Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
dt dx y = , тех возрастает при у и убывает при у. Уравнение (16.13) в обозначениях (16.29) будет (16.32) что дает решение согласно которому наносится семейство фазовых траекторий слева от линии ЕFGН (рис. 16.15). В результате получится, что фазовые траектории расходятся от начала координат и сходятся из бесконечности, те. имеет место случай, аналогичный риса, а значит, где-то должен быть устойчивый предельный цикл. Он обозначен жирной линией на рис. 16.15. Следовательно, в данной системе автоматического регулирования будут наблюдаться устойчивые автоколебания, к которым сходится переходный процесс с обеих сторон, те. при любых начальных условиях. Автоколебательный процесс является здесь единственно возможным видом установившегося процесса, а строгое поддержание постоянной температуры ( θ = 0) невозможно. Амплитуда автоколебаний температуры в данной системе регулирования изображается на рис. 16.15 отрезком а. Период же автоколебаний определяется решением уравнений во времени, как было сделано выше. Половины АВ и В (рис. 16.15) предельного цикла соответствуют полупериодам АВ и В (рис. 16.4, б) автоколебаний. Отрезок g (рис. 16.15) изображает амплитуду скорости изменения температуры при автоколебаниях это есть величина (16.18). Видно, что g < k 1 с. Перейдем к составлению уравнений нелинейных систем автоматического регулирования. § 16.2. Уравнения систем с нелинейностью релейного типа Следуя сделанным в § 16.1 замечаниям, приведем несколько примеров составления уравнений нелинейных систем релейного типа. Система автоматического регулирования напряжения. Пусть имеется шунтовой генератор постоянного тока (регулируемый объект) с вибрационным регулятором напряжения. Упрощенная принципиальная схема такой системы показана на рис. 16.16. Когда контакты К под действием пружины П замкнуты, сопротивление, обозначенное через 2r 1 ; выключено из цепи возбуждения генератора 1. Система рассчитана так, что при этом напряжение U на клеммах генератора возрастает (при любой реально возможной нагрузке в сети, на которую работает данный генератор. В результате увеличивается ток I 2 в катушке 2 электромагнитного реле и якорь реле притягивается, размыкая тем самым контакты К. При разомкнутых же контактах Кв цепь возбуждения включено сопротивление 2r 1 . Это вызывает снижение напряжения U, а значит уменьшение тока I 2 и отпускание реле, в результате чего контакты К снова замыкаются, выключая тем самым сопротивление д из цепи возбуждения. Настройка системы на желаемое номинальное значение регулируемой величины U производится установкой сопротивления R я Уравнение регулируемого объекта (генератора) представим в линейном виде (16.33) где r ∆ — изменение сопротивления цепи возбуждения (регулирующее воздействие. Постоянная времени Т и коэффициент k 1 определяются параметрами якоря и цепи возбуждения. Уравнение чувствительного элемента (катушки электромагнита 2) запишем в виде (16.34) Начало отсчета величин отклонений U ∆ , 2 I ∆ и r ∆ будет определено ниже. Регулирующий орган (контакты K, скачком включающие и выключающие сопротивление 2r 1 ) является нелинейным звеном релейного типа. Выходная величина его — сопротивление г цепи возбуждения — меняется скачкообразно при срабатывании и отпускании реле, те. в зависимости от величины тока I 2 вцепи катушки 2 электромагнитного реле. Это изображено на риса, где I ср и I отп — токи полного срабатывания и отпускания реле. Для составления уравнения такого нелинейного звена, удобно, как всегда, ввести отклонения 2 I ∆ и r ∆ от некоторых постоянных значений I° 2 и R°. Как указано на риса, принимаем (16.35) Тогда характеристика данного нелинейного звена в отклонениях примет вид рис. 16.17, б, симметричный относительно начала координат (релейная характеристика с гистерезисной петлей. В связи с этим уравнение нелинейного звена (рис. 16.17, б) будет (16.36) (16.37) где выражение sign( 2 I ∆ — i 1 ) обозначает знак величины ( 2 I ∆ — i 1 ). Формулы (16.36) и (16.37) отвечают соответственно движению вправо по линии АВСЕF (рис. 16.17) и влево по линии ЕВА, причем в точках Си происходит переключение реле (перескоки в точки Е и В соответственно. Уравнения линейной части системы (16.33) и (16.34), имея ввиду исследовать переходный процесс при f(t) = 0, объединим водно) Постоянные значения, от которых производится здесь отсчет отклонений переменных, определяются из алгебраических уравнений условного номинального установившегося режима с использованием реальных характеристик генератора. Система автоматического регулирования курса водяной торпеды. Возьмем описанную в § 1.3 простейшую схему (рис. 1.20). Уравнение вращения торпеды вокруг вертикальной оси (рыскание по курсу) как регулируемого объекта запишем приближенно в виде (16.39) где ψ — угол отклонения торпеды от заданного направления, J— ее момент инерции относительно вертикальной оси, c 1 ψ — момент сопротивления среди (воды, с — момент руля, δ — угол поворота руля. Разделив (16.39) нас получим уравнение регулируемого объекта в виде (16.40) где Чувствительным элементом является трехстепенный гироскоп, поворачивающий рычаг заслонки в системе питания пневматической рулевой машинки на угол, пропорциональный углу отклонения торпеды. Следовательно, уравнение чувствительного элемента будет (16.41) где s— величина перемещения заслонки из нейтрального положения. Будем считать, что поршень рулевой машинки 3 (рис. 1.20) при открытии заслонки, быстро получая полную скорость, мгновенно перебрасывает руль из одного крайнего положения в другое. В таком приближенном представлении линейная часть системы ограничивается уравнениями (16.40) и (16.41). Единое уравнение линейной части системы, поэтому будет (16.42) Рулевая машинка вместе с рулем (приводи регулирующий орган) представляет собой нелинейное звено, уравнение которого согласно вышесказанному можно представить либо в простейшем виде риса) либо, если имеется заметная зона нечувствительности (рис. 16.18, 6), в виде (16.44) либо, если существенное значение имеет гистерезисная петля (рис. 16.18, в, (16.45) либо, наконец, в простейшем случае, нос запаздыванием (рис. 16.18, г) (16.46) где (16.47) причем τ — время запаздывания срабатывания реле. При исследовании системы в целом можно принять один из этих четырех вариантов в зависимости оттого, какой из них лучше будет соответствовать свойствам данной релейной системы. § 16.3. Уравнения систем с нелинейностью в виде сухого трения и зазора Приведем примеры составления уравнений для нелинейных систем с сухим трением или зазором в механической передаче. Следящая система с линейными сухим трением. В § 5.7 составлены уравнения следящей системы в линейном виде. Рассмотрим теперь такой случай, когда к линейному моменту трения М лт добавляется еще момент сухого трения М ст , имеющий постоянную величину, равную некоторому значению си меняющий свое направление (знак) с изменением знака скорости вращения объекта p β (рис. 16.19). Следовательно, теперь уравнение управляемого объекта примет вид (16.48) где β — угол поворота вала управляемого объекта, причем (16.49) Важная особенность сухого трения состоит в том, что это (в отличие от релейных характеристик) далеко не всегда означает мгновенное переключение величины М ст при р = 0. Здесь возможны два варианта (16.50) В первом случае скорость объекта р пройдет через нулевое значение и его движение будет продолжаться без остановки дальше по закону (16.48). Во втором же случае произойдет остановка управляемого объекта, в течение которой будет иметь место не переключение, а медленное изменение величины М ст в интервале -стили обратно, причем М cт будет принимать все время определенные значения (16.51) В этом случае движение возобновится снова только тогда, когда вращающий момент достигнет значения |М вр | си превысит его. Если же остается |М вр | сто система будет неподвижна. Поэтому положение равновесия управляемого объекта оказывается неопределенным внутри некоторого отрезка, а именно при любом значении |М вр |<с. Этим определяется зона застоя системы. Застой проявляется в том, что, с одной стороны, система не будет двигаться при изменении угла задатчика в определенном интервале и, с другой стороны, что система будет обладать. ошибкой из-за сухого трения в положении равновесия. В процессе же движения системы в одну сторону с любой скоростью сухое трение внесет постоянную ошибку одного знака, что соответствует как бы дополнительной внешней нагрузке М нг = с. Итак, уравнение управляемого объекта, как нелинейного звена системы, согласно (16.48) и (16.49) с учетом (16.50) будет иметь вид (16.52) Уравнения всех остальных звеньев данной следящей системы в совокупности образуют линейную часть системы, единое уравнение которой для свободного движения упрощенно запишем в виде (16.53) Следящая система с зазором. Предположим теперь, что в той же самой следящей системе нелинейность заключается не в сухом трении, а в наличии зазоров в силовой механической передаче между двигателем и управляемым объектом. Все эти зазоры объединим в один и изобразим его условно в виде вилки со свободным ходом b ± . Таким образом, между двигателем и управляемым объектом вклинивается теперь новое нелинейное звено, изображенное на риса, входную величину которого обозначим 1 β . Характеристика этого нелинейного звена изображена на рис. 16.20, б. Смысл ее следующий. Если бы не было зазора, то β равнялось бы 1 β и характеристикой была бы прямая под углом 45°, изображенная на рис. 16.20, б штрихпунктиром. Вследствие зазора при движении в сторону возрастания угла β эта прямая сдвинется вправо на величину b поводок прижмется к правой стороне вилки. При изменении направления движения сначала поводок будет перемещаться внутри зазора, не двигая вилку ( β = const). На характеристике это соответствует горизонтальному отрезку длиной 2b (АВ, или Е, или Кили другие в зависимости от фактического значения β в это время. Затем начнет двигаться и вилка, что будет соответствовать прямой С, сдвинутой влево от начала координат на величину b. При равновесии системы поводок и вилка могут занимать любое относительное положение внутри зазора, что вызывает ошибку системы из-за зазора, равную ± b. При движении системы в одну из сторон будет постоянное отставание объекта из-за зазора на величину ±b, не считая того отставания, которое будет еще из-за нагрузки. Уравнение управляемого объекта, включавшее в себя и двигатель, теперь разобьется на два нелинейных. Первое нелинейное уравнение управляемого объекта с двигателем будет ограничиваемся учетом одной постоянной времени) (16.54) соответственно с поводком, прижатым к вилке, и с поводком, свободно движущимся внутри зазора Т меньше Т на величину с, где J 0 — момент инерции управляемого объекта. Кроме этого, надо написать второе уравнение нелинейного звена с зазором, соответствующее характеристике рис. 16.20, б (16.55) Следовательно, управляемый объект будет иметь остановки при своих колебаниях, соответствующие участкам АВ, Сит. д. характеристики рис. 16.20, б. Линейная часть системы остается такой же, как в предыдущем примере, те. Система автоматического регулирования давления (учет сухого трения. Рассмотрим систему (рис. 14.7), уравнения которой в линейном виде были получены в § 14.2. В чувствительном элементе 2 масса незначительна, но зато существенное значение может иметь сухое трение. Поэтому уравнение движения штока мембраны запишем в виде (16.56) где т — сила сухого трения, имеющая постоянную величину сменяющая направление при изменении знака скорости ру и могущая принимать любые значения вовремя остановки, те) Р — сила давления воздуха камеры на мембрану, F M — упругая сила мембраны, п — сила пружины. В результате после перехода к безразмерным относительным отклонениями) получим вместо (14.47) следующее уравнение чувствительного элемента как нелинейного звена (16.58) Где Н, M q — площадь мембраны, р н — номинальное давление в камере. Построим характеристику этого нелинейного звена с сухим трением в координатах ( ϕ − , η ). Легко видеть, что первое из уравнений (16.58) соответствует прямым Аи ВС при р > 0 и р < 0, а второе уравнение ( η = const) — отрезкам АВ, СЕ, Нит. п. на рис. 16.21, б. Из сравнения рис. 16.21,6 ирис, б видно, что сухое трение в таком нелинейном звене (без массы) эквивалентно зазору, половина которого равна b, чего совершенно нельзя сказать о сухом трении в следящей системе, где учитывалась масса момент инерции. Все остальные звенья системы (рис. 14.7) образуют линейную часть, единое уравнение которой прибудет. Уравнения систем с нелинейностями других видов Рассмотрим несколько примеров составления уравнений автоматических систем с нелинейностями других видов, чем в §§ 16.2 и 16.3. Система автоматического регулирования с нелинейной характеристикой привода регулирующего органа. Привод регулирующего органа, каким бы он ни был электрический, гидравлический, пневматический, всегда имеет, во-первых, некоторую зону нечувствительности вначале координат (риса) и, во-вторых, зону насыщения по краям. Кроме того, может иметь место еще и гистерезис (рис. 16.22, г. Эти две криволинейные характеристики могут быть приближенно заменены кусочно- линейными (рис. д или в, е, и. Наконец, существуют приводы с постоянной скоростью (рис. 16.22, ж, з, относящиеся к нелинейным звеньям релейного типа, уже рассмотренным ранее. Зона нечувствительности b 1 выражается в том, что электрический двигатель имеет определенный минимальный ток трогания (i = b 1 ), до достижения которого вал двигателя будет неподвижен (р = 0). В гидравлическом же двигателе золотник имеет так называемую зону перекрытия (его поршенек немного шире отверстия, им закрываемого, вследствие чего он откроет путь рабочей жидкости в цилиндр двигателя, только переместившись на некоторую величину s=b 1 . Аналогично ив случае пневматического привода, где роль золотника играет заслонка. Зона насыщения обнаруживается в том, что при увеличении тока сверх, некоторого значения i = b 2 скорость перемещения регулирующего органа остается постоянной (р ξ =с); также и для гидравлического двигателя при s ≥ b 2 , когда окна золотника полностью открыты. Термины насыщение и гистерезис применяются здесь в обобщенном смысле для обозначения нелинейностей определенного типа они необязательно соответствуют физическим явлениям насыщения и гистерезиса. Уравнение привода регулирующего органа с учетом указанных обстоятельств вместо прежнего линейного будет иметь нелинейный вид (16.60) где F(s) есть нелинейная функция, задаваемая графиком (риса или г. Для электрических приводов можно записать (16.61) В приближенном кусочно-линейном виде (рис. 16.22, б) уравнение (16.60) записывается следующим образом (16.62) В случае наличия гистерезиса (рис. 16;22, д) придется написать два ряда таких же выражений с разными значениями b 1 и b 2 — один для движения вправо (р c > 0) и другой для движения влево (р c <0). Этим определяется уравнение привода регулирующего органа как нелинейного звена. Уравнение линейной части составляется обычным способом в зависимости оттого, в какой конкретно автоматической системе этот привод применен. Следящая система с линейными квадратичным трением. В § 16.3 была рассмотрена следящая система с линейными сухим трением. Пусть теперь управляемый объект в той же следящей системе обладает кроме линейного еще квадратичным трением, те. уравнение объекта имеет вид Где рис. 16.23). Тогда уравнение управляемого объекта как нелинейного звена будет (16.63) Уравнение линейной части системы в полном, виде по-прежнему будет (16.53). Система автоматического регулирования с переменным коэффициентом усиления. В ряде случаев для повышения качества процесса регулирования бывает желательно, чтобы воздействие на регулируемый орган было непропорциональным отклонению регулируемой величины, а усиливалось или ослаблялось при увеличении этого отклонения (нелинейный закон регулирования. Примерами такого воздействия с переменным коэффициентом усиления могут служить характеристики с ограниченной линейностью или с насыщением (риса. Однако они дают уменьшение коэффициента усиления при увеличении отклонения. Рассмотрим теперь два примера характеристик с переменным коэффициентом усиления, который увеличивается при увеличении отклонения. Уравнение нелинейной части привода регулирующего органа будет в случае характеристики риса, а в случае характеристики рис. 16.24, б (16.65) Все рассмотренные примеры иллюстрируют случай, когда общая схема системы имеет вид рис. 16.1, те. случай нелинейной системы первого класса (кроме случая сухого трения в следящей системе при наличии остановок. Комбинации нелинейностей приводят к нелинейным системам второго и третьего классов (см. главу 18). Система автоматического регулирования с логическим устройством. Пусть динамика регулируемого объекта (рис. 16.25) описывается уравнением (16.66) Уравнения измерителей (16.67) Уравнение усилителя-преобразователя с логическим устройством (16.68) Уравнение исполнительного устройства (16.69) Кроме того, должна быть задана логика формирования нелинейного закона регулирования Ф, v), которая может быть назначена или синтезирована в очень разнообразных формах для обеспечения простоты и надежности аппаратуры, наибольшего быстродействия, наименьшей затраты энергии на управление, учета ограничения мощности источника энергии и специфики желательных режимов его работы и т. п. Выбранную тем или иным образом логику формирования нелинейного закона управления можно записывать в аналитической форме. Однако во многих случаях удобнее изображать ее графически на плоскости входных величин логического устройства (u, v). Для примера рассмотрим простейшую логику (рис. 16.26): Смысл ее заключается в следующем. Величины u и v, согласно уравнениям (16.67), с точностью до постоянных времени соответствуют отклонению регулируемой величины x и ее первой производной повремени р х. Поэтому наличие порогового значения соответствует тому, что при малых х исполнительное устройство не работает (Ф. Не работает оно также и при больших отклонениях x, но только тогда, когда имеется достаточная по величине скорость р х (соответствующая превышению порога ±v 1 ) со знаком, противоположным знаку x, ибо в этом случае отклонение х уменьшается по величине само собой даже при неработающем исполнительном устройстве системы управления. Исполнительное устройство включается (Фили Ф =-1, рис. 16.26) только тогда, когда при достаточно больших отклонениях х ( |