практические задания. Практические задания с вариантами для самостоятельного решения. Кривые на плоскости и в пространстве Пусть задана кривая на плоскости
 Скачать 232.28 Kb.
|
|
џ 1. Кривые на плоскости и в пространстве Пусть задана кривая на плоскости: x = x(t), y = y(t) (a 6 t 6 b). (1.1) Ее кривизна k вычисляется по формуле k = | ?xЁy ? Ёx ?y| ( ? x 2 + ? y 2 ) 3 2 . Назовем кругом кривизны кривой в данной точке M круг, который 1) касается кривой в точке M (т. е. имеет с ней общую касательную в этой точке); 2) направлен выпуклостью вблизи точки M в ту же сторону, что и кривая; 3) имеет ту же кривизну, что и кривая в точке M. Если кривая задана уравнениями (1.1), то координаты (?, ?) центра круга кривизны выражаются формулами ? = x ? ? x 2 + ? y 2 ? xЁ y ? Ёx ?y ? y, ? = y + ? x 2 + ? y 2 ? xЁ y ? Ёx ?y ? x. (1.2) Геометрическое место центров кривизны данной кривой называется ее эво- лютой. Пример 1. Найдем эволюту парболы y = x 2 2 . По формулам (1.2) находим координаты центра кривизны: ? = ?x 3 , ? = 1 + 3 2 x 2 . ???????????? ??????? ??????? ????????? ????????? ??????? ??????? ???????????? ??????? ? ?????? ??????????? ??????????? ? ??????. ? ????? ????????? ??????? ??? ???????????????? ??????? (?? ?????????). ? ??????? ???????? ??????????? ?????? ? ?????? ?????????? ????????? (???????? ??????????). ??????????? ?????????? ?????? ??????????? ??????. ?????? ? ????? «???????????????? ?????????» ????? ? ???????? ?? ?????????? [6] ? [7] ? ???????? [4]. 2 Это и есть параметрические уравнения эволюты параболы (где x в роли пара- метра). Исключая из этих уравнений x, получаем ? 2 = 8 27 (? ? 1) 3 . Мы видим, что эволютой параболы служит полукубическая парабола (сделайте чертеж!). Пусть задана кривая в пространстве x = x(t), y = y(t), z = z(t), (a 6 t 6 b). (1.3) или в векторной форме r = r(t), (a 6 t 6 b). Кривая считается гладкой, т. е. функции x, y, z считаются дифференцируемы- ми необходимое количество раз (можно сразу считать, что это функции класса C ? ). Кривизна k и кручение ? кривой вычисляются по формулам k = |r ? Ч r ?? | |r ? | 3 , k = ( r ? , r ?? , r ??? ) |r ? Ч r ?? | 2 . (1.4) Пример 2. Вычислим кривизну и кручение кривой r(t) = (e t , ? 2t, e ?t ). Имеем r ? (t) = (e t , ? 2, ?e ?t ), r ?? (t) = (e t , ? 2, e ?t ), r ??? (t) = (e t , 0, ?e ?t ). (1.5) Отсюда по формулам (1.4) находим k = 1 2 ? 2 ch 2 t , ? = 1 2 ? 2 ch 2 t . (1.6) Введем векторы ? = r ? |r ? | , ? = r ? Ч r ?? |r ? Ч r ?? | , ? = ? Ч ?. (1.7) Они образуют в каждой точке кривой так называемый репер Френе. Вектор ? направлен по касательной, векторы ? и ? единичные векторы главной нор- мали и бинормали соответственно. Имеют место формулы Френе: ? ? ? ? ? ?? = k?, ? ? = ?k? + ??, ? ? = ??? 3 (в первой формуле считается, что k ?= 0). Пример 3. Найдем репер Френе кривой из примера 2 в точке t = 0. На основании формул (1.5) и (1.7) легко находим: ? = 1 ? 6 (1, ? 2, 1), ? = 1 4 ? 3 (2, 2 ? 2, ?6), ? = 1 2 ? 3 (2 ? 2, ?2, 0). Формулы k = k(s), ? = ?(s) где s натуральный параметр (длина дуги) называются натуральными урав- нениями кривой. Пример 4. Найдем натуральные уравнения кривой из примера 2. Имеем s = t ? 0 |r ? (u) |du = t ? 0 ? 2 + e 2u + e ?2u du = t ? 0 2 ch u = 2 sh t. Так как ch 2 t = sh 2 t + 1 , из формул (1.6) получаем натуральные уравнения k = ? = ? 2 s 2 + 4 . џ 2. Поверхности Пусть задана поверхность r = r(u, v). Касательная плоскость к поверхности в точке M проходит через эту точку параллельно векторам r u и r v . Единичный вектор нормали n = r u Ч r v |r u Ч r v | . Этот вектор определен однозначно с точностью до направления. Выбор на- правления задает ориентацию поверхности. Первой квадратичной формой поверхности называется форма ds 2 = g ij dx i dx j = Edu 2 + 2F dudv + Gdv 2 , где E = ( r u , r u ), F = ( r u , r u ), G = ( r v , r v ). Матрица первой квадратичной формы: (g ij ) = ( g 11 g 12 g 21 g 22 ) = ( E F F G ) . В частности, если поверхность задана уравнением z = z(x, y), 4 то E = 1 + z 2 x 1 + z 2 x + z 2 y , F = z x z y 1 + z 2 x + z 2 y , G = 1 + z 2 y 1 + z 2 x + z 2 y . Пример 5. Найдем первую квадратичную форму эллиптического парабо- лоида 2z = x 2 + y 2 . Имеем z x = x , z y = y , откуда ds 2 = (1 + x 2 )dx 2 + 2xy dx dy + (1 + y 2 )dy 2 . Угол ? между кривыми u = u 1 (t), v = v 1 (t) и u = u 2 (t), v = v 2 (t) в точке M, в которой кривые пересекаются, вычисляется по формуле cos ? = E ? u 1 ? u 2 + F ? u 1 ?v 2 + F ? v 1 ? u 2 + G ? v 1 ? v 2 ? E ? u 2 1 + 2F ? u 1 ?v 1 + G ?v 2 1 ? E ? u 2 2 + 2F ? u 2 ?v 2 + G ?v 2 2 . Производные берутся в той же точке. Площадь области D на поверхности вычисляется по формуле S(D) = ?? D ? ? EG ? F 2 du dv, где D ? прообраз области D на плоскости (u, v). Второй квадратичной формой поверхности называется форма Ldu 2 + 2M dudv + N dv 2 , где L = ( r uu , r u , r v ) |r u Ч r v | = x uu y uu z uu x u y u z u x v y v z v ? EG ? F 2 , M = ( r uv , r u , r v ) |r u Ч r v | = x uv y uv z uv x u y u z u x v y v z v ? EG ? F 2 , N = ( r vv , r u , r v ) |r u Ч r v | = x vv y vv z vv x u y u z u x v y v z v ? EG ? F 2 . В частности, если поверхность задана уравнением z = z(x, y), 5 то L = z xx ? 1 + z 2 x + z 2 y , M = z xy ? 1 + z 2 x + z 2 y , N = z yy ? 1 + z 2 x + z 2 y . Пример 6. Найдем вторую квадратичную форму эллиптического парабо- лоида 2z = x 2 + y 2 . Имеем z x = x, z y = y, z xx = 1, z xy = 0, z yy = 1, откуда получаем выражение для второй квадратичной формы: dx 2 + dy 2 ? 1 + x 2 + y 2 . Нормальным сечением поверхности в точке M назывпается линия пересе- чения поверхности с произвоьной плоскостью, проходящей через нормаль ак поверхности в точке M. Пусть ? орт главной нормали некоторого нормаль- ного сечения в точке M. Кривизну такого сечения будем обозначать через k n , считая, что k n > 0 , если ? = n и k n < 0 , если ? = ?n. Можно доказать, что либо существуют два взаимно ортогнальных направления, в которых k n принимает экстремальные значения: k 1 = min k n , k 2 = max k n , либо кривизна всех нормальных сечений одинакова. В последнем случае точ- ка M назыввается омбилической. Величины k 1 и k 2 назыываются главными кривизнами поверхности в точке M. Если нормальное сечение образует угол ? с первым главным направлением, то для кривизны этого сечения имеет место формула Эйлера: k n = k 1 cos 2 ? + k 2 sin 2 ?. Прозведение главных кривизн K = k 1 k 2 называется гауссовой кривизной поверхности, их полусумма H = 1 2 (k 1 + k 2 ) средней кривизной. Имеют место формулы K = LN ? M 2 EG ? F 2 , H = EN ? 2F M + GL 2(EG ? F 2 ) . Если поверхность задана как график функции z = z(x, y), 6 то K = z xx z yy ? z 2 xy (1 + z 2 x + z 2 y ) 2 , H = 1 2 (1 + z 2 x )z xx ? 2z x z y z xy + (1 + z 2 y )z yy (1 + z 2 x + z 2 y ) 3/2 . (2.1) Точка на поверхности называется эллиптитческой, если K > 0; гиперболи- ческой, если K < 0; параболической, если K = 0, H ?= 0; точкой уплощения, если k = H = 0. Омбилические точки характеризуются условием K = H 2 . и подразделяются на точки уплощения и шаровые точки, в которых K = H 2 > 0 Поверхность называется минимальной, если во всех ее точках H = 0. Поверх- ность называется развертывающейся, если во всех ее точках K = 0. Пример 7. Найдем гауссову кривизну эллиптического параболоида 2z = x 2 + y 2 . Имеем z x = x, z y = y, z xx = z yy = 1, z xy = 0 , откуда K = 1 (1 + x 2 + y 2 ) 2 . Так как K > 0, все точки этой поверхности эллиптические. Пример 8. Найдем среднюю кривизну поверхности z = ln cos y ? ln cos x. Имеем z x = tg x z y = ?tg x, z xx = 1 cos 2 x , z xy = 0, z yy = ? 1 cos 2 y . Подставляя в (2.1), получаем H = 0. Данная поверхность минимальная. Линия на поверхности называется линией кривизны, если в каждой своей точке она имеет главное направление. Линии кривизны определяются из диф- ференциального уравнения dv 2 ?dvdu du 2 E G G L N N = 0. Оба семейства координатных линий u = const и u = const являются линиями кривизны тогда и только тогда, когда F = 0 и M = 0. Пусть (g ij ) матрица первой квадратичной формы. Рассмотрим тогда мат- рицу (g ij ) , обратную к (g ij ) : g i? g ?j = ? j i . Тогда символы Кристоффеля вычисляются по формулам ? l ik = 1 2 g lj ( ?g ij ?x k + ?g jk ?x i ? ?g ik ?x j ) ( формулы Кристоффеля). 7 Запишем те же формулы более подробно: ? ? ? ? ? ? 1 11 E + ? 2 11 F = 1 2 E u , ? 1 11 F + ? 2 11 G = F u ? 1 2 E v ; ? ? ? ? ? ? 1 11 E + ? 2 11 F = 1 2 E u , ? 1 11 F + ? 2 11 G = F u ? 1 2 E v ; ? ? ? ? ? ? 1 11 E + ? 2 11 F = 1 2 E u , ? 1 11 F + ? 2 11 G = F u ? 1 2 E v ; Если поверхность задана как график функции z = z(x, y), то символы Кристоффеля вычисляются по формулам ? ? ? ? ? ? 1 11 = z x z xx 1 + z 2 x + z 2 y , ? 1 12 = ? 1 21 = z x z xy 1 + z 2 x + z 2 y , ? 1 22 = z x z yy 1 + z 2 x + z 2 y , ? 2 11 = z y z xx 1 + z 2 x + z 2 y , ? 2 12 = ? 2 21 = z y z xy 1 + z 2 x + z 2 y , ? 2 22 = z y z yy 1 + z 2 x + z 2 y . Пример 9. Пусть поверхность представляет собой эллиптический парабо- лоид (см. пример 5) 2z = x 2 + y 2 . Вычисляем производные: z x = x, z y = y, z xx = 1, z xy = 0, z yy = 1. Значит, ? 1 11 = ? 1 22 = x 1 + x 2 + y 2 , ? 2 11 = ? 2 22 = y 1 + x 2 + y 2 , а ? 1 12 = ? 1 21 = ? 2 12 = ? 2 21 = 0 . Имеет иместо формула Гаусса K = LN ? M 2 EG ? F 2 = 1 (EG ? F 2 ) 2 E E u E v F F u F v G G u G v ? ? 1 2 ? EG ? F 2 {( E v ? F u ? EG ? F 2 ) v ? ( F v ? G u ? EG ? F 2 ) u } и формулы ПетерсонаКодацци (EG ? 2F F + GE)(L v ? M u ) ? (EN ? 2F M + GL)(E v ? F u ) + E E u L F F u M G G u N = 0, 8 (EG ? 2F F + GE)(L v ? M u ) ? (EN ? F M + GL)(F v ? G u ) + E E v L F F v M G G v N = 0, Геодезическая кривизна кривой r = r(t) на поверхности вычисляется по фор- муле k g = 1 |r ? | 3 ( r ?? , r ? , n), где n единичный вектот нормали к поверхности. Пусть r = r(u, v) и u = u(t), v = v(t) уравнения кривой в окрестности этой точки. Обозначим A = ? 1 11 ? u 2 + 2? 1 12 ? u ?v + ? 1 22 ?v 2 , B = ? 2 11 ? u 2 + 2? 2 12 ? u ?v + ? 2 22 ?v 2 . Тогда для геодезической кривизны имеем формулу k g = ? EG ? F 2 (E ? u 2 + 2F ? u ?v + G ?v 2 ) 3/2 (Ё u ?v ? Ёv ?u + A ?v ? B ?u). Кривая на поверхности называется геодезической, если в каждой ее точке геодезическая кривизна равна нулю. Уравнения геодезической u = u(t), v = v(t) причем Ё u + ? 1 11 ? u 2 + 2? 1 12 ? u ?v + ? 1 22 ?v 2 = 0, Ё v + ? 2 11 ? u 2 + 2? 2 12 ? u ?v + ? 2 22 ?v 2 = 0. Имеют место следующие утверждения. Для того, чтобы кривая была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы ее главная норималь в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпадала с нормалью к поверхности. Через каждую точку на поверхности в любом напрвлении можно провести геодезическую, причем ровно одну. џ 3. Векторные и тензорные поля См. [3]. џ 4. Тензор кривизны Текнзор типа (3, 1) с координатами R l ijk = ?? l jk ?x i ? ?? l ik ?x j + ? s jk ? l is ? ? s ik ? l js называется тензором кривизны. 9 Рассмотрим поверхность в R 3 . Всегда можно так выбрать систему коорди- нат, что в окрестности данной точки эта поверхность будет задана уравнением z = z(x, y). Для компонент тензора кривизны справедливы выражения ( R 2 211 R 2 212 R 1 121 R 1 122 ) = K · ( 1 + z 2 x z x z y z x z y 1 + z 2 y ) = K · ( g 11 g 12 g 21 g 22 ) . Здесь K гауссова кривизна. Всегда ( R 2 211 R 2 212 R 1 121 R 1 122 ) = ( ?R 2 121 ?R 2 122 ?R 1 211 ?R 1 212 ) = K · ( g 11 g 12 g 21 g 22 ) . (4.1) Остальные кооординаты равны нулю. Кроме того, R 1122 = R 2211 = K det g, R 1212 = R 2121 = ?K det g, (4.2) остальные R lijk = 0 . Здесь det g = g 11 g 22 ? g 2 12 Пример 8. Вычислим тензор кривизны эллиптического параболоида из примеров 5, 6 и 7. Вычисление по формулам (4.1) дает ( R 2 211 R 2 212 R 1 121 R 1 122 ) = ( ?R 2 121 ?R 2 122 ?R 1 211 ?R 1 212 ) = 1 (1 + x 2 + y 2 ) 2 · ( 1 + x 2 xy xy 1 + y 2 ) . Наконец, на основании (4.2) получаем R 1122 = R 2211 = ?R 1212 = ?R 2121 = 1 (1 + x 2 + y 2 ) . Поверхность может быть задана параметрически. Выражения кооординат тензора кривизны через гауcсову кривизну и коэффициенты первой квадра- тичной формы задаются теми же формулами (4.1). Согласно общему правилу ковариантного дифференцирования тензоров (см. [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ]), ковариантная производная тензора кривизны вычисляется по фор- муле ( ? m R) l ijk = ?R l ijk ?x m + ? l m? R ? ijk ? ? ? mi R l ?jk ? ? ? mj R l i?k ? ? ? mk R l ij? . 10 ВАРИАНТ 1 Задача 1. Найдите эволюту кривой x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t ? t cos t). Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой x = e t (4 cos t + 3), y = 5e t sin t, z = e t (3 cos t ? 4). Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности 5x 2 ? 4xy + 2y 2 + z 2 = 24. Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения. Задача 4*. Докажите, что если все нормали к поверхности проходят через одну точку, то поверхность есть сфера или область на сфере. Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1 из [3]). Задача 6. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формой ds 2 = du 2 + cos 2 u dv 2 найдите ковариантную производную ? X T тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ? X S и ? X R (задача 3 из [3]). Задача 7. Найдите компоненты R l ijk и R lijk тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно. Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X. |