практические задания. Практические задания с вариантами для самостоятельного решения. Кривые на плоскости и в пространстве Пусть задана кривая на плоскости
 Скачать 232.28 Kb.
|
|
X. 21 ВАРИАНТ 12 Задача 1. Найдите эволюту кривой, заданной в полярных кординатах r = ? 2 + cos ? + sin ?. Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой x = 3ch t + 4sh t, y = 5t, z = ch t ? 3sh t. Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности 2x 2 + 4xy ? y 2 + 3z 2 = 12. Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения. Задача 4*. 1) Пусть на гладкой поверхности в двух точках прижимается и натягивается нерастяжимая нить. В результате нить займет положение на поверхности вдоль некоторой кривой. Докажите, что эта кривая геодезиче- ская. 2) Пусть по гладкой поверхности без трения передвигается материальная точка. В начальный момент времени точка имеет некоторую скорость и про- должает движение по инерции. Никакие внешние силы на точку не действуют (можно это представлять себе как движение маленького магнита по гладкой железной поверхности). Докажите, линия движения точки геодезическая. Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1 из [3]). Задача 6. В плоскости Лобачевского с метрикой ds 2 = du 2 + dv 2 v 2 найдите ковариантную производную ? X T тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ? X S и ? X R (задача 2 из [3]). Задача 7. Найдите компоненты R l ijk и R lijk тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно. Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X. 22 ВАРИАНТ 13 Задача 1. Найдите эволюту кривой, заданной в полярных кординатах r = ? 2 + cos ? + sin ?. Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой x = e t (5 cos t ? 12t), y = 13e t sin t, z = e t (12 cos t + 5t). Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности 2x 2 + 4xy ? y 2 ? 2z 2 = 12. Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения. Задача 4*. Метрика пространства-времени в окрестности точечной массы имеет вид ds 2 = ? ? 1 ? dt 2 ? ? ? ? 1 d? 2 ? ? 2 (d? 2 + cos 2 ?d? 2 ). Составить уравнение пространственно-временной траектории (геодезической с ds 2 > 0 ), лежащей в плоскости ? = 0; решить его для случая круговой орбиты (? = const). При каких ? круговая орбита возможна? Каков период обращения (по времени t и по собственному времени s спутника)? За единицу длины взят гравитационный радиус; единица времени выбрана так, чтобы скорость света c = 1. Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1 из [3]). Задача 6. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формой ds 2 = du 2 + cos 2 u dv 2 найдите ковариантную производную ? X T тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ? X S и ? X R (задача 3 из [3]). Задача 7. Найдите компоненты R l ijk и R lijk тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно. Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X. 23 ВАРИАНТ 14 Задача 1. Найдите эволюту кривой, заданной в полярных кординатах r = a(1 + sin ?). Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой x = 7ch t + 24 sh t, y = 25t, z = 24ch t ? 7sh t. Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности 2x 2 + 4xy ? y 2 ? 3z 2 = 12. Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения. Задача 4*. Вычислите гауссову кривизну поверхности с первой квадратич- ной формой ds 2 = du 2 + 2 cos ? du dv + dv 2 . Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1 из [3]). Задача 6. В плоскости Лобачевского с метрикой ds 2 = du 2 + dv 2 v 2 найдите ковариантную производную ? X T тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ? X S и ? X R (задача 2 из [3]). Задача 7. Найдите компоненты R l ijk и R lijk тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно. Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X. 24 ВАРИАНТ 15 Задача 1. Найдите эволюту кривой, заданной в полярных кординатах r = a(1 + cos ?). Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой x = e t (4 cos t + 3 sin t), y = 5e t , z = e t (3 cos t ? 4 sin t). Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности 2x 2 + 4xy ? y 2 + 24z = 12. Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения. Задача 4*. Докажите, что если первая квадратичная форма имеет вид ds 2 = ?(du 2 + dv 2 ), то гауссова кривизна поверхности K = ? 1 2? ?ln ?. где ? оператор Лапласа. Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1 из [3]). Задача 6. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формой ds 2 = du 2 + cos 2 u dv 2 найдите ковариантную производную ? X T тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ? X S и ? X R (задача 3 из [3]). Задача 7. Найдите компоненты R l ijk и R lijk тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно. Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X. 25 ВАРИАНТ 16 Задача 1. Найдите эволюту гиперболы xy = a 2 . Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой x = 7ch t + 24t, y = 25sh t, z = 24ch t ? 7 t. Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности 2x 2 + 4xy ? y 2 + z 2 = 12. Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения. Задача 4*. Докажите, что если если координатная сеть на поверхности состоит из линий кривизны, то уравненния ПетерсонаКодацци принимают вид L v = HE v , N u = HG u , где H средняя кривизна поверхности. Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1 из [3]). Задача 6. В плоскости Лобачевского с метрикой ds 2 = du 2 + dv 2 v 2 найдите ковариантную производную ? X T тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ? X S и ? X R (задача 2 из [3]). Задача 7. Найдите компоненты R l ijk и R lijk тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно. Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X. Список литературы [1] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия, Наука, М., 1979. [2] Ю. И. Димитриенко, Тензорное исчисление, Высшая школа, М., 2001. [3] А. Н. Щетинин, Е. А. Губарева, Основы тензорного анализа, Изд-во МГТУ, М., 2012. [4] А. В. Погорелов, Лекции по дифференциальной геометрии, Изд-во Харьковского ун-та., Харьков, 1961. [5] Д. Громол, В. Клингенберг, В. Мейер, Риманова геометрия в целом, Мир, М., 1971. [6] Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике. ТТ. 1, 2, Физматлит, М., 1958. [7] Э. Р. Розендорн, Задачи по дифференциальной геометрии, Изд-во МГУ, М., 1969. |