Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
(11.120) Интегрирование этого выражения по всем частотам позволяет определить дисперсию и среднеквадратичное значение ошибки (11.121) Вычисление дисперсии и среднеквадратичной ошибки через корреляционные функции может производиться на основании формулы (11.107). В качестве функции веса в рассматриваемом случае должна использоваться функция веса для ошибки , связанная с частотной передаточной функцией по ошибке преобразованием Фурье После нахождения корреляционной функции ошибки дисперсия определяется подстановкой Однако нахождение среднеквадратичной ошибки посредством использования спектральных плотностей оказывается обычно более простыми поэтому применяется чаще. В другом простейшем случае, когда задающее воздействие , а помеха представляет собой случайный стационарный процесс со спектральной плотностью , аналогичным образом можно найти спектральную плотность ошибки (11.122) В этом выражении представляет собой частотную передаточную функцию связывающую изображения Фурье ошибки хи помехи f (t). В частном случае, когда помеха f (t) действует на входе системы вместе приложения задающего воздействия, в формуле (11.101) должна использоваться частотная передаточная функция замкнутой системы (11.123) Рассмотрим теперь общее выражение спектральной плотности ошибки для случая, когда задающее воздействие g (t) и помеха f (t) действуют одновременно (рис. 11.26). Обозначим через весовую функцию для ошибки по задающему воздействию и через весовую функцию для ошибки по помехе. Тогда ошибку можно представить в виде (11.124) Подставим это выражение для ошибки в формулу корреляционной функции (11.51). В результате получим где — взаимные корреляционные функции. Для нахождения спектральной плотности ошибки левую и правую части (11.125) умножим на и проинтегрируем по . В результате выкладок, аналогичных тем, которые были проделаны при выводе формулы (11.111), получим (11.126) В этом выражении представляют собой взаимные спектральные плотности полезного сигнала и помехи, а — частотные передаточные функции для ошибки по задающему воздействию и помехе. Звездочкой обозначен сопряженный комплекс. При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой формула (11.126) упрощается (11.127) В частном случае, когда помеха действует на входе вместе приложения управляющего воздействия и корреляция между ними отсутствует, формула (11.127) может быть представлена в следующем виде (11.128) так как для этого случая частотная передаточная функция совпадает с частотной передаточной функцией замкнутой системы Все приведенные выше формулы для спектральной плотности ошибки х (t) могут быть легко переписаны для спектральной плотности выходной величины у (t), если в них заменить частотную передаточную функцию для ошибки на частотную передаточную функцию замкнутой системы § 11.9. Расчеты,по минимуму среднеквадратичной ошибки Если на автоматическую систему действуют одновременно полезный сигнал и помеха, то возникает задача оптимального расчета системы стем, чтобы получить наименьшую результирующую ошибку. Сточки зрения наилучшего воспроизведения полезного сигнала система должна иметь возможно большую полосу пропускания, ас точки зрения наилучшего подавления помехи система, наоборот, должна иметь возможно меньшую полосу пропускания. Критерием получения оптимального решения здесь будет минимальное значение результирующей ошибки системы, определяемой полезным сигналом и помехой. Для случайных величин наиболее просто определить среднеквадратичную ошибку, поэтому ее и используют для оценки точности автоматической системы. Рассмотрим расчет системы по критерию минимума среднеквадратичной ошибки при одновременном действии полезного сигнала и помехи. Согласно этому критерию нежелательность ошибки пропорциональна квадрату ее величины. Такая постановка является часто логичной, но она не может конечно, претендовать на полную универсальность. В некоторых случаях, например при стрельбе по какой-либо цели, все ошибки, большие некоторого значения, являются одинаково нежелательными. Однако средний квадрат ошибки системы регулирования (11.129) практически во всех случаях является наиболее просто вычисляемой величиной, что и определило использование этого критерия. Возможны несколько формулировок задачи. Наиболее просто задача может быть сформулирована так. Если имеется какая-то система автоматического регулирования заданной структуры, то необходимо так выбрать параметры этой системы, чтобы получить минимум среднеквадратичной ошибки при заданных статистических характеристиках полезного сигнала и помехи. Эта задача решается следующим образом. По спектральной плотности ошибки путем ее интегрирования находится дисперсия. Дисперсия получается зависящей от вероятностных характеристик полезного сигнала, помехи и параметров системы. Затем ищутся условия, которые должны быть наложены на параметры системы, чтобы получить минимум дисперсии. При достаточно простом выражении для дисперсии это может быть определено непосредственным дифференцированием и приравниванием нулю частных производных. В более сложных случаях приходится искать минимум дисперсии путем числового задания интересующих параметров и построения соответствующих графиков. Другая постановка задачи при расчете по критерию минимума среднеквадратичной ошибки заключается в том, что ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры и значений параметров автоматической системы, при которых обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки при заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и помехи. Эта задача будет решена, если найти, например, передаточную функцию замкнутой системы , при которой обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки. Задача относится к категории вариационных задач. Приведем здесь некоторые результаты ее решения [120] для случая, когда полезный сигнал g (t) и помеха f (I) представляют собой центрированные стационарные случайные процессы, приложенные на входе системы. Перед системой ставится задача преобразовывать входной сигнал g (t) так, чтобы на ее выходе воспроизводилась величина h (t), связанная с g (t) некоторой формулой преобразования тде Н (р) — преобразующий оператор. Так, например, при получится задача интегрирования входного сигнала, при Н(р)=р — задача дифференцирования, при р) = 1 — задача простого воспроизведения со сглаживанием помехи (обычная следящая система при наличии помех, при — статистическое упреждение (предсказание) и т. п. На основании изложенного ошибку системы можно представить в виде (11.130) Выходная величина системы регулирования (11.131) где — весовая функция замкнутой системы. Подставляя (11.130) ив формулу (11.129), получаем (11.132) Задача заключается в том, чтобы найти частотную передаточную функцию замкнутой системы, связанную с весовой функцией преобразованием Фурье (11.133) таким образом, чтобы минимизировать значение Раскроем в выражении (11.132) скобки и изменим порядок интегрирования Так как в реальных системах , то нижние пределы интегрирования в (11.138) надо положить равными нулю. В результате получим (11.139) Из последнего выражения видно, что оптимальная весовая функция, соответствующая минимуму среднего квадрата ошибки, определяется только видом корреляционных функций полезного сигнала и помехи. Можно показать [120], что необходимое и достаточное условие минимизации выражения (11.139), которое должно быть наложено на весовую функцию, заключается в том, чтобы она была решением интегрального уравнения Винера — Хопфа (11.140) Оптимальная передаточная функция (11.133), соответствующая оптимальной весовой функции, являющейся решением уравнения (11.140), может быть представлена в виде (11.141) где (11.142) В частном случае, когда преобразующий оператор Н(р) = 1, те в так называемом случае оптимального сглаживания, имеем В этом случае решение (11.141) может быть представлено в более простом виде (11.143) Числитель этого выражения определяется следующим образом. Рассмотрим следующее выражение (11.144) Здесь , расположенные в верхней полуплоскости, полюсы , расположенные в нижней полуплоскости, причем полюсы предполагаются простыми, а — нули . Тогда (11.145) При реализации в системе оптимальной передаточной функции получится теоретический минимум среднего квадрата ошибки. Этот минимум определяется выражением или, в другом виде, (11.146) или, в другом виде, (11.147). Рассмотрим иллюстративный пример. Предположим, что полезному сигналу и помехе на входе системы регулирования соответствуют спектральные плотности причем корреляция между ними отсутствует и . Найдем спектральную плотность, соответствующую (11.136): Отсюда знаменатель искомой передаточной функции (11.143) Отбросив первый член в скобках, соответствующий полюсу в нижней полуплоскости, находим числитель искомой передаточной функции (11.143): Нахождение оптимальной передаточной функции еще не означает, что реальная автоматическая система может быть выполнена оптимальной, так как реализация ее может быть сопряжена с большими трудностями. Оптимальную передаточную функцию, за исключением простейших случаев, следует считать идеальной функцией, к которой по возможности надо стремиться при выполнении реальной автоматической системы. Теория оптимальных систем излагается в работах [26, 108, 120, 121]. ГЛАВА 12. МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ § 12.1. Общие соображения Под синтезом системы автоматического регулирования понимается направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и установление оптимальных величин параметров ее отдельных звеньев. По отношению к основе синтеза в настоящее время имеются разные точки зрения. Синтез можно трактовать как пример вариационной задачи и рассматривать такое построение системы автоматического регулирования, при котором для данных условий работы управляющие и возмущающие воздействия, помехи, ограничения повремени работы и т. п) обеспечивается теоретический минимум ошибки. Синтез также можно трактовать как инженерную задачу, сводящуюся к такому построению системы автоматического регулирования, при котором обеспечивается выполнение технических требований к ней. Подразумевается, что из.многих возможных решений Инженер, проектирующий систему, будет выбирать те, которые являются оптимальными сточки зрения существующих конкретных условий и требований к габаритам, весу, простоте, надежности и т. п. Иногда в понятие инженерного синтеза вкладывается еще более узкий смысли рассматривается синтез, имеющий целью определение вида и параметров корректирующих средств, которые необходимо добавить к некоторой неизменяемой части системы регулирования объект с регулятором, чтобы обеспечить требуемые динамические качества. При инженерном синтезе системы автоматического регулирования необходимо обеспечить, во-первых, требуемую точность и, во-вторых, приемлемый характер переходных процессов. Решение первой задачи в большинстве случаев сводится к определению требуемого общего коэффициента усиления системы ив случае необходимости вида корректирующих средств, повышающих точность системы (регулирование по управляющему и возмущающему воздействиям, изодромные механизмы и т. п. Эта задача может решаться при помощи определения ошибок в типовых режимах на основе тех критериев точности, которые были изложены в главе 8. Решение этой задачи, как правило, не сопряжено с трудностями принципиального или вычислительного характера, так как критерии точности достаточно просты для их практического использования. В сложных случаях можно прибегать к помощи моделирования. Решение оказывается сравнительно простым вследствие необходимости установления значений относительно небольшого числа параметров. В простейшем случае необходимо найти только общий коэффициент усиления системы. Решение второй задачи — обеспечение приемлемых переходных процессов — оказывается почти всегда более трудным вследствие большого числа варьируемых параметров и многозначности решения задачи демпфирования системы. Поэтому существующие инженерные методы часто ограничиваются решением только второй задачи, так каких авторы считают, что обеспечение требуемой точности может быть достаточно просто сделано на основании использования существующих критериев точности и совершенствования их практически не требуется. В настоящее время для целей синтеза систем автоматического регулирования широко используются электронные и электромеханические вычислительные машины, позволяющие производить полное или частичное моделирование проектируемой системы. При таком моделировании становится возможным наиболее полно исследовать влияние различных факторов нелинейности, зависимость параметров от времени и т. п. Однако моделирование на вычислительных машинах не может заменить расчетных методов проектирования, которые во многих случаях позволяют исследовать вопрос в общем виде и среди многих решений найти оптимальное. Поэтому, несмотря на развитие и распространение машинных методов синтеза, теория должна располагать собственными методами, которые дополняли бы моделирование и являлись бы теоретической базой при отыскании оптимального решения. § 12.2. Корневой метод Наиболее простой корневой метод разработан Т. Н. Соколовым [117]. Сущность его сводится к следующему. В соответствии с изложенным в § 12.1 рассматривается только задача получения приемлемых динамических качеств при заданном значении общего коэффициента усиления, те. последнего члена характеристического уравнения Пусть имеется характеристическое уравнение системы (12.1) Сточки зрения скорейшего затухания переходного процесса важно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения были наибольшими. Сумма вещественных частей всех корней численно равна первому коэффициенту характеристического уравнения (12.1). Поэтому при заданной величине этого коэффициента наивыгоднейшие результаты получаются при равенстве вещественных частей всех корней Однако расчеты и исследования построенных систем показывают, что стремление удовлетворить поставленному требованию приводит к совершенно нереальным конструктивным характеристикам отдельных звеньев. Эти расчеты и исследования показывают, что из общего числа корней характеристического уравнения всегда можно выделить два или три корня с меньшей по абсолютному значению вещественной частью, которые и определяют ход основного процесса. Остальные же корни характеризуют быстро затухающие составляющие, оказывающие влияние только на начальной стадии переходного процесса. Примем, что основной характер переходного процесса определяется двумя корнями. Тогда уравнение (12.1) удобно представить в виде (12.2) Второй сомножитель (12.2) и будет определять основной характер процесса. Для уменьшения погрешностей проектируемой системы важно, чтобы коэффициент В в основном множителе имел возможно большую величину. Однако чрезмерное увеличение В 2 приводит к колебательному характеру переходного процесса. Оптимальное соотношение между коэффициентами B 1 и В определяется из условия получения затухания за один период , которому соответствует выражение (см. §8.6) (12.3) где — вещественная и мнимая части комплексного корня, характеризующего основной процесс. Учитывая соотношения (12.4) Множитель определяющий соотношение между коэффициентами основного множителя характеристического уравнения, является критерием переходного режима, зависящим от выбранной степени затухания. Формула (12.4) показывает желаемое соотношение между коэффициентами характеристического уравнения, к которому надо стремиться при проектировании системы. Это должно осуществляться введением различных корректирующих средств. Из (12.3) можно также получить требуемое соотношение между мнимой и вещественной частями корня (колебательность): (12.5) В ряде случаев для описания основного переходного процесса оказывается более целесообразным воспользоваться уравнением третьей степени (12.6) Это уравнение можно представить в виде (12.7) Между коэффициентами уравнений (12.6) и (12.7) имеют место соотношения Положим, что во втором множителе (12.7) по-прежнему (12.8) Поэтому корни характеристического уравнения (12.6) и (12.7) равны (12.9) (12.10) Так как вещественная часть корней должна быть возможно большей, то целесообразно задать (12.11) и, следовательно, Подставив полученные значения в формулы разложения, находим зависимость между коэффициентами основного уравнения. Если В задано, то Эти соотношения должны реализоваться при проектировании системы регулирования. Корни основного уравнения Выбор уравнения для описания основной составляющей переходного процесса зависит от структурной схемы проектируемой системы. Рассмотрим теперь связь между основной и дополнительной составляющими переходного процесса для заданного затухания ξ (8.40). Для этой цели полезно представить характеристическое уравнение (12.1) в таком виде (12.19) где — произвольно выбранный среднегеометрический корень, А, . . . , . ., А — безразмерные коэффициенты. Записанное в такой форме уравнение третьей степени принимает вид Разлагая его на множители, находим Соотношения для коэффициентов (12.21) Введем коэффициента и положим откуда Таким образом, безразмерные коэффициенты Аи являются функциями критерия переходного процесса ш зависящего от. желаемой степени затухания и коэффициента разложения а, определяющего соотношение постоянных времени затухания отдельных составляющих. Следовательно, обе составляющие переходного процесса затухают с одинаковой скоростью. Аналогичным образом можно получить выражения для коэффициентов характеристического уравнения четвертой, пятой и более высоких степеней [117]. Синтез системы регулирования начинается с того, что для выбранной структурной схемы и введенных корректирующих средств находится характеристическое уравнение. Затем варьируются параметры основного канала регулирования и корректирующих средств таким образом, чтобы получить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения (12.1) или (12.20). Этот метод оказывается достаточно эффективным в случае сравнительно невысокой степени характеристического уравнения (n=2-4). В более сложных случаях обеспечить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения оказывается затруднительно, так как некоторые параметры системы и корректирующих средств могут влиять сразу на несколько коэффициентов характеристического уравнения. Недостатком этого метода является также то, что необходимо задаваться видом корректирующих средств. Поэтому получаемое решение будет во многом зависеть от опытности проектанта. |