Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
q' (а) = 0. Следовательно, для таких звеньев Ан = аи, те. вынужденные колебания на выходе не имеют фазового сдвига. Одним из главных отличий вынужденных колебаний нелинейных систем от линейных является их существенная зависимость не только от частоты, но и от амплитуды входных колебаний. Эту главную особенность как рази улавливает написанное здесь приближенное выражение амплитудно-фазовой характеристики нелинейного звена. В формулах (18.210) — (18.212) получилась зависимость только от амплитуды а, потому что ограничились рассмотрением только нелинейности видах х. Для более сложных нелинейных звеньев в амплитудно-фазовую характеристику войдет также и частота w. Кроме того, как увидим ниже, зависимость от частоты будет всегда вводиться линейной частью системы. В § 18.1 были приведены выражения аи а) для наиболее типичных релейных и других простейших нелинейных звеньев. На основании этого строятся приближенные амплитудные и фазовые характеристики путем вычислений по формулам (18.212). Результаты для простейших случаев приведены на рис. 18.39 и 18.40. Там приведены также и обратные амплитудно-фазовые характеристики (18.213) На графиках указаны все необходимые обозначения и типы нелинейных характеристик звеньев. Аналогичным путем можно построить графики и для других конкретных нелинейных звеньев. Амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы согласно (18.206) имеет вид (18.214) Общая приближенная амплитудно-фазовая характеристика всей разомкнутой цепи с нелинейным звеном будет (18.215) Следовательно, амплитуда и фаза первой гармоники выходной величины х, определяемые формулами (18.216) зависят здесь не только от частоты w, как в линейных системах, но еще и от величины входной амплитуды а. Отыскание автоколебаний замкнутой системы. Незатухающие синусоидальные колебания с постоянной амплитудой в замкнутой системе определяются согласно частотному критерию устойчивости (см. § 6.5) прохождением амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через точку (—1, j0), те. равенством W = -1. Это и будет в данном случае условием существования периодического решения для замкнутой нелинейной системы, которое принимается приближенно синусоидальным. Итак, имеем условие Учитывая (18.215) и (18.213), это можно записать в виде (18.217) или (18.218) где q' (а) = 0 в случае отсутствия гистерезисной петли (правая часть (18.218) в этом случае будет вещественной. Левая часть уравнения (18.218) или (18.217) представляет собой амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы, а правая — обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена (для первой гармоники, взятую с обратным знаком. Решение этого уравнения можно получить графически как точку пересечения указанных двух характеристик (риса и б. В точке пересечения из кривой л (jw) берем значение частоты w па из кривой — Мн (а) берем величину амплитуды а п искомого периодического решения. Риса соответствует системе с нелинейным звеном, имеющим гистерезисную петлю, когда согласно (18.210) и (18.213) характеристика Мн) комплексна. При отсутствии гистерезисной петли, когда Мн (a) вещественна, получаем график рис. б. Вместо (18.217) можно пользоваться также выражением (18.219) те. искать решение как точку пересечения амплитудно-фазовой характеристики нелинейного звена с обратной амплитудно-фазовой характеристикой линейной части системы, взятой с обратным знаком (рис. 18.41, в ж г. Устойчивость найденного периодического решения грубо оценивается следующим образом (этот метод не является строго обоснованным, ново многих случаях его применения достаточно. Дадим малое приращение амплитуде а = a п + ∆ a. Тогда при положительном ∆ a получим на кривой — Мн (а, например, точку a1 (риса, а при отрицательном ∆ a — точку a2. Для устойчивости периодического решения требуется, очевидно, чтобы при положительном ∆ a колебания затухали, а при отрицательном ∆ a — расходились. Для этого согласно частотному критерию (§ 6.5) в случае устойчивой или нейтральной разомкнутой цепи требуется, чтобы суммарная амплитудно-фазовая характеристика W(a, w) в первом случае не охватывала точку (—1,j0), а во втором — охватывала. Но общая характеристика W(a, w) не чертится в рассмотренном способе. Поэтому высказанное положение надо перенести на свойства кривых ли Мн (а. Отсюда получаем, что для устойчивости периодического решения (если линейная часть системы в разомкнутом состоянии устойчива или нейтральна) требуется, чтобы амплитудно-фазовая характеристика линейной части W(jw) не охватывала точку a1 соответствующую положительному ∆ a, и охватывала точку а, соответствующую отрицательному ∆ a. Поэтому признаку графики риса и б (в точке В) дают устойчивое периодическое решение, которое соответствует автоколебаниям замкнутой системы с частотой w пи амплитудой а п2 На графике рис. 18.42, в значения Пи а п соответствуют неустойчивому, а значения w пап устойчивому периодическому решению. Это в простейшем случае может означать устойчивость системы в малом (до амплитуды яп1) и автоколебания с частотой w пи амплитудой а п, если начальная амплитуда колебаний в переходном процессе превышает значения а п1 В таких исследованиях предполагается, что все параметры системы заданы в числовом виде (или амплитудно-фазовые характеристики звеньев в виде определенных графиков. Если же требуется выяснить влияние одного или двух каких-нибудь параметров системы, то надо рассмотреть всевозможные комбинации кривых ли Мн (а) при разных значениях этих параметров. Рассмотрим примеры. Система автоматического регулирования температуры. Уравнения системы автоматического регулирования температуры с релейным звеном были описаны в примере 5 § 18.3. Выражение амплитудно-фазовой характеристики линейной части системы с добавлением жесткой обратной связи будет (18.220) В данном случае очевидно, что общий знаменатель передаточной функции линейной части системы (18.221) не имеет корней с положительной вещественной частью, а нулевой корень говорит о том, что линейная часть системы нейтральна. Выражение, стоящее в квадратных скобках (18.220), при ос = 0 (система без обратной связи) соответствует апериодическому звену (регулируемый объект и чувствительный элемент. Оно изображено на риса. При наличии же жесткой обратной связи в системе ( 0 ≠ oc k ) этот график сдвигается вправо на величину ос (рис. 18.43, б. Множитель перед квадратной скобкой (18.220) соответствует апериодическому интегрирующему звену (привод с регулирующим органом. Он изображен на рис. 18.43, в. Перемножением этих характеристик получаем амплитудно-фазовую характеристику л) линейной части системы (в разомкнутом состоянии) соответственно при отсутствии обратной связи (рис. 18.43, г) и при наличии жесткой обратной связи (рис. 18.43, д. Нанесем на эти же графики кривую обратной по величине и по знаку амплитудно-фазовой характеристики — Мн (а) нелинейного звена (в данном случае — реле. Здесь эта кривая изображена в соответствии с рис. 18.39, б для того случая, когда реле характеризуется графиком риса, причем b2 =b, b1 = mb. Как видно из рис. 18.43, г, в данном случаев замкнутой системе регулирования без обратной связи возможны автоколебания, так как кривые ли Мн (а) пересекаются, а введением обратной связи можно уничтожить эти автоколебания (рис. 18.43, д. Очевидно также, что и выбором параметров линейной части системы (те. деформацией кривой л на рис. 18.43, г) можно было бы уничтожить автоколебания замкнутой нелинейной системы и без обратной связи. Напротив, неудачный выбор параметров может привести к автоколебаниям системы даже и при наличии жесткой обратной связи, если на рис. 18.43, д кривые пересекутся. Чем меньше гистерезисная петля (риса, тем больше будет т (рис. 18.39) и тем легче, как видно из рис. 18.39, б ирис, г, д, сделать замкнутую систему устойчивой. Когда реле имеет чисто гистерезисную характеристику (рис. 18.20, г, кривая — Мн (а) вырождается согласно рис. 18.39, б (m = -1) впрямую (пунктир на рис. 18.43, д, причем добиться уничтожения автоколебаний в этом случае нельзя, а можно бороться лишь за уменьшение их амплитуды. Если в характеристике реле с зоной нечувствительности не будет гистерезисной петли рис. 18.20, б, то согласно риса и формуле (18.213) обратная амплитудно-фазовая характеристика нелинейного звена — Мн(а) будет вещественной, как показано на рисе и ж. При этом замкнутая система без обратной связи может иметь автоколебания, если л (jw) примет очертание, показанное пунктиром (рисе. Введение же жесткой обратной связи, как видно из рис. 18.43, ж, полностью уничтожает автоколебания. Из этого предварительного рассмотрения можно сделать вывод, во-первых, о важном стабилизирующем свойстве дополнительной жесткой обратной связи в системе и, во- вторых, о стабилизирующем свойстве зоны нечувствительности реле. Сточки зрения устойчивости системы выгодно увеличивать и то и другое. Однако эти возможности ограничены из-за увеличения статической ошибки системы при усилении жесткой обратной связи и при увеличении зоны нечувствительности реле. Последнее связано стем, что система может находиться в состоянии равновесия в любой точке зоны нечувствительности получается не одно определенное состояние равновесия, а целая область возможных состояний равновесия с разными значениями регулируемой величины. После сделанных предварительных заключений перейдем к определению амплитуды и частоты автоколебаний в тех случаях, когда последние имеют место. В случае идеальной релейной характеристики в соответствии си) имеем (18.222) Мн (а) заполняет всю отрицательную вещественную ось, риса. Поэтому л (jw) при отсутствии жесткой обратной связи (сплошная кривая) пересекает ее, а при наличии жесткой обратной связи не пересекает (пунктирная кривая. В первом случае получаем точку пересечения D, определяющую периодическое решение (а п, w п. Оно будет устойчиво (те. соответствует автоколебаниям, так как кривая л (jw) охватывает участок прямой — Мн (ас меньшими амплитудами (линейная часть согласно (18.221) нейтральна, вследствие чего этот критерий можно применять. Во втором же случае кривая л) пересекается с прямой — Мн (а) только в точке, где ат. е. автоколебания отсутствуют (конечная амплитуда получится, если учесть постоянную Т. Амплитуда а п автоколебаний в первом случае определяется по расстоянию l (риса) на линии — Мн(а) до точки пересечения, причем с учетом (18.222) получаем (18.223) где l берется из графика или вычисляется по формуле причем величина частоты автоколебаний w п находится из условия если л (w пил п) обозначают вещественную и мнимую части выражения л (jw) при осте) Отсюда видно, например, что с увеличением передаточного числа регулятора увеличивается амплитуда автоколебаний. Для характеристики реле в виде риса поведение системы без жесткой обратной связи поясняется рис. 18.44, б. Здесь автоколебания могут отсутствовать (кривая 1 рис. 18.44, б, возможно одно периодическое решение (кривые 2 и 3, пересекающиеся в точке Вили два периодических решения (кривые 2 и 4, пересекающиеся в точках Аи С. При этом кривая 3 соответствует меньшим, а кривая 4 — большим значениям т в релейной характеристике (см. рис. 18.39). Точки В и А отвечают устойчивым автоколебаниям. Точка С отвечает неустойчивому периодическому процессу, что может означать устойчивость системы в малом (при а < ас) и стремление к автоколебательному процессу с амплитудой а = а А в большом. Величины амплитуды и частоты автоколебаний определяются по самим кривым в точках их пересечения. В данном случае влияние величины передаточного числа k 2 k 3 регулятора без жесткой обратной связи заключается в том, что с увеличением k2k3 осуществляется переход от кривой 1 к кривой 2 (рис. 18.44, б, те. автоколебания в системе появляются только тогда, когда передаточное число k2k3 превзойдет некоторое граничное значение, определяемое моментом касания кривой 1 с кривой 3 или 4. Аналогично определяются автоколебания и при наличии жесткой обратной связи, как показано на рис. 18.44, в. Наконец, при чисто гистерезисной характеристике реле получаем только автоколебательный процесс (рис. 18.44, г, амплитуда и частота которого без жесткой обратной связи определяются точкой Е, а при наличии жесткой обратной связи - точкойН. Во всех рассмотренных случаях, как и вообще в рассматриваемом частотном методе, через а п обозначается амплитуда автоколебаний входной величины нелинейного звена, те. в данном случае величины х. Чтобы определить амплитуду θ a автоколебаний регулируемой величины θ (температуры, надо найти передаточную функцию, связывающую величины хи и следовательно, Для системы без обратной связи (k oc = 0) Аналогично можно определить амплитуду первой гармоники автоколебаний для других переменных в данном системе. Учет временного запаздывания в реле. В рассмотренном выше примере системы автоматического регулирования температуры, считалось, что в характеристике реле рис. 18.20 величины b1; b2, b заданы постоянными, те. считалось, что характеристики реле имеют обычный гистерезисный вид с заданным по входной координате отставанием в срабатывании реле. Теперь же будем считать, что имеются данные запаздывания во времени срабатывания и отпускания реле (одинаковые. Такое нелинейное звено с запаздыванием можно разбить на два элемента 1) обычное нелинейное звено, характеризующееся графиком рис. 18.45, били в, и 2) элемент запаздывания (риса, описываемый уравнением Тогда можно будет записать выражение амплитудно-фазовой характеристики линейной части системы вместе с элементом запаздывания в виде (18.225) Правило построения такой характеристики описано в главе 14. Пусть реле (после выделения элемента запаздывания) характеризуется графиком рис. 18.45, б. В этом случае для системы с жесткой обратной связью получим соответственно кривые ли Wлз(jw), изображенные на рис. 18.45, га также прямую — Мн (а) на основании формулы (18.213) ириса. Если кривые Wлз(jw) и — Мн(а) пересекаются, то будут иметь место автоколебания. Но, как видно из рис. 18.45, г, при достаточно малых запаздываниях т указанные кривые могут не пересекаться, те. автоколебаний не будет. Здесь, как ив линейных системах, можно определить критическое время запаздывания, до которого автоколебания отсутствуют, без построения кривой Wлз(jw), а только по кривым ли Мн(а). В самом деле, в критическом случае некоторая точка кривой W ЛЗ (jw) попадет в крайнюю точку B (рис. 18.45, г. Это, как видно из чертежа, соответствует такой точке К кривой л (jw), в которой (18.226) Из первого условия определяется величина w k из второго — критическое время запаздывания (18.227) Такое решение можно найти непосредственно из графика Лили же аналитически, используя выражение (18.220). Если же реле не имеет зоны нечувствительности, те, то точка В попадет в начало координат на рис. 18.45, г и автоколебания будут при любом значении времени запаздывания в срабатывании реле ( k τ = 0). Поэтому выгодно, чтобы временное запаздывание в реле, рассматриваемое здесь, было бы сравнительно малым, а зона нечувствительности имела бы большую величину (ноне превышала допустимых значений, полученных из статического расчета точности регулирования. Амплитуда и частота автоколебаний при наличии запаздывания определяются следующие образом. Точка пересечения рис. 18.45, г) дает два периодических решения, так как в ней на прямой — Мн (а) имеются два значения а. Это следует из графика риса, причем на основании (18.16) имеем (18.228) что изображается графиком рис. 18.45, д. Расстоянию от начала координат l точки пересечения D на рис. 18.45, г соответствуют две точки графика D1 и D2 на рис. 18.45, д, которые дают два значения амплитуды а пи а п. Частота w п обоих периодических решений одинакова и определяется точкой D на кривой Wлз (jw). При этом периодическое решение с меньшей амплитудой а п будет неустойчивым, ас большей амплитудой a п — устойчивым, так как в первом случае точка с положительным приращением ∆ а на линии — Мн(а) охватывается кривой Wлз(jw), а во втором случае — не охватывается. Следовательно, могут иметь место устойчивость системы в малом (до амплитуда пи автоколебательный процесс с большой амплитудой, к которому стремится система при начальных амплитудах переходного процесса, превышающих значение a п1 Заметим, что точку пересечения D кривой Wлз (jw) с линией — Мн(а) можно найти без построения кривой Wлз (jw) непосредственно по амплитудно-фазовой характеристике л) линейной части системы без элемента запаздывания. Для этого нужно на кривой л) найти такую точку w п (рис. 18.45, г, которая бы при повороте вектора А л на угол п w τ попала на линию — Мн (а, что и даст нам точку величина запаздывания τ задана, п неизвестна. Условие для определения w п будет после этого находится величина l= А л затем амплитуда автоколебаний а п по графику рис. 18.45, д. В данном параграфе применялись амплитудно-фазовые частотные характеристики. Использование логарифмических частотных характеристик см. в § 20.4. В заключение заметим, что при исследовании нелинейных автоматических систем применяются еще приближенные методы Б. В. Булгакова (см. [19] или [98]), которые здесь не излагаются. ГЛАВА МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ § 19.1. Статические и скоростные ошибки автоколебательных систем В предыдущих главах исследовались симметричные автоколебания как результат свободного движения системы (те. без внешнего воздействия) при симметричных нелинейностях. Однако, как будет показано, важное практическое значение имеет также рассмотрение несимметричных автоколебаний. Несимметрия автоколебаний может вызываться различными причинами 1) несимметричностью нелинейной характеристики как при наличии, таки при отсутствии внешних воздействий 2) наличием постоянного или медленно меняющегося внешнего воздействия при симметричных нелинейностях 3) наличием постоянной или медленно меняющейся скорости изменения внешнего воздействия при симметричных нелинейностях (для тех случаев, когда постоянное воздействие не вызывает смещения центра колебаний обычно это имеет место в следящих системах и вообще в астатических системах. В самом деле, если имеется несимметричная нелинейная характеристика (например, риса, б, то даже при симметричных колебаниях переменной ха (возникают несимметричные по амплитуде колебания переменной F (рис. 19.1, б. Если же нелинейность симметрична (например, риса, б, то при наличии постоянного внешнего воздействия (или в астатических системах при наличии постоянной скорости изменения внешнего воздействия) смещается центр колебаний переменной х = ха, вследствие чего колебания переменной F становятся несимметричными по амплитуде и повремени (риса) или только повремени (рис. 19.2, 6). Пусть задана автоматическая система, динамика которой описывается уравнением (19.1) В данном параграфе будем считать f(t) = const =f ° для статических систем или же pf(t)=const =f° для астатических систем. Астатической системой называется такая, в которой многочлен р) имеет общий множитель рте. р) = р. Поэтому запишем уравнение (19.1) в виде (19.2) где соответственно (19.3) При этом решение нелинейного уравнения (19.1), в отличие от прежнего (§ 18.2), ищется в форме (19.4) причем ха являются неизвестными постоянными. С учетом величины смещениях первые члены разложения вряд Фурье вместо (18.6) и (18.7) следует записать в виде (19.5) где при обозначении |