Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
§ 14.1. Уравнения линейных систем с запаздыванием Линейными системами с запаздыванием называются такие автоматические системы, которые, имея в общем туже самую структуру, что и обыкновенные линейные системы раздел II), отличаются от последних тем, что водном или нескольких из своих звеньев имеют запаздывание во времени начала изменения выходной величины (после начала изменения входной) на величину т, называемую временем запаздывания, причем это время запаздывания остается постоянными во всем последующем ходе процесса. Например, если обыкновенное линейное звено описывается уравнением (14.1) апериодическое звено первого порядка, то уравнение соответствующего линейного звена с запаздыванием будет иметь вид (14.2) апериодическое звено первого порядка с запаздыванием. Такого вида уравнения называются уравнениями с запаздывающим аргументом или дифференциально- разностными уравнениями. Обозначим х) = х - τ ). Тогда уравнение (14.2) запишется в обыкновенном виде (14.3) Так, если входная величинах изменяется скачком от нуля до единицы (риса, то изменение величины х) = х - τ ), стоящей в правой части уравнения звена, изобразится графиком рис. 14.1, б (скачок на τ секунд позже. Используя теперь переходную характеристику обыкновенного апериодического звена в применении к уравнению (14.3), получаем изменение выходной величины х в виде графика рис. 14.1, в. Это и будет переходная характеристика апериодического звена первого порядка с запаздыванием (его апериодическое инерционное свойство определяется постоянной времени Та запаздывание — величиной τ ). Линейное звено с запаздыванием. В общем случае, как и для (14.2), уравнение динамики любого линейного звена с запаздыванием можно разбить на два (14.4) что соответствует условной разбивке линейного звена с запаздыванием (риса) на два обыкновенное линейное звено того же порядка и с теми же коэффициентами и предшествующий ему элемент запаздывания (рис. 14.2, б. Временная характеристика любого звена с запаздыванием будет, следовательно, такая же, как у соответствующего обыкновенного звена, но только сдвинута по оси времени вправо на величину τ . Примером звена чистого запаздывания т является акустическая линия связи ( τ — время прохождения звука. Другими примерами могут служить система автоматического дозирования какого-либо вещества, перемещаемого с помощью ленточного транспортера ( τ — время движения ленты на определенном участке, а также система регулирования толщины прокатываемого металла, где т означает время движения металла от валков до измерителя толщины. В двух последних примерах величина т называется транспортным запаздыванием. В первом приближении определенной величиной запаздывания т могут быть охарактеризованы трубопроводы или длинные электрические линии, входящие в звенья системы (подробнее о них см. § 14.2). Величину запаздывания τ в звене можно определить экспериментально путем снятия временной характеристики. Например, если при подаче на вход звена скачком некоторой величины, принимаемой за единицу, на выходе получается экспериментальная кривая для x 2 , показанная на рис. 14.3, б, то можно приближенно описать это звено как апериодическое звено первого порядка с запаздыванием (14.2), взяв величины τ , Т и k экспериментальной кривой (рис. 14.3, б. Заметим также, что такая же экспериментальная кривая согласно графику рис. 14.3, в может трактоваться и как временная характеристика обыкновенного апериодического звена второго порядка с уравнением причем T 1 , Т и k можно вычислить из соотношений, записанных в § 4.5 для данного звена, по некоторым замерам на экспериментальной кривой или другими способами. Итак, сточки зрения временной характеристики реальное звено, приближенно описываемое уравнением первого порядка с запаздывающим аргументом (14.2), часто может быть с такой же степенью приближения описано обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка (14.5). Для решения вопроса о том, какое из этих уравнений лучше подходит к данному реальному звену, можно сравнить еще их амплитудно-фазовые характеристики с экспериментально снятой амплитудно-фазовой характеристикой звена, выражающей его динамические свойства при вынужденных колебаниях. Построение амплитудно-фазовых характеристик звеньев с запаздыванием будет рассмотрено ниже. В целях единства записи уравнений представим второе из соотношений (14.4) для- элемента запаздывания в операторном виде. Разложив правую часть его вряд Тейлора, получим или, в принятой ранее символической операторной записи, (14.6) Это выражение совпадает с формулой теоремы запаздывания для изображений функций табл. 7.2). Таким образом, для звена чистого запаздывания получаем передаточную функцию в виде (14.7) Заметим, что в некоторых случаях наличие большого числа малых постоянных времени в системе регулирования можно учесть в виде постоянного запаздывания, равного сумме этих постоянных времени. Действительно, пусть система одержит N последовательно включенных апериодических звеньев первого порядка с коэффициентом передачи, равным единице, и величиной каждой постоянной времени N T τ = ∆ . Тогда результирующая передаточная функция будет (14.8) Если ∞ → N , тов пределе получаем τ p e p W − = ) ( . Уже при N = 8 …10 передаточная функция (14.8) мало отличается от передаточной функции звена с запаздыванием (14.6). Уравнение любого линейного звена с запаздыванием (14.4) будем теперь записывать в виде (14.9) Передаточная функция линейного звена с запаздыванием будет (14.10) где через р обозначена передаточная функция соответствующего обыкновенного линейного звена без запаздывания. Частотная передаточная функция получается из (14.10) подстановкой р = jw: (14.11) где Аи модуль и фаза частотной передаточной функции звена без запаздывания. Отсюда получаем следующее правило. Для построения амплитудно-фазовой характеристики любого линейного звена с запаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного линейного звена и каждую ее точку сдвинуть вдоль окружности почасовой стрелке на угол w τ , где w— значение частоты колебаний в данной точке характеристики (риса. Так как вначале амплитудно-фазовой характеристики w = 0, а в конце w= ∞ , то начальная точка остается без изменения, а конец характеристики асимптотически навивается на начало координат (если степень операторного многочлена К меньше, чем многочлена Q). Выше говорилось о том, что реальные переходные процессы (временные характеристики) вида рис. 14.3, б часто могут быть с одинаковой степенью приближения описаны как уравнением (14.2), таки. Амплитудно-фазовые характеристики для уравнений (14.2) и (14.5) показаны на риса и б соответственно. Принципиальное отличие первой состоит в том, что она имеет точку. В пересечения с осью U. При сравнении обеих характеристик между собой и с экспериментальной амплитудно-фазовой характеристикой реального звена надо принимать во внимание не только форму кривой, но и характер распределения отметок частот со вдоль нее. Линейная система с запаздыванием. Пусть одноконтурная или многоконтурная автоматическая система в числе своих звеньев имеет одно звено с запаздыванием. Тогда уравнение этого звена имеет вид (14.9). Если таких звеньев несколько, то они могут иметь разные величины запаздывания ( 1 τ , 2 τ , . . .). Все выведенные в главе 5 общие формулы для уравнений и передаточных функций систем автоматического регулирования остаются в силе и для любых линейных систем с запаздыванием, если только в эти формулы подставлять значения передаточных функций в виде (14.10). Например, для разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев, среди которых имеется два звена с запаздыванием 1 τ и 2 τ соответственно, передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид (14.12) где Wо(р) — передаточная функция разомкнутой цепи без учета запаздывания, равная произведению передаточных функций включенных последовательно звеньев. Таким образом, при исследовании динамики разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев безразлично, будет ли все запаздывание сосредоточено водном каком-нибудь звене или разнесено по разным звеньям. Для многоконтурных цепей получатся более сложные соотношения. Если имеется звено с отрицательной обратной связью, обладающей запаздыванием т, то оно будет описываться уравнениями (14.13) Передаточные функции звена и цепи обратной связи будут при этом (14.14) Согласно (5.59) результирующая передаточная функция звена вместе с обратной связью будет (14.15) Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение звена в операторной форме (14.16) или, при подстановке (14.14), (14.17) Пусть, например, интегрирующее звено с замедлением, передаточная функция которого охватывается отрицательной обратной связью с передаточной функцией Тогда результирующая передаточная функция звена с обратной связью в соответствии сбудет Частотная передаточная функция получается подстановкой в последнее выражение р Амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая этому выражению, приведена для иллюстрации на рис. 14.5. Пример системы с запаздыванием Рассмотрим систему регулирования скорости двигателя (рис. 1.16). Составим уравнения всех звеньев системы с учетом их инерционностей. Дополнительно к тому учтем еще запаздывание τ в воздействии регулирующего органа на объект. Изобразим это введением в структурную схему данной системы дополнительного элемента запаздывания (рис. 14.6). Пусть объект не имеет самовыравнивания и снабжен регулятором с жесткой обратной связью (рис. 10.11). Уравнения такой системы (14.18) Уравнение замкнутой системы (14.19) где (14.20) Здесь w ∆ , y ∆ , x ∆ , приращения скорости, перемещений золотника и регулирующего органа и управляющего воздействия k 1 , . . ., коэффициенты, T 2 и постоянные времени. § 14.2. Уравнения линейных систем с распределенными параметрами Системой автоматического регулирования с распределенными параметрами называется такая система, среди уравнений которой кроме обыкновенных дифференциальных уравнений имеются уравнения в частных производных. Физически это соответствует учету волновых явлений или гидравлического удара в трубопроводах, учету волновых процессов в длинных электрических линиях при передаче по ним воздействий от одного звена системы автоматического регулирования к другому или же при регулировании процессов в самих трубопроводах или длинных линиях. Этот вопрос приобретает практическое значение чаще всего в некоторых системах регулирования, включающих в себя водяные, масляные или газовые трубопроводы (либо в объекте, либо в регуляторе, реже — в некоторых системах телерегулирования телеуправления) и т. п. Известно, например, что водяной трубопровод гидротурбины описывается без учета потерь уравнениями где υ — скорость движения воды, h — напор в произвольной точке, определяемой координатой х вдоль трубопровода, а — скорость звука вводе. Уравнения длинной электрической линии без потерь имеют вид где u — напряжение, i — ток в произвольной точке, определяемой координатой х вдоль линии, l и с — индуктивность и емкость единицы длины линии. После решения указанных уравнений в частных производных с учетом граничных условий, определяемых смежными звеньями данной системы автоматического регулирования, для системы в целом получаются дифференциально-разностные уравнения того же типа, как и для систем с запаздыванием. Рассмотрим вывод уравнений системы автоматического регулирования давления газа в трубопроводе, схема которой изображена на рис. 14.7. В данном случае сам регулируемый объект (трубопровод) является звеном с распределенными параметрами. Для простоты будем считать его прямолинейным, а всех потребителей — сосредоточенными на конце трубопровода. Регулятор состоит из чувствительного элемента 2 (мембранный измеритель давления, Подача усилителей 3 и 4 (струйная трубка и пневматический двигатель) с жесткой обратной связью 5 и из регулирующего Рис. 14.7. органа 6 (клапан. Возмущающее воздействие f(t) на объект выражается в изменении по произволу потребителей некоторого эквивалентного выходного сечения на конце трубопровода. Уравнение регулируемого объекта Движение газа в трубопроводе подчиняется уравнению (12.21) Учтем также условие постоянства массы (14.22) и адиабатическое уравнение состояния газа (14-23) В этих уравнениях w, р, р — соответственно скорость, давление и плотность газа в текущем сечении трубопровода с координатой l в момент времени t (вся длина трубопровода обозначается через L); k — показатель степени в уравнении адиабатического состояния газа индексы 0 вверху р, р означают, что данные величины относятся к установившемуся состоянию системы. Продифференцировав (14.23), получаем (14.24) Откуда где а — скорость звука в газе, определяемая формулой (12.25) Обычно не учитывают сопротивления движения газа в трубопроводе, пренебрегая сравнительно малыми членами l w w ∂ ∂ и l w ∂ ∂ ρ . Кроме того, ввиду малости величины отклонения давления р в процессе регулирования от его установившегося значения можно считать, что 1 0 ≈ p p , а следовательно, согласно (14.23) 1 0 ≈ ρ ρ . В результате из уравнений (14.21), (14.22) и (14.24) получаем (14.26) Введем обозначения для относительного отклонения р регулируемой величины от ее установившегося значения и для относительной координаты К вдоль трубопровода (14.27) а также для относительного отклонения λ скорости движения газа в трубопроводе (14.28) где 0 w — скорость газа в трубопроводе при установившемся процессе, k— показатель степени в адиабатическом уравнении состояния газа (14.23). Переходя в уравнениях (14.26) к этим относительным безразмерным переменными бесконечно малым приращениям, получаем искомые уравнения регулируемого объекта (трубопровода) в виде (14.29) где введены два постоянных параметра регулируемого объекта (14-30) Первый из них (Т) представляет собой, очевидно, время прохождения газа поданному трубопроводу в установившемся процессе, а второй ( γ ) — отношение установившейся скорости газа к скорости звука в нем. Заметим, что уравнения (14.29) эквивалентны так называемому волновому уравнению (14.31) которое легко получается, если первое из уравнений (14.29) продифференцировать по λ , а второе — пои сравнить результаты дифференцирования. Для системы уравнений в частных производных (14.29) надо написать граничные условия. Для этого запишем уравнение поступления газа через регулирующий клапан вначале трубопровода и уравнение потребления газа в конце его. Используем выражение для скорости газа через его расхода именно (14.32) где G — расход газа повесу в секунду, F — площадь сечения трубопровода, g — ускорение силы тяжести. Условимся значения всех переменных, относящихся к началу и к концу трубопровода, обозначать индексами 1 и 2 соответственно. Расход газа вначале трубопровода G будем считать функцией координаты перемещения регулирующего клапанах, те) Эта функция (рис. 14.8) определяется либо аналитическим расчетом, либо из опытных данных. На основании уравнений (14.32), (14.33), а также формул главы 3 малое отклонение величины скорости вначале трубопровода от ее установившегося значения w° будет (14.34) установившиеся значения w°, G°, р пишутся без индекса 1, так как они одинаковы вдоль всего трубопровода. Величина ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ x 1 ρ есть тангенс угла наклона касательной в точке С рис. 14.8), соответствующей установившемуся процессу в трубопроводе. На основании (14.23) и (14.25) Введем безразмерную величину относительного отклонения регулирующего клапана (14.35) где х н — условное номинальное значение, равное (14.36) Кроме того, заметим, что согласно (14.32) (14.37) Подставляя все это в (14.34), с учетом (14.28) и (14.27) получаем уравнение поступления газа через регулирующий клапан вначале трубопровода (14.38) которое является первым граничным условием для уравнений объекта (14.29). Расход газа в конце трубопровода у потребителей можно записать согласно (14.32) в виде (14.39) С другой стороны, известно, что при выходе газа из трубопровода (в случае критического истечения, которым мы для простоты и ограничимся) будет (14.40) где Q — площадь некоторого эквивалентного выходного сечения на конце трубопровода у потребителей (это величина, которая может меняться как угодно по произволу потребителя она выражает собой, следовательно, внешнее возмущающее воздействие на данную систему регулирования, р — давление в конце трубопровода перед выходом к потребителям, 2 υ — удельный объем газа там же. Уравнение для отклонения величины расхода в процессе регулирования от его установившегося значения в линеаризованном виде на основании (14.39), (14.23), (14.37) и (14.27) будет (14.41) Выразим 2 G ∆ также из (14.40), те. через изменение выходного сечения у потребителей, считая для простоты 0 2 υ υ = = const : Учитывая, что из (14.40) (14.42) и вводя безразмерную величину изменения выходного сечения, те. внешнего возмущающего воздействия (14.43) получим (14.44) Сравнение выражений (14.41) и (14.44) дает искомое уравнение потребления газа в конце трубопровода (14.45) которое является вторым граничным условием для уравнения объекта (14.29). Уравнение потребления (14.45) записано для общего случая процесса регулирования с переменным внешним возмущающим воздействием, выраженным через относительную величину выходного сечения f у потребителей. При исследовании же переходного процесса в системе, когда после некоторого возмущения потребление установилось (Q = со f =0), уравнение (14.45) будет иметь вид (14-46) Уравнения регулятора. Уравнение чувствительного элемента (14-47) здесь Т и k 1 — постоянные времени и коэффициент передачи, а (14-48) Ун — некоторое номинальное перемещение. Индекс 1 при переменной ϕ в уравнении (14.47) означает, что чувствительный элемент измеряет давление газа вначале трубопровода. Уравнение управляющего элемента со струйной трубкой (14.49) Уравнение пневматического двигателя на основании (5.137) будет (14.50) где Т — время двигателя. Уравнение жесткой обратной связи согласно рис. 14.7 будет (14.51) Уравнение всей системы регулирования Итак, для данной системы автоматического регулирования имеем уравнения объекта (14.29) с граничными условиями (14.38) и (14.45) или (14.46) и уравнения регулятора (14.47), (14.49), (14.50) и (14.51). Решение уравнений в частных производных (14.29), как известно, можно записать в виде следующей суммы некоторых двух функций от аргументов ( λ γ 0 |