Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
< 1. Для этого случая возьмем функцию Ляпунова в виде Производная от нее будет Отсюда аналогично предыдущему приходим к достаточному условию устойчивости системы в виде (17.70) Общий вывод. Полученные в данной задаче достаточные условия устойчивости (17.69) и (17.70) после Подстановки выражений γ и r через параметры системы (17.64) принимают вид соответственно Первое из этих условий устойчивости говорит о том, что передаточное число обратной связи надо сделать достаточно большим, если производная ψ p введена в закон регулирования недостаточно интенсивно. Из второго же условия устойчивости следует, что система будет устойчива при любой обратной связи, если передаточное число по производной достаточно велико. Как видим, данные условия устойчивости не зависят от формы характеристики двигателя рис. 17.12, б, те. они одинаковы при любой кривизне, любом наклоне и любой зоне застоя (в том числе и при однозначной релейной характеристике двигателя постоянной скорости, а также и при линейной характеристике. Такие условия называются условиями абсолютной устойчивости. Они гарантируют, что при их выполнении система будет наверняка устойчива при любой нелинейности с ограничением лишь (17.54). В действительности же система может быть устойчивой ив некоторой области за пределами этих условий устойчивости при конкретно заданной форме нелинейности (см. гл. 18). Пример учета нелинейности измерителя регулируемой величины На основании вышеизложенных теорем Ляпунова МА. Айзерман показал, что если уравнение системы содержит нелинейность (17,71) где х k ) — однозначная нелинейная функция, обращающаяся в нуль при ха любое целое число из 1, 2, . . ., n, то для устойчивости системы достаточно, чтобы для линеаризованной системы (17.71) при замене х k ) =a х k можно было построить функцию Ляпунова V, производная от которой W является знакоопределенной отрицательной функцией при любом значении а в интервале а, если кривая х k ) лежит между прямыми F= ахи ах, как изображено, например, на риса. Пусть, например, в прежней системе самолета с курсовым автопилотом (риса) уравнение регулируемого объекта имеет вид (17.55), привод руля имеет линейную характеристику U k p 8 = δ , но реостат при чувствительном элементе измерителе регулируемой величины ψ ) имеет нелинейную характеристику, в результате чего получается нелинейное уравнение автопилота где (17.72) а F( ψ ) — нелинейная функция, например, вида рис. 17.14, б. Введем обозначения переменных Тогда уравнения автопилота (17.72) и самолета (17.55) примут вида именно (17.73) Зададимся функцией V в виде где все шесть коэффициентов b неизвестны. Потребуем, чтобы функция (17.74) при фиксированном значении ха х в уравнениях (17.73) имела вид Тогда путем приравнивания соответствующих коэффициентов выражений (17.74) и (17.75) можно найти все шесть величин b из системы шести алгебраических уравнений. Здесь приводится результат решения только для трех коэффициентов, которые понадобятся в дальнейшем, а именно (17.76) где (17.77) Затем потребуем, чтобы выражение (17.74) при замене в уравнениях (17.73) х) = ах, гдё а = а + ∆ а, имело вид что дает значения (17.78) Функция W будет знакоопределенной отрицательной, как требуется по условию, если Эти неравенства с учетом (17.78) приводятся к следующему Подставив сюда (17.76), увидим, что это условие выполняется, если ∆ а лежит в интервале ∆ а <; ∆ а < ∆ а, где (17.79) откуда видно, что ∆ a1 <0 и ∆ а > 0. При этом требуется еще D>0. Нетрудно проверить, что последнее требование совпадает с критерием устойчивости (см. § 6.2) для данной системы в линеаризованном виде при замене ψ ψ 0 ) ( a F = (рис. 17.14, б, так как характеристическое уравнение согласно (17.55) ив этом случае будет (17.80) Итак, для устойчивости рассматриваемой нелинейной системы автоматического регулирования достаточно, во-первых, чтобы выполнялся критерий устойчивости Гурвица D>0 для линеаризованной системы при ψ ψ 0 ) ( a F = и, во-вторых, чтобы нелинейная характеристика ) ( ψ F измерителя регулируемой величины лежала, как указано на рис. 17.14, б, между прямыми ψ 1 a F = и ψ 2 a F = ; причем a 1 = a 0 + ∆ a 1 , а = a 0 + ∆ а где значения ∆ a 1,2 определяются формулой (17.79), в которой величины D, из согласно (17.77) выражаются через параметры данной системы и через первоначально принятое значение a 0 при линеаризации Как ив предыдущем примере, здесь получаются условия абсолютной устойчивости, те. условия, независящие от формы нелинейности, нов более узких, чем (17.54), пределах, показанных на рис. 17.14, б. § 17.3. Определение автоколебаний релейных систем методом припасовывания В § 17.1 с помощью фазовой плоскости были найдены автоколебания некоторых нелинейных систем второго порядка. Еще ранее, в § 16.1, были исследованы автоколебания в релейной системе второго порядка методом припасовывания. Однако и для релейных систем любого порядка также существует точное аналитическое решение, потому что релейные характеристики проще других нелинейных тем, что выходная величина принимает только определенные постоянные значения с (а при наличии зоны нечувствительности — еще и нулевое значение. Имеются методы аналитического решения ГС. Поспелова [95, 121], Я. 3. Цыпкина [135] и др. Изложим здесь решение АИ. Лурье для релейной системы любого-порядка по методу припасовывания, полагая, что уравнения системы автоматического регулирования имеют вид (17.81) переменная ξ играет роль переменной х n ). Это имеет место, например, для системы с нелинейной характеристикой двигателя в приводе регулирующего органа, причем dt d / ξ обозначает скорость двигателя, σ — управляющее воздействие на двигатель, r— передаточное число обратной связи. Выражения (17.81) представляют собой общую форму записи уравнений. В конкретных же задачах многие из коэффициентов ас могут быть нулями что упростит выкладки. Преобразуем эти уравнения к специальной канонической форме. Записав первые n-1 из уравнений (17.81) в виде и преобразовав их к одной (любой) из переменных х k (k = 1, 2, . . ., n -1) получим (17.82) где определитель (17.83), а выражение N k (р) получается из р) заменой го столбца на столбец. Многочлены р) и N k (р) характеризуют собой свойства линейной части системы. Обозначим через λ 1 , λ 2 , . . ., λ n-1 корни многочлена р) и будем считать, что все они различны. Тогда уравнение (17.82) после разложения частного двух многочленов N k (р) и р) на простейшие дроби можно будет записать в виде (17.84) где D' ( λ j ) обозначает производную от многочлена р) пор, в которую подставлено значение р = λ j . Введем новые переменные (17.85). Выписывая эти соотношения и добавляя к ним последние два из уравнений (17.81), в которых переменные х k заменяются по формулами) через y j , приходим к следующей системе уравнений (17.86) где (17.87), Введем, наконец, еще новые переменные (17.88) Продифференцировав повремени все уравнения (17.86), кроме последнего, и исключив затем из них ру и р, получаем канонические уравнения. для заданной системы (17.81) в виде (17.89) причем z 1 , z 2 , . . ., z n-1 и а называются каноническими переменными (а играет роль переменной z). Эти уравнения имеют значительно более простой вид, чем исходные уравнения (17.81), что и позволяет провести дальнейшие исследования в более простом и общем виде. Следует заметить, что вещественным корням λ соответствуют вещественные канонические переменные z, а комплексным корням — комплексные канонические переменные. Теперь требуется написать только выражения для исходных переменных (х, х, ..., Х) через канонические (z 1 , z 2 , ..., z n-1 , σ ). Получим их. Если все корни j λ отличны от нуля, то из (17.88) имеем Подставляя это с учетом (17.85) в уравнения (17.84), находим выражения исходных переменных через канонические в виде (17.90) Если же один из корней многочлена р) равен нулю, например В результате вместо (17.90) получаем формулы (17.91) где (17.92) По последней из формул (17.91) определяется у n-1 и подставляется вовсе предыдущие. Рассмотрим случай, когда релейная характеристика Р (а) имеет гистерезисную петлю без зоны нечувствительности (рис. 17.15). В частном случае b = 0 это будет идеальная релейная характеристика. Искомые автоколебания предполагаются симметричными, те. вторая половина периода колебаний повторяет первую с обратным знаком несимметричные автоколебания могут встретиться только в редких случаях. Обозначим половину периода автоколебаний через Т. В течение одной половины периода, когда σ >0 и согласно рис. 17.15 F( σ ) = с, уравнения (17.89) имеют вид Если корни j λ неравны нулю, то общее решение этих уравнений будет где С 1 ,С 2 , . . ., С — произвольные постоянные интегрирования. Они определяются из условий периодичности, выражающих собой тот факт, что в конце полупериода колебаний каждая переменная должна быть равна ее значению вначале периода с обратным знакома именно если время t отсчитывать от начала рассматриваемого полупериода колебаний. В результате получаем Следовательно, написанное выше решение имеет вид (17.93) в интервале времени 0 < t< Т. Вначале полупериода (в момент переключения реле) согласно рис. 17.15 имеем Подставив это в (17.93), получаем уравнение для определения полупериода автоколебаний Т (17.94) Период автоколебаний будет Т. Следовательно, частота автоколебаний Необходимо заметить, что для того, чтобы действительно произошло переключение реле, нужно согласно рис. 17.15 иметь возрастание величины σ прите. в этот момент должно быть р > 0. Отсюда получается, что должно выполняться следующее условие переключения (17.95) Кроме того, не должно быть обратного переключения реле внутри полупериода, те. требуется σ > -b при 0 < t Т. Это можно проверить, построив кривую σ (t) по второй из формул (17.93). Амплитуда автоколебаний для любой переменной определяется как максимальное ее значение внутри полупериода (0 < t < Т) на основании формул (17.93). Последние дают также и всю кривую автоколебательного процесса на участке 0 < t< T (на втором полупериоде она повторяется с обратным знаком, затем с прежним знакомит. д. В случае, если один из корней j λ , равен нулю, например 1 − n λ = 0, то формулы (17.93), (17.94) и (17.95) заменяются соответственно следующими (17.96) а также (17.97) (17.98) Устойчивость автоколебаний определяется на основании уравнений данной системы в малых отклонениях от исследуемого автоколебательного процесса. Эти уравнения являются линейными уравнениями с периодическими переменными коэффициентами. Согласно теории Ляпунова (приводится без вывода, необходимыми достаточным условием устойчивости автоколебаний является отрицательность вещественных частей всех корней следующего характеристического уравнения (17.99) а если 1 − n λ = 0, то (17.100) где через р, как и везде ранее, обозначена переменная характеристического уравнения. Пример Рассмотрим систему самолета с курсовым автопилотом (в упрощенном виде, которая исследовалась в § 17.2, но только характеристику привода руля возьмем релейную в виде рис. 17.15. В § 17.2 были получены условия устойчивости системы на основании теорем Ляпунова (устойчивость системы по отношению к установившемуся состоянию с постоянным значением угла курса. Теперь же будем искать автоколебания и условия, при которых они имеют место. Уравнения самолета и автопилота согласно (17.55), (17.60) и (17.59) запишем здесь в виде (17.101) где ψ — отклонение самолета от заданного курса, ξ — отклонение руля, σ — управляющее воздействие на рулевую машинку (в закон регулирования введена производная и имеется обратная связь. Пусть последнее из уравнений (17.101) изображается графиком рис. 17.15 (рулевая машинка постоянной скорости. Положив (17.102) приведем уравнения (17.101) к виду (17.81). В наших обозначениях получим Следовательно, в уравнениях (17.81) в данном случае имеем Определитель (17.83) здесь будет а корни его Вычислив р) и N 2 (p) согласно указанию формуле (17.83), а также производную D' (р) и коэффициенты β 1 ; β 2 , h 1 , h 2 по формулами, получим В результате канонические уравнения (17.89) здесь будут (17.103) а выражения (17.91) для прежних переменных x 1 , x 2 , ξ через канонические z1 и z2 Примут вид Подставив y2 из последнего уравнения во второе и использовав (17.102), получаем следующие выражения для исходных переменных через канонические (17.104) Далее согласно (17.97) записываем уравнения для определения полупериода автоколебаний или (17.105) где введено обозначение (17.106) Левая часть равенства (17.105) изображается прямой АВ (риса, а правая Рис. 17.16. часть — кривой OD. Точка пересечения их является решением уравнения (17.105). Из графика видно, что это уравнение имеет решение только при условии (17.107) причем При а > 1 прямая АВ не пересекается с кривой О, что означает отсутствие автоколебаний при этих значениях а. Но кроме равенства (17.105) необходимо еще выполнение условия переключения (17.98), которое в данном случае будет или (17.108) Следовательно, если даже значение, а лежит в интервале (17.107), ноне выполняется условие (17.108), то автоколебаний в системе не будет. Для исследования устойчивости автоколебаний запишем характеристическое уравнение (17.100). Оно получает здесь вид Случай 0 2 1 1 = + T T pth , когда знаменатель обращается в нуль, нереален. Поэтому, считая 0 2 1 1 ≠ + T T pth , приведем это уравнение к общему знаменателю, использовав обозначение (17.106), что дает Поскольку данное характеристическое уравнение имеет вторую степень, то для устойчивости исследуемых колебаний необходима и достаточна положительность его коэффициентов. Коэффициент при р положителен. Коэффициент при р согласно (17.107) тоже положителен. Поэтому условие устойчивости автоколебаний сводится к положительности свободного члена этого уравнения, те Отсюда с учетом (17.107) заключаем, что имеются две области устойчивых автоколебаний (17.109) Между ними лежит область неустойчивого периодического решения (17.110) где при начальных условиях, приводящих к отклонениям, которые больше амплитуды этого периодического решения, в системе получаются расходящиеся колебания. Условие а < 0, где всегда имеют место устойчивые автоколебания, согласно (17.106) означает те. неустойчивую систему (17.110) можно сделать устойчивой автоколебательной системой путем усиления интенсивности введения производной в закон регулирования согласно (17.111). При этом необходимо параметры системы подобрать так, чтобы добиться достаточно малого значения амплитуды автоколебаний и приемлемой (по техническим условиям) частоты их. Для вычисления амплитуды автоколебаний нужно сначала по формулам (17.96) записать решения для z1, z2 и σ , а именно Затем по последней из формул (17.104) надо записать решение для, угла рыскания самолета ) (t ψ и угла отклонения руля 2 z = ξ , что дает (17.112) По этим уравнениям можно построить графики автоколебаний самолета (рис. 17.16, б) и руля (рис. 17.16, в, причем Амплитуда автоколебаний руля, как видно из рис. 17.16, в, будет где с — скорость движения руля согласно характеристике рис. 17.15. Амплитуда автоколебаний самолета (по углу рыскания) ψ a найдется как максимум функции ψ (t) на участке 0 < t< Т. Взяв от ψ (17.112) производную пои приравняв ее нулю, получаем следующее уравнение для определения времени t= t м, соответствующего максимуму ψ : Это уравнение решается графически, как показано на рис. 17.16, г. Определив таким образом величину t м, подставляем ее в первую из формул (17.112), что и дает искомую амплитуду автоколебаний самолета Частота же автоколебаний определяется через полупериод Т, найденный на основании уравнения (17.105) графически (риса. Заметим, что задача в данном примере ради простоты решена лишь для упрощенного уравнения движения самолета по курсу (первое из уравнений (17.101)) ив предположении строгого постоянства скорости рулевой машинки. § 17.4. Частотный метод В. М. Попова Решение задачи об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной нелинейностью (те. устойчивости при любой форме этой нелинейности со слабым ограничением типа (17.54) или типа рис. 17.14) с помощью теорем прямого метода Ляпунова было проиллюстрировано на двух примерах в § 17.2. Изложим теперь частотный метод, предложенный румынским ученым В. М. Поповым [97], при использовании которого та же задача решается более просто приемами, аналогичными частотным способам исследования устойчивости линейных систем. Если в системе автоматического регулирования имеется лишь одна однозначная нелинейность (17.113) то, объединив вместе все остальные (линейные) уравнения системы, можно всегда получить общее уравнение линейной части системы (риса) в виде (17.114) где причем будем считать m< n. Пусть нелинейность ух) имеет любое очертание, не выходящее за пределы заданного угла arctgk (рис. 17.17, б, те. при любом x (17.115) Пусть многочлен р) или, что тоже, характеристическое уравнение линейной части р 0 имеет все корни с отрицательными вещественными частями или же кроме них имеется еще не более двух нулевых корней. Другими словами, допускается, чтобы а n = 0 или аи а n-1 = 0 в выражении рте. не более двух нулевых полюсов в передаточной функции линейной части системы Приведем без доказательства формулировку теоремы В. М. Попова для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число И, при котором при всех w ≥ 0 (17.116) где W(jw) — амплитудно-фазовая частотная, характеристика линейной части системы. При наличии одного нулевого полюса требуется еще, чтобы а при двух нулевых полюсах Теорема справедлива также и при наличии в знаменателе р) передаточной функции линейной части не более двух чисто мнимых корней, но при этом требуются некоторые другие простые добавочные условия [2], называемые условиями предельной устойчивости. Другая формулировка той же теоремы, дающая удобную графическую интерпретацию, связана с введением видоизмененной частотной характеристики W* (jw), которая определяется следующим образом где То = 1 сек — нормирующий множитель. График W* (jw) имеет вид (риса, аналогичный W(jw), когда в выражениях р) и р) разность степеней n-m > 1 . Если же разность степеней n-m = 1, то конец графика W* (jw) будет на мнимой оси ниже начала координат (рис. 17.18, б. Преобразуем левую часть неравенства (17.116): Тогда, положив и использовав соотношения (17.117), получим вместо (17.116) для теоремы В. М. Попова условие (17.118). при всех w>0 Очевидно, что равенство (17.119) представляет уравнение прямой на плоскости W* (jw). Отсюда вытекает следующая графическая интерпретация теоремы В. М. Попова для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на плоскости W* (jw), проходящую через точку (-1/k ,j0), чтобы вся кривая W* (jw) лежала справа от этой прямой. На рис. 17.19 показаны случаи выполнения теоремы. В этих случаях нелинейная система устойчива при любой форме однозначной нелинейности, ограниченной лишь условием (17.115). На рис. 17.20 показаны случаи, когда теорема не выполняется, те. нелинейная система не имеет абсолютной устойчивости. Заметим, что, например, в задаче о самолете с автопилотом (§ 17.2) условие (17.54) означает любое расположение нелинейной характеристики во всем первом (и третьем) квадранте. Во всех подобных случаях согласно рис. 17.17 имеем Н = оо. В теореме В. М. Попова при этом вместо (17.116) получаем условие (17.120) а вместо (17.118) (17.121) при всех w > 0. Поэтому в графической интерпретации прямая должна проходить не так, как показано было на риса через начало координат. В частности, для указанного примера (§ 17.2) уравнения (17.63) можно преобразовать к виду где обозначено у -рх 2 , причем р — производная по τ . Передаточная функция линейной части системы будет Отсюда Умножив числитель и знаменательна, получим а согласно (17.117) (17.122) Неравенство (17.121) принимает вид (17.123) Очевидно, что это неравенство может быть выполнено при любом w>0 если (17.124) и если h берется сколь угодно большим, чтобы обеспечить неравенство (17.123) при сколь угодно малых w. Полученное условие (17.124) выполняется при что точно совпадает с найденными ранее условиями абсолютной устойчивости данной системы (17.69) и (17.70). Смысл практической реализации этих условий был разъяснен в § 17.2. Графически критерий устойчивости выражается в том, что вся кривая W*(jw) = U*(jw)+jV*(w), построенная согласно (17.122), расположена (риса) справа от прямой U* — hV* =0, обозначенной штрихпунктиром, со сколь угодно малым наклоном, если 1+r- γ > 0. Если же 1+r - γ < 0 (рис. 17.21, б, то такую прямую провести невозможно и, следовательно, нелинейная система не будет абсолютно устойчивой. Здесь был приведен простой пример, в котором условия устойчивости по методу В. М. Попова выражаются в общем буквенном виде. В большинстве технических задач этого не получится. Однако видно, что описанный частотный критерий устойчивости В. М. Попова для систем с одной однозначной нелинейностью в его графической форме может быть применен при любой сложности линейной части системы и численно заданных коэффициентах уравнений. Более того, он может быть применен в случае, когда не заданы уравнения, но известна экспериментально снятая амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части W(jw). Чтобы установить устойчивость системы согласно рис. 17.19, W(jw) надо перестроить в характеристику W*(jw), пользуясь формулами (17.117). Очертание нелинейности может быть неизвестным. Необходимо знать лишь, в пределах какого угла (рис. 17.17) она расположена. Для конкретно заданных форм нелинейности область устойчивости, вообще говоря, будет несколько шире, но данным методом это не определяется (см. главу 18). § 17.5. Исследование систем с переменной структурой Понятие о системах с переменной структурой было дано вначале книги (§2.3), а об их уравнениях — в конце главы 16. Покажем методику исследования систем с переменной структурой при отсутствии внешнего воздействия на примере системы второго порядка при линейном объекте и линейных структурах регулятора, так что нелинейность системы будет заключаться в автоматическом переключении этих структур. Имея ввиду второй порядок системы, используем изображение процессов на фазовой плоскости, которое для линейных систем представлено было выше на рис. 16.8—16.13. Рассмотрим систему (рис. 17.22), не обладающую при постоянной структуре собственной устойчивостью [42]. В самом деле, если |