Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
Амплитудно-импульсная модуляция города В этом случае реальный импульсный элемент генерирует короткие прямоугольные импульсы, высота которых равна значению ха продолжительность составляет и, где γ < 1 (рис. 15.1). Изображение импульса при поступлении на вход экстраполятора функции будет В этом случае передаточная функция разомкнутой системы (15.134) где ε = 1 -Формулу (15.134) можно также записать в следующем виде. Так как деление передаточной функции W 0 (р) нар эквивалентно интегрированию оригинала, те. весовой функции w 0 (t), тов результате (15.135) где h 0 [n] — переходная функция непрерывной части системы, а H 0 (z, ε ) — изображение этой переходной функции. Пусть, например, непрерывная часть системы имеет передаточную функцию которой соответствует переходная функция ) 1 ( ) ( 0 at e K t h − − = , где 1 1 − = T a . Тогда в соответствии си табл. 15.1 получаем где aT e d = , ε = 1 -При γ < 1 в формуле (15.134) можно приближенно принять pT e pT γ γ − ≈ − 1 . Тогда получим (15.136) Формула (15.136) будет справедлива, если можно пренебречь влиянием конечной длительности импульса. Это эквивалентно замене коротких прямоугольных импульсов, которые генерируются реальным импульсным элементом, серией одинаковых сними по площади импульсных функций (функций. В свою очередь это эквивалентно замене эр) Т. Такая замена обоснована, если непрерывная часть реагирует практически одинаково на реальные конечные импульсы и на равные по площади импульсы типа функций. В большинстве случаев для выполнения этого достаточно, чтобы постоянные времени системы были больше продолжительности импульса, те. Т >t п = γ T(i = 1,2, . . . , k). К формуле (15.136) сводится и случай амплитудно-импульсной модуляции города (рис. 15.1, в, если длительность реального импульса мала. Экстраполяторы с фиксацией на период. В этом случае на выходе экстраполятора в течение всего такта продолжительностью Т удерживается величина, равная значению х [n]. Подобным образом работают, например, системы с ЦВМ при использовании в них так называемых экстраполяторов нулевого порядка (рис. 15.13). Изображение импульса на выходе экстраполятора при поступлении на вход х = δ 0 [n] будет в этом случае (при γ = 1) (15.137) Передаточная функция разомкнутой системы в общем случае наличия временного запаздывания (15.138) где ε = 1 - γ , Е, причем 0 < ξ < 1- Смещенное преобразование должно вычисляться в соответствии с формулами (15.51) и (15.52). Формула (15.138) может быть также записана в другом виде где h 0 (t) — переходная функция непрерывной части без учета временного запаздывания. Пример. Определим передаточную функцию разомкнутой системы с экстраполятором нулевого порядка для случая, когда непрерывная часть имеет передаточную функцию Общий коэффициент усиления К = 100 сек, постоянная времени объекта Т = 1 сек, период дискретности Т = 0,5 сек, постоянное временное запаздывание τ = 0 и τ = 0,1 сек. Рассмотрим случай τ = 0. Разложим выражение, находящееся в скобках (15.138), на простые дроби Тогда имеем из (15.138) Здесь 61 Для случая τ = 0,1 сек (или ξ = 0,2) аналогично будем иметь, положив ε = 1 - γ Заметим, что, положив τ = и ε = 1 - γ =1, из последнего выражения (**) нельзя получить передаточную функцию (*), так как для случая ε = 1 изображение не определяется формулой (15.51). Передаточные функции замкнутых систем Пусть для систем с единичной главной обратной связью (рис. 15.11 и 15.12) определена для общего случая ≠ ε 0 передаточная функция разомкнутой системы W (z, ε ). Тогда изображение выходной величины (15.140) Изображение ошибки принято в виде X (z, 0), так как импульсный элемент реагирует назначения ошибки в дискретные моменты времени t= Т ( ε = 0). При ε = 0 имеем X(z,0)=G(z,0) — Y(z, 0). Подставляя это выражение в (15.140), получаем (15-141) (15.142) Или в сокращенной записи (15.143) (15.144) Здесь введены передаточная функция замкнутой системы Фи передаточная функция по ошибке Ф (z). Условием применимости формул (15.143) и (15.144) является требование равенства нулю приведенной весовой функции в момент t= 0, те. Для этого в системах с бесконечно короткими импульсами в виде δ -функции требуется, чтобы степень числителя передаточной функции непрерывной части о (р) по крайней мерена два была меньше степени знаменателя. В системах с конечными по длительности импульсами достаточно, чтобы эта разность была бы не меньше единицы. Передаточные функции W(z), Фи Ф (z) могут быть использованы для оценки устойчивости и качества импульсных систем. Если е, то, учитывая, что в замкнутой системе X (z, 0) есть изображение ошибки, на которую реагирует импульсный элемент, можно получить из (15.140) (15.145) Однако формула (15.145) обычно не используется, так как практически всегда выражения (15.141) — (15.144) могут быть использованы для оценки качества работы импульсной системы. Передаточные функции для возмущений На рис. 15.14 изображен случай, когда внешнее воздействие приложено не на входе импульсного элемента (например, возмущающее воздействие. Перенесем воздействие f на вход в виде воздействия f 1 . В соответствии с правилами преобразования структурных схем, если для возмущения f(t) изображение Лапласа будет л (р, то возмущению f 1 (t) должно соответствовать изображение Лапласа л (р) = W 2 (p) W(p). Далее можно найти преобразование эквивалентного воздействия на входе импульсного элемента (15.146) Для этого воздействия в разомкнутой системе будет X (z)=-F 1 (z) а в замкнутой (15.147) Таким образом, в случае воздействий, не приложенных ко входу импульсного элемента, передаточная функция импульсной системы может быть определена только для эквивалентного воздействия, полученного пересчетом реального воздействия на вход импульсного элемента. Частотные передаточные функции Введем в рассмотрение синусоидальную последовательность на входе импульсного фильтра (15.148) где аи амплитуда и начальная фаза, Т — период повторения (чередования) импульсов, С =2 π /w период синусоидальной последовательности. Заметим, что, в отличие от непрерывной гармонической функции, синусоидальная последовательность (15.148) представляет собой в общем случае непериодическую функцию п. Она представляет собой периодическую функцию n тогда и только тогда, когда период повторения Т и период гармонической функции Т с — соизмеримые числа. Кроме того, амплитуда а необязательно является тем максимальным значением, которого могут достигать те или иные члены последовательности. Амплитуда всегда является лишь верхней границей, ноне обязательно максимумом этих членов. Отметим также, что последовательность (15.148) не изменится, если заменить частоту f= w/2 π — частотой f+ kf 0 , где f 0 = Т — частота работы ключа, а k — целое число. Невозможно различить две частоты, разность, между которыми равна целому кратному частоты повторения f 0 . Так, например, синусоидальная последовательность с частотой f = f 0 состоит из одного единственного члена, повторяющегося неограниченное число рази, следовательно, она неотличима от последовательности с нулевой частотой f=0. Из предыдущего следует, что, меняя частоту синусоидальной последовательности на входе f в пределах от f до f 0 , можно охватить весь диапазон возможных частот. Можно также показать, что достаточно исследовать поведение импульсного фильтра в диапазоне частот 0 , так как для интервала, частот о о может быть использована дополнительная частота f':, выбранная так, чтобы выполнялось условие f + f' = f 0 . При этом начальная фаза ϕ должна быть заменена начальной фазой ϕ π − . Это положение аналогично тому, что при исследовании непрерывных систем в интервале частот - ∞ < f < ∞ достаточно охватить только положительные частоты, те. интервал 0 (15.149) где ϕ j ae a = — комплексное число Как ив случае непрерывных систем, символичность записи заключается в том, что на самом деле х [n] равно мнимой составляющей правой части (15.149). Введем обозначение z ae jwT = . Тогда последовательность (15.149) приобретает вид (15.150) В этой формуле z — произвольное комплексное число с модулем, равным единице. Следовательно, каждой частоте соответствует определенная точка на окружности единичного радиуса, расположенной на комплексной плоскости (рис. 15.15). Двум эквивалентным частотам, те. частотам, различающимся на целое кратное частоты повторения, соответствует одна и та же полный оборот против часовой стрелки. Двум симметричным относительно вещественной оси точкам, те. двум комплексным сопряженным числам с модулями, равными единице, соответствуют две взаимно дополняющие частоты w и w'. Следовательно, совокупность точек, расположенных на одной верхней (или нижней) полуокружности единичного радиуса, достаточна для отображения всего многообразия частот. Найдем теперь реакцию импульсного фильтра на синусоидальную последовательность (15.149). Будем предполагать при этом, что импульсный фильтр является устойчивым. Поскольку синусоидальная последовательность на входе всегда ограничена, то и реакция устойчивого фильтра на эту последовательность должна представлять собой определенную ограниченную последовательность на выходе. В соответствии с формулой (15.118) выходная величина в этом случае будет для установившегося режима (15.151) Эта формула может быть представлена в следующем символическом виде (15.152) Здесь введена величина (15.153) которая по своему физическому смыслу аналогична частотной передаточной функции непрерывной системы. Как видно из (15.153), для данного импульсного фильтра она зависит только от частоты w и является периодической функцией частоты с периодом w 0 = 1 Амплитуду и фазу последовательности выходного сигнала (15.152) можно найти обычным приемом по комплексному выражению W (z). Отношение амплитуд выходного и входного сигналов равно модулю, а разность их фаз — аргументу этого выражения. В общем случае, когда ≠ ε 0, формула (15.152) может быть представлена в виде (15.154) где W(z, ε ) передаточная функция (15.124). Таким образом, частотная передаточная функция может быть найдена из дискретной передаточной функции импульсного фильтра W(z) или W (z, ε ) посредством подстановки Пример Пусть непрерывная часть импульсного фильтра представляет собой апериодическое звено первого порядка с передаточной функцией о (p) =k(1+T 1 р а импульсный элемент генерирует короткие прямоугольные импульсы продолжительности Приведенная функция веса такого звена Дискретная передаточная функция (15.155) где 1 / T T e d − = . Сделаем подстановку wT j wT e z jwT sin cos + = = . В результате получим (15.156) Модуль и аргумент этого выражения (15.157) Аналогичным образом могут быть найдены частотные передаточные функции замкнутых систем Фи Ф (z) при jwT e z = § 15.4. Устойчивость и качество импульсных систем регулирования В импульсных системах автоматического регулирования устойчивость будет иметь место, если все полюсы передаточной функции замкнутой системы, те. корни характеристического уравнения, лежат в левой полуплоскости корней. Границей устойчивости является мнимая ось (риса. Для построения области устойчивости в плоскости комплексной величины z отобразим мнимую ось плоскости величины р на плоскость z. Для этой цели в соответствии с методом разбиения необходимо сделать подстановку р = jw и менять затем частоту w в пределах от - ∞ до + ∞ . Таким образом, получаем z = ее При изменении частот в указанных пределах на плоскости z получится окружность единичного радиуса, представляющая собой область устойчивости (рис. 15.16, б. Условием устойчивости будет нахождение особых точек (полюсов) передаточной функции замкнутой системы Ф (z) внутри этой окружности. Следовательно, корни характеристического уравнения 1 + W(z) = 0, (15.158) должны быть ограничены по модулю | z i | < 1, что совпадает с результатом § 15.1. Так, например, для характеристического уравнения первого порядка z + А = 0 (15.159) очевидное условие устойчивости будет | А | < 1. Аналогичным образом можно показать, что для уравнения второго порядка (15.160) путем вычисления его корней получаются три условия устойчивости (15.161) Для уравнений более высокого порядка исследование устойчивости усложняется. Для облегчения задачи иногда используется так называемое w -преобразование, посредством которого окружность единичного радиуса (рис. 15.16, б) отображается на мнимую ось плоскости комплексной величины w. Для преобразования используется подстановка (15.162) или, соответственно, (15.163) Сделав подстановку z= е, получаем из (15.163) (15.164) где 2 wT tg = λ представляет собой так называемую относительную псевдочастоту. Иногда вводится в рассмотрение абсолютная псевдочастота (15.165) При малых частотах 2 2 wT wT tg ≈ и псевдочастота w ≈ λ . Поэтому при выполнении условия Т < 2 можно заменить в расчетах псевдочастоту действительной частотой, что может быть использовано, в частности, при расчетах установившихся ошибок при гармоническом входном сигнале. Нетрудно видеть, что при изменении частоты в пределах T w T π π ≤ ≤ − псевдочастота пробегает все значения от - ∞ до + ∞ , а комплексная величина w движется по оси мнимых от —j ∞ до j ∞ . Областью устойчивости в этом случае оказывается вся левая полуплоскость (рис. 15.16, в. Поэтому для передаточной функции с преобразованием могут использоваться обычные критерии устойчивости, справедливые для непрерывных систем. Рассмотрим, например, характеристическое уравнение второго порядка (15.160). Посредством подстановки (15.162) оно преобразуется к виду (15.166) На основании алгебраического критерия (см. § 6.2) условие устойчивости для уравнения второго порядка сводится к требованию положительности всех коэффициентов. Отсюда получаются условия (15.161). Заметим также, что применение преобразования и псевдочастоты приводит передаточную функцию разомкнутой системы к виду, удобному для использования метода логарифмических частотных характеристик. Для определения устойчивости замкнутой импульсной системы возможно использование критерия Найквиста. Для этой цели можно применять передаточную функцию разомкнутой системы, полученную как на основе преобразования, таки на основе w- преобразования. Ив томи в другом случае амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не должна охватывать точку (—1, j0). При использовании передаточной функции W(z) амплитудно-фазовая характеристика становится периодической функцией с периодом Пусть, например, дискретная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид (15.167) Получим частотную передаточную функцию подстановкой z= е (15.168) В координатах u= ReW и v = ImW амплитудно-фазовая характеристика будет представлять собой вертикальную прямую линию, отстоящую влево от начала координат на величину 0,5 КТ. Граница устойчивости будет при прохождении этой прямой через точку (—1, j0). Отсюда можно получить условие устойчивости КТ < 2. Получим теперь частотную передаточную функцию на основе преобразования. Для этого в формуле (15.167) применим подстановку (15.162). В результате получим передаточную функцию разомкнутой системы как функцию комплексной величины w: (15.169) Частотная передаточная функция разомкнутой системы при подстановке λ 2 T j w = , (15.170) Нетрудно видеть, что частотная передаточная функция (15.170) в зависимости от псевдочастоты имеет более простой вид по сравнению с (15.169). По выражению (15.170) может быть, в частности, просто построена асимптотическая л. ах. Подобным же образом могут быть получены дискретные передаточные функции Фи Фа также частотные передаточные функции Ф. Оценка качества импульсной системы регулирования может делаться построением кривой переходного процесса, что при использовании преобразования осуществляется сравнительно легко (§ 15.2), а также посредством различных критериев качества. Наиболее простым является использование показателя колебательности, который может характеризовать запас устойчивости системы. Как ив случае непрерывных систем, получение заданного показателя колебательности сводится к требованию, чтобы амплитудно-фазовая характеристика системы не заходила в запретную зону, окружающую точку (—1, j0) в соответствии с рис. 8.27. Установившаяся точность импульсной системы может оцениваться по коэффициентам ошибок. Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времени ошибку импульсной системы регулирования можно представить в виде ряда (15.171) где коэффициенты ошибок с, с, сит. д. представляют собой коэффициенты разложения передаточной функции по ошибке Ф х (z) вряд Маклорена по степеням рте) Величины, обратные множителям при производных выражения (15.171), по аналогии с непрерывными системами могут называться соответствующими добротностями. Например, добротность по скорости (15.173) добротность по ускорению (15.174) и т. д. Вычислим, например, два первых коэффициента ошибок для системы с передаточной функцией разомкнутой цепи где 1 / Эта функция соответствует импульсному фильтру с передаточной функцией непрерывной части и с приведенной передаточной функцией (15.136) Находим передаточную функцию по ошибке Подстановка в это выражение р = 0 или г = 1 дает коэффициент с = О, Для получения коэффициента с находим первую производную Подстановка z = 1 дает коэффициента также добротность по скорости Периодические режимы Если на входе замкнутой импульсной системы (рис. 15.11) действует синусоидальная последовательность то расчет синусоидальных последовательностей у [n] их может быть деланна основе формул (15.152) и (15.154) при использовании передаточных функций замкнутой системы. Так, например, амплитуда ошибки (точнее, верхнее граничное значение синусоидальной последовательности для ошибки) (15.175) и сдвиг по фазе (15.176) В общем случае негармонической периодической последовательности с периодом М (см. § 15.2) она может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник где N — целая часть M/2, а коэффициенты разложения |