практические задания. Практические задания с вариантами для самостоятельного решения. Кривые на плоскости и в пространстве Пусть задана кривая на плоскости

Название	Кривые на плоскости и в пространстве Пусть задана кривая на плоскости
Анкор	практические задания
Дата	21.05.2022
Размер	232.28 Kb.
Формат файла
Имя файла	Практические задания с вариантами для самостоятельного решения.pdf
Тип	Документы #542173
страница	2 из 3

1 2 3

??????? ??? ???????????????? ???????

11
ВАРИАНТ 2
Задача 1. Найдите эволюту трактрисы
x =
?a
(
ln tg
t
2
+ cos t
)
,
y = a sin t.
Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой
x = 3 ch t + 4t,
y = 5 sh t,
z = 4 ch t
? 3 t.
Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности
5x
2
? 4xy + 2y
2
+ 6z
2
= 24.
Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения.
Задача 4*. Докажите, что если все нормали к поверхности проходят через одну прямую, то поверхность есть поверхность вращения или область на такой поверхности.
Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1
из [3]).
Задача 6. В плоскости Лобачевского с метрикой
ds
2
=
du
2
+ dv
2
v
2
найдите ковариантную производную ?
X
T
тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- варниантные производные ?
X
S
и ?
X
R
(задача 2 из [3]).
Задача 7. Найдите компоненты R
l
ijk
и R
lijk
тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.
Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X.

12
ВАРИАНТ 3
Задача 1. Найдите эволюту циклоиды
x = a(t
? sin t),
y = a(1
? cos t).
Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой
x = e
t
(3 cos t
? 4),
y = 5e
t
sin t,
z = e
t
(4 cos t + 3).
Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности
5x
2
? 4xy + 2y
2
? 48z = 24.
Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения.
Задача 4*. Докажите, что поверхность с первой квадратичной формой
ds
2
=
du
2
+ dv
2
(u
2
+ v
2
+ c
2
)
2
имеет постоянную гауссову кривизну.
Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1
из [3]).
Задача 6. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формой
ds
2
= du
2
+ cos
2
u dv
2
найдите ковариантную производную ?
X
T
тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ?
X
S
и ?
X
R
(задача 3 из [3]).
Задача 7. Найдите компоненты R
l
ijk
и R
lijk
тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.
Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X.

13
ВАРИАНТ 4
Задача 1. Найдите эволюту гипоциклоиды
x = a(2 cos t + cos 2t),
y = a(2 sin t
? sin 2t).
Задача 2. На кривой
x = t
? sin t,
y = 1
? cos t,
z = sin t
найдите кривизну и кручение в произвольной точке, а также репер Френе при
t = 0
Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности
5x
2
? 4xy + 2y
2
? 6z
2
= 24.
Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения.
Задача 4*. Докажите теорему Клеро о геодезических на поверхностях вра- щения: произведение радиуса на синус угла, образуемого геодезической с мери- дианом, есть величина постоянная,
r sin ? = const.
Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1
из [3]).
Задача 6. В плоскости Лобачевского с метрикой
ds
2
=
du
2
+ dv
2
v
2
найдите ковариантную производную ?
X
T
тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ?
X
S
и ?
X
R
(задача 2 из [3]).
Задача 7. Найдите компоненты R
l
ijk
и R
lijk
тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.
Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X.

14
ВАРИАНТ 5
Задача 1. Найдите эволюту логарифимической спирали
r = e
?
.
Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой
x = 13e
t
cos t,
y = e
t
(5 sin t + 12),
z = e
t
(12 sin t
? 5).
Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности
5x
2
? 4xy + 2y
2
? z
2
= 24.
Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения.
Задача 4.* Докажите, что геодезические на поверхностях с первой квадра- тичной формой
ds
2
= (U (u) + V (v))(du
2
+ dv
2
)
(эти поверхности называются поверхностями Лиувилля) находятся в квадра- турах.
Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1
из [3]).
Задача 6. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формой
ds
2
= du
2
+ cos
2
u dv
2
найдите ковариантную производную ?
X
T
тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ?
X
S
и ?
X
R
(задача 3 из [3]).
Задача 7. Найдите компоненты R
l
ijk
и R
lijk
тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.
Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X.
Задача 5. Найдите компоненты R
l
ijk
и R
lijk
тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.

15
ВАРИАНТ 6
Задача 1. Найдите эволюту кривой
x = a[2t cos t + (t
2
? 2) sin t],
y = a[2t sin t
? (t
2
? 2) cos t].
Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой
x = 13ch t,
y = 5sh t
? 12t,
z = 12sh t + 5 t.
Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности
5x
2
? 4xy + 2y
2
? 4z
2
= 24.
Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения.
Задача 4. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1
из [3]).
Задача 5. В плоскости Лобачевского с метрикой
ds
2
=
du
2
+ dv
2
v
2
найдите ковариантную производную ?
X
T
тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ?
X
S
и ?
X
R
(задача 2 из [3]).
Задача 6*. Постройте три линейно независимых векторных поля на трех- мерной сфере S
3
Задача 7. Найдите компоненты R
l
ijk
и R
lijk
тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.
Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X.

16
ВАРИАНТ 7
Задача 1. Найдите эволюту циссоиды
y
2
(2a
? x) = x
3
.
Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой
x = 5e
t
cos t,
y = e
t
(4 sin t + 3),
z = e
t
(3 sin t
? 4).
Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности
5x
2
? 4xy + 2y
2
? z
2
+ 24 = 0.
Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения.
Задача 4*. Сеть линий на поверхности называется сетью Чебышева , если в каждом образованном ею криволинейном четырехугольнике противоположные стороны имеют одинаковые длины. Например, нити куска ткани, натянутого на поверхность, образуют на ней чебышевскую сеть.
Доказать, что если в сети Чебышева на поверхности S одно семейство нитей состоит из геодезических, то поверхность S развертывающаяся.
Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1
из [3]).
Задача 6. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формой
ds
2
= du
2
+ cos
2
u dv
2
найдите ковариантную производную ?
X
T
тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ?
X
S
и ?
X
R
(задача 3 из [3]).
Задача 7. Найдите компоненты R
l
ijk
и R
lijk
тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.
Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X.

17
ВАРИАНТ 8
Задача 1. Найдите эволюту астроиды
x = a cos
3
t,
y = a sin
3
t.
Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой
x = 5ch t + 12t,
y = 13sh t,
z = 12ch t
? 5 t.
Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности
5x
2
? 4xy + 2y
2
? 6z
2
+ 24 = 0.
Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения.
Задача 4. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1
из [3]).
Задача 5. В плоскости Лобачевского с метрикой
ds
2
=
du
2
+ dv
2
v
2
найдите ковариантную производную ?
X
T
тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ?
X
S
и ?
X
R
(задача 2 из [3]).
Задача 6*. Постройте семь линейно независимых векторных полей на се- мимерной сфере S
7
Задача 7. Найдите компоненты R
l
ijk
и R
lijk
тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.
Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 5 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X.

18
ВАРИАНТ 9
Задача 1. Найдите эволюту кривой
x = 2 cos t + (2t + 3) sin t,
y = 2 sin t
? (2t + 3) cos t.
Задача 2. На кривой
x = 2t,
y = ln t,
z = t
2
(t > 0)
найдите кривизну и кручение в произвольной точке, а также репер Френе при
t = 0
Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности
5x
2
? 4xy + 2y
2
? 4z
2
+ 24 = 0.
Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения.
Задача 4*. Докажите, что если минимальная поверхность является поверх- ностью вращения, то она либо плоскость, либо катеноид.
Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1
из [3]).
Задача 6. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формой
ds
2
= du
2
+ cos
2
u dv
2
найдите ковариантную производную ?
X
T
тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ?
X
S
и ?
X
R
(задача 3 из [3]).
Задача 7. Найдите компоненты R
l
ijk
и R
lijk
тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.
Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X.

19
ВАРИАНТ 10
Задача 1. Найдите эволюту эллипса
x = a cos t,
y = b sin t.
Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой
x = 5ch t + 12sh t,
y = 13t,
z = 12ch t
? 5sh t.
Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности
2x
2
+ 4xy
? y
2
+ z
2
= 12.
Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения.
Задача 4*. Докажите, что если все точки поверхности омбилические, то поверхность есть область на сфере или на плоскости.
Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1
из [3]).
Задача 6. В плоскости Лобачевского с метрикой
ds
2
=
du
2
+ dv
2
v
2
найдите ковариантную производную ?
X
T
тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ?
X
S
и ?
X
R
(задача 2 из [3]).
Задача 7. Найдите компоненты R
l
ijk
и R
lijk
тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.
Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля X.

20
ВАРИАНТ 11
Задача 4. Найдите эволюту гиперболы
x = a ch t,
y = b sh t.
Задача 2. Найдите натуральные уравнения кривой
x = e
t
(4 cos t + 3),
y = 5e
t
sin t,
z = e
t
(3 cos t
? 4).
Задача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности
2x
2
+ 4xy
? y
2
+ 2z
2
= 12.
Найдите пределы изменения гауссовой кривизны. Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальные значения.
Задача 4*. Докажите теорему БельтрамиЭннепера: если асимптотиче- ские линии различных семейств имеют в их общей точке отличные от нуля кривизны, то они имеют равные по величине, но противоположные по знаку кручения; абсолютная величина кручения равна абсолютному значению гаус- совой кривизны поверхности в данной точке.
Задача 5. Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y (задача 1
из [3]).
Задача 6. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формой
ds
2
= du
2
+ cos
2
u dv
2
найдите ковариантную производную ?
X
T
тензорного поля T типа (1, 1) в на- правлении векторного поля X. Определите кооординаты тензоров S и R, по- лученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определите ко- вариантные производные ?
X
S
и ?
X
R
(задача 3 из [3]).
Задача 7. Найдите компоненты R
l
ijk
и R
lijk
тензора кривизны поверхности из задачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.
Задача 8*. Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную про- изводную этого тензора в направлении поля

1 2 3