Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
(или в величинах запаса по фазе В соответствии с этим на рис. 12.8 построены кривые, которые позволяют при заданном значении перерегулирования выбирать требуемое- значение запаса по модулю и запаса по фазе . Построение желаемой^асимптотической л. ах. производится в следующем порядке. Первая низкочастотная асимптота проводится так, чтобы она имела наклон — 20 дб/дек, соответствующий астатизму первого порядка (рис. 12.9). Продолжение асимптоты должно пересечь ось частот при частоте, равной желаемой добротности по скорости где с — заданный коэффициент ошибки. При однократном изломе в точке В первая сопрягающая частота определяется по формуле (12.51) где — добротность системы по ускорению, а при двукратном изломе — по формуле (12.52) Далее по найденной из рис. 12.6 частоте положительности соя определяется частота срезала. х. так, чтобы она удовлетворяла условию (12.53) Среднечастотный участок желаемой л. ах. образуется асимптотой с наклоном — 20 дб/дек, проводимой так, чтобы она пересекала ось частот при . Этот участок проводится влево и вправо до достижения модулей, равных L1 ирис. Затем производится сопряжение среднечастотного участка с низкочастотными асимптотами и высокочастотной частью. Для облегчения построения желаемой л. ах. вводятся типовые передаточные функции и им соответствующие л. ах. Они даны в табл. 12.6. Передаточные функции ила. х. всех четырех типов полностью определяются заданием четырех величин коэффициента усиления К и трех сопрягающих частот (рис. 12.10). Л. ах. полностью определяется также заданием следующих четырех величин коэффициента усиления в децибелах L1 при частоте , частоты среза , двух относительных сопрягающих частот К малым параметрам (рис. 12.9) относятся те постоянные времени системы, пренебрежение влиянием которых не сказывается существенно на динамических качествах системы. Обычно считают, что в качестве малых постоянных времени можно принять такие, которые удовлетворяют условию (12.54) При построении желаемой л. ах. нужно следить, чтобы она как можно меньше отличалась от располагаемой л. ах, что нужно для упрощения корректирующих средств. Это замечание особенно относится к низкочастотной и высокочастотной частям л. ах. Желательно делать так, чтобы по крайней мере первая низкочастотная и последняя высокочастотная асимптоты обеих л.а.х. сливались вместе. Совпадение низкочастотных асимптот л. ах. достигается за счет выбора соответствующего коэффициента усиления в системе К, равного требуемому. Совпадение высокочастотных асимптот достигается соответствующим выбором желаемой л. ах. в высокочастотной области. Заметим, что при формировании желаемой л. ах. можно увеличивать, если это необходимо для совпадения асимптот, запасы по модулю L1 итак как такое увеличение только повысит качество системы. После формирования всей желаемой л. ах. необходимо проверить, выдерживается ли требуемое значение запаса по фазе, определяемое из графика на рис. 12.8, для модулей, лежащих в пределах (12.55) Для этой проверки необходимо подсчитать фазовый сдвиг в двух крайних точках среднечастотного участка, имеющего наклон — 20 дб/дек, те. при частотах Подсчет фазового сдвига делается на основании принятой желаемой передаточной функции. Так, например, для передаточной функции типа I (см. табл. 12.6) он равен Если требуемый запас по фазе невыдержан, то необходимо расширить среднечастотный участок и произвести вновь проверку. Что§ы окончательно убедиться в приемлемости сформированной л. ах, можно по известной желаемой передаточной функции построить любым методом переходный процесс и проверить величины Далее из ординат желаемой л. ах. вычитаются ординаты располагаемой л. ах. ПолучившаясяДл. ах. соответствует передаточной функции последовательного корректирующего звена. При необходимости это звено может быть пересчитано на эквивалентную обратную связь или эквивалентное параллельное корректирующее звено (см. главу 10). § 12.6. Синтез систем автоматического регулирования на основе 'частотных критериев качества Синтез систем автоматического регулирования методом логарифмических амплитудных характеристик является в настоящее время одним.из самых удобных и наглядных. Наиболее трудным моментом при расчете методом логарифмических амплитудных характеристик является установление связи показателей качества переходного процесса с параметрами желаемой л. ах, что объясняется сравнительно сложной зависимостью между переходной характеристикой линейной системы и ее частотными свойствами. Задача построения желаемой л. ах. значительно облегчается, если вместо оценки качества работы системы регулирования по ее переходной характеристике перейти к оценке качества непосредственно по ее частотным свойствам. Для оценки качества любой системы регулирования, в том числе и следящей системы, необходимо знать ее точность, характеризуемую ошибками в некоторых типовых режимах, быстродействие, определяемое по способности системы работать при больших скоростях и ускорениях входного воздействия или по быстроте протекания переходных процессов, и запас устойчивости, показывающий склонность системы к колебаниям. В соответствии с этим можно говорить о критериях точности, критериях быстродействия и критериях запаса устойчивости. При использовании частотных критериев необходимо основываться на тех или иных частотных свойствах системы регулирования. При оценке точности по ошибкам при воспроизведении гармонического входного воздействия одновременно можно оценить и быстродействие по частоте этого воздействия. Тогда критерий точности и критерий быстродействия сливаются в один критерий динамической точности системы регулирования. Ниже будут рассмотрены методы расчета систем регулирования, основанные на использовании частотных критериев качества. При этом кривая переходного процесса может, вообще говоря, не рассматриваться и не использоваться. Однако в целях иллюстрации будут даны универсальные нормированные кривые переходных процессов при единичном входном воздействии для рассматриваемых типовых л. ах. В дальнейшем изложении будут, как и ранее, рассматриваться линейные системы, состоящие из минимально-фазовых звеньев. Под ошибкой следящей системы будет пониматься недействительное рассогласование между задающей и исполнительной осями, а только сигнал рассогласования, выявляемый чувствительным элементом системы. Это вызвано тем обстоятельством, что собственные ошибки чувствительных элементов, несмотря на их большой удельный вес в полной ошибке системы регулирования, не оказывают влияния на статический и динамический расчет последней и должны учитываться отдельно. Вопросы расчета ошибок чувствительных элементов относятся к сфере теории соответствующих устройств (сельсинов, вращающихся трансформаторов, потенциометров и т.п.). Методика расчета излагается, в основном, применительно к следящим системам воспроизведения угла и воспроизведения скорости. Однако эта методика применима и для других систем автоматического регулирования. Требования к низкочастотной части желаемой л. ах, связанные с необходимой точностью. На основании требования поточности формируется низкочастотная часть желаемой л. ах. следящей системы. Рассмотрим вначале астатические системы. Наиболее просто оценить точность следящей системы можно по воспроизведению гармонического входного сигнала с амплитудой : (12.56) Амплитуда ошибки может быть найдена с помощью модуля передаточной функции по ошибке (12.57) где — частотная передаточная функция разомкнутой системы. Так как в подавляющем большинстве случаев амплитуда ошибки значительно меньше амплитуды входного сигнала, те, то справедливо соотношение . Поэтому вместо (12.57) можно пользоваться приближенным выражением (12.58) Последнее выражение позволяет легко сформулировать требование к низкочастотной части л. ах. следящей системы. Для того чтобы входное воздействие (12.56) воспроизводилось с ошибкой, не превышающей л. ах. системы должна проходить не ниже контрольной точки Ак с координатами (12.59) Д тах Часто при определении условий работы следящей системы оговариваются только максимальная скорость и максимальное ускорение слежения. В этом случае можно подобрать эквивалентные режимы гармонического входного воздействия. Вначале найдем такой режим (12.56), при котором амплитуда скорости и амплитуда ускорения равны максимальным заданным значениям. Очевидно, что этому режиму соответствуют По этим величинам можно построить контрольную точку Ак (рис. 12.11) B соответствии с (12.59). Будем теперь рассматривать режим гармонического входного воздействия, в котором амплитуда скорости по-прежнему равна максимальному значению, а амплитуда ускорения меньше максимального. Тогда контрольная частота (12.60) будет пропорционально уменьшаться, а амплитуда (12.61) возрастать обратно пропорционально амплитуде ускорения. При этом контрольная точка Ак будет перемещаться влево по прямой, имеющей наклон 20 дб/дек. В предельном случае, если принять амплитуду ускорения равной нулю, контрольная частота . Это соответствует режиму вращения с постоянной скоростью . Тогда формула (12.58) вырождается в известное соотношение (12.62) где — предельное значение добротности по скорости следящей системы с астатизмом первого порядка, ниже которого нельзя иметь реальную добротность по скорости, исходя из условий точности. Если теперь рассматривать режим гармонического входного воздействия с амплитудой ускорения, равной максимальному значению , и амплитудой скорости, меньшей максимального значения , то аналогичными рассуждениями можно показать, что контрольная точка Ак (рис. 12.11) будет двигаться вправо по прямой, имеющей наклон 40 дб/дек. Квадрат частоты точки пересечения этой прямой с осью нуля децибел равен предельной добротности следящей системы с астатизмом второго порядка по ускорению (12.63) равной отношению ускорения к установившейся ошибке. Это будет при условии, что первая асимптота л. ах. проектируемой следящей системы совпадает с прямой, по которой движется контрольная точка Ак (рис. 12.11). Ниже этого предельного значения не может быть реальной добротности следящей системы с астатизмом второго порядка. Область, расположенная ниже контрольной точки Аки двух прямых с наклонами 20 и 40 дб/дек, представляет собой запретную область для л. ах. следящей системы с астатизмом любого порядка. При работе со скоростями и ускорениями, не превышающими значений , ошибки следящей системы не будут превосходить значения Фmах, если л. ах. будут проходить не ниже запретной области. Для входного воздействия вида (12.56) можно также ограничивать фазовую и относительную амплитудную составляющие ошибки. Для этого найдем ошибку находящуюся в фазе, и ошибку , находящуюся в квадратуре по отношению к входному воздействию. Для этого на рис. 12.12 построим векторную диаграмму, из которой следует (12.64) где U и V — вещественная и мнимая части частотной передаточной функции по ошибке. Фазовая ошибка следящей системы В формулах (12.64) — (12.66) и на рис. 12.12 величины представляют собой векторные изображения соответствующих гармонических функций времени В большинстве случаев, аналогично изложенному выше, можно считать, что и передаточная функция разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в области низких частот имеет вид Задание величины фазовой и относительной амплитудной ошибок определяет предельные положения первой и второй асимптот л. ах, те. необходимые значения добротности по скорости и добротности по ускорению . Нетрудно видеть, что предельные положения асимптот ив этом случае формируют запретную зону для низкочастотной части л.а.х. вида, изображенного на рис. 12.11. Использование приведенных выше формул для формирования низкочастотной части л. ах. возможно лишь в том случае, если двигатель в состоянии обеспечивать получение на исполнительной оси требуемых максимальных значений скорости и ускорения При выборе всех приведенных выше формул предполагалось, что ошибка в системе определяется только наличием задающего воздействия . При действии на систему возмущений, например момента нагрузки на оси двигателя, необходимо увеличение общего коэффициента усиления системы для того, чтобы результирующая ошибка не превосходила заданного значения. Более подробно это изложено, например, в [10]. В статических следящих системах установившаяся ошибка по управляющему воздействию может быть сделана равной нулю применением неединичной обратной связи (§ 9.3). Однако появление статической ошибки возможно при нестабильности общего коэффициента усиления. В соответствии с формулой (9.71) для рассматриваемого случая максимальное значение ошибки составит (12.69) где — относительное изменение коэффициента усиления разомкнутой цепи. . Из выражения (12.69) можно получить требуемые значения общего коэффициента усиления Кили коэффициента ошибки с (12.70) Пусть, кроме того, задано требуемое значение коэффициента ошибки с1г являющегося коэффициентом пропорциональности между скоростью входного воздействия и ошибкой. Примем, что в низкочастотной области частотная передаточная функция статической системы может быть сведена к выражению Тогда коэффициент ошибки с для этой передаточной функции будет равен (12.71) Отсюда может быть получена допустимая сумма двух постоянных времени (12.72) Формулы (12.70) и (12.72) устанавливают требования к низкочастотной части желаемой л.а.х. Если к проектируемой системе кроме задающего воздействия приложено возмущение, тов формуле для общего коэффициента усиления необходимо дополнительно учесть составляющую, определяемую этим возмущением. Пусть, например, статическая ошибка от возмущения определяется формулой (8.4): где — коэффициент статизма, а f 10 — постоянное возмущение. Тогда вместо (12.69) можно записать (12.73) Отсюда находится требуемое значение общего коэффициента усиления (12.74) В системах стабилизации ошибка определяется только наличием возмущения (или возмущений. В этом случае требование к низкочастотной части л. ах. сводится к необходимости иметь определенное значение общего коэффициента усиления, вне зависимости оттого, является ли система по виду передаточной функции W (р) статической или астатической. Это значение общего коэффициента усиления будет определяться вторым слагаемым в правой части (12.74) или суммой подобных слагаемых при действии нескольких возмущений. По общему коэффициенту усиления может быть построена первая асимптота желаемой л. ах. Требования к запасу устойчивости. В следящих системах повышение общего коэффициента усиления по разомкнутой цепи вызывает приближение к колебательной границе устойчивости. Это проявляется в увеличении колебательности системы. Для оценки запаса устойчивости, те. степени удаления от колебательной границы устойчивости, могут использоваться различные критерии, в том числе такие, как, например, перерегулирование при деиничном входном возмущении, запас устойчивости по амплитуде и по фазе и т. п. При использовании частотных критериев качества наиболее удобно оценивать запас устойчивости по показателю колебательности М, который характеризует склонность системы к колебаниям (см. главу 8). В астатических системах для замкнутой системы коэффициент передачи на нулевой частоте равен единице. Поэтому под показателем колебательности понимается абсолютное значение наибольшего максимума Это положение остается справедливыми для статических систем, так как для исключения статической ошибки по задающему воздействию в них, как правило, используется масштабирование выходной величины посредством применения неединичной обратной связи см. § 9.3) с коэффициентом . Тогда коэффициент передачи замкнутой системы на нулевой частоте может быть сделан равным единице соответствующим выбором величины k ос где К — коэффициент усиления по разомкнутой цепи. Отсюда находится требуемое значение коэффициента обратной связи Показатель колебательности M = 1,1 — 1,3 соответствует очень хорошему демпфированию системы, при котором перерегулирования весьма малы. Показатель колебательности М обычно является вполне достаточным для большинства следящих систем. Во многих случаях следящие системы работают удовлетворительно и при значениях М = 1,6-1,8. Необходимыми достаточным условием того, чтобы в устойчивой системе показатель колебательности был не больше заданного, является нахождение фазовой характеристики вне запретной зоны (рис. 8.27). В минимально-фазовых системах это условие может быть выдержано соблюдением определенных правил построения л. ах. без нахождения фазовой характеристики. Рассмотрим принципы построения л. ах. с заданным показателем колебательности. По методическим соображениям рассмотрение начнем со следящих систем с астатизмом второго порядка, хотя эти системы и не относятся к наиболее простыми распространенным. Как правило, в качестве типовых используются л. ах, имеющие в низкочастотной части наклон не более 40 дб/дек. Это вызвано стремлением избавиться от условий, при которых возможно появление неустойчивости в большом, те. при согласовании следящей системы с большого угла. Типовые л. ах. систем с астатизмом второго порядка. В системах с астатизмом второго порядка обычно имеются два интегрирующих звена. Такими звеньями могут быть исполнительный и вспомогательный двигатели, например гидромуфта и управляющий двигатель, поворачивающий шпиндель или чашу гидронасоса. В некоторых случаях астатизм второго порядка может появляться вследствие особенностей механических характеристик единственного исполнительного двигателя, у которого вращающий момент не зависит от скорости вращения. Рассмотрим передаточную функцию разомкнутой системы вида (12.75) где — коэффициент усиления по разомкнутой цепи, называемый добротностью по ускорению. Асимптотическая л. ах, соответствующая (12.75), изображена на рис. 12.13. В соответствии с наклонами асимптот, кратными — 20 дб/дек, ей присвоен тип 2 — 1 — 2. Положение всей л. ах. может быть задано точкой пересечения первой асимптоты с осью нуля децибел. Этой точке соответствует частота (12.76) которую назовем базовой. При введении новой переменной передаточная функция будет представлена в нормированном виде (12.77) где — относительные постоянные времени. Соответствующая нормированная л. ах, построенная для относительной частоты |