Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем

• Название: 3 Примеры непрерывных автоматических систем
• Анкор: Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975.pdf
• Дата: 24.04.2017
• Размер: 25.93 Mb.
• Имя файла: Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П..pdf
• Тип: Документы; #2232
• страница: 32 из 57

, изображена на рис. 12.14. Здесь же показаны для иллюстрации фазовая характеристика и запретная область для нее. Протяженность участка с единичным наклоном, тес отрицательным наклоном 20 дб/дек =
6 дб/окт, определяется отношением двух постоянных времени
(12.78) Под протяженностью участка вдоль оси частот (рис. 12.14) понимается отношение частот конечных точек участка (большей к меньшей. Запас по фазе для функции (12.77) Максимальный запас по фазе определяется только протяженностью h асимптоты л. ах, имеющей единичный наклон.

Приравнивание максимальных запасов по фазе (8.88) и (12.81) дает зависимость между протяженностью участка h и показателем колебательности М при оптимальном выборе параметров, те. при совпадении максимумов реальной фазовой характеристики и запретной зоны (рис. 12.14): Эти формулы связывают протяженность участка h с минимальным значением показателя колебательности, который может быть получен при этой протяженности, или величину показателя колебательности Мс минимальной протяженностью участка h, обеспечивающей этот показатель колебательности. Из рис. 12.14 легко найти оптимальные параметры л. ах) где
, соответствует модулю, а
— относительной частоте, при которых запас по фазе (в запретной области) получается максимальным — см. формулу (8.88);
(12.85) Эти параметры соответствуют минимальному значению показателя колебательности при заданной протяженности участка h. Следует заметить, что технически реализовать систему тем легче, чем йеныне протяженность участка h. Это связано с необходимостью подъема на этом участке верхних частот, что во многих случаях затруднено вследствие наличия в системе внешнех и внутренних высокочастотных помех. Поэтому сточки зрения оптимальности инженерного решения необходимо стремиться к реализации желаемых динамических качеств при минимальной требуемой протяженности участка h. Для получения заданного показателя колебательности в замкнутой системе при фиксированной базовой частоте л. ах. необходимо иметь следующие постоянные времени Вместо базовой частоты заточку, фиксирующую положение л. ах. (рис. 12.13 и 12.14), можно принять, например, точку пересечения второй асимптоты л. ах. с осью децибел, которой соответствует частота
. Тогда вместо (12.86) и (12.87) получим выражения, которые при фиксированной частоте среза, а следовательно, и фиксированном положении запретной зоны для фазовой характеристики можно превратить в неравенства

При равенстве левых частей правым показатель колебательности будет равен заданному значению М. При неравенстве левых и правых частей будет вводиться некоторый дополнительный запас устойчивости и показатель колебательности будет снижаться. Эти формулы легко запоминаются, и они просто связаны с параметрами окружности — запретной зоны на комплексной плоскости (см. рис. 8.28) В неравенство может быть превращена и формула (12.87). Формулу (12.86) лучше иметь в виде равенства, так как увеличение Т по сравнению стем, что дает формула, в некоторых случаях может привести к ухудшению запаса устойчивости. При использовании типовой передаточной функции (12.75) может быть предусмотрен дополнительный запас устойчивости для возможности иметь в усилительном канале некоторое количество не учитываемых при расчете малых постоянных времени. Дополнительный запас устойчивости создается уменьшением величины постоянной времени Т или, соответственно, чтобы отодвинуть фазовую характеристику от запретной области (рис. 12.15). На малые постоянные времени отводится обычно несколько градусов запаса по фазе. Так, например, в [10] предлагается отводить на эти цели величину, соответствующую сумме малых постоянных.
(12.90) а число малых постоянных времени принимать равным 4-6. Тогда граница малых постоянных времени определяется значением
(12.91) Если некоторая постоянная времени м дает сопрягающую частоту
, которая больше граничной частоты (рис. 12.15)
(12.92) то эта постоянная может не учитываться при расчете. Расчетная формула для определения допустимого значения постоянной времени Т (12.86) при эхом сохраняется, а вместо формулы (12.87) должно использоваться выражение
(12.93) В более сложном случае передаточная функция разомкнутой системы может иметь произвольное число постоянных времени, входящих в ее знаменатель.
(12.94) Этой передаточной функции соответствует л. ах. типа 2—1—2—3—4.. Расчеты и здесь оказываются достаточно простыми. Для получения заданного показателя колебательности необходимо выполнение условия (12.86) для постоянной времени Т- Сумма всех остальных

постоянных времени включая малые постоянные времени, должна удовлетворять неравенству
(12.95) При использовании расчета по частоте среза для постоянной времени Т должно выполняться условие (12.88) а для суммы остальных постоянных времени — условие
(12.96) В л. ах. подобного типа легко учесть наличие звеньев постоянного запаздывания. О звеньях постоянного запаздывания см. главу 14.] В этом случае время запаздывания должно учитываться при подсчете суммы постоянных времени Возможен случай, когда в передаточную функцию разомкнутой системы входит множитель, соответствующий колебательному звену с комплексными корнями
(12.97) Допустить наличие такого множителя можно в том случае, если частота свободных колебаний звена значительно больше базовой частоты
(12.98) Асимптотическая л. ах. для этого случая изображена на рис. 12.16. При выполнении условия (12.98) фазовый сдвиг, вносимый колебательным звеном в районе максимального запаса по фазе, можно принять равным
. Поэтому коэффициента должен входить в общую сумму постоянных времени (12.95) или (12.96). Для того чтобы избежать появления второй запретной зоны в районе пикала. х. при
(рис. 12.16), необходимо выполнение дополнительного условия, которое вытекает из неравенства (8,.87):
(12.99) Выполнение этого условия может быть легко проверено при построении л.а.х. Более подробно этот вопрос рассмотрен для случая гироскопических следящих систем в
[10]. Передаточная функция подобного вида соответствует изодромному регулированию. Она может встречаться, например, в сглаживающих системах различного типа, построенных на электромеханических, электронных, гироскопических и тому подобных интеграторах. Показатель колебательности для подобной передаточной функции может быть определен прямым отысканием максимума модуля частотной передаточной функции замкнутой системы

Подстановка (12.100) и исследование получившегося выражения на максимум дает следующее условие, которое должно быть выполнено, чтобы показатель колебательности не превышал заданного значения Типовые л. ах. систем с астатизмом первого порядка. Следящие системы с астатизмом первого порядка представляют собой наиболее распространенный тип систем, содержащих одно интегрирующее звено — исполнительный двигатель. В простейшем случае, когда следящая система состоит из безынерционного усилителя и исполнительного двигателя с постоянной времени Тине имеет дополнительных корректирующих средств, кроме, возможно, жесткой тахометрической обратной связи, передаточная функция разомкнутой системы может быть сведена к виду
(12.102) Асимптотическая л. ах. типа 1—2, соответствующая этой передаточной функции, изображена на рис. 12.18. Определение допустимого значения постоянной времени может быть сделано прямым нахождением максимума амплитудной частотной характеристики замкнутой системы Подставляя (12.102) и исследуя получившееся выражение на максимум, можно найти условие того, чтобы показатель колебательности не превышал заданного значения
(12.103) Последняя формула позволяет при заданном значении постоянной времени исполнительного двигателя легко определять максимальное значение добротности по скорости, которое можно иметь в следящей системе приданном значении показателя колебательности. При заданном значении требуемой добротности по скорости этаже формула позволяет определять допустимое значение постоянной времени исполнительного двигателя и необходимый коэффициент усиления по петле жесткой тахометрической обратной связи, служащей для снижения постоянной времени двигателя. Определение коэффициента усиления для тахометрической обратной связи может производиться по формуле где Тд — постоянная времени исполнительного двигателя, ос — коэффициент усиления по петле тахометрической обратной связи. В более сложном случае передаточная функция (12.102) может быть представлена в виде

Этой функции соответствует л. ах. типа 1—2 — 3 — 4... Здесь может быть получена приближенная формула, ориентировочно связывающая сумму всех постоянных времени с добротностью по скорости
(12.105) при Приближенная формула (12.105) становится точной при Ми любом числе постоянных времени либо при наличии только одной постоянной времени и любом значении МВ последнем случае она вырождается в формулу (12.103). При значениях М, мало отличающихся от единицы, например при
, формула (12.105) является достаточно точной и может использоваться для расчета при наличии любого числа постоянных времени, а также при наличии временного запаздывания т, которое должно учитываться в общей сумме постоянных времени. Л. ах. рассмотренного типа может использоваться в простейших следящих системах с невысокими требованиями в отношении статической и динамической точности. При невозможности удовлетворить требованиям технического задания приходится переходить к более сложным типам л. ах. На рис. 12.19 изображена асимптотическая л. ах. типа Она может быть получена из соответствующей л. ах. типа системы с астатизмом второго порядка (рис. 12.16) добавлением одного излома при сопрягающей частоте Этой л. ах. соответствует передаточная функция разомкнутой системы
(12.106) Так как обычно сопрягающая частота о значительно отличается от частоты в зоне максимума требуемого запаса по фазе, то с большой степенью точности расчет можно вести по формулам, полученным в предыдущем параграфе для систем с астатизмом второго порядка. В этом случае положение л. ах, изображенной на рис. 12.19, определяется базовой частотой В соответствии с формулами (12.86) и (12.95) имеем

Для уточнения расчета можно учесть то обстоятельство, что по сравнению с системой, имеющей астатизм второго порядка, здесь имеется дополнительный запас по фазе
(12.107) Это позволяет немного увеличить допустимую сумму постоянных времени, которым соответствуют сопрягающие частоты правее частоты среза (формулы (12.95) и (12.96)), или немного уменьшить постоянную времени Т (формулы (12.86) и (12.88)). Однако подобное уточнение обычно не. имеет практического значения [10] и почти всегда с достаточной степенью точности можно вести расчет параметров л. ах. типа 1 — 2 — 1 — 2 — 3... по формулам, которые были получены для системы с астатизмом второго порядка (л. ах. типа 2—1—2—3...). Типовые л. ах. статических систем. В простейшем случае передаточная функция разомкнутой статической системы имеет вид
(12.108) где К — коэффициент усиления разомкнутой системы. Соответствующая асимптотическая л. ах. типа 0—1—2 изображена на рис. 12.20. В районе пересечения л. ах. оси нуля децибел передаточная функция может быть приближенно сведена к передаточной функции системы с астатизмом первого порядка Это дает возможность использовать полученную выше формулу (12.103) для л. ах. типа
1—2 (рис. 12.18) при замене
. Тогда можно получить условие обеспечения заданного показателя колебательности Из этих формул видно значение первой большой постоянной времени Т как фактора, увеличивающего запас устойчивости системы. Повышение коэффициента усиления или повышение суммы остальных постоянных времени при заданном показателе колебательности может быть сделано при одновременном увеличении постоянной времени Т. Отклонение передаточной функции (12.109) от более точного выражения (12.108) в области низких частот дает некоторое увеличение запаса устойчивости, те. уменьшение колебательности. Учет этого обстоятельства обычно нецелесообразен ввиду незначительности получаемого эффекта [10].

При повышенных требованиях по статической и динамической точности могут применяться л. ах. типа О 2—1— 2—3... (рис. 12.21), образованные из л. ах. типа 2—1—2—3... (рис.
12.13) систем с астатизмом второго порядка. Таким л. ах. соответствует передаточная функция разомкнутой системы
(12.114) Как ив случае систем с астатизмом первого порядка, здесь можно с достаточной степенью точности пользоваться универсальными формулами (12.86) — (12.89) и (12.95), (12.96). Учет звеньев постоянного запаздывания и колебательных звеньев, а также введение границы малых постоянных времени может делаться аналогично изложенному выше. Переходные процессы, соответствующие типовым л. ах. Для л. ах. типа 2—1—2 можно показать, что при заданной протяженности h асимптоты с единичным наклоном (рис. 12.13) выбор параметров, при котором обеспечивается минимальное значение показателя колебательности (12.83), вместе стем соответствует некоторому оптимальному протеканию переходных процессов. При этом будет иметь место максимальное приближение кривой переходного процесса к некоторой экстремали, которая является экспонентной с постоянной времени Чем больше протяженность участка h, тем меньше показатель колебательности и тем более благоприятным будет протекание переходного процесса, так как постоянная времени экспоненты будет меньше. Определим вид переходного процесса при единичном входном воздействии для Случая использования л. ах. типа 2—1—2 (рис. 12.13).; Для нормированной передаточной функции (изображение Лапласа выходной величины будет иметь вид
(12.115) Задаваясь различными значениями показателя колебательности, можно найти относительные постоянные времени и затем построить переходный процесс для выходной величины в функции безразмерного времени
. Переходные характеристики показаны на рис. 12.22. Параметры переходных процессов — перерегулирование

и относительное время переходного процесса приведены в табл. 12.7. Хотя эти кривые переходных процессов соответствуют л. ах. типа 2—1—2 системы с астатизмом второго порядка (рис. 12.13), они с большой степенью точности могут использоваться для оценки переходных процессов при использовании л. ах. других типов, изображенных, например, на рис. 12.16, 12.19 и 12.21, для которых характерным является наличие участка с наклоном —20 дб/дек в районе пересечения оси частот. Различие будет наблюдаться в начальной части, если высокочастотная часть л. ах. отличается от высокочастотной части л. ах. типа 2—1—2, ив конечной части, если будут отличаться их низкочастотные части. Таким образом, в случае нужды оценка переходных процессов может делаться по универсальным кривым, приведенным на рис. 12.22, во всяком случае для средней части кривой переходного процесса, которая показывает степень склонности системы к колебаниям. В тех случаях, когда л. ах. не имеет специального участка с наклоном — 20 дб/дек при переходе оси частот (см, например, рис. 12.18 и 12.20), оценка переходных процессов может быть сделана следующим образом. В качестве исходной примем л. ах. типа 1—2 (рис. 12.18). Ей соответствует передаточная функция (12.102). Вводя единичное ступенчатое воздействие можно аналогично изложенному выше построить нормированные переходные процессы в функции безразмерного времени
(рис. 12.23). Здесь в качестве принята частота пересечения асимптоты, имеющей наклон — 20 дб/дек, с осью частот (рис. 12.18). Эти же кривые переходного процесса могут использоваться для оценки переходного процесса в случае использования л. ах. другого типа, например 1—2—3 или 0—1—2 (рис.
12.20). Как ив предыдущем случае, различие может наблюдаться только в начальной и конечной стадиях переходного процесса. Построение низкочастотной области желаемой л. ах. Построение желаемой л. ах. начинается с низкочастотной области. Из условий требуемой точности работы определяется положение контрольной точки или запретной области (см. рис. 12.11). Низкочастотная часть л. ах. должна проходить не ниже контрольной точки или так, чтобы не заходить в запретную область. В следящих системах с астатизмом второго порядка положение первой низкочастотной асимптоты, имеющей наклон 40 дб/дек, определяется совершенно однозначно. Из условий облегчения задачи демпфирования выгодно сдвигать эту асимптоту как можно более влево, те. в сторону низких частот. Очевидно, что предельное положение первой асимптоты будет в том случае, когда она или пройдет через контрольную точку Ак, или сольется с правой границей запретной области (рис. 12.24). Необходимое значение базовой частоты л. ахи необходимый коэффициент усиления по разомкнутой цепи следящей системы определяются из выражения (12.63):

В следящих системах с астатизмом первого порядка необходимо определить положение двух первых асимптот, что можно сделать различным образом в зависимости от выбранного значения первой сопрягающей частоты Если принять, что первая сопрягающая частота больше контрольной частоты сок не менее чем в 2—3 раза, то первые две асимптоты можно расположить так, чтобы через контрольную точку Ак прошла первая асимптота (риса. При этом коэффициент усиления по разомкнутой цепи или добротность по скорости будет иметь минимальную возможную величину, равную предельному значению, определяемому из (12.62): что является благоприятным. Однако частота точки пересечения второй асимптоты с осью нуля децибел будет значительно больше минимального достижимого значения, определяемого по требуемому предельному коэффициенту усиления по ускорению (12.63). Это является нежелательным, так как вся л. ах. будет сдвигаться в область более высоких частот, что затрудняет демпфирование вследствие относительного возрастания влияния всех постоянных времени системы. Если теперь принять, что первая сопрягающая частота меньше контрольной частоты по крайней мере в 2—3 раза, то первые две асимптоты можно расположить так, чтобы через контрольную точку Ак прошла вторая асимптота (рис. 12.25, б. При этом частота пересечения второй асимптоты с осью нуля децибел будет иметь минимальную возможную величину, определяемую предельным значением добротности по ускорению (12.63), что является благоприятным сточки зрения облегчения демпфирования системы. Однако при этом требуемый общий коэффициент усиления по разомкнутой цепи будет в 2 — 3 раза превышать минимальное возможное значение, определяемое формулой (12.62). Увеличение общего коэффициента усиления может неблагоприятным образом сказаться на возрастании влияния помехи наводок на входе. Поэтому выбор того или иного расположения низкочастотной части л. ах. относительно контрольной точки должен определяться конкретными условиями. При отсутствии преобладания того или иного фактора оптимальным следует считать такое расположение низкочастотных асимптот (рис. 12.25, в, при котором первая сопрягающая частота о совпадает с контрольной частотой сок. Так как истинная л. ах. в точке проходит ниже точки пересечения двух асимптот надбили на
, то вся л. ах. при должна быть поднята вверх на 3 дб. При этом требуемое значение коэффициента усиления
(12.116) Точке пересечения второй асимптоты с осью нуля децибел соответствует частота
(12.117)

В статических следящих системах, а также в системах стабилизации построение низкочастотной части делается в соответствии с формулами (12.69)-(12.74). Построение средне- и высокочастотной частей л. ах. В системах с астатизмом второго порядка (рис. 12.24) необходимо осуществить типовой переход оси нуля децибел в соответствии с рис. 12.13. При этом известно значение базовой частоты . Требуемое значение постоянной времени Т определяется формулой (12.86).
Среднечастотной части л. ах. соответствует асимптота с единичным наклоном, проходящая в интервале амплитуд
(12.118) Часть л. ах, лежащая правее частоты среза, может иметь, вообще говоря, произвольный вид, определяемый имеющимися в системе звеньями. Однако в соответствии с изложенным выше необходимо выполнение следующих условий.
1. Высокочастотная часть л. ах. не должна заходить в запретную область, образованную асимптотой с единичным наклоном, пересекающей ось нуля децибел в точке
, и горизонтальной прямой, соответствующей
(12.119)
2. Сумма постоянных времени и коэффициентов при операторе впервой степени передаточных функций колебательных звеньев не должна превышать значения (12.95): При построении желаемой л. ах. в высокочастотной области вначале можно ориентироваться на наиболее простой ее вид и сформулировать ее при помощи одной асимптоты с наклоном 40 дб/дек, положение которой определяется постоянной времени Эта л.а.х. показана в высокочастотной части на рис. 12.24 пунктирной линией. Она соответствует типу 2—1—2. При дальнейшем расчете вид высокочастотной части л. ах. может уточняться. Однако два сформулированных выше условия не должны нарушаться. В окончательном виде высокочастотная часть л. ах. может иметь произвольный вид, например показанный сплошной линией на рис. 12.24. В следящих системах с астатизмом первого порядка необходимо вначале проверить возможность сведения желаемой л. ах. к типу 1—2 или ее модификациям 1—2—3... Для этого необходимо исследовать возможность доведения суммы всех постоянных времени до значения, определяемого формулой (12.105): При отрицательном ответе необходимо сформировать переход оси нуля децибел асимптотой с единичным наклоном так, как показано на рис. 12.25. Весь расчет ведется аналогично изложенному выше для следящих систем с астатизмом второго порядка. Исходные данные для расчета — базовая частота и постоянная времени Т — известны по построению низкочастотной части л. ах. (см. рис. 12.25). Для статических систем расчет ведется аналогично расчету систем с астатизмом первого порядка. Вначале необходимо проверить возможность использования л. ах. типа 0—1—2 (рис.
12.20) или ее модификации 0—1—2—3... по формуле (12.113). При отрицательном ответе- необходимо сформировать переход оси нуля децибел аналогично рис. 12.24 и 12.25. Расчет корректирующих (демпфирующих) средств. По наиболее простой схеме расчета следящих систем корректирующие средства определяются сравнением желаемой передаточной

функции с передаточной функцией системы без корректирующих средств или сравнением л. ах, соответствующих этим передаточным функциям. Часто эта схема расчета оказывается слишком упрощенной, что затрудняет ее использование. Это объясняется главным образом трудностью непосредственного перехода в сложных случаях от имеющейся передаточной функции к желаемой, а также тем обстоятельством, что формирование высокочастотной части л. ах. может быть выполнено многозначно. Бели вид желаемой л. ах. в низкочастотной части является вполне определенным, то для ее высокочастотной части могут быть сформулированы лишь общие требования в отношении допустимой суммы постоянных времени и отсутствия пиков, заходящих в запретную зону (см. рис. 12.24). Поэтому более гибкой оказываестя схема расчета, при которой построение желаемой л. ахи расчет корректирующих средств, обеспечивающих получение желаемой л. ах, делаются в два этапа. На первом этапе расчета на основании требований к точности строится желаемая л. ахи рассчитываются корректирующие средства, формирующие ее в низкочастотной части. При этом будет получена некоторая промежуточная система, имеющая требуемую точность, ноне имеющая, возможно, требуемого запаса устойчивости. В некоторых случаях возможно сформирование одновременно с низкочастотной частью л. ах. ее средне, а в простейших случаях и высокочастотной частей. На втором этапе расчета уточняется вид и рассчитываются параметры корректирующих средств, формирующих средне- и высокочастотную части л. ах. В результате должна быть получена система, обеспечивающая не только требуемую точность в типовых режимах, но и имеющая необходимый запас устойчивости.
§ 12.7. Об оптимальном синтезе Под оптимальной системой автоматического регулирования или управления понимается система, которой тем или иным способом приданы наилучшие качества в каком-нибудь определенном смысле. Например, система может быть спроектирована так, чтобы она имела максимальную точность выполнения возложенной на нее задачи регулирования заданного объекта. Другим примером оптимизации является существование наиболее быстрого перехода системы из одного заданного состояния в другое или вообще из любого начального состояния в требуемое заданное при заданной ограниченной управляющей силе или мощности. Третьим примером оптимизации системы является обеспечение минимума затраты энергии на выполнение задачи управления при заданных внешних условиях. Четвертым примером может быть получение максимальной надежности работы аппаратуры системы при заданном ее весе. Пятым — достижение минимальной стоимости системы при заданном качестве выполнения ею определенной задачи управления и т. д. Важно отметить четыре общих обстоятельства для любой оптимизации систем управления и регулирования. При оптимизации системы в каждом отдельном случае должен быть правильно выбран критерий оптимальности, выраженный в той или иной математической форме. Например, при достижении максимальной точности системы критерием оптимальности может служить минимум ошибки регулирования, выраженный в виде интеграла где х (t) — отклонение регулируемой величины от требуемого значения. Величина I называется функционалом, так как она зависит от выбора функции х (t) или, вернее, от неизвестного пока вида этой функции, который определится после расчета системы по минимуму функционала I. Критерием максимальной точности может являться также минимум статической ошибки при максимальном внешнем воздействии или минимум среднеквадратичной ошибки при случайном воздействии. В других случаях критерием будет минимум расхода энергии на выполнение управляемого процесса, максимум математического выражения какого-либо из

показателей надежности и т. п. При этом всегда функционал конструируется таким образом, чтобы оптимальности системы соответствовал именно минимум его (а не максимум) как в случае минимума, таки в случае максимума требуемого показателя. качества системы. Это всегда можно сделать. Чаще всего критерий оптимальности задается в виде интегрального квадратичного функционала от нескольких функций где С — некоторая квадратичная форма от величин
— весовые коэффициенты, l может быть не только временем, но и любой другой физической или даже условной комбинированной независимой переменной, а может быть как любой физической величиной, таки любой количественной оценкой того или иного свойства создаваемой системы. Однако математическое выражение критериев оптимальности может иметь не только форму (12.121), но и любую другую форму.
(12.122) Функционал, минимум которого нужно получить, в общем случае-может представлять любую желаемую комбинацию оценок различных качеств задаваемой системы. Заметим, что оптимальность системы по быстродействию является простейшим частным случаем для синтеза оптимальных систем, так как в этом случаев функционале (12.122)
, причем I= t
1
— время перехода системы изначального состояния в новое, заданное при t = t
1
). Чаще всего в качестве подынтегральных функций в (12.122) используются положительно определенные квадратичные формы от фазовых координат
, управляющих величин
, например, в виде
(12.123), Введя понятия критерия оптимальности, те, по сути дела, критерия качества системы, можно попытаться сформулировать задачу оптимального управления. Пусть
— матрица-столбец фазовых координата матрица- столбец управляющих воздействий, которые принадлежат некоторому множеству и считаются допустимыми. Из множества допустимых управлений требуется выбрать такое, которое переводит управляемый объект изначального положения в конечное и минимизирует принятый функционал качества. Это управление и соответствующая ему траектория называются оптимальными. Однако эта формулировка является лишь возможной, распространенной, ноне единственной (см, например, § 11.9). В условии задачи оптимизации любого одного из качеств системы фигурируют некоторые ограничения других ее свойств в виде заданной управляю щейсилы или мощности, заданного веса, заданных интервалов возможного изменения параметров регулятора и объекта и т. п. При достижении максимальной точности может быть задано ограничение стоимости, веса, внешних возмущений. При достижении максимальной надежности системы может быть, кроме указанных ограничений, задано ограничение ошибок системы, или пределы допустимого отклонения параметров реальных элементов системы от их номинальных (запроектированных) значений. Для практики учет ограничений при оптимизации системы чрезвычайно важен, так как всякая реальная система характеризуется ограниченной мощностью, инерционностью и всегда целым комплексом качеств (точность, устойчивость, быстродействие, надежность, стоимость, вес,

простота эксплуатации и соответствие своему практическому назначению по целому ряду конкретных физико-химических свойств, которые надо соблюсти в определенных пределах при оптимизации одного, наиболее важного из них. Оптимизироваться может также не одно качестйо, а определенная комбинация качеств. Рассмотрим основные виды ограничений.
1. Ограничения на фазовые координаты и управления
(12.124) При отсутствии ограничений подобного рода говорят, что задача оптимизации относится к числу вариационных задач в открытой области. Введение подобных ограничений приводит к задаче в закрытой области, что значительно усложняет решение и часто делает невозможным использование классических вариационных методов (см. главу 23).
2. Ограничения типа голономных связей где Gk — некоторые функции, которые в общем случае могут зависеть от времени.
3. Ограничения типа неголономных связей в виде дифференциальных уравнений
(12.126)
4. Изопериметрические ограничения в виде функционалов
(12.127) где в правой части находятся некоторые постоянные числа, которые не должны превосходиться. В качества а k
могут фигурировать такие величины, как, например, предельная температура нагревания, количество выделившегося тепла, расход энергии или рабочего тела и т.п. Отличие синтеза оптимальной системы от синтеза системы по заданным показателям качества, рассмотренного ранее, состоит в том, чтобы добиться непросто требуемых показателей, а наилучших показателей, те. выжать из системы все, что она может дать неопределенному виду качества, наиболее важному для этой системы, при соблюдении Заданных требований до всем необходимым другим ее свойствам. Поэтому задача оптимизации систем является в существе своем задачей вариационного типа, когда требуется подобрать программу и закон регулирования, а также и параметры системы управления (регулятора) таким образом, чтобы получить минимум функционала, который в данном случае служит критерием оптимальности системы. При оптимизации систем управления и регулирования необходимо различать два класса задач, решаемых последовательно оптимизацию программы регулирования (или управления) и оптимизацию закона регулирования или управления. Первый из этих классов задач возникает не всегда, а лишь , тогда, когда процессы в управляемой системе (например, движение управляемого объекта, ход физического или химического процесса) задаются определенной программой изменения регулируемой величины во времени или же когда выбирается определенная связь между переменными (координатами или другими физическими величинами, которая должна соблюдаться независимо от момента времени, другими словами, когда имеется либо временная, либо параметрическая программа управления. Примером временной программы управления может служить программа изменения угла тангажа во времени при подъеме или спуске летательного аппарата. Примером параметрической программы управления могут служить методы автоматического наведения или самонаведения, например, по принципу параллельного сближения и др. В случае оптимизации той или иной программы управления она не задается, а отыскивается в результате расчета по какому-либо критерию оптимальности, например по минимуму затраты энергии при желаемом маневре летательного аппарата в процессе его движения или при сближении двух аппаратов в процессе наведения.

Вторым самостоятельным классом задач, как указывалось, является оптимизация закона регулирования, те. наилучшее построение регулятора (системы управления) для осуществления заданной программы управления. Эта задача может иметь место во всех автоматических системах независимо оттого, оптимизировалась ли программа управления или она была иначе задана, в том числе ив случае простого поддержания постоянного значения регулируемой величины ив случае любой обычной следящей системы. При оптимизации закона регулирования, как и обычно, рассматриваются уравнения динамики системы в отклонениях от требуемых величин (от программы. В настоящее время одной из основных проблем в оптимальном синтезе стала проблема весовых коэффициентов в функционалах качества типа (12.121) или (12.123). Это связано стем, что попытка введения более или менее сложного функционала качества, учитывающего весь комплекс требований к системе регулирования (точность, расход энергии, надежность, вес, технологичность и т. п, неизбежно приводит к необходимости сопоставить между собой отдельные требования, что и должно делаться посредством весовых коэффициентов. Однако назначение этих коэффициентов лока осуществляется произвольно ив лучшем случае, по некоторым экспертным оценкам, что иногда дает им субъективный характер. В связи с необходимостью удовлетворения в процессе синтеза многим различным требованиям возникла трактовка оптимального синтеза как такого построения системы регулирования или управления, при котором все необходимые требования могут быть выполнены простейшим образом [10]. В качестве критерия простоты вводится, например, функционал в частотной области
(12.128) где r — степень астатизма системы, а
— частотная передаточная функция разомкнутого канала управления. В статических системах (r = 0) значение (12.128) совпадает с эквивалентной полосой пропускания разомкнутой системы, что разъясняет физическую сущность введенного функционала. Чем меньше требуется полоса пропускания при выполнении всех качественных требований (точность, запас устойчивости, быстродействие и т. п, тем проще реализация этой системы. В [10] показано, в частности, что приведенный в § 12.6 метод синтеза эвристическим путем приводит к минимизации функционала (12.128). Подобный метод синтеза может быть назван оптимальным синтезом по заданным, качественным показателям. Существуют различные способы оптимизации или, иначе говоря, методы синтеза оптимальных систем, как аналитические, таки машинные. В основе этих способов лежат математические вариационные методы. Каждый из них сопровождается различными вариантами приемов доведения решения задачи до конца в числовом виде. Оказывается, что это последнее представляет во многих случаях особенно трудную задачу даже при наличии решения в принципиальном виде. Поэтому чаще всего (во всяком случае для систем высокого порядка) приходится применять вычислительные машины с использованием таких вычислительных методов, как метод градиента, метод наискорейшего спуска, и других специально разрабатываемых приемов. Для некоторых простейших задач имеются аналитические решения, иногда с привлечением изображений на фазовой плоскости. Заметим, что ранее (см. § 11.9) уже был рассмотрен метод синтеза линейной оптимальной системы при случайных воздействиях по минимуму среднеквадратичной ошибки (задача Винера). Поэтому в дальнейшем изложении эта задача уже фигурировать не будет. Оптимальные законы регулирования при учете реально имеющихся ограничений часто получаются нелинейными (см. главу 23).
§ 12.8. Использование классических вариационных методов Пусть в качестве критерия качества рассматривается функционал вида

= при заданных граничных условиях
. В подынтегральное выражение (12.129) здесь не входят производные выше первой от координат и управлений . Если не наложено никаких ограничений, то принадлежат открытым областям. Решение задачи в этом случае дается уравнениями Эйлера, записанными для всех координат и всех управлений, входящих в (12.129):
(12.130) где F' — частные производные от подынтегральной функции (12.129) по соответствующим переменным. Это решение определяет пучок интегральных кривых (экстремалей)
, из которых необходимо выбрать траекторию, проходящую через заданные начальную и конечную точки. При этом функции должны принадлежать к так называемому классу функций
, те. должны иметь 2m непрерывных производных. В рассматриваемом случае (12.129) наивысшая производная является первой
, должны иметь две непрерывные производные. Кроме того, для установления факта минимизации функционала (12.129) необходимо удостовериться, что вдоль экстремалей выполняются условия
. Эти условия аналогичны требованию положительности второй производной в точке минимума функции Однако задача без ограничений не имеет смысла применительно к системам регулирования и управления. Введем ограничения в виде связей типа (12.125) или (12.126). Тогда в уравнениях
(12.130) вместо функции Р должна использоваться функция
(12.131) где
— произвольные множители Лагранжа, в общем случае зависящие от времени t. Это будет вариационная задача на так называемый условный экстремум (те. при наличии наложенных связей. При учете связей в виде дифференциальных уравнений класс функций С должен определяться по наивысшей производной выражения (12.131). Если рассматривается одна переменная х (t), но функционал включает в себя производные х) более высоких порядков и имеет, например, вид
(12.132) то уравнения Эйлера будут иметь вид
(12.133) Как и ранее, при наличии связей вместо функции F должна рассматриваться функция H, определяемая (12.131). Класс функций С определяется по наивысшей производной (12.131) m- го порядка. Отметим, что решение уравнений (12.130) или (12.133) часто приводит к корням характеристического уравнения, половина которых лежит в левой, а половина — в правой

полуплоскости. Это наблюдается при использовании квадратичных функционалов и конечном времени регулирования Для устранения неустойчивости, которая получится в случае присоединения подобного регулятора к системе (если, конечно, не обеспечивается его отключение после завершения требуемого процесса перевода из одного состояния в другое, можно, например, действовать аналогично изложенному в § 11.9 и отбросить в решении те полюсы передаточной функции, которые лежат в правой полуплоскости. Это соответствует, вообще говоря, переходу к функционалу вида те. бесконечному времени регулирования. В этом случае искомые функции должны принадлежать к классу Ст, причем производная т- го порядка может иметь разрыв первого рода в точке t = 0. При использовании изопериметрических ограничений типа (12.127) задача оптимизации решается также в соответствии с уравнениями (12.131), но должна быть использована функция
(12.135) где
— произвольные постоянные множители Лагранжа. В этом случае для определения произвольных постоянных и множителей к граничным условиям должна добавляться совокупность условий (12.127). Рассмотрим простейшие примеры. Пусть объект управления описывается уравнением Цель управления заключается в переводе объекта из состояния у = 0 при t = О в состояние у=у0 при Т. В качестве критерия качества примем минимум функционала
(12.137) где — некоторый весовой коэффициент. Для функции (12.131) Совместное решение (12.136) и (12.139) дает характеристическое уравнение
(12.140) Это уравнение содержит только четные степени р. Поэтому, если половина корней лежит в левой полуплоскости, то половина — в правой. Упростим задачу и положим
. Тогда получим характеристическое уравнение в виде Решение его дает корни

(12.141) Теперь можно записать выражение для управляемой величины
(12.142) где Си С — произвольные постоянные. Изначального и конечного условий можно определить, что С1+С2= у, а также Отметим, что принятие более сложного функционала Пусть теперь в рассматриваемом примере функционал не содержит управляющей величины и имеет, например, вид не зависит от вида полинома р. Подобный результат был получен другим способом ранее в § 8.8, когда экстремаль была решением характеристического уравнения Однако при отсутствии ограничений на вид D (р) реализация экстремали (12.148) может привести к физически неосуществимым регуляторам. Действительно, из (12.136) следует, что регулятор должен обеспечить управляющее воздействие вида Однако уже первая производная (12.148) имеет при I = 0 разрыв первого рода, а вторая и следующие производные содержат слагаемые типа функции и ее производных

Поэтому физическая реализация возможна для степени D (р) не выше первой, но даже ив этом случае регулятор должен быть практически безынерционным. Получение физически не реализуемого регулятора произошло вследствие отсутствия ограничений или учета управления в принятом функционале качества (12.146). Для получения возможности применения инерционных регуляторов в функционал качества можно вводить кроме управления и его производные. Однако в этом случае смысл функционала качества становится неясным. Рассмотрим теперь замкнутую систему, у которой объект управления описывается дифференциальным уравнением
(12.149) с начальным условием у (0) =y
0
. Требуется определить оптимальное управление
, переводящее систему в состояние ус бесконечным временем регулирования и минимизирующее функционал и используя уравнения (12.130) или (12.132), а также уравнение объекта {12.149), можно получить характеристическое уравнение замкнутой оптимальной системы в виде
(12.151) Корень, лежащий в левой полуплоскости, Уравнение экстремали, проходящей через граничные точки, из (12.149) можно найти, что управление должно изменяться по закону Приняв за неизвестную, входящую в два уравнения (12.152) и (12.153), можно записать условие их совместности Отсюда получается уравнение регулятора
(12.154) Первое слагаемое в правой части (12.154) соответствует собственно искомому оптимальному закону регулирования
(12.155) Второе слагаемое в правой части (12.154) соответствует постоянному значению управления
, которое необходимо искусственно создать на выходе регулятора, чтобы в замкнутой системе до момента времени t=0 (те. при t < 0) управляемая величина была бы равна заданному значению y
0
. Как следует из (12.154), при t = 0 это постоянное управление снимается и система начнет приходить в согласованное положение. Если при t < 0 рассматриваемая система была выключена и имела рассогласование у = у, то слагаемое u
0
ненужно и формула (12.154) сводится к (12.155).

Рассмотренный пример относится к так Называемому аналитическому конструированию регуляторов, которое будет изложено более подробно в § 12.10.
§ 12.9. Динамическое программирование Метод динамического программирования был разработан Р. Беллманом [5]. Он применим не только для решения задач оптимизации систем управления, но и для самых различных технических и экономических задач. При обосновании этого метода предполагается, что функционал качества является дифференцируемой функцией фазовых координат системы. Заметим, что это условие выполняется не всегда. Пусть система описывается совокупностью п уравнений, записанных для фазовых координат
(12.156) где f i
— некоторые, в общем случае нелинейные функции фазовых координат и управлений. Число последних для общности принято равным числу фазовых координат. Уравнения (12.156) можно представить также в матричной форме
(12.157) где хи матрицы-столбцы фазовых координат и управлений размером В качестве критерия оптимальности примем минимум функционала
(12.158) Функции f
0
и f t
, вообще говоря, могут содержать в явном виде текущее время t. Однако это не меняет принципиальной постановки задачи. Целью управления является перевод системы из состояния при t=0 в состояние
. Такая задача управления называется терминальной, иона соответствует определению в фазовом пространстве оптимальной траектории с закрепленными концами. Будем считать, что фазовые координаты и управления должны принадлежать некоторым замкнутым (ограниченным) пространствам, те) Можно несколько расширить цель управления и считать, что конец траектории должен только находиться в заданной области при t Т. Это будет задача со свободным концом траектории. Вместо исходной можно решать более общую задачу отыскания оптимального управления для произвольной временной точки 0 < t
0
< Т и произвольной точки в фазовом пространстве в смысле минимума функционала
(12.160 ) Минимум функционала (12.160) зависит от начального момента времени о и начальной точки х = х (t0). Обозначим этот минимум через
. Функция для некоторой совокупности фазовых координат x(t
0
) может, вообще говоря, не существовать, так как может не существовать допустимого управления, удовлетворяющего (12.156). Если найдены функция и требуемое управление u (t, х, то, положив
, где а — матрица-столбец начальных условий, мы получим решение исходной задачи.

Принцип оптимальности. Примем начальные условия при
, оптимальное управление u (t, а) реализует минимум функционала (12.160), ах, а) — оптимальная траектория в фазовом пространстве. Выберем произвольный момент времени t
1
, принадлежащий интервалу t0 — Т, и обозначим через а точку на оптимальной траектории
. Принцип оптимальности гласит следующее. Если принять значения за начальные, тона интервале оптимальное управление совпадет с оптимальным управлением и, следовательно, участок оптимальной траектории для задачи с начальной точкой (t0, а) на интервале совпадет с оптимальной траекторией для задачи с начальной точкой
. Доказательство достаточно очевидно. Оно исходит из того, что значение функционала качества на участке Т должно быть одинаковым при управлениях u(t, аи, а. Если бы это было не таки значение функционала на этом интервале времени было бы, например, меньше для управления u(t, а, то управление u(t, а) можно было бы улучшить, заменив его на интервале Т управлением
, что противоречит принятому предположению об оптимальности управления Итак, в соответствии с изложенным введем функциональное уравнение
(12.161) на основании которого может быть найдено оптимальное управление их. Если на промежутке t0 — Т выбрать промежуточную точку t1, тона основании принципа оптимальности
(12.162) Функция и оптимальное управление обычно не могут быть найдены аналитическим путем. Для этой цели применяются приближенные методы с использованием вычислительных машин. Рассмотрим идею приближенного расчета. Пусть t — фиксированное значение времени, а
— малый отрезок времени, причем
. Тогда
(12.163) где функции связаны условиями (12.157). Вид управления не оказывает влияния на первое слагаемое в правой части (12.163). Поэтому на рассматриваемом интервале времени следует так выбрать управление, чтобы минимизировать второе слагаемое в правой части (12.163) при выполнении условий
(12.164) На основании принципа оптимальности перепишем (12.163) следующим образом
(12.165) На интервале должно быть выбрано так, чтобы минимизировать правую часть (12.165). От этого выбора зависят оба слагаемых правой части. Заменим на малом интервале матричную функцию хи функцию ох) их фиксированными значениями в точке t, а производную отношением конечных разностей
. Тогда вместо (12.165) можно записать приближенно
(12.166) Кроме того, имеем

(12.167) На основании (12.166) и (12.167) можно найти приближенное значение
. Для конечного момента времени Т и любых следует, что
. Поэтому вычисление удобно начинать с конца, тес момента времени Т и области G
T
. На первом шаге расчета рассматривается момент времени вследствие краевого условия принадлежит множеству т. Подставляя в (12.166) и (12.167) значение и учитывая, что
, имеем
(12.168) Далее фиксируется произвольное значение
. Минимум правой части первого равенства (12.168) вычисляется по тем значениям из множества U, для которых точка
, определяемая вторым равенством (12.168), соответствует значению
. Если для какой-либо точки таких значений не существует, то функция не определена в точке х. Таким образом, по значению функции можно приближенно определить значения функции на некотором подмножестве Х из X. Так как на интервале управление принято постоянными равным
, то одновременно с нахождением функции приближенно найдено управление
, которое реализует эту функцию. ' На втором шаге рассматривается момент времени
. Из (12.166) и (12.167) можно получить
(12.169) Далее фиксируется произвольная точка
. Минимум правой части (12.169) вычисляется по тем значениям
, для которых точка
, определяемая вторым равенством (12.169), принадлежит подмножеству Х. Находится значение функции на некотором подмножестве Х из Х. На интервале управление принимается постоянными равным значению
, реализующим
. На интервале управление, как функция
, было определено после первого шага. Так как связано с вторым равенством (12.169), то после двух шагов оказывается определенным управление на интервале времени
. Это будет кусочно-постоянная функция с интервалами постоянства, равными Последующие шаги рассчитываются аналогично. Если весь интервал управления Т разбит на m шагов, то после го шага определяется функция на подмножестве Х из X и управление u (0, х, как кусочно-постоянная функция с интервалами постоянства . Если начальная точках а принадлежит подмножеству Х, для которого определена функция
, то, положив ха, получаем
— минимум функционала (12.161) исходной задачи управления и
— оптимальное управление. Подставляя затем оптимальное управление вили) и решая систему исходных дифференциальных уравнений, можно определить оптимальную траекторию движения Если хане принадлежит подмножеству Х, то задача не имеет решения. Надо учитывать при этом, что вся задача решалась приближенно, в том числе найдено было приближенно и подмножество Х. При использовании динамического программирования число шагов должно быть достаточно большим, чтобы получить приемлемую точность решения. В результате большой трудоемкости использование этого метода оказывается невозможным без применения вычислительных машин.

Серьезным недостатком метода является то, что с ростом размерности задачи (порядка n дифференциального уравнения) весьма серьезно возрастают требования к быстродействию и объему памяти вычислительных машин. Действительно, нам шаге вычисляется функция
, зависящая от переменных и определенная на множестве Х. Ее надо хранить в памяти машины до тех пор, пока не будет вычислена функция
. Это значит, что в памяти машины должна храниться таблица, в которой записаны значения для различных точек из Х. Этих точек оказывается много, так как таблица должна достаточно точно и равномерно определять функцию
. Кроме того, в памяти машины приходится запоминать кусочно-постоянную в общем случае мерную функцию управления
, зависящую от х, . . ., хи вычисленную при значениях аргумента т с интервалом . В сложных системах объем вычислительных операций при реализации приближенного решения задачи динамического программирования оказывается непосильным даже для самых крупных и быстродействующих современных вычислительных машин. Уравнение Беллмана. Введем предположение, что функция имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам
. Тогда в равенстве (12.166) функцию можно представить следующим образом
(12.170) Здесь
— величина более высокого порядка малости, чем
Входящие в правую часть (12.170) производные удовлетворяют (12.156). Поэтому
(12.171) Подставим (12.171) в (12.166). Функция не зависит от управления u(t) в момент t. Поэтому ее можно вынести за знак минимума. Деля полученное равенство на и переходя к пределу при
, имеем Уравнение (12.172) и представляет собой уравнение Беллмана с краевым условием
. Сумма первых двух членов (12.172) есть полная производная функции повремени. Поэтому уравнение Беллмана можно записать в другом виде
(12.174) Требование непрерывной дифференцируемости функции является весьма жесткими во многих задачах не выполняется. В. Г. Болтянский показал [18], что можно ослабить требования к функции
. В ней допускаются разрывы частных производных на некотором множестве точек. Заметим, что если функции
, не зависят явно от времени, то решение уравнения
(12.174) — функция и оптимальное управление u, которое реализует минимум в (12.174), тоже не зависит явно от времени, те. их, однако в общем случае Аналитическое нахождение функции т|з в явной форме удается только в некоторых частных случаях. Один из таких случаев рассмотрен в следующем параграфе.

§ 12.10. Аналитическое конструирование регуляторов Так называемая задача аналитического конструирования регуляторов была сформулирована и решена А. М. Летовым [77]. Эта задача развивалась также в работах А. А. Красовского [60] и Н. Н. Красовского [62, 63]. Скалярное управление. Пусть имеется стационарный объект, уравнения которого для фазовых координат, записанные в матричной форме, имеют вид
(12.175) Здесь
— матрица-столбец фазовых координат,
— квадратная матрица коэффициентов,
— матрица-столбец коэффициентов, u — скаляр. Требуется определить оптимальное управление
, минимизирующее функционал качества
(12.176) Задача управления заключается в переводе системы изначального состояния в конечное
. Из формулировки задачи следует, что система должна быть при этом асимптотически устойчива. В рассматриваемом случае уравнение Беллмана (12.172) имеет вид
(12.177) Оказывается, что функция , входящая в (12.177), является функцией Ляпунова, а функция
V в функционале (12.176) — ее полной производной, те. чем решается вопрос об устойчивости синтезируемой системы (см. ниже § 17.2). Так как на управление u ограничения не накладываются и а > 0, то минимум в (12.177) достигается в точке, где обращается в нуль производная поте. при Это — нелинейное уравнение в частных производных относительно функции . Будем искать решение этого уравнения в виде квадратичной формы от фазовых координат
(12.180) Здесь
— квадратная матрица коэффициентов, удовлетворяющая критерию
Сильвестра
(12.181) причем матрица может быть принята симметричной, те- Функция (12.180) удовлетворяет граничному условию, так как при х i
= 0 (i = 1,..., n) имеем Дифференцируя (12.180), имеем Подставляя полученные выражения в (12.179), приходим к уравнению вида

(12.182) В левой части (12.182) находится квадратичная форма переменных х
1
,...,х n
- Она будет тождественно равна нулю при равенстве нулю всех ее коэффициентов
(12.183) В результате получена система из 0,5n(n+1) алгебраических уравнений, содержащих такое же количество неизвестных
(при учете равенства коэффициентов
) После нахождения неизвестных коэффициентов -угь из (12.178) можно определить оптимальное управление
(12.184) Аналогичный результат может быть получен при использовании классических методов вариационного исчисления (§ 12.8). Решение обратной задачи. В полученных формулах для оптимального управления конструктору -необходимо формировать управление в функции всех фазовых координат, так как в (12.184) все коэффициенты Если конструктор может использовать ограниченное число фазовых координат, то часть коэффициентов d k
в (12.184) должна быть тождественно равна нулю. В этом случае для формирования оптимального управления можно воспользоваться решением обратной задачи и отыскать допустимую форму функционала качества при неполном управлении. Для этого функционал качества (12.176) представим в измененном виде
(12.185) Минимизация функционала I
1
вместо I не меняет задачи. Будем считать отличные от нуля коэффициенты d k
известными числами, а коэффициенты l i
— неизвестными. Тогда совокупность уравнений (12.183) может быть представлена в виде
(12.186) Эта система содержит 0,5n (n+1) неизвестных коэффициентов и n неизвестных коэффициентов функционала I
1
. Добавляя к уравнениям (12.186) n уравнений из (12.184)
(12.187) получим систему уравнений, которая в принципе может быть разрешена относительно искомых неизвестных. Если система уравнений (12.186) и (12.187) имеет решение, при котором коэффициенты удовлетворяют критерию Сильвестра (12.181), а коэффициенты функционала

l
k
>0, то задача аналитического конструирования при заданном неполном управлении имеет смысл. Так как коэффициенты функционала получаются в виде l k
= 1
k
(d1; ... . . ., dn), то найденный ответ дает и решение прямой задачи. Варьируя коэффициенты управления d k
в пределах, допускаемых условиями Сильвестра и условиями
, можно выбрать подходящий критерий качества и оптимальное управление. Методика обратного решения аналитического конструирования может оказаться полезной и при возможности использования полного управления (в функции всех фазовых координат. Это объясняется тем, что система уравнений (12.186) и (12.187) оказывается линейной относительно коэффициентов и решается проще, чем система уравнений (12.183), которая нелинейна относительно искомых коэффициентов Векторное управление. В работах В. И. Зубова [46] рассматривается более общая задача, когда дан нестационарный объект, описываемый матричным уравнением
(12.188) где Аи С, (t) — квадратные матрицы коэффициентов
— матрицы-столбцы фазовых координат и управлений. Вводится квадратичный функционал вида
(12.189) где
— заданные квадратные матрицы, а
— положительно определенные квадратичные формы. Решение задачи сводится к линейному управлению вида
(12.190) Матрица Г определяется решением нелинейного матричного уравнения
(12.191) Для стационарных объектов матрицы А к Сне зависят от времени и уравнение (12.191) принимает вид
(12.192) В большинстве случаев результаты, полученные при аналитическом конструировании регуляторов, не могут быть реализованы точно вследствие необходимости использовать для управления все фазовые координаты. Поэтому приходится говорить лишь о приближенной реализации полученных условий оптимальности. Другие подходы к проблеме аналитического конструирования регуляторов содержатся в работах [46, 60, 62, 77, 133].

РАЗДЕЛ III ОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ГЛАВА 13
СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 13.1. Основные понятия Линейными системами с переменными параметрами называются системы, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями временными во времени коэффициентами
(13.1) Коэффициенты а, . . ., аи являются функциями времени, которые задаются либо графиками, построенными на основании эксперимента, либо аналитически. Переменные коэффициенты в уравнении системы автоматического регулирования
(13.1) возникают вследствие наличия переменных коэффициентов хотя бы водном звене системы. Так, например, у подвижного объекта (корабля, самолета, ракеты) стечением времени вследствие выгорания топлива происходит изменение массы и моментов инерции. Если объект при своем движении меняет скорость и высоту, то возможно изменение его аэродинамических коэффициентов. Рассмотрим переходную функцию и функцию веса системы с переменными параметрами. Так как коэффициенты уравнения (13.1) меняются стечением времени, то эти функции будут зависеть от момента приложения единичного скачка или единичного импульса на входе. На риса изображен график изменения одного из коэффициентов уравнения
(13.1) и переходная функция
(13.2) где t — текущее время, отсчитываемое от некоторого момента, соответствующего, например, включению системы регулирования или началу изменения переменных параметров
ϑ — время, соответствующее поступлению на вход единичной ступенчатой функции
τ — текущее время, отсчитываемое от момента приложения ступенчатой функции.

Если теперь на вход подать единичную импульсную функцию, которую можно представить как предел отношения то процесс на выходе, те. функцию веса, в силу принципа суперпозиции можно представить в виде разности двух смещенных на переходных функций с измененным враз масштабом Правая часть этого выражения представляет собой производную от переходной функции по аргументу , взятую с обратным знаком. Таким образом, для функции веса получаем рис. 13.1, б)
(13.3) Как следует из (13.3), функция веса является функцией двух переменных времени
ϑ , соответствующего моменту поступления на вход системы единичного импульса, и текущего времени t (или
ϑ
τ
−
=