Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
x ∆ : от исследуемого периодического решениях а п sinw п. Для линейной части системы на основании уравнения (18.31) получим (18.54) Уравнение нелинейного звена, например х =F(x1, px1), примет при этом для малых отклонений вид аналогично и для других типов нелинейных уравнений, где индекс п означает, что в частные производные нужно подставить ха п sinw пи рх1= а п п п. Эти частные производные и являются периодическими переменными коэффициентами. В задачах теории регулирования они могут меняться как плавно, таки скачками (см. примеры в § 18.3). Осредним полученные периодические коэффициенты, после чего вместо (18.55) будем иметь линейное уравнение с постоянными коэффициентами (18.56) где (18.57) Характеристическое уравнение системы, определяющее устойчивость периодического решения, согласно (18.54) и (18.56) будет (18.58) Если оно удовлетворяет линейному критерию устойчивости, то исследуемое периодическое решение устойчиво. В случаях, когда нелинейное звено описывается уравнением видах х) (с гистерезисной петлей или без нее, осредненное характеристическое уравнение для исследования периодического решения будет (18.59) где (18.60) Использование кривой Михайлова для исследования устойчивости периодического решения. Каждому конкретному значению а будет соответствовать определенная кривая Михайлова (18.45). При а = а п она пройдет через начало координат (рис. 18.9). Для исследования устойчивости периодического решения с амплитудой а = а п дадим малое приращение амплитуде ∆ а. Тогда при а а па кривая Михайлова займет либо положение 1, либо положение 2 (рис. 18.9). При этом, как известно из линейной теории (§ 6.3), кривая 1, охватывающая начало координат, соответствует затухающим колебаниям переходного процесса, а кривая 2 — расходящимся колебаниям. Поэтому, если при ∆ а > 0 кривая Михайлова займет положение 1, а при ∆ а < 0 - положение 2, то переходный процесс в системе будет таким, что колебания с амплитудой, большей чем а п, затухают, а колебания с амплитудой, меньшей чем а п, расходятся. Следовательно, переходный процесс с обеих сторон сходится к исследуемому периодическому процессу с амплитудой а п. Это означает устойчивость последнего, те. в системе имеют место автоколебания. Если же при ∆ а >0 получится кривая 2, а при ∆ а < 0 — кривая 7, то переходный процесс в обе стороны расходится, те. исследуемое периодическое решение неустойчиво (система устойчива в малом и неустойчива в большом, как на рис. 16.3, б. Аналитический критерий устойчивости периодического решения. Развивая предыдущий способ, видим, что нет необходимости строить сами кривые Михайлова. Все исследование можно произвести аналитически. В самом деле, для того чтобы узнать, примет ли кривая Михайлова при ∆ а > 0 положение 1 (рис. 18.9), достаточно определить, куда будет перемещаться с увеличением а та точка кривой Михайлова (w = w п) которая при а = а п находится вначале координат. Если она будет перемещаться по направлениям ОА 1 , ОА 2 или ОА 3 (риса, то периодический процесс с амплитудой а = а п устойчив, а если по направлениям ОА 4 или ОА 5 — неустойчив. Это направление перемещения точки w= w п изначала координат с увеличением а определяется, очевидно, следующими проекциями на координатные оси X и У (18.61) где X и У обозначают вещественную и мнимую части аналитического выражения кривой Михайлова, а индекс п означает подстановку а = а п, w = w п. Как видно из риса, для устойчивости исследуемого периодического решения вектор, определяемый проекциями (18.61), должен лежать с определенной стороны от касательной М к кривой Михайлова, направление которой в свою очередь определяется проекциями (18.62) Из расположения вектора с проекциями (18.61) по отношению к вектору с проекциями (18.62) и видна непосредственно устойчивость или неустойчивость данного периодического решения с амплитудой а п На рис. 18.10, б ив показаны те же векторы, что и на риса, но для других видов кривых Михайлова. Видно, что во всех случаях для устойчивости исследуемого периодического решения требуется, чтобы вектор с проекциями (18.61) лежал справа от касательной М, если смотреть вдоль кривой Михайлова в сторону возрастания со, причем направление касательной MN определяется вектором с проекциями (18.62). Это геометрическое условие устойчивости периодического решения можно записать в следующем аналитическом виде (18.63) или иначе Здесь важно, что частные производные берутся не по частоте со, а по текущему параметру кривой Михайлова w, те. имеются ввиду выражения X и У не в форме (18.35), а как вещественная и мнимая части выражения (18.45) в функции от со при w = const (если она входит в коэффициенты, стоящие в квадратных скобках этого выражения. Выполнение условия (18.63) устойчивости периодического решения во всякой конкретной задаче можно проверить аналитически, без построения кривых. Этого достаточно для систем третьего и четвертого порядков, если все коэффициенты гармонически линеаризованного характеристического уравнения положительны. Для систем же пятого и более высокого порядков требуется дополнительно проверить общий ход кривой Михайлова, чтобы убедиться, что имеет место случай, например, риса, ноне рис. 18.11, б. Заметим, что вместо построения кривой Михайлова можно и тут воспользоваться аналитическим дополнительным условием, потребовав выполнения критерия Гурвица для многочлена (18.64) где D (р) — левая часть гармонически линеаризованного характеристического уравнения (18.33) при а = а пи п. При этом если р) имеет пятую или шестую степень, достаточно убедиться в положительности коэффициентов р. Устойчивость равновесного состояния системы. Приведенные вначале данного параграфа гармонически линеаризованные уравнения нелинейной системы годятся только для колебательных процессов, определяемых периодическими решениями, и для колебательных переходных процессов в непосредственной близости от указанных периодических решений. Поэтому, строго говоря, с помощью этих приближенных уравнений можно анализировать только сами периодические решения и их устойчивость или неустойчивость при малых отклонениях от исследуемого колебательного режима, что выше и делалось. Практически же из анализа полученных приближенных уравнений нелинейной системы часто можно делать значительно более широкие выводы. В частности, можно оценивать устойчивость системы в тех областях ее параметров, в которых периодические решения отсутствуют вовсе. Пусть, например, определено, что периодическое решение, амплитуда которого показана на риса, устойчиво (оно соответствует автоколебаниям. Условимся факт устойчивости периодического решения обозначать на графике вертикальными стрелками, сходящимися к данному периодическому решению (риса. Этим обозначением иллюстрируется то, что переходные процессы с обеих сторон тес большими, чем апис меньшими, чем а п начальными амплитудами) сходятся к автоколебательному процессу с амплитудой а п. Пусть в данном случае k; обозначает коэффициент усиления регулятора. Трафик риса показывает, что в системе возникают автоколебания при k>k гр Естественно сделать отсюда вывод о том, что в области 0 < k ≤ k ≤ k гр, как показано на рис. 18.12, г, то естественно предположить, что область k >k гр будет областью неустойчивости данной нелинейной системы. Наконец, если периодических решений для исследуемой нелинейной системы не получается вовсе ни при каких значениях ее параметров, то согласно геометрическому способу определения автоколебаний (см. выше) получим, что кривая Михайлова будет либо охватывать начало координат при всяком значении а, либо не охватывать его при всех а. Отсюда можно сделать вывод, что в первом случае данная нелинейная система устойчива, а во втором — неустойчива. Развитие, а также сравнение данного способа определения устойчивости равновесия нелинейной системы с методом Ляпунова, показывающее эффективность такого способа, см. в книге [100], §§ 2.7—2.9. § 18.3. Примеры исследования нелинейных систем первого класса Рассмотрим несколько примеров применения изложенного в предыдущем параграфе метода. Пример 1. Найдем влияние ограничения линейной характеристики двигателя (риса) на процессы в следящей системе. Пусть остальные звенья системы линейны. Тогда уравнение управляемого объекта с двигателем вместо (16.63) примет вид где F(i я) определяется графиком риса. Применяя к правой части этого уравнения формулы гармонической линеаризации (18.22) с заменой с с, получаем уравнение управляемого объекта с двигателем в виде (18.65) где (18.66) что изображено графически на рис. 18.13, б. Здесь а обозначает амплитуду колебаний величины i я Общее уравнение остальной части следящей системы согласно (16.53) будет (18.67) На основании (18.65) и (18.66) получаем характеристическое уравнение (18.68) После приведения его левой части к виду ара+ ара и подстановки р = jw получаем уравнения типа (18.36) в виде Выясним влияние параметра k (общего коэффициента усиления) на автоколебания в данной системе. Из последнего уравнения находим (18.70) а из первого (18.71) Формула (18.70) дает график, изображенный на рис. 18.13, в, где (18.72) Графики на рис. 18.13, б ив определяют связь между амплитудой а п частотой w п периодического решения в данной системе. Найдем зависимость амплитуды а пот величины параметра k. Для этого, задаваясь различными w п, будем брать из графика рис. 18.13 соответствующие значения а п , а по формуле (18.71) вычислять k. В результате получим графика п (k) типа риса или 6. Чтобы определить, в каких случаях каждый из них имеет место, найдем k Дифференцируя (18,71) поп с учетом (18.70) соответствующее значением и приравнивая результат в виде (18.73) причем k min определяется подстановкой а м в (18.70) и (18.71), а именно (18.74) Сравнивая (18.73) и (18.72), приходим к выводу, что для системы, параметры которой удовлетворяют условию (18.75) справедлив график на риса, а для системы с параметрами (18.76) — на рис. 18.14, б. Исследуем устойчивость найденного периодического решения по критерию (18.63). Согласно (18.66) частота соне входит в коэффициенты. Поэтому в выражении (18.45) для кривой Михайлова функции X (w) и У (w) совпадают с (18.69). Найдем производные (18.77) так как согласно рис. 18.13, б производная а отрицательна. Легко проверить, что при w>w я, где w м определяется формулой (18.73), критерий (18.63) удовлетворяется, а прим не удовлетворяется. Отсюда делаем заключение, что все периодические решения на риса устойчивы (те. соответствуют автоколебаниям. Вертикальными стрелками там показано, что переходные процессы с большими и меньшими амплитудами сходятся к данному периодическому процессу. На рис. 18.14, б только верхняя ветвь кривой (выше точки w м) соответствует устойчивым периодическим решениям, те. автоколебаниям, а нижняя (w м -w в) — неустойчивым. Как уже отмечалось, через а п здесь обозначена амплитуда колебаний величины i я. Чтобы узнать амплитуду ар автоколебаний регулируемой величины р, надо воспользоваться уравнением (18.65), откуда (18.78) как модуль соответствующей передаточной функции при р = jw п, умноженный на а п. При этом величины а пи п определяются графиком риса или б. Учитывая, что а) = k 1 при а = b (см. рис. 18.13, б, найдем по формуле (18.71) с подстановкой w п = w виз) величину k в, отмеченную на рис. 18.14: (18.79) Точно такое же значение Н является границей устойчивости для линейной системы, когда уравнение управляемого объекта с двигателем вместо (18.65) имеет линейный вид (р) р k1i я. Отсюда можно сделать вывод о том, что в случае (18.75), для которого имеет место график риса, данная нелинейная система сохраняет устойчивость в той же области, что и линейная система, но она обладает еще установившимся автоколебательным режимом там, где линейная система неустойчива. Следовательно, ограничение линейной характеристики типа насыщения в двигателе (риса) препятствует раскачиванию системы, которое получается при k >k в в линейной системе. Это наблюдается и на практике. В случае же (18.76), для которого график, определяющий автоколебания, имеет вид рис. 18.14, б, автоколебания могут уже появиться при k< k в (ном, те. раньше наступления границы устойчивости линейной системы. Нов этом случае, как видно из рис. 18.14, б, при малых начальных амплитудах переходного процесса (ниже кривой w м в) сохраняется еще устойчивость равновесного состояния. Здесь в области параметров k м < k< k в (рис. 18.14, б) имеется как бы два предельных цикла (рис. 16.14, б, а в области k в < k < ∞ — один. Случай, изображенный на рис. 18.14, б, называется жестким возбуждением автоколебаний. Такое возбуждение автоколебаний раньше наступления границы устойчивости возможно, как видно из (18.76), только при достаточно большом k6, который, по существу, является коэффициентом гибкой обратной связи. При отсутствии такой связи указанное явление не имело бы места. На риса и б даны графики для величины частоты автоколебаний w п в зависимости от параметра k соответственно для случаев, изображенных на риса и б. Пример 2. Рассмотрим теперь следящую систему с линейной характеристикой привода, но учтем сухое трение совместно с линейным (риса. Уравнение управляемого объекта с двигателем имеет при этом вид (16.52). Здесь возможны два случая 1) колебания без остановок, когда обеспечиваются условия первого из уравнений (16.52); 2) колебания с остановками, когда действуют попеременно оба уравнения (16.52). Рассмотрим первый случай и определим условия его существования. Итак, записываем первое из уравнений (16.52), поделив его нас, в виде (18.80) с условием, что (18.81) Обозначим х = p β . Тогда это уравнение будет (18.82) где (18.83) Поскольку движение предполагается без остановок, то нелинейную функцию (18.83) подвергаем гармонической линеаризации, как релейную характеристику, и на основании формулы (18.18), полагая получаем (18.84) где а — амплитуда колебаний скорости x = р. Амплитуда колебаний самого угла р при этом, очевидно, будет Выражение (18.84) представляет собой известную формулу линеаризации сухого трения с помощью вибраций. Найдем условия, при которых она здесь справедлива. Согласно (18.81) и (18.82) имеем откуда (18.85) что и является условием, при котором справедливо дальнейшее решение. Характеристическое уравнение всей замкнутой системы согласно (18.82), (18.84) и (16.53) получает вид После подстановки р = jw получаем (18.86) Чтобы исследовать влияние коэффициента k на динамику системы, выразим из этих двух уравнений величины k и а п через w п (18.87) Заметим, что а п при (18.88) Изменяя w п в интервале (w п ) гр < w п <+ ∞ , строим по формулам (18.87) графика п = f(k), представленный на рис. 18.16, б. Условие, при котором справедливо это решение, было выражено неравенством (18.85). Подставив в него значения а = а пи, приводим его к виду (18.89) где Для исследования устойчивости найденного периодического решения на основании (18.86) находим Критерий (18.63) при этом не выполняется, что означает неустойчивость найденного периодического решения. Это и показано условно вертикальными стрелками на рис. 18.16, б. Легко проверить, что значение k гр (18.88) совпадает с границей устойчивости линейной системы без сухого трения. Следовательно, добавление сухого трения несколько расширяет область устойчивости системы, но весьма своеобразно, а именно неустойчивость найденного периодического решения означает, что при k>k гр и при выполнении условия (18.89) система может быть устойчивой в малом (при начальных условиях, которые дают начальную амплитуду собственных колебаний системы в переходном процессе, лежащую ниже кривой на рис. 18.16, б. Однако система неустойчива в большом (при начальных амплитудах собственных колебаний выше этой кривой. Последнее можно объяснить физически тем, что при больших амплитудах и соответственно при больших скоростях движения демпфирующее влияние силы сухого трения, которая сохраняет одну и туже величину при любой скорости, становится несущественным, вследствие чего система оказывается неустойчивой, как и при отсутствии сухого трения. При невыполнении условия (18.89) требуется исследование обоих уравнений (16.52) совместно (это будет уже нелинейность второго класса, так как она затрагивает обе величины входную i я и выходную β ). При этом колебания угла р будут происходить с остановками. Это — задача более сложная. Прим р 3. Пусть теперь в той же системе действует не сухое трение, а сопротивление движению объекта, пропорциональное квадрату скорости, с линейной составляющей риса. Уравнение управляемого объекта с двигателем имеет в этом случае вид (16.63). Перепишем здесь его иначе по аналогии с предыдущим примером (18.90) где Полагая x = а sinwt, по формулам гармонической линеаризации (18.10) получаем Следовательно, Составив, как и раньше, характеристическое уравнение, приходим к выражениям (18.91) откуда находим (18.92) Граничные значения w пи совпадают здесь с прежними (18.88), но они соответствуют уже не а па а п = 0. В результате получаем график для определения амплитуды и частоты периодического решения, изображенный на рис. 18.17, б. Поскольку здесь то критерий (18.63) выполняется. Поэтому найденное периодическое решение устойчиво. Следовательно, квадратичное трение приводит к автоколебаниям в той области параметров, где система без этого добавочного трения была бы неустойчивой. Это объясняется усилением демпфирующего действия квадратичной силы трения при увеличении амплитуды (и скорости) колебаний, что препятствует неограниченному раскачиванию системы. Заметим, что переход закона сопротивления движению объекта от линейного к квадратичному при больших скоростях отражает реальные явления. Амплитуда и частота автоколебаний определяются здесь графиком рис. 18.17, били формулами (18.92), причем амплитуда колебаний угла β будет а = а п п |