Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
Пример 4. Пусть в той же следящей системе требуется учесть влияние зазора в механической передаче между двигателем и управляемым объектом (схематически он показан на рис. 16.20) при линейной характеристике двигателя и при линейном трении. В колебательных процессах, которые здесь рассматриваются, зависимость между углами поворота β (после зазора) и b (до зазора) будет иметь нелинейный вид, показанный на рис. 16.20, б, где b— половина ширины зазора. Кроме этой нелинейной зависимости здесь присутствует вторая нелинейность (16.54). Полагая, что момент инерции управляемого объекта J1 велик по сравнению с приведенным моментом инерции двигателя, будем считать в уравнении (16.54) Т = 0. Первая нелинейность (рис. 16.20, б) после гармонической линеаризации при β 1=a sinwt согласно формуле (18.30) принимает вид (18.93) где аи а) определяются по формулам (18.27), в которых надо считать k = 1 (так как характеристика рис. 16.20, б имеет наклоне, а именно (18.94) причем (18.95) Вторую нелинейность (16.54) запишем в виде р, р) = k 1 i я. Она подвергается гармонической линеаризации по формулам (18.11) также при β = а sinwt. Зависимость между углами β 1 и β показана на рис. 18.18. При этом из нижнего графика и из формул (16.54) видно, что при и (учитывая, что T1 = 0) при Условие отсутствия постоянной составляющей здесь выполняется, а третья из формул (18.11) принимает вид аналогично определяется и q2 (a,w). Произведя интегрирование и сравнив результаты с выражениями (18.94), получаем где' (а) тоже, что в формулах (18.94). В результате вместо нелинейного уравнения (16.54) при Т имеем (18.96) где причем q' аи те же, что ив) и (18.95). На риса изображены графики для величин коэффициентов а, а, а) На основании (18.93), (18.96) и линейной части (16.53) приходим к характеристическому уравнению Следовательно, после подстановки р = jw получим Для исследования влияния параметра k на собственные колебания данной системы выразим величину k из каждого уравнения по отдельности (18.97) (18,98) Задаваясь разными значениями а = а п, для каждого из них по этим уравнениям строим две кривые k(w) (рис. 18.19, б. Точка их пересечения дает соответствующие значения а пи. В результате можно построить графики (рис. 18.19, в и г) зависимостей амплитуды а пи частоты w п периодического решения от параметра k (каждое построение на рис. 18.19, б дает по одной точке на каждом из графиков рис. 18.19, в и г. При а = ∞ , как видно из риса, имеем а) = аи а) = 0. Поэтому из выражений X (w пи У (w п) = 0 находим причем вдоль кривой на рис. 18.19, в частота w п изменяется в интервале 0< w п (w п ) гр Пример 5. Пусть имеется релейная система регулирования температуры (рис. 1.35), описываемая согласно § 16.1 уравнениями (с дополнительным учетом постоянной времени привода Т где х — ток в диагонали моста (управляющей обмотке реле, ах характеристика реле, изображенная на риса. В следующем примере произведем также учет не гистерезисного, а временного запаздывания реле. Гармоническая линеаризация характеристики реле риса согласно формулами) дает где (18.99) На основании написанных уравнений получаем следующее характеристическое уравнение данной замкнутой системы где Отсюда после подстановки р = jw получаем выражения (18.100) Исследуем влияние параметра k на устойчивость и автоколебания данной системы. Из (18.100) имеем (18.101) откуда после, подстановки (18.99) находим (18.102) где Тогда из второго уравнения (18.100) с учетом (18.99) получаем На основании формул (18.102) и (18.103) можно построить графики для амплитуды а п в зависимости от параметра k по точкам, соответствующим различным значениям частоты п, как это делалось в предыдущих примерах. При этом, исходя из положительности k, согласно (18.103) нужно задавать значения w п в интервале (18.104) Рассмотрим частные случаи. Пусть реле имеет характеристику вида рис. 18.20, б, где b1 = b2 = b. Для этого случая из (18.99) получаем (18.105) Поэтому второе из уравнений (18.100) дает постоянное значение частоты периодического решения (18.106) Подставляя его в первое уравнение (18 100), с учетом (18.105) находим (18.107) Здесь b= ∞ в двух случаях а пи а п = ∞ . Найдем k min из условия равенства нулю производной k по а п (18.108) при 2 b a п = Соответствующий график зависимости амплитуды а пот параметра k изображен на риса. В этом частном случае релейной характеристики (рис. 18.20, б) для исследования устойчивости воспользуемся критерием (18.63), для которого предварительно находим Следовательно, нижняя ветвь кривой на риса соответствует неустойчивому периодическому решению, а верхняя — устойчивому (автоколебания. Пусть в другом частном случае характеристика реле имеет идеальный вид (рис. 18.20, в, те. b1 = b2 = b = 0. Здесь получается прежнее постоянное значение w пи согласно (18.107) — прямолинейная зависимость (18.109) Далее, в третьем гистерезисная (рис. 18.20, г, те. изображенная на рис. 18.21, б. Здесь возможен только автоколебательный процесс область устойчивости равновесного состояния, имевшаяся на риса, пропадает. Как видим, зона нечувствительности имеет стабилизирующее значение для релейной системы автоматического регулирования, причем ширина области согласно (18.108) пропорциональна ширине зоны нечувствительности 2b. Сравнение данного решения, учитывающего инерционность регулятора Т, с решением без учета Т показывает принципиальную важность учета этого фактора. Например, для характеристики вида рис. 18.20, в без учета Т получится только устойчивость (а п) при любых числовых значениях параметров (что нереально, ас учетом Т — только автоколебания (рис. 18.21, б. Для характеристики вида рис. 18.20, б вместо неограниченной области устойчивости без учета Т) получается ограниченная и возникает еще область автоколебаний с большой амплитудой при одновременном существовании устойчивости в малом риса. Далее в третьем частном случае, когда характеристика реле чисто гистерезисная (18.110) При этом из (18.102) находим (18.111) а из (18.103) (18.112) По этим формулам построены кривые на рис. 18.21, в ж г, определяющие амплитуду и частоту периодического решения в зависимости от величины параметра k. Устойчивость периодического решения определим здесь по методу осреднения периодических коэффициентов. Для вычисления коэффициента а) согласно (18.60) нужно знать производную от U по х, которая, однако, обращается в бесконечность при х = b, когда рх>0, и при х = -b, когда рх <0. Чтобы избежать этого, заменим заданную характеристику (рис. 18.20, г) новой (риса, из которой заданная получается предельным переходом → h 0 (другой способ, с дельта-функцией, см. в § 18.5, рис. 18.37). Для характеристики на риса при изменении величины х по закону ха рис. 18.22, б) производная dt U ∂ принимает значения, показанные на рис. 18.22, в, где (18.113) Осредненное ее значение (18.60) согласно рис. 18.22, в с предельным переходом к заданной характеристике ( → h 0) будет Обозначив ψ ψ ψ ∆ + = 1 2 и взяв производные от числителя и знаменателя по ψ ∆ , получим (18.114) Итак, для исследования устойчивости получаем следующее характеристическое уравнение (18.115) Условие устойчивости периодического решения, следовательно, по критерию Гурвица будет Подставив сюда а) из (18.114) и значения пи из (18.111) и (18.112), убедимся, что оно выполняется. Следовательно, в системе будут устойчивые автоколебаниях а п п, амплитуда и частота которых определяются графиками рис. 18.21, в и г или формулами (18.111), (18.112). Пример 6. Пусть в той же системе характеристика реле имеет простейший вид рис. 18.20, в, но имеется постоянное повремени запаздывание т. Тогда согласно (18.110), где b = 0, уравнение нелинейного звена будет В результате получим характеристическое уравнение системы Подстановка р = jw с учетом выражения w j w e w j τ τ τ sin cos − = − даст два уравнения из которых находим два соотношения Первое из них определяет частоту (решается графически, а второе — амплитуду автоколебаний в зависимости от коэффициента усиления регулятора k и от других параметров системы. Заметим, что во всех случаях, рассмотренных в примере 5 ив данном примере релейной системы, через а п обозначалась амплитуда автоколебаний величины х. Амплитуда же автоколебаний а регулируемой величины θ (температуры) будет Пример 7. Рассмотрим систему автоматического регулирования приводом регулирующего органа в виде двухфазного двигателя переменного тока. Характеристика этого двигателя для разных значений управляющего напряжения U имеет вид, представленный на риса. Линеаризуя характеристики, обычно считают (18.116) Но это справедливо в первом приближении только для левого участка характеристики. Если же используется большая часть характеристики, то необходимо учесть ее нелинейность. Имея ввиду, что на риса с увеличением w дв коэффициента уменьшается, а коэффициент с увеличивается, примем для описания этой характеристики вместо (18.116) следующее нелинейное выражение (18.117) абсолютные значения w дв в коэффициентах поставлены потому, что w дв меняет знака сами коэффициенты должны оставаться положительными числами. Аналогично можно подбирать и любой другой более подходящий нелинейный закон для описания характеристик двигателя. Введем для дальнейшего обозначение (18.118) Тогда дифференциальное уравнение двигателя где J - момент инерции всех вращаемых двигателем масс, приведенных к валу двигателя, можно записать в виде (18.119) Здесь имеем три нелинейные функции Гармоническая их линеаризация по правилам § 18.1 дает Подставляя это в (18.119), получаем следующее уравнение двухфазного двигателя (для колебательных процессов (18.120) вместо обычного линейного (T 3 p+1)x=k 3 U, где (18.121) Здесь а обозначает амплитуду колебаний угловой скорости двигателях дв Далее, скорость перемещения регулирующего органа р с учетом передаточного числа редуктора и с обозначением (18.118) будет (18.122) Уравнение регулируемого объекта и уравнение чувствительного элемента регулятора возьмем соответственно в виде (18.123) где ϕ — отклонение регулируемой величины. Характеристическое уравнение всей замкнутой системы будет (18.124) где После подстановки р =jw получаем (18.125) Рассмотрим при этом влияние параметра k (общего коэффициента усиления регулятора. Второе из уравнений (18.125) дает (18.126) Из (18.121) видно, что b2 >b1. Поэтому полученная формула дает зависимость амплитуды а п от частоты w п искомого периодического решения в виде графика, показанного на рис. 18.23, б, где (18.127) Далее, первое из выражений (18.125) при w = w пи а а пс использованием второго приводит к формуле для параметра k, влияние которого рассматривается (18.128) По этой формуле, используя предыдущие результаты, получаем график зависимости амплитуды автоколебаний а пот величины параметра k, показанный на рис. 18.23, в. , § 18.4. Нелинейные системы второго класса Нелинейные системы второго класса — это системы с несколькими нелинейными звеньями или же с одним нелинейным звеном, когда под знаки нелинейных функций входят две или более переменных, связанных между собой линейными передаточными функциями или нелинейными уравнениями. Обычный прием приближенного решения, излагаемый ниже в примерах 1—3, справедлив при соблюдении условия фильтра, оговоренного в §18.2, для всех передаточных функций, связывающих указанные переменные. Если это условие не соблюдается, применяется специальный прием решения, изложенный ниже в примере 4. Пример 1 . В предыдущем параграфе рассматривалось влияние нелинейности привода, а затем влияние квадратичного трения по отдельности. Рассмотрим теперь совместное действие нелинейности привода и квадратичного трения. Момент трения при этом описывается нелинейным членом х, как в уравнении (18.90), или, что тоже самое, графиком на риса. Нелинейный привод пусть имеет характеристику типа насыщения (рис. 18.24,6). Тогда уравнение двигателя и управляемого объекта вместо (18.90) примет вид (18.129) где F1 (i Я )=М вр и определяется графиком рис. 18.24, б. В данном случае получается нелинейная система второго класса. Приближенно полагаем, что при автоколебаниях (18.130) где Аи В (w) — модуль и аргумент амплитудно-фазовой характеристики линейной части, получаемой из уравнения (18.67), которое согласно (18.129) надо умножить нар. В результате получим Отсюда (18.131) что изображено графически на рис. 18.24, в. Поскольку в уравнение (18.129) переменные х = р и Я входят раздельно, то и гармоническую линеаризацию можно производить для каждой из них отдельно. К нелинейности в левой части уравнения (18.129) применяем формулы из прежнего примера 3 (с квадратичным трением, а к нелинейности в правой части — формулы (18.65) ив которых, в соответствии с (18.130), вместо а подставляем Аа. В результате нелинейное уравнение (18.129) принимает вид (18.132) где (18.133) причем А (w) определяется формулой (18.131) или графиком рис. 18.24, в. Из уравнений (18.132) и (16.53) получаем гармонически линеаризованное характеристическое уравнение замкнутой системы в виде Следовательно, после подстановки p=jw, находим откуда получаем (18.134) Из первого уравнения легко определяются всевозможные значения амплитуды a пи частоты w п следующим образом. Задаемся каким-нибудь значением w п. Из графика на рис. 18.24, в находим для него величину А п. По формуле (18.133) строим кривую а, а п, показанную на рис. 18.24, г. Обозначим далее правую часть первого из уравнений (18.134) через 2 (при переменной а вместо а пи проведем согласно этой формуле на том же рис. 18.24, г прямую а, w п. В точках пересечения получаем искомые значения амплитуды а па также и значения а п п. После этого по второй из формул (18.134) подсчитаем величину параметра b. Проделав такую же операцию для различных значений w пи получая каждый раза пи, сможем построить и здесь графики, подобные тем, которые получались в предыдущих примерах. Амплитуда колебаний угла β будет п п w a a / = β должно быть 3 1 2 1 T T w п > Пример 2. Пусть в системе, функциональная блок-схема которой изображена на рис. 18.25, регулируемый объект описывается уравнением (18.135) измеритель 1 — нелинейный (рис. 18.26) — (18.136) измеритель 2 — линейный — (18.137) Составим теперь характеристическое уравнение всей замкнутой системы в гармонически линеаризованном виде. Согласно (18.135) — (18.140) получаем (18,138) Пренебрегая произведениями постоянных времени при высших степенях р по сравнению сих суммой, что вполне допустимо при рассмотрении низкочастотных автоколебаний которые здесь и будут, иметь место, запишем характеристическое уравнение в виде Подстановка р =jw дает Подставив значение k 0 q 2 q 1 из первого уравнения во второе, поделенное на w, получим пренебрегая снова произведением T 1 T 2 w 2 по сравнению с единицей) (18-145) Подставив это в первое уравнение (Хи пренебрегая опять-таки произведением Т 1 (Т 1 +Т 3 )w 2 по сравнению с единицей, найдем (18.146) Последнее уравнение легко решается графически. Изобразим графика) согласно формуле (18.141). На риса это показано сплошной кривой. Пунктирная кривая показывает продолжение его при а >b 2 . Путь графического решения уравнения (18.146) показан сплошными стрелками. Этим определяется искомая амплитуда автоколебаний а п регулируемой величины х. Пунктирные стрелки дают второе решение а п (неустойчивое. Для определения частоты автоколебаний воспользуемся уравнением (18.145). Для этого сначала из формулы (18.144) найдем зависимость а) при заданном значении (18.146), что после пренебрежения прежними малыми членами дает (18.147) где значение а п берется из графика риса. Имея выражение для q 2 (а) одно из (18.142)], подставим в него полученное а (w). Это позволяет построить график q (w) (сплошная кривая на рис. 18.28, б. На тот же график наносим правую часть уравнения (18.145) (пунктирная кривая на рис. 18.28, б. Точка пересечения этих двух кривых дает искомое значение частоты автоколебаний w п как решение уравнения (18.145). После этого становится известной и амплитуда автоколебаний а 3п на входе усилителя-преобразователя, вычисляемая по формуле (18.147) при найденном значении w = w п Пример 3. Рассмотрим систему, в которой нелинейным звеном является логическое устройство (рис. 16.25) с простейшим законом формирования сигнала управления (рис. 16.26). Уравнения системы заданы в виде (16.66) - (16.69). 1 Установившийся режим в такой системе будет автоколебательным. Искать его будем приближенно в синусоидальной форме (18.148) так как свойство фильтра в данной системе соблюдается. Тогда величины u и v будут где (18.149) (18.150) В результате процесс изменения u ив установившемся режиме будет иметь приблизительно вид некоторого эллипса (рис. 18.29, пунктир. Поэтому включение сигнала Ф в логическом устройстве приданной логике будет происходить от величины иприте. в точках Аи С)г а выключение — от величины v (прите. в точках D и В рис. 18.29). Этот процесс во времени ( wt = ψ ) изображен на рис. 18.30. Точки включения и выключения определяются на оси абсцисс величинами ψ 1 и ψ 2 причем Отсюда аналогично ψ 2 выражается через γ ). Учитывая, что согласно (18.149) аналогично γ выражается через T 2 w), находим (18.151) (18.152) Теперь по правилам § 18.1 легко записать результат гармонической линеаризации нелинейной логической функции (18.153) где (18.154) Найденные значения q и q' согласно (18.151) и (18.152) являются вполне определенными функциями искомых величина и w (амплитуды и частоты автоколебаний переменной х. Характеристическое уравнение рассматриваемой системы в целом после указанной гармонической линеаризации нелинейности, согласно (16.66) — (16.69) и (18.153), принимает вид (18.155) Для отыскания синусоидального периодического решения подставляем р = jw. Получаем вещественную и мнимую части соответственно Отсюда (18.156) (18.157) Эти два уравнения с двумя неизвестными аи решаются графически. Для этого по формулам (18.154) с учетом (18.151) и (18.152) строятся графики q(w) и q' (w) при разных значениях а = а, а, а, . . . (риса. Затем на первом из них наносится кривая 7, определяемая правой частью уравнения (18.156), а на втором — кривая (18.157). Решение определится точками пересечения, для которых значения а = а пи п одинаковы на обоих графиках. Найденные значения а пи п будут искомыми амплитудой и частотой автоколебаний, определяемых приближенно в виде ха п sinw п. Полученные конкретные числовые значения а = а пи п соответствуют всем заданным параметрам объекта и системы управления. Если изменить параметры системы, изменятся также а пи п. На том же графике можно проследить влияние изменения параметров системы, для чего 'нужно менять коэффициенты правых частей (18.156) и (18.157) при построении пунктирных кривых 1,1’ на риса. Изложенное выше решение удобно, если все параметры системы заданы. Для изучения же зависимости аи от параметров системы (те. для выбора параметров) целесообразнее применить другой путь решения задачи. Допустим, необходимо выбрать общий коэффициент усиления с учетом влияния различных возможных значений постоянной T4. Тогда, исключая о из уравнений (18.156) и (18.157), находим а затем Задаваясь теперь различными значениями аи и вычисляя каждый разно этим формулами, получим сетку линий равных значений w (w1, w2, . . .) и а (а, а, . . .), показанных на рис. 18.31, б. По этой диаграмме удобно выбирать значения параметров k 0 k 3 k 4 и Т для получения желаемых аи. Кроме того, важными параметрами являются k1, k2 и особенно u 1 и v 1 (см. рис. 18.29). Но они входят в выражения q и q'. Поэтому для определения их влияния нужно построить графики q и q' для разных значений указанных параметров, а затем, задаваясь значениями аи и используя соотношения (18.156) и (18.157), по потребным значениями' определять эти параметры (u1, v1, k1 или k2). При этом нужно учитывать, что из требования вещественности выражений (18.151) и (18.152) следует выбирать Пример 4. Рассмотрим систему автоматического регулирования с двумя нелинейностями в случае, когда их гармоническая линеаризация по отдельности невозможна вследствие отсутствия свойства фильтра у звена, стоящего между ними (рис. .18.32). Представим весь блок, включающий обе нелинейности, изображенный отдельно на рис. 18.33, как одно нелинейное звено. По отношению к нему система обладает свойством фильтра. Следовательно, автоколебания в системе можно искать приближенно в виде Система уравнений, описывающих работу всей системы, имеет вид (18.158) Чтобы найти передаточную функцию нового нелинейного блока (рис. 18.33), определим его выходной сигнал x2 (t) при входном сигнале ха. Это представлено на рис. 18.34. Отсюда видно, что выходной сигнал х представляет собой ограниченные на уровне b треугольные колебания, отстающие по фазе от входного сигнала на угол |