенно то, что амплитуда вибраций а в
на входе нелинейного звена в этом случае не зависит от величины полезного сигналах. Поэтому здесь, как ив задаче 1, отпадает необходимость отыскания функции смещения Ф (хи характеристика нелинейного звена по полезному сигналу х) будет

определяться непосредственно первой формулой (21.29), представленной графически, например, на риса. Однако здесь нужно подставить в выражение Р или взять на графике риса значение ав, определяемое по формуле (21.50) или графиком рис. 21.12. Поэтому, в отличие от задачи 1, здесь даже для простейших нелинейностей очертание характеристики нелинейного звена по полезному сигналу Р (хи ее крутизна будут зависеть не только от амплитуды В, но и от частоты w в вибрационных помеха также, конечно, и от параметров линейных блоков 1 ирис, входящих в формулу
(21.50). Рассмотрим далее другой случай, когда первая гармоника вибраций с заданной частотой в пропускается линейной частью системы с передаточной функцией (21.49), но все жене пропускается каким-либо одним блоком системы. Пусть, например, в схеме на рис. 21.11 вибрации не пропускаются вовсе только управляемым объектом, а по внутренней обратной связи первая гармоника вибраций с частотой w в проходит. Тогда, вообще говоря, уже нельзя не считаться с зависимостью (21.34) амплитуды вибраций переменной хот величины полезного сигналах. Однако ив этом случае возможно упрощение решения задачи по сравнению с общей теорией, состоящее в том, что при определении функции смещения выбрасывается часть системы, не пропускающая вибраций (риса. В этом случае нужно записать уравнение динамики только оставшейся части системы риса) которое будет, конечно, проще общего уравнения (21.24). Отсюда по аналогии с (21.35) получим уравнение для определения амплитуды вибраций на входе нелинейного звена в виде где через Х2с, си Хс, с обозначены вещественные и мнимые части соответственно для св) и для выражения Написанное уравнение позволяет определить зависимость амплитуды вибраций а вот величины полезного сигналах на входе нелинейного звена для каждой заданной внешней вибрационной помехи графическим приемом, описанным в § 21.2 (рис. 21.7). Полученная зависимость ах) подставляется затем в первую из формул (21.29) для получения функции смещения F° = Ф (х, которая в данном случае и будет являться характеристикой нелинейного звена по полезному сигналу. Вид ее будет зависеть от заданных амплитуды В и частоты w в внешних вибраций и от параметров системы, входящих в выделенную часть контура (риса. В обоих рассмотренных случаях, проведя линеаризацию F° = Фх° характеристики нелинейного звена ;F° (х) или РФ (х) по полезному сигналу, можно обычными методами теории автоматического регулирования, используя линейные уравнения (21.44), выявить зависимость всех статических и динамических качеств данной нелинейной системы автоматического управления (и ее устойчивости) от амплитуды В и частоты сов вибрационных помех. Линейная система выходила бы из строя при наличии помех тогда, когда полезный сигнал практически перестал бы различаться на фоне помех. Но пока он нормально различается, все статические и динамические свойства системы по полезному сигналу, если система линейна, остаются неизменными. Вибрационная помеха при этом накладывается как дополнительная ошибка. Совсем иначе дело обстоит в нелинейной системе. Коэффициент усиления k н полезного сигнала в нелинейном звене, а вместе сними все качества и даже устойчивость системы могут настолько существенно зависеть от помехи (от В ив, что система может выйти из строя по этой причине раньше, чем перестанет различаться полезный сигнал на уровне помех. Это очень важно учитывать на практике. Сточки зрения упрощения решения задачи нужно всегда иметь ввиду упрощенную формулу линеаризации (21.45), которая позволяет и во втором из рассмотренных случаев обходиться без определения функции смещения. В этом случае нужно подставить в
(21.45) значение амплитуды вибраций на входе нелинейного звена а в, найденное при отсутствии полезного сигналах) любым из двух методов, изложенных в § 21.1, но для более простого уравнения системы (21.51). Зависимость а в
(В) будет при этом, в отличие от первого случая, криволинейной (рис. 21.13, б. В заключение заметим, что тем же методом, что ив, легко вычислять высшие гармоники вынужденных колебаний (см. § 9.4 книги [100]).

ГЛАВА 22 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
§ 22.1. Статистическая линеаризация нелинейностей Предварительно заметим, что по уравнениям, выведенным в § 19.2 ив, можно исследовать также медленно меняющиеся случайные процессы в автоматической системе, сопровождающиеся соответственно автоколебаниями и вынужденными колебаниями. При этом целесообразно функцию смещения Ф (x°) подвергнуть обычной линеаризации
(19.70) и затем целиком применить линейную теорию случайных процессов к уравнению
(19.73) или (21.44). Нелинейная же колебательная часть решения определяется с помощью гармонической линеаризации также, как ив ив. При этом находятся сглаженная характеристика (функция смещения) и зависимости амплитуды и частоты колебательной составляющей от величины медленно меняющейся составляющей. В этом случае предполагается, что внешние воздействия f(t) в (19.73) ив) являются медленно меняющимися случайными процессами с нормальным законом распределения см. подробнее § 10.1 в книге [100]). Для решения других задач при случайных воздействиях удобно бывает применять так называемую статистическую линеаризацию нелинейностей, разработанную И. Е.
Казаковым [49]. Сущность ее заключается в следующем. Для оценки динамической точности автоматических систем при случайных воздействиях будем определять два первых вероятностных момента случайных процессов математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (или среднеквадратичное отклонение. Последнее эквивалентно определению спектральной плотности или корреляционной функции. Если нелинейная система описывается дифференциальным уравнением
(22.1) то схематически можно себе представить прохождение сигналов, как показано на рис.
22.1. Проходя через линейную часть, случайный процесс f(t), заданный двумя первыми вероятностными моментами, преобразуется в переменную х, которую тоже можно определить двумя первыми моментами. Однако определение дальнейшего преобразования случайного процессах) в нелинейном звене х, рх) существенно связано с высшими вероятностными моментами (подобно тому как в главе 18 приходилось иметь дело с высшими гармониками. Ввиду замкнутости контура системы это обстоятельство накладывает отпечаток и на все процессы в данной системе. Поэтому точное решение задачи в большинстве случаев оказывается недоступным. Достаточно хорошее для целей инженерных расчетов первое приближение применительно к рассматриваемым классам систем, обладающих свойством фильтра (см. § 18.2), дает пренебрежение высшими моментами, те. замена нелинейного звена эквивалентным линейным, которое одинаково сданным нелинейным преобразует два первых вероятностных момента математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (или среднеквадратичное отклонение. Это и называется статистической линеаризацией нелинейности.

Эта операция по общей идее (ноне по конкретному содержанию) аналогична тому, как в главе 19 нелинейное звено при помощи, гармонической линеаризации заменялось эквивалентным линейным, которое одинаково сданным нелинейным преобразует постоянную (или медленно меняющуюся) составляющую и первую гармонику колебательной составляющей, те. принимались во внимание два первых члена ряда Фурье и отбрасывались все высшие гармоники. Итак, представим переменную х под знаком нелинейности х, рх) в виде
(22.2) где х — математическое ожидание (среднее значение, которое является обычной регулярной) функцией времени, их сл
—- случайная составляющая с нулевым математическим ожиданием (центрированная случайная функция времени. Это представление аналогично тому, которое употреблялось в главе 19 при гармонической линеаризации, но оно имеет совсем другой, вероятностный смысл. Далее, и переменную х, рх) также представим в виде где F — математическое ожидание (среднее значение) нелинейной функции Р, которое является регулярной составляющей, x сл
— эквивалентный коэффициент усиления случайной составляющей (центрированной. Это выражение по форме тоже аналогично тому, которое применялось в главе 19, но имеет иное конкретное содержание. Величина регулярной составляющей F определяется, следовательно, по известной формуле для математического ожидания. В случае однозначной нелинейной функции х) эта формула дает
(22.4) где М — обозначение операции взятия математического ожиданиях дифференциальный закон распределения случайной составляющей, например нормальный закон (рис. 11.10):
(22.5) Для нелинейности общего видах, рх) будет более сложное выражение
(22.6) которое для петлевых нелинейностей х) при симметричном законе распределения (в том числе и нормальном) упрощается. Например, для нелинейности, показанной на рис. 22.2, будет
(22.7) Величину эквивалентного коэффициента усиления q сл случайной составляющей в формуле (22.3) рекомендуется определять одним из следующих двух способов.

Первый способ исходит непосредственно из величин среднеквадратичных отклонений
σ
x и
σ
F
переменной хи нелинейной функции F, а именно
(22.8) что в случае однозначной нелинейности х) дает
(22.9) Для общего случаях, рх) ив случае петлевой нелинейности х) получаются более сложные выражения, которые можно получить для q сл
, обобщив (22.9) потому же образцу, как обобщены выражения (22.6) и (22.7) по сравнению с (22.4). Второй способ заключается в определении коэффициента q сл из условия минимума математического ожидания квадрата разности истинной нелинейной функции х, рх) и ее заменяющей (22.3), те. минимума среднеквадратичного отклонения. Записав это условие получим
(22.10) где r
Fx
— значение взаимной корреляционной функции переменных F их при m= 0. Отсюда в случае однозначной нелинейности х) находим Аналогично предыдущему легко получить также выражение коэффициента q сл для общего случаях, рх) и для петлевой нелинейности х. Второй способ определения коэффициента q сл приводит к более простым расчетным формулам. С этой точки зрения его использование предпочтительнее. Поточности же оба способа примерно равноценны и соответствуют общей степени приближенности всего метода в целом. Замечено, что во многих случаях, когда первый из этих способов дает завышенные значения корреляционной функции нелинейного процесса F(t) по сравнению сточными, второй дает заниженные значения. Поэтому часто может получиться более хорошее приближение, если в качестве величины q сл взять среднее арифметическое из двух (22.8) и (22.10). Важно иметь ввиду, что величины F и q сл взаимосвязаны тем, что каждая из них зависит от обеих рассматриваемых характеристик случайного процессах их (входящих в закон распределения w). Сам факт наличия этих зависимостей и их взаимосвязь и позволяют, несмотря на линеаризацию задачи, уловить существенно нелинейные особенности случайных процессов, подобно тому как в прежних главах зависимость величин Р, q и q' от всех трех неизвестных хи (или по крайней мере от первых двух из них) и

взаимосвязь этих величин позволяли исследовать существенно нелинейные особенности регулярных процессов во времени методом гармонической линеаризации. Приведем выражения величин F и q сл и их графики для некоторых типовых нелинейностей, составленные по формулами) при условии нормального закона распределения (22.5) случайной переменной х (при других законах распределения величины F и q сл имели бы другие выражения.