Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
§ 12.3. Метод корневых годографов Качество системы регулирования сточки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы, те. расположением нулей и полюсов передаточной функции (§ 8.6). Зная эти корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости корней. При расчете регулируемой системы целесообразно проследить, как меняется общая картина расположения корней при изменении отдельных параметров, например общего коэффициента усиления, постоянных времени корректирующих цепей и т. пс целью установления оптимальных значений этих параметров. При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться на плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которую будем называть корневым годографом или траекторией корней. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемого параметра, которое соответствует наилучшему расположению корней. Первый способ построения траекторий корней заключается в следующем. Пусть имеется дифференциальное уравнение замкнутой системы, записанное для регулируемой величины при наличии задающего воздействия (5.3): Это уравнение записано здесь для случая равенства нулю возмущающих воздействий. Оно может быть записано также для любого возмущающего-воздействия. Это не изменит его формы и не отразится на дальнейших рассуждениях. Передаточная функция замкнутой системы (12.29) Полюсы передаточной функции, те. корни знаменателя, обозначим через , а ее нули (корни числителя) через Коэффициенты числителя и знаменателя (12.29) определенным образом выражены через параметры регулируемого объекта, регулятора и корректирующих устройств. Если нужно выбрать величину какого-либо параметра (постоянная времени, коэффициент усиления и т. п, входящего как угодно в коэффициенты (12.29), то необходимо принять некоторые постоянные значения для всех остальных параметров, а для искомого параметра задавать различные числовые значения внутри реально возможных пределов изменения этого параметра в данной системе регулирования. Для каждого из этих вариантов необходимо затем вычислить корни числителя и знаменателя (12.29). Результаты вычислений можно свести в таблицу, на основании которой легко строятся все траектории корней. Если нужно выбрать два или несколько параметров регулируемой системы, то такого рода вычисления нужно проделать несколько раз, меняя каждый раз один из параметров при заданных значениях всех остальных. Вычисление корней при этом можно производить любым численным методом, возможно более простым, так как ввиду приближенности корневой оценки здесь не требуется большой точности вычислений. В настоящее время имеются электрические устройства, позволяющие строить на экране траектории корней непосредственно по заданным коэффициентам уравнения. Из простых численных методов определения корней можно рекомендовать, например, метод последовательных делений [98]. Другой способ построения траекторий корней, разработанный Ивэнсом и Э. Г. Удерманом [128], в отличие от первого, пригодного для выбора любого параметра системы, специально приспособлен для выбора общего коэффициента усиления передаточной функции разомкнутой системы (5.10), которую запишем следующим образом (12.30) Здесь К = К — общий коэффициент усиления разомкнутой системы, имеющий размерность сек, где r — степень астатизма G 1 (р) — операторная часть передаточной функции разомкнутой системы. Характеристическое уравнение системы может быть записано в виде (12.31) Обозначим полюсы и нули передаточной функции разомкнутой системы соответственно через . Тогда Каждый сомножитель в выражении (12.32) можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 12.1), где р — текущая точка. Обозначим длину (модуль) каждого вектора в знаменателе (12.32) через , а в числителе — через Соответственно угол между вектором и положительным направлением оси вещественных аргумент) для знаменателя обозначим , а для числителя — . По правилу перемножения комплексных чисел согласно формуле (12.32) найдем, что G (р) будет представлять собой вектор с длиной г ж аргументом ф, причем (12.33) где Траектории корней (рис. 12.1) строятся таким образом, чтобы они удовлетворяли условию (12.38). После этого по формуле (12.34) для каждой конкретной комбинации корней можно вычислить Аи величину r, а затем по формуле (12.37) — общий коэффициент усиления К. Для упрощения построения траекторий корней используются следующие свойства. При К = 0 корни характеристического уравнения замкнутой системы совпадают с полюсами передаточной функции разомкнутой системы W (р) или G (р, так как согласно (12.31) при К = 0 имеем 2. При корни стремятся к нулям передаточной функции разомкнутой системы, так как при из (12.31) получаем . Но количество нулей равно m, в то время как количество корней n >m. Поэтому остальные n — m корней уходят в бесконечность, так как еще при . Для последних n-m корней можно определить направления асимптот на основании (12.31) и (12.32). При больших имеем соответственно откуда аргумент комплексного числа и, значит, аргумент числа , те. наклон искомых асимптот, будет (12.41) 3. На вещественной оси траектории корней представляют собой отрезки прямой, соединяющие нули и полюсы функции G (р, расположенные на этой оси. Началом траекторий на вещественной оси служит нуль, расположенный правее всех остальных. 4. Если траектория отклоняется от вещественной оси, то положение точки р = а, в которой траектория отходит от этой оси, можно оценить из того условия, что при малом отклонении , от вещественной оси приращение угла (12.35), обусловленное влиянием полюсов и нулей функции G (р, расположенных на оси влево от искомой точки, должно уничтожаться приращением этого же угла, обусловленным влиянием полюсов и нулей О (р, расположенных вправо от этой точки. Так, например, пусть имеется функция (12.42) При К = 0 траектории исходят из точек (—0,001), (—2) и (—6), лежащих на вещественной оси. Отрезки траекторий лежат между точками (—0,001) ж (—2) и между (—6) и Применяя правило 4, можем записать Решение этого квадратного уравнения дает 5. Положение точки, в которой траектория пересекает мнимую ось при переходе в правую полуплоскость комплексной переменной р, часто можно оценить, пренебрегая влиянием малого по абсолютной величине полюса функции G (р. Рассмотрим в качестве примера опять функцию (12.42). При значительных по модулю величинах комплексной переменной р эту функцию можно с хорошей точностью аппроксимировать функцией Тогда (рис. 12.2) и, следовательно, условие (12.38) сводится к равенству и Рассматривая график на рис. 12.2, можно заметить, что откуда следует, что . Это равенство и представляет собой условие для определения точки пересечения В. 6. Направление касательной к траектории при выходе ее из какого-либо полюса или при подходе к какому-либо нулю нетрудно определить путем вычисления угла между этой касательной в данном полюсе или нуле и вещественной осью. При таком вычислении используется зависимость (12.38) для аргументов всех нулей и полюсов, расположенных по условию в левой полуплоскости комплексной переменной р. На рис. 12.3 изображены траектории корней передаточной функции G (р, имеющей два нуля и два полюса на вещественной оси и одну пару комплексных сопряженных полюсов. При достаточно малом удалении точки рот полюса q4 углы , соответствующие остальным нулями полюсам, останутся неизменными. Таким образом, в силу (12.38) угол найдется из уравнения I Перечисленные правила определяют основные свойства траекторий корней. Траектории вне нулей и полюсов функции G (р) находятся с помощью построения по точкам, после чего можно определить характер изменения К вдоль построенной таким образом кривой. После того как выбрано желаемое расположение корней характеристического уравнения, находится соответствующее значение К. Более подробно см. [128]. § 12.4. Метод стандартных переходных характеристик Для получения необходимых значений коэффициентов передаточной функции разомкнутой системы можно воспользоваться стандартными переходными характеристиками. Для большей общности эти характеристики строятся в нормированном виде. В этом случае по оси времени откладывается относительное время — среднегеометрический корень характеристического уравнения, определяющий быстродействие системы. При построении стандартных переходных характеристик необходимо задаться определенным распределением корней характеристического уравнения. Ниже приводятся стандартные характеристики и соответствующие передаточные функции [61]. Для систем с астатизмом первого порядка корни приняты вещественными, причем они составляют арифметическую прогрессию. В табл. 12.1 приведены передаточные функции разомкнутой системы для различных порядков характеристического уравнения n=2-4, получающиеся при этом значения перерегулирования и добротности по скорости Кв. Нормированные переходные характеристики для каждого случая приведены на риса. Для систем с астатизмом второго порядка корни также приняты вещественными, причем они составляют геометрическую прогрессию. Соответствующие передаточные функции приведены в табл. 12.2, а переходные характеристики — на рис.12.4,б. В табл. 12.2 для различных порядков характеристического уравнения n= 2-6 приведены передаточные функции разомкнутой системы, перерегулирование σ% и добротность 'по ускорению К. Использование метода стандартных переходных характеристик для синтеза заключается в том, что для принятой структурной схемы выбирается приемлемый вид переходного процесса. Это позволяет установить необходимое значение среднегеометрического корня . Далее оказываются известными все коэффициенты желаемой передаточной функции системы. Введением различных корректирующих средств необходимо добиться того, чтобы коэффициенты реальной передаточной функции были возможно ближе к коэффициентам желаемой передаточной функции. Этот метод может применяться ив том случае, когда важно обеспечить-требуемую точность работы системы, которая может быть задана, например, при помощи коэффициентов ошибок. Тогда при заданных значениях коэффициентов ошибок можно определить требуемое значение , а по ним найти величину . Далее расчет ведется так, как описано выше. Недостатком рассмотренного метода является то, что при построении стандартных переходных процессов приняты вещественные корни. Это во многих случаях не приводит к оптимальному решению. Однако стандартные переходные характеристики можно сравнительно просто построить для любого другого расположения корней, в том числе и для комплексных корней. Предлагается, например, такое решение [61]. Пусть характеристическое уравнение записано в виде где — среднегеометрический корень. Если принять все корни равными и вещественными, то это характеристическое уравнение приобретает вид (12.43) В этом случае безразмерные коэффициенты А, . . ., А являются коэффициентами бинома Ньютона. Однако переходный процесс затухает быстрее, если характеристическое уравнение при четном n имеет вид причем безразмерный параметр затухания ξ = 0,7-0,8. В табл. 12.3 для случая ξ = 0,75 приведены значения безразмерных коэффициентов А, . . ., А, причем Аи А = 1, для степени характеристического уравнения от 2 до 6. На рис. 12.4, в приведены нормированные переходные характеристики, соответствующие характеристическому уравнению (12.45), если в него ввести правую часть в виде Переходный процесс затухает еще быстрее, если принять некратное распределение комплексных корней [64]. В этом случае все корни имеют одинаковую вещественную часть т. Мнимые части корней образуют арифметическую прогрессию с разностью у и первым членом также у. Для каждой степени характеристического уравнения существует некоторое оптимальное отношение у/т), которому соответствует наибольшее быстродействие в безразмерном времени. Безразмерные коэффициенты характеристического уравнения для этого случая приведены в табл. 12.4, а переходные характеристики изображены на рис. 12.4, г. При наличии нулей у передаточной функции принятые в табл. 12.3 и 12.4 распредления корней оказываются неудачными вследствие появления большого перерегулирования. В этом случае оказывается более выгодным использование расположения корней на вещественной оси по арифметической прогрессии (см. табл. 12.1 и 12.2). § 12.5. Метод логарифмических амплитудных характеристик Наиболее приемлемы для целей синтеза логарифмические амплитудные характеристики, так как построение л. ах, как правило, может делаться почти без вычислительной работы. Особенно удобно использовать асимптотические л. ах. Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции. 1. Построение желаемой л. ах. Построение желаемой л. ах. делается на основе тех требований, которые предъявляются к проектируемой системе регулирования. При построении желаемой л. ах. необходимо быть уверенным, что вид амплитудной характеристики полностью определяет характер переходных процессов и нет необходимости вводить в рассмотрение фазовую характеристику. Это будет выполняться в случае минималънофазовых систем. В этом случае амплитудная характеристика однозначно определяет вид фазовой характеристики. Напомним, что передаточная функция разомкнутой минимально-фазовой системы не должна иметь нулей и полюсов, расположенных в правой полуплоскости (см. § 4.8). 2. Построениерасполагаемой л. ах. Под располагаемой л. ах. понимается характеристика исходной системы регулирования, построенной исходя из требуемых режимов стабилизации или слежения, требуемых выходной мощности, скорости, ускорения и т. п. Обычно под исходной системой понимается система, состоящая из регулируемого объекта и регулятора и не снабженная необходимыми корректирующими средствами, обеспечивающими требуемое качество переходного процесса. Исходная система должна быть также минимально-фазовой. 3. Определение вида и параметров корректирующего устройства. Наиболее просто определяется корректирующее устройство последовательного типа. Если желаемая передаточная функция разомкнутой системы — , располагаемая — и передаточная функция корректирующего звена последовательного типа — , то можно записать равенство Таким образом, при использовании л. ах. весьма легко осуществляется синтез последовательных корректирующих средств, так как л. ах. корректирующих средств получается простым вычитанием ординат располагаемой л. ах. из ординат желаемой. 4. Техническая реализация корректирующих средств. По виду л. ах. необходимо подобрать схему и параметры корректирующего звена последовательного типа. В случае необходимости последовательное звено может быть пересчитано на эквивалентное параллельное звено или эквивалентную обратную связь по формулам, которые приведены в § 10.4. 5. Поверочный расчет и построение переходного процесса. В случае необходимости полученная система регулирования вместе с корректирующими средствами может быть исследована обычными методами анализа. Ниже приводится краткое изложение метода синтеза, разработанного В. В. Солодовниковым [121] для следящих систем с астатизмом первого порядка. В основу синтеза положены следующие показатели качества 1) перерегулирование при единичном ступенчатом воздействии на входе 2) время переходного процесса п 3) коэффициенты ошибок В рассмотрение вводится типовая вещественная частотная характеристика замкнутой системы (рис. 12.5). Эта характеристика описывается следующими величинами — основнои коэффициент наклона и - дополнительные коэффициенты наклона - основной и дополнительный коэффициенты формы - интервал положительности. Если в следящей системе с приемлемыми динамическими качествами для вещественной частотной характеристики выполняются условия то, как показало построение соответствующих типовых вещественных характеристик переходных процессов, величина перерегулирований в основном определяется величиной Рmах. В этом случае перерегулирование и время переходного процесса могут быть определены по кривым, приведенным на рис. 12.6. Таким образом, на основании заданного перерегулирования можно определить Рmах и затем по Рmах зависимость между временем переходного процесса пи частотой , соответствующей интервалу положительности вещественной характеристики. По заданному значению а легко определяется требуемое значение соп. Однако отрицательная часть вещественной характеристики также влияет на перерегулирование, увеличивая его на величину . Это можно учесть, положив . Тогда по кривой, изображенной на рис. 12.6, можно найти допустимые значения Рmах и Р =1 — ах, при которых суммарное перерегулирование не будет превосходить заданного значения В табл. 12.5 приведены некоторые типовые значения -Ртах и соответствующие им качественные показатели замкнутой системы. После нахождения основных величин для типовой вещественной характеристики переходят к формированию желаемой логарифмической амплитудной характеристики. При этом очевидно, что фазовая характеристика разомкнутой системы должна так проходить, чтобы обеспечивалась не только устойчивость, но и определенный запас устойчивости. Вещественная характеристика замкнутой системы связана с частотной передаточной функцией разомкнутой системы зависимостью (12.49) Задаваясь различными значениями , на комплексной плоскости можно построить кривые, дающие связь между вещественной и мнимой частями или между ее модулем и фазой (или запасом по фазе. На рис. 12.7 приведено подобное семейство кривых для амплитуды, откладываемой в децибелах. Цифры около соответствующих кривых указывают значение . Если на этом графике нанести амплитудно-фазовую характеристику системы, то по точкам пересечения с кривыми можно построить вещественную характеристику. Кривые, приведенные на рис. 12.7, позволяют сформулировать требования к амплитудно- фазовой характеристике разомкнутой системы, которые необходимо выполнить, чтобы обеспечить получение желаемой типовой характеристики. Так, например, если необходимо, чтобы , то максимальная и минимальная ординаты вещественной характеристики в соответствии с табл. 12.5 не должны превышать значений (ориентировочно) и . Это означает, что логарифмическая амплиггудно-фазовая характеристика, нанесенная на рис. 12.7, не должна заходить в области, ограниченные кривыми с отметками 1,2 и 0,2. Сформулированное условие будет выполняться, если амплитудно-фазовая характеристика не будет заходить в прямоугольник, образованный горизонтальными линиями L1 = 16 дб и L2 = — 16 дб и вертикальной линией |